Тема АЛГЕБРА

Тригонометрия

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Тригонометрия

Преобразования тригонометрических выражений

Базовые уравнения

Сведение тригонометрических уравнений к квадратным

Формулы в тригонометрических уравнениях

Системы в тригонометрии

Тригонометрические неравенства

Оценки в тригонометрии

Метод вспомогательного аргумента (доп. угла)

Арктрига (аркфункции - обратные тригоном. функции)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 121#90406Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 √- 2 √- cos x+ 3sin x =(1+ 3)(cosx − cosxsinx +sinx).

Источники: ДВИ - 2023, вариант 235, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте раскроем скобки в правой части. У нас есть много одинаковых множителей, быть может, перенесем всё в одну сторону и разложим на множители?

Подсказка 2

Мы получим совокупность, в которой сумма синуса и косинуса 0. Как можно решить такое уравнение?

Подсказка 3

Методом вспомогательного угла! А как решить второе уравнение совокупности?

Подсказка 4

А второе решим с помощью оценки!

Показать ответ и решение

Раскроем скобки в правой части равенства.

2 √ - 2 √ - √- √- cosx + 3sin x= cosx − cosxsinx+ sinx + 3cosx− 3cosxsinx+ 3 sinx

Разложим выражение на множители:

(√3-sin2x+ √3cosx sinx)+(cos2x+ cosxsinx)− (1+ √3)(cosx+ sinx)= 0

(cosx+ sinx)(√3sin x+ cosx− 1− √3)= 0

[ c√osx+ sinx= 0 √- 3sinx+ cosx − 1− 3 =0

Первое уравнение решим методом вспомогательного угла:

√- √ - -2-cosx+ --2sinx =0 2 2

sin(x+ π)= 0 4

π x =− 4 + πk,k∈ ℤ

Второе — не имеет решений, так как $√- √- 3sinx+ cosx≤ 3+ 1.$ При этом равенство достигается только при $sin x= cosx= 1,$ что противоречит основному тригонометрическому тождеству.

Ответ:

$x =− π+ πk (k∈ ℤ) 4$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 122#90409Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

4 ( π) ( π) ( π ) ( π) cos x− cosx + 3 cosx − 3 = 2sin x+ 6 sin x− 6 .

Источники: ДВИ - 2023, вариант 233, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что нам больше всего не нравится в этом уравнении? Да как будто бы вообще всё, но давайте начнём с того, что понизим степень у косинуса. Конечно, произведения косинусов и синусов с разными аргументами нам совсем неудобны в работе... Подумайте, как от них можно избавиться!

Подсказка 2

После того, как мы понизили степень у косинуса и воспользовались формулами преобразования произведения в сумму, мы получаем квадратное уравнение относительно cos(2x). Решите данное уравнение и отсейте лишние корни!

Показать ответ и решение

Преобразуем произведение косинусов в сумму, а также воспользуемся формулой понижения степени.

(cos2x +1)2 1( 2π) π ---2--- − 2 cos2x +cos3- = cos3 − cos2x

2 (cos2x+-1) − 1cos2x + 1 − 1+ cos2x= 0 4 2 4 2

(cos2x+-1)2 + 1 cos2x− 1 =0 4 2 4

Сделаем замену $t= cos2x, t∈ [−1;1].$

(t+-1)2- 1 1 4 + 2t−4 = 0

t2+ 2t+1 +2t− 1= 0 ⇐ ⇒ t2+ 4t=0

t(t+4)= 0

Получаем следующие решения

[ t= 0 t= −4 не подходит под ограничения

Итого

π t= 0 ⇐⇒ cos2x =0 ⇐ ⇒ 2x= 2 + πn, n∈ ℤ

Ответ:

$π + πn, n ∈ℤ 4 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 123#101252Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство:

√ -2 (x ) -π- π π ( 1- ) (x ) 2 x arcsin 2 − 6x2 + 2 ≥ 3|x|− x2 − 3 arcsin 2 .

В ответ запишите сумму всех целых значений $x,$ удовлетворяющих этому неравенству.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание, что в неравенстве есть немало одинаковых частей. Быть может, попробуем разложить выражение на множители?

Подсказка 2

Отлично, тогда получится, что произведение двух скобок неотрицательно! Причем в одной из них — несложное тригонометрическое выражение, знаки которого рассмотреть несложно. Но что делать со вторым, в котором есть квадраты?

Подсказка 3

Приведите выражение во второй скобке в общему знаменателю, тогда знак знаменателя будет однозначно определён и решить будет несложно ;)

Показать ответ и решение

Перенесём всё влево и разложим на скобки:

( x π )( 1 ) arcsin2 − 6 2|x|+ x2 − 3 ≥ 0

1. Если

{ { arcsinx2 − π6 ≥0, ⇔ x ∈[1;2], 2 ⇔ x∈ [1;2]. 2|x|+ x12 − 3≥ 0 (2|x|+1)x(|2x|−1)-≥ 0

то цельми решениями являются 1 и 2.

2. Если

{ { arcsin x2 − π6 ≤ 0, ⇔ x∈ [− 2;1], 2 ⇔ x= ±1 2|x|+ 1x2 − 3 ≤0 (2|x|+1)(x2|x|−1)-≤ 0.

то целыми решениями являются -1 и 1.

Объединяя решения 1 и 2 случаев, получаем $x1 =− 1,x2 = 1,x3 =2$ . Их сумма равна 2.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 124#30792Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

4sin(3x−-π∕2) ---1--- ctg2x+ tg2x =sinxcosx.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $sinxcosx⁄= 0$

На ОДЗ уравнение равносильно

π 1 2 2sin(3x − 2)sin2x= tg2-x + tg x

При любых значениях переменной

-12--+tg2x≥ 2 tg x

2sin(3x− π)sin2x≤ 2 2

Поэтому уравнение равносильно системе

{ -1--+tg2x= 2 t2g2sixn(3x − π)sin 2x =2 2

{ tg2x =1 sin(3x− π2)= sin2x =±1

Кроме того, из $sin 2x =±1$ следует $1−tg2x cos2x= 1+tg2x =0$ следует $tg2x= 1$ , поэтому достаточно учесть только $π sin(3x −-2)=sin 2x =±1$ (причём ОДЗ тоже будет выполняться).

Итак, для $sin2x= sin(3x − π2)=1$ имеем $x= π4 +πn,x= π3 + 2π3k$ — легко видеть, что у этих серий нет общих решений.

Иначе же $x =− π4 + πn,x= 2πk3$ , данные серии также не имеют общих корней, потому решений нет.

Ответ: корней нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 125#30900Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение:

4|sinx|+ 2cos2x= 3.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Чтобы не рассматривать два случая раскрытия модуля, сделайте замену модуля синуса, а не самого синуса. Дальше нужно вспомнить формулу косинуса двойного угла :)

Подсказка 2

а² = |а|² -> пользуемся этим, чтобы решить уравнение относительно |sin(x)|

Показать ответ и решение

Так как

2 2 cos2x= 1− 2sin x= 1− 2|sin x|,

то после замены $t= |sinx|$ получаем уравнение

2 4t+2− 4t =3

(2t− 1)2 =0

t = 1 2

То есть $sin(x) =± 1 2$ , откуда и получаем ответ $± π+ πn,n∈ ℤ. 6$

Ответ:

$± π + πn,n ∈ℤ 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 126#30901Максимум баллов за задание: 7

Решите систему:

{ x+ y = π; sinx +sin y = 1.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выразим из первого уравнения х и подставим во второе.

Подсказка 2

Получились синусы смежных углов (у и 180 ° - y)… Что мы о них знаем?

Подсказка 3

Получив sinx, а затем х, подставим его в выражение для у, полученное в самом начале. Не забудьте аккуратно записать ответ с учётом суммы х и у

Показать ответ и решение

Из первого уравнения системы $siny =sin(π− x)= sinx$ . Тогда из второго уравнения системы $sinx = 1 2$ , так что $x= π +2πn 6$ или $5π- x = 6 +2πn$ . Осталось только обеспечить выполнение первого условия системы, что $x+ y = π$ .

Ответ:

${(π+ 2πn, 5π− 2πn) | n∈ ℤ } ∪ 6 6$

$5π π {( 6 + 2πk,6 − 2πk) | k∈ ℤ }$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 127#30902Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение:

sinx 5− 2sin x 4 + 2 = 18.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что 4^sin(x) = 2^(2sin(x)), а когда что-то повторяется, то что надо делать?

Подсказка 2

Да, можно сделать замену 4^sin(x) = t. Решаем квадратное уравнение относительно t и не забываем при обратной замене, что |sin(x)|≤1

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t=4sinx$ , откуда получим:

32 t+ t = 18

t=2 или t= 16

sinx sinx 4 =2 или 4 = 16

sinx = 1или sinx= 2 2

Второе, очевидно, не подходит по области значений. Тогда $sinx= 1 2$ , откуда и получаем ответ.

Ответ:

$π + 2πn,5π+ 2πn, n∈ ℤ 6 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 128#30903Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение:

sin(π4−x) 1+ 2tgx = 3⋅4 √2cosx

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Поработаем со степенью четверки: заметим формулу синуса разности, а потом просто поделим числитель на знаменатель!

Подсказка 2

В правой части должно получиться 3 * 2 ^ (1-tg(x)). Теперь замечаем повторяющуюся двойку в степени тангенса, а когда что-то повторяется, то настоящие работяги берут это и заменяют! А дальше - дело техники: решить квадратное уравнение и вернуться к обратной замене

Показать ответ и решение

Заметим, что

sin (π− x) √1cosx− √1sin x -√--4--- = -2--√----2----= 1−2tgx 2cosx 2cosx

Обозначим $2tgx$ через $y$ . Тогда наше уравнение примет вид

1+ y = 3⋅ 2⇐ ⇒ y2+y − 6 =0 y

y = 2 или y = −3.

С учётом $y > 0$ получаем

π y =2 ⇐⇒ tgx= 1⇐⇒ x = 4 + nπ,n∈ ℤ

Ответ:

$x = π+ nπ,n ∈Z 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 129#30904Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение:

(∘ ----√-)s1inx (∘ ----√-)s1inx 9+ 4 5 + 9− 4 5 = 174 .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Здесь у нас под корнями выражения вида a+b и a-b. Хм, а что интересного будет в их произведении?

Подсказка 2

Ого, получится 81-80=1, то есть эти подкоренные выражения - взаимно обратные числа! Тогда можно и сами слагаемые из условия обозначить как t и 1/t

Подсказка 3

Теперь просто решаем квадратное уравнение относительно замены (находим t), должны получиться корни 4 и 1/4. Как бы теперь дорешать до исходной переменной х?

Подсказка 4

А проверьте кое-что интересное: можно ли как-то хорошо преобразовать выражения под знаком корня? На самом деле можно выделить полный квадрат: 4 ± 2 * 2 * √5 + 5. Теперь надо как-то оценить полученное и понять, найдётся ли такой синус или нет

Показать ответ и решение

Заметим под корнем полный квадрат:

∘ ---√-- ∘-------√---- √ - 9± 4 5= 5 ±2⋅2⋅ 5+4 = 5±2,

а по формуле разности квадратов

√ - √ - ( 5− 2)( 5+ 2)= 1.

После замены $t= (√5+ 2)1∕sin(x)$ , получим:

t+ 1 = 17- t 4

1 t= 4 или t=4

(√5+ 2)s 1inx = 1или (√5 +2)s1inx = 4 4

Обратим внимание на то, что $√5 +2 >4$ , при этом область значений $s1inx$ это $(−∞, −1]∪[1,+∞ ).$

Если взять $sin1(x)$ из первого луча, то

(√5-+ 2)s1inx ≤(√5+ 2)− 1 < 1, 4

если же из второго, то

√- s1inx √- ( 5+ 2) ≥( 5 +2)> 4,

откуда оба полученных решения не подходят.

Ответ:

$x ∈∅$ (решений нет)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 130#30997Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 ∘----- 2sin x+ 1= 3 1+ y2.

Показать ответ и решение

2 2 ∘----2 ∘ ---2- sin x≤ 1=⇒ 2sin x+1 ≤3 1 +y ≥ 1=⇒ 3 1+y ≥ 3

Откуда оба выражения должны быть равны тройке, следовательно, $sin2x =1 ⇐⇒ cos2x =0$ и $∘1-+-y2-=1 ⇐⇒ y = 0$ .

Ответ:

$(x = π+ πn, y = 0),n ∈ℤ 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 131#31000Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

cos2x sin2x 3 − 3 = −2.

Показать ответ и решение

Перепишем уравнение:

cos2x sin2x cos2x --3-- cos2x 3 − 3 = −2⇐ ⇒ 3 −3cos2x =− 2=⇒ t= 3

√- =⇒ t2+ 2t− 3 =0 t=− 1± 4= 1,− 3

Поскольку $t> 0$ , то имеем $cos2x 0 2 t =3 ⇐= cos x= 0$ , откуда и получаем ответ.

Ответ:

$x = π+ πn,n ∈ℤ 2$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 132#31029Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение:

-x x- x- -x x- 1- cosπ31 cos2π31cos4π 31 cos8π31cos16π 31 = 32.

Подсказки к задаче

Подсказка

Домножить на синус аргумента первого косинуса

Показать ответ и решение

Пусть $sinπx= 0⇐ ⇒ x= 31k,k∈ ℤ 31$ , тогда $cos(N ⋅ πx)= ±1 31$ для любого $N ∈ ℤ$ , откуда произведение косинусов не может равняться $1- 32$ . Тогда $πx sin31 ⁄= 0$ , домножим на него обе части, а затем исключим эту серию (1). По формуле двойного угла получим:

sin 32πx- 1 32πx πx πx 33πx 32⋅s3in1πx-= 32 ⇐ ⇒ sin-31-− sin 31-= 0⇐⇒ 2sin-2 cos-62-= 0 31

Тогда $π2x= πn, 336πx2-= π2 + πn$ , с учётом (1) имеем ответ.

Ответ:

${2n;n∈ ℤ}∪{31+ 62n;n ∈ℤ} ∖{31k;k∈ ℤ} 33 33$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 133#31030Максимум баллов за задание: 7

Вычислите

∘ ∘ ∘ tg 20 ⋅tg40 ⋅tg80 .

Подсказки к задаче

Подсказка

Домножить на синус аргумента первого тангенса

Показать ответ и решение

∘ ∘ ∘ -sin20∘sin40∘sin80∘ tg20tg40 tg80 =cos20∘cos40∘cos80∘

Домножим обе части на $∘ 8sin20$ , получим:

8sin220∘sin 40∘sin 80∘ -----sin160∘------=4 sin20∘ ⋅2sin40∘sin80∘ =4sin 20∘(cos40∘− cos120∘)=

√- = 2(sin 60∘− sin20∘)+2sin20∘ =2 ⋅-3= √3. 2

Ответ:

$√3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 134#31039Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

sin x+sin 2x +sin 3x +sin 4x =0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметьте, что х+4х = 2х+3х. Можно сгруппировать синусы этих углов и применить формулу суммы синусов

Подсказка 2

Отлично, получился общий множитель, который вынесли за скобку, осталась сумма косинусов, которую мы тоже разложим на множители. Осталось дорешать простенькие уравнения из условия, что произведение всех множителей равно нулю!

Показать ответ и решение

По формулам

5x 3x 5x x (sin x+ sin4x)+(sin2x+ sin3x)=2 sin-2 cos2-+ 2sin-2 cos2 =

5x 3x x 5x x = 2sin 2-(cos2-+ cos-2)=4sin2-cosxcos-2

Тогда уравнение равносильно совокупности

⌊ sin 5x2-= 0 |⌈ cosx= 0 cosx2 = 0

Что равносильно

⌊ 2 | x= 5ππk,k ∈ℤ ⌈ x= 2 + πk,k∈ℤ x= 2(π2 +πk)= π+ 2πk,k ∈ℤ

Ответ:

$2πk;π +πk;π+ 2πk; k∈ ℤ 5 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 135#31040Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

sinxsin 3x +sin 4x sin8x= 0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Произведение двух синусов преобразовывается в разность двух косинусов. Примените это!

Подсказка 2

Парочку косинусов ушло и снова получили разность двух косинусов, равную нулю. Применяем ту же формулу в другую сторону!

Показать ответ и решение

По формулам

2sinxsin3x+2 sin4xsin8x= cos2x− cos4x +cos4x − cos12x =

= cos2x − cos12x =2sin 7x sin5x

Тогда уравнение равносильно совокупности

[ sin 7x =0 sin 5x =0

В итоге получаем

[ x= πk7 ,k∈ ℤ x= πk5 ,k∈ ℤ

Ответ:

$πk;πk; k∈ℤ 7 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 136#31041Максимум баллов за задание: 7

Найдите значение выражения:

2cos40∘−-cos20∘ sin20∘

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Разложим 2cos(40°) как cos(40°)+cos(40°) и используем формулу разности косинусов в числителе.

Подсказка 2

В числителе должно получиться cos(40°) - sin(10°). У нас нет явной формулы cos(x) - sin(y), но зато есть формула разности косинусов. Что же делать? Преобразуем синус в косинус!

Показать ответ и решение

По формулам

2cos40∘−-cos20∘ cos40∘− 2sin-30∘sin-10∘ cos40∘−-sin10∘- sin20∘ = sin20∘ = sin20∘ =

cos40∘− cos80∘ − 2sin60∘ sin(−20∘) √- = ---sin20∘----= -----sin20∘-----= 2sin60∘ = 3

Ответ:

$√3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 137#31192Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 2 2 sin x+3x cosx+ 3x =0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1.

Заметим, что сумма чисел должна быть равна нулю, но, например, sin²(x) всегда ≥ 0. Тогда посмотрим на вторую часть выражения, это 3x²(cos(x) + 1). Как можно было бы ее оценить?

Подсказка 2.

Хотелось бы, конечно, чтобы она тоже оказалась ≥ 0. Как бы это доказать. 3x² точно ≥ 0, ну и cos(x) + 1 тоже, ведь cos ∈ [-1, 1]. Что теперь нам дают такие оценки?

Подсказка 3.

Если сумма двух неотрицательных чисел равна нулю, то каждое из них равно нулю! Осталось приравнять и технически выяснить, какие же тут решения ;)

Показать ответ и решение

Так как

(| sin2x≥ 0 { x2 ≥0 |( 1+cosx≥ 0

то $sin2x+ 3x2(cosx +1)≥ 0$ при любом значении $x$ . Равенство же достигается тогда и только тогда, когда

{ sin2x= 0 x2(1+ cosx) =0

Первое уравнение этой системы является следствием второго, ведь при $x= 0$ верно $sinx= 0$ , а при $cosx= −1$ это тоже верно в силу основного тригонометрического тождества.

Так что система равносильна

x2(1+cosx)=0.

В итоге $x= 0$ или $x = π+2πn,n∈ ℤ$ .

Ответ:

${0}∪{π +2πn,n∈ ℤ}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 138#31196Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

4 4 2 2 2 tg x+ tg y+2 ctg xctg y =3+ sin (x +y).

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Квадрат синуса в правой части точно не больше единицы, так что вся правая часть не больше четырёх. Наша цель будет доказать, что левая часть не меньше четырёх

Подсказка 2

Заметим, что тангенсы и котангенсы хорошо сокращаются в произведении, а сумму и произведение неотрицательных чисел хорошо связывает неравенство о средних.

Показать ответ и решение

Заметим, что $3+sin2(x+ y)≤4,$ а по неравенству о средних

4 4 2 2 tg x+ tgy +2ctg xctg y ≥

2 2 2 2 ≥ 2tg xtg y+ 2ctg xctgy ≥

≥ 4∘tg2-xtg2yctg2xctg2y = 4

Значит, равенство может выполняться только при $sin2(x +y)= 1$ и

tg4x= tg4y = ctg2xctg2y =tg2xtg2y = 1

tg2x= tg2y = 1

π πk π πn x= 4 + 2-, y = 4 + 2-,n,k ∈ℤ

При этих значениях

( ) sin2(x+ y) =sin2 π+ π(n+-k) = 1 2 2

тогда и только тогда, когда $n+ k$ является чётным.

Ответ:

( $π+ πk 4 2$ ; $π + πn 4 2$ ), где $n$ и $k$ это любые целые числа одинаковой чётности

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 139#31384Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $(sinx +cosx)4 = 5− sin2x.$

Показать ответ и решение

Оценим левую часть с помощью метода вспомогательного угла:

4 √- π 4 4 π (sinx+ cosx) = ( 2⋅sin(x + 4)) = 4sin (x + 4)≤ 4.

Также нетрудно понять, что правая часть не меньше четырёх, тогда равенство возможно тогда и только тогда, когда справедлива следующая система:

{ 4 π { π 4sin(x+ 4)= 4 ⇔ cos(x+ 4)= 0 5− sin 2x = 4 sin2x= 1

Оба уравнения системы дают одну и ту же серию решений $π 4 + πn,n∈ ℤ$ , значит, она является решением исходного уравнения.

Ответ:

$π + πn,n ∈ℤ 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 140#31389Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

√- 2( π) sinx+ 3cosx= 2+ 3cos 2x+ 6

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что слева у нас имеется сумма синуса и косинуса с довольно удачными коэффициентами 1 и √3. Разделим все выражение на 2 и заметим, что коэффициенты превратятся в 1/2 и √3/2 - синус и косинус П/3. Тогда воспользуемся этим и свернем выражение слева в синус суммы!

Подсказка 2

Получили, что синус равен сумме 1 и квадрата косинуса.... Подозрительно, не правда ли? Нечасто такое случается, наверное!

Показать ответ и решение

Поделим обе части на $2$ и применим к левой метод вспомогательного угла: