Тема АЛГЕБРА

Тригонометрия

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Тригонометрия

Преобразования тригонометрических выражений

Базовые уравнения

Сведение тригонометрических уравнений к квадратным

Формулы в тригонометрических уравнениях

Системы в тригонометрии

Тригонометрические неравенства

Оценки в тригонометрии

Метод вспомогательного аргумента (доп. угла)

Арктрига (аркфункции - обратные тригоном. функции)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 101#62507Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

∘5-− sin2x sinx+ cos8xcosx= ---2---

Показать ответ и решение

Покажем выполнение следующего неравенства

√ - ∘-5− sin-2x sinx+ cos8xcosx ≤ 2≤ ---2---

Второе неравенство очевидно — оно следует из того, что $sin2x≤ 1$ . Для первого хочется применить формулу вспомогательного угла, но мешает лишний косинус. Заметим, что $cos8xcosx> 0$ , поскольку иначе левая часть не больше единицы и равенство невозможно. В силу симметрии мы можем рассмотреть только случай $cosx> 0,cos8x> 0$ , тогда выполнены неравенства

( ) ( ) sinx +cos8x cosx≤ sinx +cosx⋅1= √2⋅ √1-sinx +√1-cosx = √2sin x + π ≤ √2 2 2 4

Итак, неравенства доказаны, остаётся выписать условия, при которых в обоих достигаются равенства. Сделаем это по случаям

$cosx> 0,cos8x> 0$ . Здесь получаем систему
$( ( π ) ( π |{ sin x +4 =1 |{ x= 4πk+2πn π |( cos8x= 1 ⇐ ⇒ |( x= π4 ⇐ ⇒ x = 4 + 2πm sin 2x =1 x= 4 +πm$
$cosx< 0,cos8x< 0$ . Аналогично имеем
$(|{ sin(x− π4)= 1 (|{ x= 34π+ 2πn cos8x =− 1 ⇐⇒ x= π+ πk ⇐⇒ x∈ ∅ |( sin2x= 1 |( x= 8π+ π4m 4$

Замечание.

Быстро обосновать неравенство $√- sinx +cos8x cosx≤ 2$ можно с помощью неравенства Коши-Буняковского-Шварца:

(sinx+ cos8xcosx)2 ≤ (sin2x+ cos2x)(12+ cos28x)=1 +cos28x ≤2

Ответ:

$π + 2πn, n∈ ℤ 4$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 102#63946Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

sin(cosx) =sin (1+ sinx)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Равенство синусов...когда оно возможно?

Подсказка 2

Когда аргументы синуса равны или в сумме дают π (с учётом прибавления 2πk)! Рассмотрим первый случай. Так и запишем: cos(x) + 2πk= 1 + sin(x). Пока не совсем понятно, как же работать с k...попробуем его оценить! Часто в работе с тригонометрическими функциями используют какие-то неравенства, оценки - быть может, и сейчас мы сможем как-то оценить 2πk = 1 + sin(x) - cos(x), чтобы как-то найти k? С помощью чего можно это сделать(учитывая, что сами тригонометрические функции оцениваются нетрудно: |sin(x)| <= 1, |cos(x)| <= 1)

Подсказка 3

С помощью модулей! Помним правило для модуля суммы: |a+b|<= |a|+|b|. Пробуем им воспользоваться, какую тогда оценку на |2πk| получим?

Подсказка 4

|2πk|<= |sin(x)| + |1| + |cos(x)| <= 3 <= 2π, тогда несложно найти k) Остаётся решить несложное тригонометрическое уравнение и не забыть про второй случай, вытекающий из подсказки 2!

Показать ответ и решение

Для данного равенства возможны два случая.

1.

$cosx= 1+ sinx+ 2πk,k ∈Z;$ при этом

|2πk|= |1+sinx− cosx|≤1 +|sinx|+ |cosx|≤1+ 1+ 1< 2π

Отсюда $k= 0$ . Далее,

cosx =1+ sinx

cosx− sinx =1

По формуле вспомогательного аргумента

( π) √2- cos x+ 4 = 2

x= − π4 ± π4 +2πn,n∈ Z

2.

$cosx+ 1+ sinx= π+ 2πk,k ∈Z$

Поскольку

|cosx+ 1+ sinx|≤|cosx|+ 1+ |sin x|≤ 1+ 1+ 1< π ≤|π+ 2πk|,

то в этом случае решений нет.

Ответ:

$− π ± π+ 2πn,n ∈ℤ 4 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 103#64445Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

√ - 2(sinx +cosx)cosy = 3+ cos2y

Показать ответ и решение

Преобразуем правую часть через формулу вспомогательного угла и оценим

( π ) 2sin x +4 cosy ≤2⋅1⋅1≤ 3+ cos2y

Поскольку в неравенствах достигается равенство, то получаем систему условий

( ( π |||| co⌊s2{y = −1( π) |||| y⌊ ={2 +πn,nπ ∈ℤ ||{ | sin x+ 4 = 1 ||{ | x = 4 + 2πm,m ∈ℤ || ||| { cosy( =1π) ⇐⇒ || ||| { y =2πk3,πk∈ ℤ ||||( ⌈ sin x+ 4 = −1 ||||( ⌈ x =− 4-+ 2πm,m ∈ℤ cosy =− 1 y =π +2πn,n∈ ℤ

Первое уравнение системы не выполнено в каждом случае, тогда можно сразу написать ответ.

Ответ:

решений нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 104#64604Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

4 x 4 x sin2x= cos 2 − sin 2.

Показать ответ и решение

По формуле разности квадратов получаем

( 2 x 2 x)( 2 x 2 x) sin2x= cos 2 + sin 2 cos 2 − sin 2 ⇔ 2sinx⋅cosx= cosx⇔

$π ⇔ x= 2 +πn,n ∈ℤ$ или $n π x= (−1) 6 + πn,n ∈ℤ$

Ответ:

$π + πn,(−1)nπ+ πn,n∈ ℤ 2 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 105#67502Максимум баллов за задание: 7

Найдите количество целых чисел, принадлежащих множеству значений функции

f(x)= 2cos2x+ 2cosx − 2019

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сначала рассмотрим функцию g(x) = 2cos(2x) + 2cos(x). После применения формулы косинуса двойного угла получаем параболу относительно cos(x). Какие у нее максимум и минимум?

Подсказка 2

Верно, получается, что минимум достигается в вершине параболы, а максимум - в одном из граничных значений косинуса, т.е. в -1 и +1. Теперь поймем, что сдвиг на целое число единиц никак не меняет количество искомых нами чисел в получившемся промежутке, а значит мы уже сейчас можем дать ответ.

Показать ответ и решение

Достаточно найти область значений выражения

2 2 2cos2x+ 2cosx =2(2cos x− 1)+2cosx= 2(2 cos x+ cosx− 1)

Получаем параболу, зависящую от $cosx$ . Её вершина находится в точке $cosx = − 1 4$ , а значение в ней $− 9 4$ . Отсюда легко видеть, что максимальное значение будет в одной из точек $cosx= ±1$ . Подставляя обе, получаем максимум $4$ . На отрезке $[− 9,4] 4$ лежат $7$ целых чисел, это и является ответом (сдвиг на целое число его не меняет).

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 106#67587Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

π 5arcsin(cosx)=x + 2

Источники: Физтех-2023, 11.3 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим аркфункцию, сразу стараемся избавиться от неё! Что для этого нужно сделать?

Подсказка 2

Да, достаточно перенести пятёрку вправо и взять синус от обеих частей уравнения! Таким образом, мы придём к уравнению: cos(x) = sin(x/5+π/10). Но уравнения от разных функций мы не умеем решать… Что надо сделать, чтобы уравнение стало более очевидным? И не забудьте про ограничения, когда работаете с аркфункциями!

Подсказка 3

Конечно, достаточно воспользоваться формулой приведения! То есть, sin(x/5+π/10) = cos(π/2 - (x/5+π/10)) = cos(2 π/5 – x/5). А также не забудем про ограничение на (x/5+π/10)! Поскольку это выражение равно арксинусу, то – π/2- π/10 ≤ x/5 ≤ π/2- π/10. Таким образом, мы получили, что cos(x) = cos(2π/5 – x/5). Осталось решить это уравнение, учитывая ограничения!

Подсказка 4

Верно, мы получаем, что |x| = 2π/5 – x/5 + 2πk, k ∈ ℤ. А из ограничений следует, что -3π ≤ x ≤ 2π.

Показать ответ и решение

Так как по определению

({ sin b=a b= arcsina ⇐⇒ ( − π2 ≤ b≤ π2

То уравнение равносильно

( (x π ) { cosx =sin 5 + 10 ( − π ≤ x+ π-≤ π 2 5 10 2

( ( ) { cosx =cos 2π5-− x5 ( 3π x 2π- − 5 ≤ 5 ≤ 5

({ ±x= 2π− x +2πk,k∈ℤ ( 5 5 −3π ≤ x≤ 2π

( ⌊ |||| ⌈ x = π3 + 5π3k { x = 5πk-− π ,k∈ ℤ |||| 2 2 ( − 3π ≤ x≤ 2π

{ 4π π π } x∈ −3π;−-3 ;− 2;3;2π

Ответ:

${−3π;− 4π;− π;π ;2π} 3 2 3$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 107#67931Максимум баллов за задание: 7

При каком наименьшем по модулю значении параметра $α$ уравнение

20( π ) 23( π ) 1234 sin x −3 − 789cos αx− 4 = 2023

имеет решение на отрезке $[−π,π]?$

Источники: Ломоносов-2023, 11.2 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Из-за страшного вида уравнения можно понять, что просто преобразованиями это не решить, значит тут какая-то идея! Вот интересное замечание: 1234+789 = 2023. На что это может натолкнуть?

Подсказка 2

Можно из этого понять, что т.к. синус и косинус по модулю не превосходят 1, то максимум левой части как раз равен 2023! Теперь можно приравнять синус к ±1, а косинус к -1, и посмотреть на корни.

Подсказка 3

Выходит системка вида x = 5π/6 + πk и ax = 5π/4 + 2πn. Давайте посмотрим, когда первый корень может быть в этом промежутке.

Подсказка 4

Да, только при k = -1, 0! Осталось разобраться с альфа. Давайте подставим первый корень во второй чтобы выразить альфа через n и k) Останется только понять, при каких n и k модуль этого выражения достигнет минимума, а зная чем может быть k, это не так сложно)

Показать ответ и решение

Так как синус и косинус по модулю не превосходят $1,$ а $1234+ 789= 2023,$ решением уравнения может быть только такой $x,$ при котором входящие в уравнение синус и косинус равны соответственно $± 1$ (при возведении в 20-ю степень даст $1$ ) и $− 1$ (таким же останется при возведении в 23-ю степень).

( ( ) (| 5π { sin x− π3 =±1 |{ x= 6 + πk, k∈ ℤ ( cos(αx − π )=− 1 ⇔ ||( 5π 4 αx= 4 + 2πn, n∈ ℤ

Подставив $x$ из первого выражение во второе, выразим $α$

(5π ) 5π 15+ 24n α -6 +πk = 4-+ 2πn ⇒ α= 10+-12k, k,n∈ ℤ

Найдём возможные целые значения $k,$ подставив $x$ в условие $− π ≤ x≤ π,$

−π ≤ 5π +πk ≤π, k∈ℤ ⇒ k∈ {−1;0} 6

Чтобы найти $α$ с наименьшим модулем, выберем $n,$ минимизирующее модуль числителя, (для приведенных числителей это $0$ или $− 1),$ а также допустимое $k,$ максимизирующее модуль знаменателя. Нетрудно заметить, что это $n= −1$ и $k =0,$ поэтому получаем

α= −9-= −0,9 10

Ответ:

$− 0,9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 108#67951Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

√- √- 2( π ) 1− 2 cosx(sinx+ 2cosx)+ 2sinx(2sinx − cosx) =2sin x + 8

Источники: ПВГ-2023, 10.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Справа внутри синуса есть какой-то π/8, что не очень приятный угол, а еще там сам синус в квадрате. Чем можно воспользоваться в таком случае?)

Подсказка 2

Например, формулой понижения степени! Тогда там появится 1-cos(2x+π/4), что уже лучше. Раз мы тут преобразовали к двойному углу, то может слева так тоже выйдет?

Подсказка 3

Если раскрыть скобки в левой части, то получится 2√2(sin²x-cos²x) - 2√2sinx⋅cosx, что очень хорошо раскладывается на двойные углы) Осталось достаточно приятное уравнение, которое не доставит вам проблем)

Показать ответ и решение

Раскроем скобки и в правой части воспользуемся формулой понижения степени:

√- √- 2 √ - 2 √- ( π) 1− 2cosxsinx− 2 2cosx +2 2sin x− 2sinxcosx= 1− cos 2x+ 4 ;

√- √- 1 1 2 2(sin2x− cos2x)− 2 2 sinxcosx = −√2-cos(2x)+ √2-sin(2x);

Домножим на $√ - (− 2)$ и выделим формулы двойных углов:

4cos(2x)+ 2sin(2x) =cos(2x)− sin(2x);

sin(2x)=− cos(2x);

Если $cos(2x)= 0,$ то получим, что $sin(2x)=0,$ что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Значит, можно поделить на $cos(2x),$ имеем:

tg (2x)= −1.

Откуда $x= − π8 + πn2 ,n ∈ℤ$

Ответ:

$− π + πn,n ∈ℤ 8 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 109#68021Максимум баллов за задание: 7

Тройка действительных чисел $A,B,C$ такова, что

sinA +sinB + sinC =0

cosA+ cosB+ cosC = 0

Найти значение выражения

cos(A − B)+ cos(B − C)+cos(C − A )

Источники: Всесиб-2023, 11.2 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы знаем, что в формуле разности косинусов есть произведение синусов и произведение косинусов...А у нас есть условие на суммы синусов и суммы косинусов..Что можно сделать с ними?

Подсказка 2

Возвести в квадрат! В одном выражении будут все попарные произведения синусов, а в другом - косинусов. И тогда остается свернуть эти два выражения в нужное нам)

Показать ответ и решение

Возведём в квадрат каждое из двух уравнений:

({ sin2A+ sin2B +sin2C +2 sinAsin B+ 2sinB sinC +2sin AsinC = 0 ( cos2A+ cos2B + cos2C+ 2cosAcosB + 2cosB cosC +2 cosAcosC =0.

Сложим эти уравнения, используя $sin2α +cos2 α= 1,cos(α− β)= cosα cosβ+ sinα sinβ.$ Получим:

3+2(cos(A− B)+ cos(B− C)+ cos(C− A))=0

3 cos(A− B)+ cos(B− C)+ cos(C− A)= −2.

Ответ:

$− 3 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 110#68075Максимум баллов за задание: 7

Решить уравнение

( 4 )( 4 ) 2 2 sin 5x+ 1 sin 3x+ 1 = 4sin 5x⋅sin 3x.

Источники: Росатом-2023, 11.2, Москва (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы видим, что относительно замены a=sin^2(5x), и b=sin^2(3x) уравнение симметрично. Попробуйте оценить каждую из скобок снизу по отдельности и подумать, что это дает(размышления про симметрию нужны, так как, вероятно, нужно как-то по одному алгоритму оценивать каждую из скобок).

Подсказка 2

Верно, мы можем оценить, что первая скобка - это хотя бы 2sin^2(5x), а вторая - хотя бы 2sin^2(3x) (так как t^2+1>=2t - по неравенству о средних или просто можно перенести в левую часть все). Значит, левая часть почти всегда больше или равна правой. Что это дает нам? Какая система из этого следует?

Подсказка 3

Действительно, у нас выходит, что sin^2(3x)=sin^2(5x)=1 А это значит, что |sin(3x)|=1=|sin(5x)|. Остается решить эту систему и получить ответ.

Показать ответ и решение

Выполним равносильные преобразования в исходном уравнении:

4 4 4 4 2 2 sin 5x ⋅sin 3x +sin 5x+ sin 3x+ 1− 4sin 5x⋅sin 3x = 0

(sin45x⋅sin43x− 2sin25x⋅sin23x+ 1)+ (sin45x − 2sin25x ⋅sin23x +sin43x)= 0

(sin25x⋅sin23x− 1)2+ (sin25x − sin23x)2 = 0

Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю. Тогда

( {sin25x⋅sin23x− 1= 0 (sin25x− sin23x= 0

Учитывая ограниченность синуса, имеем

( ( π ( π πn { |sin5x|=1 |{ 5x= 2 +πn |{ x= 10 +-5 ,n ∈ℤ ( |sin3x|=1 ⇔ |( 3x= π +πm ⇔ |( x= π + πm-,m ∈ℤ 2 6 3

Далее находим пересечение серий

({ π-+ πn = π+ πm-⇔ 3n− 5m =1 ⇔ n =2 +5k ,k ∈ℤ 10 5 6 3 (m = 1+3k

Окончательно получаем $π x= 2 + πk,k ∈ℤ$

Ответ:

$π + πk,k ∈ℤ 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 111#68259Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

2cos(cosx)> 1

Источники: БИБН-2023, 11.1 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте использовать тот факт, что cosx принимает значения от -1 до 1.

Подсказка 2

Посмотрите, может ли как-то помочь в решении неравенства область допустимых значений cos(cosx)?

Подсказка 3

Сравните наименьшее значение cos(cosx) и 1/2.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Так как

π π −3 < −1≤ cosx ≤1 <-3,

то неравенство верно для любого $x,$ поскольку тогда

− π3 < cosx < π3 =⇒ cos(cosx)> 12

Второе решение.

Как известно, $cosx∈ [− 1,1],$ откуда $cos(cosx)∈[cos(cos1),1].$ Осталось показать, что

2coscos1> 1 ⇐⇒ coscos1>1∕2⇐ coscos1 >cos1> cosπ∕3= 1 2

То есть неравенство выполнено для всех $x.$

Ответ:

$x ∈ℝ.$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 112#69372Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

4 tgx x4 (x − 2)(2 − 1)+ (3 − 9)tgx =0

Источники: Звезда - 2023 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

"По-нормальному" мы это уравнение точно не решим, поэтому давайте вспоминать все хитрости, которые у нас есть. В уравнение мы видим похожие конструкции в обоих слагаемых. Попробуйте ещё получше преобразовать tg(x), 3^x⁴-9 и 2^{tg x}-1, чтобы они стали совсем идентичными. Как тогда их можно связать между собой?

Подсказка 2

Верно, если записать tg(x)=tg(x)-0, 2^{tg x}-1=2^{tg x}-2^0 а 3^x⁴-9=3^x⁴-3^2, то это всё намекает посмотреть на уравнение с точки зрения функции. А справа у нас ноль. То есть хорошо бы было просто сказать, что каждое из слагаемых равно нулю. Но у нас может быть такое, что одно положительное, а другое отрицательное... Или не может? Попробуйте понять, почему у нас два слагаемых обязательно одного знака.

Подсказка 3

Верно, можно сказать, что мы сравниваем два числа и степени 3 и 2 возведённые в них. Тогда из-за возрастания 3^x и 2^x знак в таких скобках будет совпадать в скобках с просто выражениями x⁴ и 2 или tg(x) и 0. Всё, теперь можем уже "законно" сказать, что каждое из слагаемых должно быть равно нулю и доделать задачу!

Показать ответ и решение

Функции $y = 2t$ и $y = 3t$ - возрастающие, следовательно, выражение $3x4 − 9= 3x4 − 32$ имеет такой же знак, как и $4 x − 2$ , а выражение $tgx tgx 0 2 − 1= 2 − 2$ имеет такой же знак, как и $tgx− 0= tgx$ . Таким образом, слагаемые в левой части уравнения - одного знака, равенство нулю возможно лишь в том случае, когда один из множителей равен нулю. Имеем

[ 4 x − 2= 0 tgx= 0

Решая эти уравнения, получаем ответ.

Ответ:

$±√42;πn,n∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 113#70336Максимум баллов за задание: 7

Найдите все корни уравнения

( 2 ) ( 4 2 ) 8x⋅2x − 1 ⋅8x − 8x +1 = 1,

удовлетворяющие условию $0< x< 1$ .

Показать ответ и решение

Ограничения на $x$ намекают на замену $x= cosα, α∈ (0;π) 2$

По формуле двойного и половинного угла

( 2 ) 8 cosα⋅ 2cosα − 1 = 8cosα⋅cos2α;

4 2 2 8cos α− 8cos α+ 1= 2cos 2α+ 4cos2α +2− 4cos2α − 4 +1=

=2cos22α− 1= cos4α;

Тогда исходное равенства примет вид

8cosα⋅cos2α ⋅cos4α= 1

Домножим на $sinα ⁄=0$

8cosα ⋅sinα⋅cos2α ⋅cos4α= sinα

4sin2α⋅cos2α ⋅cos4α= sinα

2 sin4α⋅cos4α =sinα

sin8α= sinα

7α 9α 2sin 2 ⋅cos2 = 0

[ 7α 92α =πkπ 2 = 2 + πn

Ввиду ограничения $0< α< π 2$ получаем

⌊ α = 2π- ⌊ x =cos2π |⌈ α = 7π =⇒ |⌈ x =cosπ7 α = 9π x =cos9π = 1 3 3 2

Ответ:

$1; cos2π; cosπ 2 7 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 114#71245Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение:

8cosx cosycos(x− y)+1 =0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пока не очень понятно, как это решать, поэтому надо это уравнение преобразовать. Какую формулу можно применить?

Подсказка 2

Верно, формулу для произведения косинусов! У нас получается квадратное уравнение относительно cos(x - y), поэтому что можно найти?

Подсказка 3

Можно посчитать дискриминант и увидеть в нём кое-что красивое или же попробовать выделить полный квадрат в левой части уравнения :)

Подсказка 4

Получили систему уравнений на косинусы, остаётся только её решить и найти x и y. И так как мы пользовались оценкой, что нужно не забыть сделать?

Подсказка 5

Конечно, проверить подстановкой, подходят ли нам найденные решения!

Показать ответ и решение

По формуле произведения косинусов получаем уравнение

4(cos(x− y)+ cos(x+ y))cos(x− y)=− 1,

Выделим полный квадрат и сделаем оценку обеих частей

2 2 0 ≤(2cos(x− y)+cos(x+ y)) = cos (x +y)− 1≤ 0

По методу оценки уравнение равносильно системе

{ 2cos(x− y)+ cos(x+ y)=0 cos2(x +y)− 1= 0

Если

cos(x+ y)= 1 ⇐⇒ y = −x+ 2πn,n ∈ℤ,

то из первого уравнения системы $cos(x− y)= − 12,$ а из исходного уравнения

8cosxcosx⋅(− 1)= −1 ⇐⇒ cosx =± 1 ⇐⇒ x= ± π+ πk,k ∈ℤ 2 2 3

Если

cos(x+ y)= −1 ⇐ ⇒ y =π − x +2πn,n∈ ℤ,

то из первого уравнения системы $cos(x− y)= 12,$ а из исходного уравнения

8cosx⋅(− cosx)⋅ 1 =− 1 ⇐⇒ cosx= ± 1 ⇐⇒ x= ±π +πk,k∈ ℤ 2 2 3

Объединяя серии, получаем ответ.

Ответ:

$(π+ πk;− π +πn),(− π+ πk;π+ πn),n∈ ℤ,k ∈ℤ 3 3 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 115#72145Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что $sinx + 1 sin2x+ 1sin3x+ ...+ 1 sinnx> 0 2 3 n$ при $0 <x < π.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Чем мы пользуемся, когда хотим доказать какое-то утверждение для произвольного n ∈ ℕ ?

Подсказка 2

Индукцией! Давайте тут её применим. Записываем базу и начинаем работать с шагом индукции. Пусть для n - 1 всё работало, рассматриваем n. И что нужно доказать, чтобы сделать вывод, что f_n(x) > 0 во всех точках х из интервала?

Подсказка 3

Нужно доказать, что минимум f_n(x) > 0! Пусть минимум достигается в точке x₀, тогда как будет вести себя функция в окрестности точки x₀? Что мы можем сказать про f'(x₀)?

Подсказка 4

Конечно, f'(x₀) = 0! Тогда можем посчитать производную в точке x₀ и постараться упростить это выражение (вспомните про телескопы!) Но попробуйте не в лоб складывать косинусы, а ещё на кое-что домножить, чтобы потом воспользоваться другой формулой

Подсказка 5

Предлагается домножить на sin(x₀/2) (≠ 0, что важно!) и ещё на 2, чтобы потом не пришлось писать 1/2, когда пользуемся формулой sinα ⋅ cosβ.

Подсказка 6

Расписываем и сокращаем, получаем короткую формулу для 2 ⋅ sin(x₀/2) ⋅ f'_n(x₀) и это равно 0 ⇒ .... (подумайте, зачем нам надо было sin(x₀/2) ≠ 0). И вот мы знаем, что для n - 1 f(x) было > 0, что тогда нам хотелось бы показать, чтобы для n f(x) тоже было > 0 ?

Подсказка 7

Хотим, чтобы слагаемое, которое добавляем к f_{n-1} для получения f_n, было ≥ 0. У нас было sin((n + 1/2)x₀) = sin(x₀/2), а чему равна разность этих аргументов?

Подсказка 8

Она равна n ⋅ x₀! Тогда мы можем расписать наш "добавочный" sin(nx₀) как синус разности аргументов! А чему это будет равно? Чтобы это понять, подумайте, как соотносятся косинусы тех аргументов, если их синусы равны

Подсказка 9

Косинусы будут равны по модулю! Тогда наш sin(nx₀) будет равен либо 0, либо 1/n ⋅ sin(x₀) > 0! Победа, мы доказали шаг индукции, а значит доказали, что f(x) > 0 для любого х!

Показать доказательство

Применим индукцию по $n$ . При $n =1$ неравенство очевидно. При $n= 2$ получаем $sinx+ 1sin 2x = sinx(1+ cosx) 2$ . Ясно, что $sinx >0$ и $1+cosx> 0$ при $0< x< π.$

Предположим, что $1 -1- fn−1(x)= sinx+ 2sin2x+...+ n− 1sin(n − 1)x> 0$ при $0 <x <π$ . Покажем, что тогда $1 fn(x)= fn−1(x)+ nsin nx> 0$ при $0 <x < π$ . Пусть $x0$ — точка отрезка $[0,π]$ , в которой функция $fn(x)$ принимает минимальное значение. Предположим, что $fn(x0)≤0$ , причём $x0 ⁄= 0$ и $x0 ⁄= π$ . Тогда $′ fn(x0)= 0$ . Ho

sin(n+ 1)x − sinx0 f′n (x0)= cosx0+ cos2x0+ ...+ cosnx0 =------2--0x0-----2- sin 2

Докажем тождество

sin(n+-12)x-− sin-x2 cosx+cos2x+ ...+cosnx= sinx2

Пусть сумма косинусов равна $S$ . Домножив на $2sin x2 ⁄= 0$ получим

2S sinx =2cosxsinx + 2cos2xsin x+ ...+ 2cosnxsin x= 2 2 2 2

( 3x- x) ( 5x 3x) ( (2n+-1)x (2n-− 1)x) = sin 2 − sin2 + sin 2 − sin 2 + ......+ sin 2 − sin 2 =

(2n+ 1)x x sin---2--- − sin 2

Поэтому в силу тождества $( ) sin n + 12 x0 =sin x02$ , а значит, $| ( ) | |cos n+ 12 x0|=cosx20$ . Далее,

( ( ) ( ) ) fn(x0)− fn−1(x0) = 1sinnx0 = 1 sin n + 1 x0cosx0− cos n + 1 x0sinx0 n n 2 2 2 2

Полученное выражение равно $0$ или $-2sinx0cosx0= 1 sinx0 > 0 n 2 2 n$ . Таким образом, $fn(x0)− fn−1(x0)≥ 0$ , а значит, $fn−1(x0)≤ fn(x0) ≤0$ . Получено противоречие.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 116#76752Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 sinx x2 (x − 2)(2 − 1)+ (2 − 4)sinx= 0

Показать ответ и решение

Заметим, что знак выражения $x2− 2$ совпадает со знаком выражения $2x2 − 22$ по методу рационализации. Также знак выражения $sinx$ совпадает со знаком выражения $sinx 0 2 − 2 .$ Следовательно знаки произведений совпадают. А значит, чтобы выполнялось равенство нулю, нужно, чтобы хотя бы одно из произведений равнялось нулю.

[ 2 x − 2= 0 sinx =0

Решив совокупность, получаем ответ. Легко проверить, что при этом в обеих слагаемых получаются нулевые произведения.

Ответ:

$±√2; πn, n∈ ℤ$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 117#77204Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 2arccosx− arccos(x +2x− 1)=sinx− arcsinx

Показать ответ и решение

ОДЗ:

{ −1 ≤x ≤1, √- 2 ⇒ 0≤ x≤ −1+ 3. −1 ≤x + 2x− 1≤1

Используем формулу $arcsinx+ arccosx = π: 2$

π 2 2 + arccosx − arccos(x + 2x− 2)=sin x

Заметим, что корень $x= π$ - подходит. Докажем, что других нет, используя монотонность. Пусть

π 2 f(x)= -2 + arccosx− arccos(x + 2x− 2)− sinx

Тогда для доказательства, что она монотонная будем использовать производную.

1 1 f(x)′ = −√---2-+(2x+ 2)⋅∘-----2-------2-− cosx. 1− x 1− (x + 2x− 2)

Докажем, что производная положительная, т.е. докажем следующую оценку при данных ограничениях:

(2x+ 2)⋅∘------1-------> cosx+ √--1-2- 1 − (x2+2x − 2)2 1− x

Оценим правую часть:

({ cosx <1 ---1-- √- ( √1-− x2 <2, при x∈ [0;−1+ 3]

Тогда правая часть не больше $3.$

Оценим левую часть:

1 ∘-----2-------2 > 1, т.к. мы делим 1 на число меньшее, чем 1 1− (x +2x − 2)

при $x∈ [0;−1+ √3].$ Значит хочется доказать, что $2x+ 1> √-1--- 1− x2$ (одну единицу мы взяли для оценки косинуса), т.к. тогда если это верно, то верно что и левая часть больше правой.

Доказательство:

---1-- 2 2 2x+ 1> √1-− x2 ⇒ (4x + 4x+ 1)(1− x )> 1

−4x4− 4x2+ 3x2+4x> 0.

Ввиду ограничения на $√- x∈ [0;−1+ 3],$ получаем:

{ 3 √- 4x>2 4x4− это верно для всех x∈ [0;−1+ 3] 3x − 4x > 0

2 4 2 2 3x − 4x > 0⇒ x (3− 4x )>0.

Подставим $x =−1 +√3-$ во второй множитель последнего неравенства:

√-2 3 2 9 3− 4⋅(−1+ 3) >3 − 4⋅(4) = 3− 4 > 0− верно

Значит при всех $√ - x ∈[0;−1 + 3]$ верно что

--1--- 2x+ 1> √1−-x2

Тогда функция монотонная и имеет один корень $x= π.$

Ответ:

$π$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 118#88918Максимум баллов за задание: 7

а) Решите уравнение $cosx⋅cos2x= √2 sin2x+ cosx.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ 5π ] −-2 ;− π .$

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна, Адыгея

Подсказки к задаче

Пункт а, подсказка 1

Что сразу бросается в глаза? Попробуйте это сделать

Пункт а, подсказка 2

Верно! Косинус двойного угла (удобно воспользоваться cos 2x = 1 - 2(sin x)^2). Приводим подобные слагаемые. Что дальше можно сделать?

Пункт а, подсказка 3

Выносим общий множитель! Произведение равно 0, а такое мы много раз решали

Пункт б, подсказка 1

Отбираем корни удобным для вас способом (через двойное неравенство или тригонометрическую окружность)

Показать ответ и решение

а) Воспользуемся формулой $cos2x= 1− 2sin2x$ и получим

cosx (1 − 2 sin2x)= √2 sin2x+ cosx √ - 2 2 2sin x( +2 sin xco)sx= 0 sin2x √ 2+ 2cosx = 0

Отсюда получаем

⌊ ⌊ sin x= 0; x= πk; |⌈ √- ⇔ |⌈ где k ∈ℤ cosx= − -2, x= ± 3π+ 2πk, 2 4

б) С помощью тригонометрической окружности отберём корни.

$−−−−− 52 3 5πππππ+ 2πk 244$

Таким образом, подходят корни $− 2π;$ $5π − 4 ;$ $− π.$

Ответ:

а) $πk;$ $± 3π +2πk, 4$ $k ∈ ℤ$

б) $− 2π;$ $5π − 4-;$ $− π$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 119#89777Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

tg-2x-+2cosx tg 2x − 2cosx = 0.

Источники: ДВИ - 2023, вариант 237, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Запишите ОДЗ. Чтобы сократить себе труд по решению уравнения "знаменатель = 0", попробуйте записать двойное равенство: "знаменатель" = "числитель" = 0. Сделайте из этого вывод: в каком случае у числителя и знаменателя есть общие корни, то есть какие из корней числителя не подходит под ОДЗ?

Подсказка 2

Приравняем к нолю числитель: тангенс двойного угла можно записать как отношение синуса к косинусу. После этого приведите выражение к общему знаменателю.

Подсказка 3

Распишите синус двойного угла по известной формуле, тогда можно будет вынести общий множитель, какой он?

Подсказка 4

В скобках осталось выражение, зависящее от sin(x) и от двойного угла, что с ним ещё можно сделать? Попробуйте раскрыть синус двойного угла по формуле!

Подсказка 5

Осталось приравнять к нулю получившиеся множители, проверить их на соответствие ОДЗ и записать ответ!

Показать ответ и решение

Выражения $tg 2x +2cosx$ и $tg2x − 2cosx$ отличаются на $4cosx$ , стало быть, если они одновременно равны нулю, то $cosx= 0$ . Легко убедиться, что обратное тоже верно. Стало быть, множество решений исходного уравнения совпадает с множеством нулей выражения $tg2x+$ $2cosx$ , из которого исключены нули $cosx$ . Преобразуем это выражение:

2cosx(sinx +cos2x) tg2x +2cosx= ------cos2x----- =

( 2 ) ( 1) = −2cosx-2sin-x−-sinx−-1-= −4cosx(sinx−-1)-sinx-+2-. cos2x cos2x

Если $sinx =1$ , то $cosx= 0$ , стало быть, множество решений исходного уравнения совпадает с множеством нулей выражения $sinx+ 12$ , из которого исключены нули $cos2x$ . Ho $sin x+ 12$ и $cos2x$ одновременно нулю не равны, поскольку если $sinx= − 12$ , то $cos2x= 1− 2sin2x= 12$ . Следовательно, исходное уравнение равносильно уравнению $sinx =− 12$ . То есть $x= (−1)k π6+$ $(k+ 1)π,k∈ ℤ$ .

Ответ:

$(−1)kπ+ π(k +1), k∈ ℤ 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 120#90037Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

cosx−-cos3x- 2cos2x+ cosx+ cos3x = 2.

Источники: ДВИ - 2023, вариант 236, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что можно сделать с суммой и разностью косинусов во втором слагаемом? Попробуйте применить формулы преобразования суммы в произведение.

Подсказка 2

На этом этапе удобно записать и решить ограничения!

Подсказка 3

Получившееся после преобразования уравнения второе слагаемое, удобно записать через тангенсы. А как нам выразить через тангенс косинус двойного угла?

Подсказка 4

Чтобы cos(2x) выразить через тангенс, удобно воспользоваться формулой косинуса двойного угла, а затем вспомнить, что 1 + tg²(α) = 1/cos²α, выразите отсюда косинус и подставьте в исходное уравнение.

Подсказка 5

Осталось воспользоваться формулой для tg(2x) и мы получим рациональное уравнение относительно tg(x). Решите его и не забывайте про ОДЗ!

Показать ответ и решение

Применим формулы суммы и разности косинусов: