Тема АЛГЕБРА

Тригонометрия

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Тригонометрия

Преобразования тригонометрических выражений

Базовые уравнения

Сведение тригонометрических уравнений к квадратным

Формулы в тригонометрических уравнениях

Системы в тригонометрии

Тригонометрические неравенства

Оценки в тригонометрии

Метод вспомогательного аргумента (доп. угла)

Арктрига (аркфункции - обратные тригоном. функции)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 141#31390Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

√ - 7 2sinx+ cosx = 4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что в левой части равенства есть сумма синуса и косинуса с коэффициентами 1 и √2. Для того, чтобы воспользоваться методом вспомогательного угла, нам необходимо сделать эти коэффициенты равными синусу и косинусу некоторого угла. А это значит, что для них должно выполниться тригонометрическое тождество. Например, можно поделить все выражение на √3

Подсказка 2

Не пугаемся таких странных косинуса и синуса - можно использовать arcos(...) для удобства записи. Получим, что синус суммы равен какому-то числу. Время для оценки?

Показать ответ и решение

Поделим уравнение на $√3$ и применим к левой части метод вспомогательного угла:

∘-2 7 sin(x+ arccos( 3))= 4√3-

Нетрудно понять, что правая часть строго больше единицы, так как $49> 16⋅3$ , а левая не превосходит единицы, значит, решений быть не может.

Ответ:

таких $x$ нет

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 142#31391Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

3sinx +4cos3x cosx+ 2sin5x =7

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте перобразуем два первых слагаемых в левой части и попробуем сделать перед синусом и косинусом коэффициенты такие, чтобы для них выполнялось тригонометрическое тождество. А затем воспользуемся методом вспомогательного угла.

Подсказка 2

Например, это можно сделать так - разделив на корень из суммы квадратов коэффициентов, которая в нашем случае равна: √(9+ 16cos^2(3x))
Затем попробуйте свернуть по формуле вспомогательного угла

Подсказка 3

Получился синус суммы на страшный коэффициент! 2sin(5x) легко оценятся двойкой, давайте попробуем оценить нашу сумму двух первых слагаемых тогда пятеркой! (7-2)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Преобразуем два первых слагаемых в левой части с помощью метода вспомогательного угла и оценим их:

∘ ----------- ( ( 3 ) ) ∘ ----------- √----- 3sin(x)+ 4cos(3x)cos(x)= 9+16cos2(3x)sin x+ arccos ∘9-+16cos2(3x) ≤ 9+ 16cos2(3x)≤ 9+ 16 =5

А $2sin(5x)$ не превосходит $2$ , значит, вся сумма слева не больше $7$ . Следовательно, равенство возможно тогда и только тогда, когда справедлива следующая система:

(|| cos2(3x)=1 (| |||{ ( ( )) |||{ sin(3x)= 0 | sin x+ arccos √9+136cos2(3x) =1 ⇐⇒ | sin(x+ arccos(35))= 1 ||||( |||( sin(5x)=1 sin(5x)= 1

Со вторым уравнением работать не хочется, давайте решим сначала первое и третье. Первое уравнение системы имеет решения $πk x= 3$ , третье — $x = π-+ 2πn 10 5$ , где $n,k∈ℤ$ . Тогда получаем $30x =10k= 3+ 12n π$ . Но $10k− 12n$ делится на $2$ , а на $3$ не делится, так что таких целых чисел $n$ и $k$ не существует. Значит, система, также как и исходное уравнение, не имеет решений.

Второе решение.

По неравенству Коши-Буняковского

(3⋅sinx+ 4cos3x⋅cosx)2 ≤(32+(4cos3x)2)⋅(sin2x+ cos2x)≤ 32+42 =25

Отсюда можно получить оценку на левую часть уравнения:

√ -- 3sinx +4cos3xcosx+ 2sin5x ≤ 25 +2sin 5x ≤5 +2= 7

Для того, чтобы достигалось равенство (исходя из уравнения), должно

1) Достигаться равенство в неравенстве Коши-Буняковского $⇐ ⇒ sinx= k⋅3,cosx= k⋅4cos3x;$

2) Достигаться равенство в оценке на квадрат косинуса $⇐⇒ cos3x =±1;$

3) Достигаться равенство в оценке на синус: $sin5x= 1.$

Из условий (2) и (3) получаем, что $cos2x= 0 ⇐⇒ cosx= ± sinx$ , а из первого: $sin x⋅4cos3x= 3⋅cosx$ . Отсюда приходим к уравнению $cos3x =± 3, 4$ которое противоречит условию (2).

Ответ:

таких $x$ нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 143#31393Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

3 cosx +cosy− cos(x +y)= 2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раскроем косинус суммы. Давайте перенесем 3 в левую часть и попробуем оценить появившееся выражение. Для этого нам пригодится формула:
sin² x+ sin²y− 2sinxsiny ≥ 0
Попробуйте использовать ее в оценке

Подсказка 2

sin² x это 1 - cos² x. Давайте заменим их. И тогда у нас будет оценка через cos² x, cos² у на 2sinxsiny. Подставим ее в наше выражение.

Подсказка 3

Очень хочется сделать какую-то оценку в левой части выражения, попробовать склеить его в произведение множителей. Вообще, было бы полезно доказывать, что левая часть либо неотрицательна, либо неположительна. Из этого бы следовало, что она обязательно равна нулю (по условию)!

Показать ответ и решение

По формуле косинуса суммы уравнение равносильно

2cosx+ 2cosy− 2cosx cosy+ 2sinxsiny− 3=0.

Так как

2 2 sin x+ sin y− 2sinxsiny ≥ 0,

то левая часть не превосходит

2cosx +2cosy− 2cosxcosy+ 1− cos2x+ 1− cos2y− 3 =

= −(cos2x+ cos2y+ (−1)2+ 2cosxcosy− 2cosx⋅1− 2 cosy⋅1)= −(cosx+ cosy− 1)2,

так что она неположительна. При этом в силу уравнения левая часть должна быть равна нулю.

Это возможно тогда и только тогда, когда в обоих неравенствах на полный квадрат достигается равенство нулю.

То есть $sin2x+ sin2y = 2sinxsiny$ и $cosx +cosy = 1$ . Из этих двух условий следует, что $cosx= cosy = 12$ .

Значит, $x= ±π3 +2πk,k∈ ℤ$ и $y = ±π3 +2πn,n∈ ℤ$ .

Осталось учесть $cos(x +y)= − 12$ .

Значит, если $x = π3 + 2πk,k ∈ℤ$ , то $y = π3 + 2πn,n ∈ℤ$ , а если $x =− π3 + 2πk,k ∈ℤ$ , то $y =− π3 + 2πn,n∈ ℤ$ .

Ответ:

( $π +2πk 3$ ; $π +2πn 3$ ), ( $− π+ 2πk 3$ ; $− π+ 2πn 3$ ), $n,k∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 144#31970Максимум баллов за задание: 7

Решите систему

{ cos(x− y)=2cos(x+ y); cosx cosy = 3. 4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если косинусы суммы и разности выглядят приятно, то ненулевое произведение косинусов - нет. Хочется что-то с ним сделать, а первое уравнение нам намекает на то, как стоит работать) Подумаем, что же можно сделать с произведением косинусов? В каких формулах оно возникает?

Подсказка 2

Можно заменить cos(x)cos(y) на с 1/2(cos(x-y) + cos(x-y))! Тогда уже имеем систему, в которой несложно найти cos(x+y) и cos(x-y). Далее можно будет найти x+y и x-y, а после - x и y :)

Показать ответ и решение

Мы знаем, что $cosx cosy = 1(cos(x+ y)+ cos(x− y)) 2$ . Значит, наша система принимает вид

{ cos(x− y)=2cos(x +y), { cos(x− y)= 1 { x− y = 2πn cos(x+ y)+cos(x− y)= 3 ⇐⇒ cos(x+y)= 1 ⇐⇒ x+ y = ±π +2πk 2 2 3

Откуда, складывая и вычитая уравнения, получаем ответ.

Ответ:

$(±π +(n+ k)π;± π+ (n − k)π),k,n∈ ℤ 6 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 145#31971Максимум баллов за задание: 7

Решите систему

{ √2sin x= 1− siny; √2cosx= cosy.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Наличие sin(x) и cos(x), а так же выражение 1 - sin(y) намекает на тождество, которое хотелось бы использовать) На какое?

Подсказка 2

На основное тригонометрическое тождество! Но, чтобы им воспользоваться, необходимо возвести всё в квадрат! Далее можно попробовать избавиться от sin(x) и cos(x), найти значения тригонометрических функций от y, и, подставив в систему, найти значения тригонометрических функций от x! Остается лишь подставить в систему и согласовать x и y)

Показать ответ и решение

Возведем в квадрат оба уравнения и сложим их.

2= 1− 2siny+ 1

Значит, $siny =0$ , тогда из системы получаем $sin x= 1√- 2$ .

Если $y =2πn,n∈ ℤ$ , то $cosx= √1 2$ и тогда $x= π +2πk,k∈ ℤ 4$ .
Если $y =2πn +π,n∈ ℤ$ , то $√1- cosx= − 2$ и тогда $3π x= 4 +2πk,k∈ℤ$ .

Ответ:

$(π∕4+2πk,2πn),(3π∕4+ 2πk,2πn +π), n,k∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 146#31974Максимум баллов за задание: 7

Решите систему

{ cosx cosy = − 1; tgy = ctgx. 4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Учитывая первое уравнение системы, кажется, что во втором уравнении тоже следует перейти к синусам и косинусам, раскрыв тангенс и котангенс по определению! После преобразований там может возникнуть уже известное нам выражение...

Подсказка 2

Конечно, во втором уравнении стоит получить равенство произведений двух синусов и двух косинусов, ведь произведение двух косинусов мы уже знаем! Тогда можно и произведение двух синусов найти и перейти к новой системе, в которой будут уже найденные произведения синусов и косинусов. Но вот будет ли она равносильна изначальной?

Подсказка 3

Оказывается, что да! Действительно, посмотрите на ОДЗ, которая задаётся тангенсом и котангенсом, и на новую систему :) Как же теперь решать эту систему? Ну, там заметны выражения, которые напоминают косинус суммы/разности. Тогда что можно сделать с уравнениями?

Подсказка 4

Правильно, сложить и вычесть их, тогда получим как раз косинусы суммы и разности! Остаётся только перейти к уравнениям для x+y и x-y и решить уже линейную систему)

Показать ответ и решение

Запомнив, что ОДЗ состоит из таких пар $(x,y)$ , что $cosy ⁄=$ $0,sinx⁄= 0$ , преобразуем второе уравнение к виду $sinxsin y = cosxcosy.$ Значит, наша система сводится к следующей (а из неё, кстати, видно, что проверка ОДЗ не нужна, так как из первого уравнения следует, что $cosx⁄= 0$ , а из второго - что $sinx ⁄=0)$ , так что система получается равносильная):

{ 1 { 1 { 2π- cosxcosy = −41, ⇐⇒ cos(x − y)= −2, ⇐⇒ x − y = ±π 3 +2πk, sinxsiny = − 4 cos(x +y)= 0. x +y = 2 +πn

Откуда и получаем ответ (для получения $x$ можно сложить уравнения и поделить на $2$ , для $y$ - вычесть и поделить на $2$ ).

Ответ:

$(π ± π +(n + k)π;π ∓ π+ (n− k)π), n,k ∈ℤ 4 3 2 4 3 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 147#31975Максимум баллов за задание: 7

Решите систему

{ cosx +cosy = 1; sinxsiny = 3. 4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, в первом уравнении сумма косинусов, а во втором — произведение синусов( Связать их не очень просто, но, может быть, получится во втором уравнении перейти к косинусам, если возвести его в квадрат. Тогда там, возможно, образуется что-то уже более похожее на первое уравнение!

Подсказка 2

Действительно, при возведении второго уравнения в квадрат, использовании основного тригонометрического тождества и раскрытии скобок там вылазит единичка, которую можно заменить на левую часть первого уравнения! А дальше пару классных сокращений, и получим уравнение, которое уже можно решить!

Подсказка 3

Конечно, делаем замену и решаем квадратное уравнение. Только надо не забыть сделать ограничение на новую переменную! После решения уравнения мы будем знать сумму косинусов и их произведение, а такая система уже решается легко!

Показать ответ и решение

Возведем второе уравнение в квадрат.

2 2 2 2 2 2 9- (1− cos x)(1− cosy)= 1− cos y− cos x+ cos xcosy = 16

Теперь учтём первое уравнение, подставим:

9 (cosx+ cosy)2− cos2y− cos2x+ cos2xcos2y = 16

2cosxcosy+ cos2x cos2y = 9 16

Пусть $t =cosxcosy$ . Тогда $t2+2t− 916 = (t− 14)(t+ 94)= 0$ . Так как $t= cosxcosy$ , то $|t|≤1$ . Тогда $t= cosx cosy = 14$ . Учитывая первое уравнение системы, по обратной теореме Виета $cosx$ и $cosy$ — корни уравнения $z2− z+ 14 = (z− 12)2 =0$ . Тогда $cosx= cosy = 12$ и $x= ±π3 +2πn,n∈ ℤ$ .

Если $x = π3 + 2πn,n ∈ℤ$ , то $√- siny =-32$ и $y = π3 + 2πk,k∈ ℤ$ .
Если $x = − π3 + 2πn,n∈ ℤ$ , то $- siny =− √23$ и $y = − π3 + 2πk,k∈ ℤ$ .

Ответ:

$(±π∕3+ 2πn,±π∕3+ 2πk), n,k ∈ℤ$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 148#32321Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений

{ |sin3x|=− √2siny; cos2y+ 2cos2x sin22x = 3. 4

Показать ответ и решение

С учётом $siny ≤0$ из первого имеем $sin23x= 2sin2y$ , тогда для второго

2 2 2 3 1− 2sin y+ 2cos2x sin 2x =1 − sin 3x+ sin4xsin2x = 4 =⇒

3 1 2cos23x+ 2sin4xsin2x =1 +cos6x +cos2x− cos6x= 2 =⇒ cos2x= 2

Или $x= ± π6 + πn=⇒ |sin3x|= 1=⇒ siny = − 1√2$ и $y = − π4 +2πk$ или $y = − 3π4 +2πk$ .

Ответ:

${(±π +πn,− π+ 2πk),(±π +πn,− 3π-+2πk), k,n∈ ℤ} 6 4 6 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 149#32700Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $sin4xsinx− sin3xsin 2x = 1cos3x+ √1-+cosx 2$ .

Показать ответ и решение

Применим формулу произведения синусов для левой части, получим

1 1 √------- 2(cos3x− cos5x− cosx +cos5x)= 2 cos3x+ 1+ cosx

Тогда $1 √ ------- − 2cosx = 1+ cosx$ , что равносильно системе: $cosx ≤0$ и

1 √- 4cos2x= 1+cosx⇐ ⇒ cos2x− 4cosx − 4= 0⇐ ⇒ cosx =2 ±2 2

Откуда подходит только $√- cosx =2 − 2 2$ , так что $√ - x =± arccos(2− 2 2)+2πn,n∈ ℤ$ .

Ответ:

$±arccos(2− 2√2)+ 2πn,n∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 150#32985Максимум баллов за задание: 7

Найдите значения выражения

∘ ∘ ∘ ∘ tg1 ⋅tg2 ⋅...⋅tg 88 ⋅tg89

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Правда ли, что tg(α)*ctg(α) = 1? Естественно, правда. Только, правда, пока что здесь не видно подобных связок. Но что, если начать группировать первый с последним, второй с предпоследним и тд?

Подсказка 2

Конечно, tg(89°)=ctg(1°), а tg(1°)*ctg(1°) = 1, ура, классно зателескопили! Правда, один момент мы не учли. Он в серединке всего этого выражения. Когда его учтем, тогда задача и будет решена.

Показать ответ и решение

Распишем как частное синуса и косинуса и применим формулу приведения
$∘ sin(90 − α)=cosα$ :

sin1∘⋅sin2∘⋅...⋅sin89∘ cos89∘⋅cos88∘⋅...⋅cos1∘ cos1∘⋅cos2∘⋅...⋅cos89∘-= cos1∘-⋅cos2∘⋅...⋅cos89∘-=1.

Ответ:

$1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 151#33099Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

√ - (sinx − 3cosx)sin3x= 2.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрим на это уравнение. Первое, что как-будто бы нас смущает, это скобка с синусом и косинусом. Ее сразу хочется преобразовать. Это же, по сути, неоднородное тригонометрическое уравнение(если приравнять эту скобку к 1, к примеру, или к другой константе). А как мы привыкли их решать? Может здесь также получится?

Подсказка 2

Да, можно свернуть эту скобку(перед этим поделив все уравнение на 2=sqrt(1^2+sqrt^2(3)) ) в sin(x-pi/3). Произведение двух синусов равно 1, хмм… А что это дает? Что можно теперь сказать?

Подсказка 3

Если произведение синусов равно 1, так как каждый модуль каждого синуса не больше 1, то либо оба синуса равны 1, либо оба -1. Остаётся решить эту систему(желательно отмечая точки на круге по каждому уравнению, для наглядности) и получить ответ.

Показать ответ и решение

Поделим обе части на $2$ :

( 1 √3 ) ( π) 2sinx − 2-cosx sin3x =1 ⇔ sin x− 3 sin3x= 1

В силу ограниченности синуса имеем $|1|= |sin (x − π) sin3x|≤ 1 3$ , то есть в итоге $1 ≤1$ . Но так как $1= 1$ , то в неравенствах на модуль синуса должны достигаться равенства, а это возможно лишь в двух случаях:

$sin3x= 1⇔ x= π + 2πn,n∈ ℤ 6 3$ и при этом $sin(x− π)= 1⇔ x = 5π +2πk,k∈ ℤ 3 6$ . В пересечении получим вторую серию, ведь первая серия содержит вторую.
$π 2πn sin3x= −1⇔ x =− 6 + 3 ,n∈ ℤ$ и при этом $( π) π sin x− 3 = −1⇔ x= −6 +2πk,k∈ℤ$ . В пересечении получим вторую серию, ведь первая серия содержит вторую.

Ответ:

$− π + πk, k∈ ℤ 6$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 152#33521Максимум баллов за задание: 7

При каждом значении параметра $a∈ [−2;2]$ решите уравнение

|x− a− 1|+ |x − a|= sinx.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим сразу же ограничение на правую часть, тогда что можем сказать про левую часть? Само по себе ограничение на левую часть нам ничего не даст, но что будет, если вынесем “-” в одном из модулей и пристально посмотрим на эти модули?

Подсказка 2

Верно, по неравенству треугольника получим, что сумма модулей вовсе будет равна 1! А значит мы можем получить решение как и для левой части уравнения, так и для правой части. Останется лишь применить условие про значения а и найти решение при каждом а!

Показать ответ и решение

Запишем первое подмодульное с другим знаком, от этого уравнение из условия не поменяется $|1− (x− a)|+ |x − a|= sinx$ . Заметим, что правая часть не больше единицы, поэтому и левая часть должна быть не больше единицы. Но по неравенству треугольника $|1− (x− a)|+ |x − a|≥ |1− (x− a)+ (x− a)|= 1$ . Значит, левая часть должна быть в точности равна единице, то есть $|1− (x− a)|+ |x − a|= 1 ⇐⇒ 1− (x− a)≥ 0 и x − a ≥0 ⇐⇒ a≤ x≤ a+ 1$ . Cоответственно единице должна быть равна и правая часть уравнения, то есть $π sinx= 1 ⇐⇒ x= 2 +2πk,k∈ℤ$ .

Вспомним условие, что $− 2 ≤a ≤2$ , и оценим, каким может быть $k$ .

Если $k≥ 1$ , то $π x≥ 2 + 2π > 4> a+ 1$ , что не соответствует $a≤ x≤ a+1$ .

Если $k≤ −1$ , то $π x≤ 2 − 2π <−4 <a$ , что не соответствует $a ≤x ≤a+ 1$ .

Значит, может быть только $k= 0$ , соответственно $π x =-2$ . Только такое решение может быть при $− 2 ≤a ≤2$ . И при этом всё равно оно является решением для тех значений параметра, чтобы $0 ≤x− a≤ 1$ , то есть $π π − 2 = x− 1≤ a≤ x= 2$ . Осталось проверить, что $[π2 − 1$ ; $π2]$ принадлежит отрезку $[−2;2]$ и записать ответ.

Ответ:

при $a ∈$ [ $π− 1 2$ ; $π 2$ ] $x= π 2$ ;

при $π π a∈ [−2;2 − 1)∪(2;2]$ решений нет.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 153#34668Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

√--------------- √- 5 − 2sin x+3 cos2x= 2 3cosx.

Показать ответ и решение

При $cosx< 0$ уравнение не имеет решений, а при $cosx≥ 0$ получаем

2 5− 2sinx +3cos2x= 12 cos x

5− 2sinx +3− 6sin2x =12− 12sin2x

3sin2x− sinx− 2= 0 ⇐⇒ sinx= 1±-5 ⇐ ⇒ sinx = − 2 или sinx =1 6 3

В первом случае под условие $cosx ≥0$ подходит только $x= − arcsin2+ 2πn,n ∈ℤ 3$ , а во втором случае $x= π +2πn,n∈ ℤ 2$ подходит под ограничение $cosx≥ 0$ , потому что при таких значениях $x$ косинус равен нулю.

Ответ:

$− arcsin 2+ 2πn,π+ 2πn, n∈ ℤ 3 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 154#34723Максимум баллов за задание: 7

Докажите равенство:

1 1 π arctg1+ arctg 2 + arctg3 = 2 .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Конечно, равенство можно доказать без помощи геометрии (одно из слагаемых мы можем непосредственно посчитать – остаётся лишь найти сумму двух углов, чьи тангенсы мы знаем), но ведь явно тут есть и красивая геометрическая интерпретация! Попробуйте придумать конструкцию, в которой бы нам встретились прямоугольные треугольники с углами arctg(1/2) и arctg(1/3)

Подсказка 2

Раз мы хотим, чтобы сумма трёх углов была равна 90 градусов, то хорошей мыслью будет от прямого угла отложить какие-то два угла + доказать, что третий будет тот самый из нашей суммы. Попробуйте провернуть такое в рамках прямоугольника! Выберите удобные стороны и отсеките прямоугольные треугольники с углами arctg(1/2) и arctg(1/3), как раз отложив такие углы от одного из прямых углов прямоугольника

Подсказка 3

Остаётся лишь доказать, что третий угол равен 45 градусам! У нас есть углы 90, а мы хотим 45 – где-то рядом мог притаиться равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдите его, и задача убита!

Показать доказательство

Первое решение.

$PIC$

Отложим на оси координат от точки $D$ с координатами $(2;0)$ отрезок длины $2$ влево, длины $1$ вверх и длины $3$ вправо. Тогда $1 1 ∠BAD =arctg 2,∠BCD =arctg3.$ В треугольнике $ABC$ по теореме косинусов $2 √- √-- 5 =5 +10− 2⋅ 5⋅ 10⋅cosABC.$ Тогда $√2- π cosABC = −-2 =⇒ ∠ABC =π −4$ . По теореме о сумме углов в треугольнике получаем, что $1 1 π arctg2 +arctg3 = 4$ , откуда следует $1 1 π arctg1 +arctg2 +arctg3 = 2.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Сначала заметим, что $arctg 1= π4$ . Кроме того, $arctg 12 + arctg 13 ∈ (0,π)$ из-за области определения каждого арктангенса из суммы. По формуле тангенса суммы

( ) 1 1 tg arctg 1+ arctg 1 =-2 +131-=1 =⇒ arctg 1 +arctg 1 = π 2 3 1− 2 ⋅3 2 3 4

Поскольку угол лежит на промежутке $(0,π)$ , то это единственное возможное значение. Отсюда сумма из условия равна $π π π 4 + 4 = 2$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Третье решение. Рассмотрим прямоугольник $ABDC$ со сторонами $2$ и $3$ и построим из точки $A$ лучи с нужными тангенсами:

$PIC$

Заметим, что $1 ∠EAB = arctg3$ и $1 ∠CAF = arctg2$ , то есть осталось доказать, что $∠F AE =45∘ = arctg1$ (поскольку сумма всех трёх равна $90∘$ ). Но $AF2+ FE2 =10 =AE2$ , так что по обратной теореме Пифагора $∠AFE =90∘$ , причём $△AF E$ равнобедренный прямоугольный, откуда и следует нужное равенство.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 155#36671Максимум баллов за задание: 7

Докажите равенство:

∘ ∘ ctg30 + ctg75 = 2.

Показать доказательство

Первое решение.

∘ ∘ cos30∘ cos(45∘+30∘) ctg30 +ctg75 = sin30∘ + sin(45∘-+30∘) =

√ - √ - √- √- = √3+ √-6−√-2= 3+--3√-+-3-− 1 =2. 6+ 2 3+ 1

Второе решение.

$PIC$

Рассмотрим треугольник $ABC$ , в котором $∘ ∠A= ∠C = 75$ и $∘ ∠B = 30$ . Проведём высоту $CH$ , получим прямоугольный $△BAH$ с углом $∘ 30$ , откуда $1 1 AH = 2AB = 2BC$ . С другой стороны, из прямоугольных $△ACH$ и $△BAH$ имеем $∘ ∘ ∘ ∘ BC = BH + HC = AHctg75 +AH ctg30 =AH (ctg75 + ctg30)= 2AH$ , откуда и следует требуемое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 156#36694Максимум баллов за задание: 7

Вычислите:

(a) $( ) arctg tg 7π4$ ;

(b) $- cos(arcctg(− √3))$ ;

Подсказки к задаче

Подсказка а)

Арктангенс от тангенса это не тот же самый угол, что в аргументе стоит, но такой, что он находится путем прибавления или вычитания целого количества периодов тангенса до тех пор, пока он не попадет в интервал от -π/2 до π/2.

Подсказка 1 b)

Обозначим arсctg(-√3) за α, тогда нам нужно найти сos(α). При этом α ещё лежит в пределах (0; π) => мы знаем ctg(α), с помощью которого можем выразить и сам сos(α). Хм, α от 0 до π, что тогда мы можем сказать про синус этого угла?

Подсказка 2 b)

Именно, sin(α) > 0, а значит мы запросто находим знак cos(α). Осталось грамотно выразить cos(α) через ctg(α). Вспоминаем основное тригонометрическое тождество (ОТТ). Нам нужно, чтобы в записи получился ctg(α), это получится сделать, если мы поделим ОТТ на sin²(α). Теперь мы знаем всё для того, чтобы найти cos(α) :)

Подсказка 1 с)

Обозначим arcsin(1/2) за α. Тогда надо найти ctg(2α), причем теперь мы знаем, что sin(α) = 1/2, а что вы можете сказать тогда про cos(α)?

Подсказка 2 с)

Верно, cos(α) > 0 (посмотрите на область значений арксинуса), а значит cos(α) явно считается через sin(α). А ctg(2α) находится как cos(2α)/sin(2α). Теперь остается просто выразить синусы/косинусы двойных углов через уже известные функции одинарных :)

Показать ответ и решение

(a) $( 7π) ( π π) arctg tg4- ∈ − 2;2$ и при этом

( 7π) 7π arctg tg-4 = 4-+ πk

для какого-то $k ∈ℤ$ . Отсюда получаем

( ) arctg tg 7π =− π 4 4

(b) Пусть $√- α = arcctg(− 3)$ . Из области значений арккотангенса $α ∈(0,π)$ и $ctgα< 0$ , откуда $sinα> 0$ и $cosα< 0$ . Тогда

cosα √ - ctgα= √1-− cos2α = − 3

cos2α= 3(1− cos2α)

Отсюда $cos2α = 34$ и $√- cosα = −-32 <0$ .

√- sin2α= 2sinα cosα = -3- 2

cos2α= 2cos2α − 1 = 1 =⇒ ctg2α= √1- 2 3

Замечание. Нетрудно видеть, что во втором пункте $5π α= 6$ , а в третьем $π α = 6$ .

Ответ:

(a) $π − 4$ ;

(b) $√- − 23$ ;

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 157#36695Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение: $2arctg2x− arctgx − 1 =0$ .

Подсказки к задаче

Подсказка

Заменим arctg(x) на t (подумайте, каким может быть t) и решаем квадратное уравнение. Вот находим t, и теперь осталось подумать, какой из них нам подходит. Ну а потом выразить х через t.

Показать ответ и решение

Разложим левую часть на множители:

(arctgx− 1)(2arctgx+ 1)= 0

Так как решения $1$ и $− 1 2$ лежат в интервале $(− π,π) 2 2$ , то $tg1$ и $tg(− 1) 2$ подходят.

Ответ:

$tg1$ ; $tg(− 1) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 158#36696Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что при любом $x ∈(−1;1)$ верно

--x--- tg(arcsinx)= √1−-x2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначьте arcsin(x) за α (нужно обратить внимание на то, какие значения принимает α). Тогда нужно найти tg(α). Что мы можем точно сказать про знак cos(α)?

Подсказка 2

Верно, cos(α) > 0 (потому что α от -π/2 до π/2). Теперь выразим sin(α) и cos(α) через х, а отсюда и до тангенса рукой подать :)

Показать доказательство

Так как $x∈ (− 1;1),$ то

( π π) α= arcsinx ∈ − 2,2

Тогда $cosα >0,$ поэтому

∘ ------- ∘----- cosα= 1− sin2α = 1− x2

Значит,

sinα x tg(arcsinx)= cosα-= √1−-x2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 159#36697Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что

x+-y- arctgx+ arctgy = arctg 1− xy ,

если $x,y ∈ [0,1)$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В каких пределах лежит правый арктангенс? Логично предположить, что в [0; π/2) (почему?). Могут ли существовать арктангенсы от х и у? Да запросто. А можем ли мы сказать точно, какие значения они принимают?

Подсказка 2

Верно, x от 0 до 1 -> сам arctg(x) ∈ [0; π/4). Причём и с arctg(y) то же самое. Давайте обозначим сумму этих арктангенсов за α. Тогда посмотрим на запись tg(α). Какую формулу мы можем применить?

Подсказка 3

Верно, нам поможет тангенс суммы! И получается тождество: tg(α) = (x+y)/(1-xy). Для чего были рассуждения первой подсказки? Для того, чтобы мы могли без зазрения совести применить функцию арктангенса к обеим частям уравнения и произнести заветное ЧТД :)

Показать доказательство

По формуле тангенса суммы

-x+-y tg(arctgx+ arctg y)= 1 − xy

Если $x,y ∈[0,1)$ , то $[ ) arctgx,arctgy ∈ 0,π4$ . Отсюда $[ ) arctgx+ arctgy ∈ 0,π2$ .

Значит, мы можем взять арктангенс от обеих частей формулы и получить:

arctgx+ arctgy = arctg x+-y-. 1− xy

Замечание. Обратите внимание, что в этой задаче самым важным является указание области значений суммы арктангенсов с учётом ограничений из условия для равносильности переходов между тождествами.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 160#36698Максимум баллов за задание: 7

Докажите тождество

1 1-- π 4arctg5 − arctg 239 = 4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перенесите arctg(1/239) вправо и начните оценивать обе части предположительно правильного тождества. Посмотрим на правую часть: arctg(1/239) + π/4. Как мы можем оценить данное выражение?

Подсказка 2

Естественно, оно > 0 и оно же < π/2. Теперь оценим левую часть: arctg(1/5) точно положителен и меньше π/2, значит, уже двойной арктангенс лежит от нуля до π. Но что, если посчитать tg(2arctg(1/5))?

Подсказка 3

Да, по формуле двойного угла мы сможем высчитать его точное значение, и окажется, что он меньше единицы! А значит аргумент снова < π/4! Тогда и левая, и правая часть тождества от нуля до π/2. Значит, они могут быть равны, если равны их тангенсы. Используем формулу тангенса суммы - тождество доказано.

Показать доказательство

Заметим, что

1 ( π ) arctg 5 ∈ 0,2

Значит,

1 2 arctg 5 ∈ (0,π)

но при этом

( ) 2 tg 2arctg 1 = --5--= 10= -5< 1 5 1− 125- 24 12

Значит,

1 ( π) 2arctg5 ∈ 0,4

( ) 4arctg 1 ∈ 0,π 5 2

Теперь заметим

arctg-1-+ π ∈(0,π) 239 4 2

На основе написанного выше, для проверки равенства $4 arctg 1= arctg-1-+ π 5 239 4$ достаточно проверить, что тангенсы левой и правой части равны. Тогда и сами углы будут равны, а не отличаться на кратное $π$ число.

( 1) 56 120 tg 4arctg5 = 1−-25-=119 144

( ) tg arctg-1-+ π = 2139 +-1= 240= 120 239 4 1− 2139- 238 119

Следующая подтема