Тема АЛГЕБРА

Тригонометрия

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Тригонометрия

Преобразования тригонометрических выражений

Базовые уравнения

Сведение тригонометрических уравнений к квадратным

Формулы в тригонометрических уравнениях

Системы в тригонометрии

Тригонометрические неравенства

Оценки в тригонометрии

Метод вспомогательного аргумента (доп. угла)

Арктрига (аркфункции - обратные тригоном. функции)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 161#37115Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

3 sinx +sin 3x = 4cos x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нужно применить формулу суммы синусов, тогда слева появится произведение, чтобы потом выносить за скобку общие множители и левой, и правой части

Подсказка 2

Выносим cos(x) за скобку и понимаем, что либо он равен нулю, либо он не равен нулю и тогда можно на него разделить и получить tg(x).

Показать ответ и решение

Первое решение.

По формуле суммы синусов уравнение эквивалентно:

3 2 sin2xcosx =4cos x

Отсюда $cosx = 0$ или $4sin xcosx =4cos2x$ .

Итак, $x = π+ πn, n∈ ℤ 2$ или $tgx= 1 ⇐⇒ x= π +πn, n ∈ℤ 4$ .

Второе решение.

Воспользуемся формулой синуса тройного угла

sinx+ 3sinx− 4sin3 = 4cos3x ⇐ ⇒ sin x(1− sin2x)= cos3x ⇐⇒ sinx⋅cos2 =cos3 x

Отсюда либо $cosx = 0$ , то есть $x = π2 + πn$ , либо $sinx= cosx$ , то есть $x = π4 + πn$ .

Ответ:

$π + πn;π + πn; n∈ ℤ 4 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 162#37134Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

cos7x +cosx= 4cos4x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Примените формулу суммы косинусов, чтобы получить слева произведение. Благодаря этому мы сможем выносить за скобку общие множители.

Подсказка 2

Верно, вынесем за скобку cos(4x). Либо он равен нулю, либо скобка равна нулю. Стоп, а возможно ли второе?

Показать ответ и решение

По формуле суммы косинусов уравнение эквивалентно:

2cos4xcos3x= 4cos4x

Отсюда $cos4x =0$ или $cos3x= 2$ .

В первом случае $4x = π2 + πn,n ∈ℤ$ , а во втором решений нет.

Ответ:

$π + πn, n ∈ℤ 8 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 163#37135Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

1 cosxcos2x sin3x= 4sin 2x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сначала нужно применить формулу произведения косинусов - раз оно тут есть, почему бы и нет?

Подсказка 2

Теперь слева нужно раскрыть скобки и применить два раза формулу произведения синуса на косинус, тогда у нас появится слагаемое, которое стоит и в правой части.

Подсказка 3

Отлично, осталась только сумма двух синусов -> применяем нужную для нее формулу, и ответ уже почти получен.

Показать ответ и решение

Первое решение.

По формуле произведения косинусов уравнение эквивалентно:

1 1 2(cos3x+ cosx)sin3x= 4sin2x

Далее применим формулу произведения синуса на косинус:

1 1 4(sin 6x +sin 0x +sin 4x +sin2x)= 4 sin2x

После приведения подобных осталось для двух оставшихся слагаемых применить формулу суммы синусов:

sin5xcosx= 0

Откуда

πn sin5x= 0 ⇐⇒ -5 ,n ∈ℤ

или

cosx= 0 ⇐⇒ π +πn,n∈ ℤ. 2

Второе решение.

Умножим обе части на $4sin x$

4sin xcosxcos2xsin3x= 2sin2xcos2xsin3x= sin4xsin3x =sin xsin2x

Далее воспользуемся формулой произведения синусов, сразу сократив $12$

cosx − cos7x= cosx− cos3x ⇐ ⇒ cos7x = cos3x ⇐⇒ sin5xsin2x= 0

В результате $πn πm- x= 2 , 5$ . У этих серий есть общие корни при $5n =2m,$ в связи с чем можно эти общие корни вида $πl$ не писать, а записать ответ так:

πm -5-,m ∈ℤ;

π 2 + πn, n ∈ℤ.

Ответ:

$πn,π +πn, n∈ ℤ 5 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 164#37136Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 cos5x cos4x+ cos4xcos3x − cos 2xcosx= 0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вынесем за скобку cos(4x), а затем применим формулу суммы косинусов, тогда можно будет еще кое-что вынести за скобку.

Подсказка 2

А конкретнее вынесется cos(x). Если он равен нулю, то все понятно, а если нет, то тогда нужно будет решить квадратное уравнение относительно cos(4x). Кстати, cos(4x) можно получить понижением степени.

Подсказка 3

Отлично, мы нашли cos(4x). Да, выглядит он, конечно, неприятно, но это не мешает нам грамотно найти ответ, проверив заранее, а может ли вообще косинус быть этим числом.

Показать ответ и решение

После вынесения $cos4x$ за скобку для первых двух слагаемых и использования формулы суммы косинусов получаем эквивалентное уравнение:

2 cos4x ⋅2cosxcos4x =cos 2x cosx

Отсюда либо $cosx =0$ , либо можем поделить обе части уравнения на $cosx$ и применить формулу квадрата косинуса половинного угла справа:

2 cos4x+1 1±-√17 2cos 4x= 2 ⇐⇒ cos4x= 8

Осталось заметить, что $1±√17 | 8 |<1$ , потому что $√-- | 17± 1|< 8$ .

Итак, получаем, что

1±√17- 4x =± arccos--8---+ 2πn,n ∈ℤ,

либо

cosx= 0 ⇐⇒ π +πn,n∈ ℤ. 2

Ответ:

$π + πn,± 1arccos1±-√17-+ πn-, n∈ ℤ 2 4 8 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 165#37137Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

----1---- -----1----- tg5x+ tg2x − ctg5x+ ctg 2x = tg3x.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сумма тангенсов в знаменателе... Давайте поработаем с ней, а потом полученный ответ (если он будет дробью) перевернем. У нас нет формулы суммы тангенсов, и потому поступим интереснее: распишем тангенсы как отношение синуса и косинуса, а затем приведем две дроби к общему знаменателю. То же сделаем и с котангенсами.

Подсказка 2

Да, у нас получатся выражения, у которых одинаковый числитель (если применить формулу синуса суммы в обратную сторону). Тогда, когда мы их перевернем, мы получим sin(7x) у двух дробей в знаменателе. А что будет, если мы эти две дроби объединим? Какая формула напрашивается для применения в числителе?

Подсказка 3

Верно, применяем формулу косинуса суммы. Тогда в числителе cos(7x), а в знаменателе sin(7x). Так что вся эта дробь равна ctg(7x). Получилось уравнение вида ctg(α) = tg(β). Чтобы нам было удобно решать это дальше, нужно превратить котангенс в тангенс, а затем понять, когда тангенсы углов равны.

Подсказка 4

Да, тангенсы углов равны, когда углы равны или различаются на какое-то целое количество π. Отлично, здесь и найдётся х. Остаётся только пересечь найденную серию решений с ОДЗ (помним, что должны существовать ВСЕ тангенсы и котангенсы из первоначального уравнения).

Подсказка 5

Смотрите, как интересно выходит: чтобы синус или косинус обнулился, в их аргументах должен фигурировать множитель π/2 = 10π/20, то есть перед π стоит в числителе чётное число. А что, если мы посмотрим на наши серии решений? Они - это (2n+1)π/20, то есть множитель перед π нечетный. Это значит, что синусы и косинусы, в аргументах которых есть нечетные числа, никогда не обнулятся -> нам остается грамотно поработать только с sin(2x) и cos(2x).

Показать ответ и решение

Используя формулы суммы тангенсов и котангенсов, получаем:

cos2xcos5x- sin2xsin5x- sin7x − sin7x =tg3x ⇐⇒ ctg7x= tg3x

Итак, решением может быть только $π 7x= 2 − 3x+ πn$ , $π πn π(1+2n) x= 20 + 10 =-20--,n∈ ℤ$ .

Теперь нужно понять, какие решения подходят под ОДЗ исходного уравнения. То есть под условия, что ни одно из выражений $sin2x,cos2x,sin5x,cos5x,sin7x,cos3x$ не обращается в ноль.

Заметим, что при найденных решениях выражения $sin5x,cos5x,sin 7x,cos3x$ заведомо не обращаются в ноль, потому что при домножении $1+220n$ на нечётное число числитель будет нечётным, а косинус или синус обращаются в ноль в точках вида $πk2-= 10π20k,k∈ ℤ$ , где в числителе перед $π$ стоит чётное число.

Тогда осталось обеспечить условие на неравенство нулю синуса и косинуса двойного угла, для этого $2x= π(1+120n),n ∈ℤ$ не должно быть кратно $51π0$ . То есть нам нужно найти исключить такие $n$ , при которых $1+ 2n$ делится на $5$ и нарушается область определения уравнения (сумма тангенсов из знаменателя первого слагаемого $cossi2nx7xcos5x-$ будет равна нулю). Остальные значения $x$ подходят под все условия, как было показано выше. $1+2n$ делится на $5$ при $n =2+ 5k,k ∈ℤ.$

Ответ:

$-π+ πn, n∈ ℤ∖{2+ 5k:k∈ ℤ} 20 10$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 166#37807Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 1 2 2 cos2x+ 4sin 4x +1= sin4xcos2x+ sin x.

Показать ответ и решение

Заметим, что

( ||1 ||)2 |cos2x|− ||2sin4x|| ≥ 0

Отсюда

cos22x+ 1sin24x≥ |sin4xcos2x|≥ sin4xcos2x 4

Учитывая, что $1≥ sin2x$ , везде должны достигаться равенства из условия, то есть

(|{ |cos2x|= 12 |sin4x|, sin4xcos2x≥ 0, =⇒ cos2x = 1sin4x =⇒ cos2x(1 − sin2x)= 0 |( sin2x= 1. 2

Получаем систему

( [ |{ cos2x= 0, | sin2x= 1, ( sinx= ±1,

У которой нет решений.

Ответ:

таких $x$ нет

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 167#37834Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $cos3x+ cos5x =2. 2$

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1)Хочется как-то оценить наше выражение. Давайте попробуем посмотреть на левую часть этого равенства, и применить знание свойств косинуса об ограниченности, что из этого получится?

Подсказка 2!

2) Верно, мы знаем, что косинус всегда <= 1! А правая часть равна двойке. Что из этого можно заключить о косинусах в левой части?

Показать ответ и решение

В силу ограниченности косинуса

{ cos3x= 1 { 3x= 2πn, n∈ Z 6x 5x cos 5x = 1 ⇐⇒ 5x= 2πk, k∈ Z =⇒ -2 − 2-= 2π(n− k), n∈ Z, k ∈Z 2 2

То есть $x= 4πm, m ∈ Z$ , что подходит в оба уравнения системы.

Ответ:

$4πm, m ∈ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 168#37835Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $5sin5 x− 3cos3x= 5.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Итак, мы хотим попробовать как-то оценить левую часть равенства, но обычной ограниченности синуса и косинуса +-1-ми нам не хватает. Было бы здорово как-то при оценке использовать, что это косинус и синус от одной и той же величины. Мы знаем, что cos^2+sin^2 = 1, но у нас, к сожалению, -3cos^3. Можем ли мы как-то оценить выражение, чтобы там появился квадрат косинуса?

Подсказка 2!

2) Да, -cos^3<=cos^2! Как теперь можно оценить наше выражение? Просто заменой куба на квадрат, и заменой знака. Отлично! А вот теперь как бы воспользоваться свойством ограниченности этих функций?

Подсказка 3!

3) Идейно мы уже все сделали, необходимо только аккуратно разобраться, какие у нас должны быть равенства и где.

Показать ответ и решение

Так как $sin3x≤ 1$ и $− cosx ≤1$ , то:

5 3 2 2 2 5 =5sinx − 3cos x≤ 5sin x+ 3cos x= 2sin x+ 3≤ 2+ 3= 5

Поскольку достигается равенство, то оно должно достигаться во всех неравенствах, а для этого:

(|{ sin5x= sin2x (|{ sinx= 0 или sinx= 1 − cos3 x= cos2x ⇐⇒ cosx= 0 или cosx =− 1 |( sin2x= 1 |( sinx= ±1

Откуда $sinx= 1$ и $cosx= 0$ , так что $x= π2 +2πn,n∈ ℤ$ .

Ответ:

$π + 2πn,n∈ ℤ 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 169#37836Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $sinx− sin15xcosx = 3. 2$

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Для начала можно попробовать попроверять немного значений, и понять, что выглядит наше выражение не очень реалистично. Попробуем теперь это доказать! Для этого здорово помогла бы оценка через сумму модулей...

Подсказка 2!

2) У нас получится |sin(x)| + |sin(15x)||cos|(x)| >= 3/2. Давайте воспользуемся свойством ограниченности функций и совершим еще одну оценку! Наша цель - доказать, что изначальное уравнение не имеет решений.

Подсказка 3!

3) Мы получим следствие из изначального равенства. Противоречий пока не видно, хотя сумма модулей синуса и косинуса, равная 1,5 уже близка к проблемам. Так как оценивать сумму синуса и косинуса мы не очень хотим, давайте попробуем возвести эту оценку в квадрат. С квадратами в плане оценок дела обстоят получше)

Подсказка 4!

4) Отлично, теперь осталось совсем немного, воспользоваться известными нам оценками на квадраты и сами функции, и получить противоречие!

Показать ответ и решение

Заметим, что

sinx− sin15xcosx ≤|sinx − sin 15xcosx|≤|sinx|+ |sin 15x|⋅|cosx|≤|sinx|+ |cosx|

То есть $3≤ |sinx|+|cosx| 2$ — следствие исходного равенства, возведём в квадрат и получим ещё одно следствие

9 2 2 5 4 ≤ sin x+ 2|sinx|⋅|cosx|+ cos x= 1+ |sin2x| =⇒ 4 ≤ |sin2x|

Следствие решений не имеет, потому у исходного уравнения их быть не могло.

Ответ:

таких $x$ нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 170#37837Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $|sinx|tgx+ |cosx|tgx = 1.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Хм, у нас есть какая-то функция с тангенсом в степени, давайте поймем, как эта функция себя ведет с точки зрения монотонности...

Подсказка 2!

2) Верно, функция t^y монотонно убывает по y! А наше выражение будет вести себя точно так же! Осталось понять, в каком случае левая часть примет значение 1!

Показать ответ и решение

Первое решение.

ОДЗ: $sin x⁄= 0,cosx⁄= 0 =⇒ |sinx|∈ (0,1)$ и $|cosx|∈ (0,1)$ .

При $tgx= 2$ уравнение обращается в основное тригонометрическое тождество.

Зафиксируем произвольное $t∈(0,1)$ . Тогда $y 2 t < t$ при $y > 2$ , а $y 2 t > t$ при $y < 2$ . С учётом этого факта левая часть при других значениях тангенса будет больше или меньше (в зависимости от $tgx> 2$ или $tgx< 2$ ), чем правая часть. Поэтому решений при $tgx ⁄=2$ быть не может. Заметим, что решения, соответствующие $tgx =2$ , подходят под ОДЗ.

Второе решение.

По основному тригонометрическому тождеству уравнение из условия равносильно:

|sin x|tgx +|cosx|tgx =sin2x +cos2 x

|sin x|tgx − sin2x =cos2x− |cosx|tgx

Во-первых, отметим, что операция возведения в произвольную действительную степень определена только для положительного аргумента, откуда следует, что значения $sinx$ и $cosx$ не могут быть равны $0$ (соответственно и $±1$ ).

Но тогда в уравнении

2 tgx−2 2 tgx−2 sin x⋅(|sinx| − 1)=cos x⋅(1− |cosx| )

левая часть не больше нуля, а правая не меньше нуля, причём равенство может достигаться только в случае $|sinx|tgx−2 = 1= |cosx|tgx−2)$ .

С учётом вышесказанного замечания, что $|sinx|⁄= 1,|cosx|⁄= 1$ , получаем $tgx − 2 =0$ . Легко убедиться, что при этом значении тангенса уравнение из условия обращается в тождество, откуда получаем ответ.

Ответ:

$arctg2 +πn, n∈ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 171#37838Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

√- √- 2 3sin5x− 3sin x= cos24xcosx +2cos5x− 6

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) У нас есть странное уравнение, в правой части которого есть корни из 3. Кажется, что это отделенно похоже на умноженный на что-то синус или косинус известного нам угла. ДАвайте попробуем вынести 4 из первых двух слагаемых, и получить синус суммы. Что теперь можно сказать про оценку?

Подсказка 2!

2) Давайте оценим первое новое слагаемое через 4, тогда остаток должен быть больше или равен 2. Посмотрим на него. Хм, если вынести 2, тоже очень похоже на косинус суммы! только cos(24x) немного мешает...

Подсказка 3!

3) Верно, давайте оценим его, для этого пусть он не равен -+1, как тогда в таком случае оценить выражение, чтобы получить из него синус суммы или разности?

Подсказка 4!

4) Ага, случаи равенства -+ 1 нужно аккуратно разобрать отдельно!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Уравнение эквивалетно:

$√ - √- 2 3sin5x− 2cos5x− 3sin x− cos24xcosx =6.$

Соответственно должно выполняться $√ - √- 6= |2 3sin5x− 2cos5x− 3sin x− cos24x cosx|.$

Но по неравенству треугольника $√- √ - √ - √- |2 3sin5x− 2cos5x − 3sinx− cos24xcosx|≤ |2 3sin5x− 2cos5x|+|− 3sinx − cos24x cosx|,$

а по неравенству Коши-Буняковского $√- ∘ ----------2------2--- |2 3sin 5x − 2cos5x|≤ (4 ⋅3+ 4)⋅(sin 5x+ cos5x)= 4$ и $√- ∘ ---2----------2-----2-- |− 3sinx − cos24xcosx|≤ (cos 24x +3)⋅(sin x+ cos x)≤2.$

Оба слагаемых не больше $6$ , соответственно получаем оценку на модуль, который должен быть равен $6$ . Итак, во всех неравенствах выше должно достигаться равенство. Приходим к итоговой системе из первого решения.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Перепишем равенство в виде

( √ - ) ( √ - ) 6 =4 −--3sin5x+ 1cos5x + 2 1 cos24xcosx +--3sinx 2 2 2 2

( ) ( √- ) 6 =4sin 5x+ 56π + 2 12 cos24xcosx + 23sinx

Очевидно, что первое слагаемое не больше $4$ . Тогда второе не меньше $2$ . Пусть $cos24x⁄= ±1$ . Разберём $0≤ cos24x< 1$ . Если $cosx> 0$ , то

( 1 √3 ) ( 1 √3 ) ( π ) 2 2cos24xcosx+ -2-sinx <2 2cosx+ 2-sin x = 2sin x +-6

То есть равенство $2$ не достигается. Если $cosx≤ 0$ , то

( √- ) ( √- ) 2 1cos24xcosx+ -3-sinx ≤2 -3sinx = √3sinx< 2 2 2 2

Аналогично разбирается $cos24x< 0$ . То есть $cos24x =±1$ . Рассмотрим $cos24x =1$ , получим

( ( 5π) ( π- 2πn |{ sin(5x+π6) = 1 |{ x= −π 15 + 5 |( sin x+ 6 = 1 ⇐⇒ |( x= 3πm+2πk cos24x= 1 x= -12-

Легко видеть, что останется только $π x= 3 +2πk$ , далее $cos24x= −1$ , здесь

( sin(5x+ 5π)= 1 ( x= − π-+ 2πn |{ ( π6) ⇐⇒ |{ 2π15 5 |( sin x− 6 = 1 |( x= -3π +2ππmk cos24x= −1 x= 24 + 12

Здесь у второго и третьего уравнения нет общих корней, потому решений нет.

Ответ:

$π + 2πk, k∈ℤ 3$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 172#37839Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $tg2x+ 2tgx(siny+ cosy)+2 =0.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Попробуем воспользоваться синусом суммы, раз у нас есть сумма синуса и косинуса, подберем возле них подходящие коэффиценты, чтобы стало похоже на формулу суммы с известным нам углом.

Подсказка 2!

2) Для этого надо всего лишь вынести корень из 2 за скобку. Тогда это будет sin(y+Pi/4). Посмотрим на полное выражение. Хм, очень напоминает формулу квадрата разности, только синус немножко мешает... Может оценим его как-нибудь?

Подсказка 3!

3) Отлично, мы получили, что наше изначальное выражение больше, чем квадрат разности, но при этом равно 0. Что это значит? Кажется, нам подходят только случаи полного равенства..

Показать ответ и решение

Перепишем равенство

2 √- ( 1-- 1-- ) tg x+ 2 2tgx √2siny + √2cosy + 2= 0

√- ( ) tg2x+ 2 2tgxsin y + π + 2= 0 4

Поскольку

(tg2x− 2√2|tgx|+ 2) =(|tgx|− √2)2 ≥0

то

- - | ( )| - ( ) tg2x+ 2≥2√ 2|tgx|≥2√2|tgx|⋅||sin y+ π ||≥ −2√2tgxsin y+ π 4 4

Поскольку по условию мы имеем равенство, то равенства должны быть везде, что эквивалентно

⌊ { √ - (| tgx= ±√2- | tgx(= 2) { sin (y+ π) =±1 ⇐ ⇒ || { sin y+ π4√-= −1 |( tgxsin(4y+ π) ≤0 |⌈ tgx(=− 2) 4 sin y+ π4 = 1

Откуда и получаем ответ.

Ответ:

$(arctg√2-+ πn,− 3π-+2πk),(− arctg√2 + πn,π+ 2πk) , k,n ∈ℤ 4 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 173#38263Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

sin(5arcctgx)= 1

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Синус от некоторой величины равен 1. Тогда мы можем понять, чему равна эта величина с помощью применения арксинуса!

Подсказка 2!

2) Да, получим, что 5arcctg(x) = Pi/2 + 2Pik. Теперь попробуем вспомнить, какая область значения у arcctg(x) и посмотреть на возможные его значения!

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно

π 5arcctgx = 2 + 2πn,n ∈ℤ

По области значений $5arcctgx ∈(0,5π)$ , так что возможные случаи $π π 5π π 9π 5arcctgx ∈{2,2π+ 2 = 2 ,4π+ 2 = 2 }$ . Так что $π π 9π x ∈{ctg 10,ctg 2 = 0,ctg10}$ .

Ответ:

${ctg π,0,ctg 9π} 10 10$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 174#38264Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

-1- 1-- 2arcsinx⋅arccosx = 3arccos√x-⋅arcsin √x.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас есть две пропорциональные величины, от которых мы берем arcos. Очень полезно было бы написать ОДЗ в этой задаче! (Как и во всех задачах по арктриге...)

Подсказка 2

Да, у нас будет два ОДЗ, и пересекутся они по не очень большому количеству значений..... Осталось проверить, что оно подойдет!

Показать ответ и решение

$arcsinx$ определён только при $− 1 ≤x ≤1.$

$√1- arcsin x$ определён только при $√1 − 1≤ x ≤1,$ то есть при $x ≥1.$

Получаем, что уравнение имеет смысл только при $x= 1.$ Проверим, является ли это значение решением:

2arcsin1⋅arccos1= 3arccos1⋅arcsin 1

Получили верное тождество, ведь $arccos1 =0.$

Ответ:

$1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 175#38266Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2arcsin x+ arccos(1 − x)= 0

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) От арктригонометрических функций очень удобно брать cos и sin, ведь мы получим из содержимое как раз. Давайте перенесем arcos в другую сторону и попробуем взять cos от обеих частей...

Подсказка 2!

2) Да, взяли, справа получилось 1-x, а слева косинус от арксинуса. Это какое-то не очень красивое выражение, было бы здорово сделать вместо него синус, как мы можем заменить косинус на синус?

Подсказка 3!

3) Верно, возвести равенство в квадрат и высеть из 1. Не забудьте разобраться в ОДЗ!

Показать ответ и решение

ОДЗ:

{ −1≤ x≤ 1 −1≤ 1− x≤ 1

0≤ x≤ 1

Тогда $arcsinx ≥0.$ Поэтому левая часть не меньше нуля, так как каждое из слагаемых неотрицательно (второе в силу области значений арккосинуса). Для равенства правой части, то есть нулю, каждое из них должно быть равно нулю.

{ 2arcsinx =0 arccos(1− x)=0

x= 0

Ответ:

$0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 176#38267Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 2 5π2 arcsin x+ arccos x = 36

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1)Давайте посмотрим, мы знаем, что слева получается некоторый угол, и справа тоже. Давайте обозначим то, что получится из извлечения arcsin за Pi*t, и будем искать t! Тогда как выразить arcos(x)?

Подсказка 2!

2) Верно, это Pi/2 - Pi*t. Тогда давайте подставим это в наше изначальное выражение..... Что-то знакомое, на что похоже?

Подсказка 3!

3) Верно, н аквадратное уравнение относительно t!

Показать ответ и решение

Пусть $arcsinx= πt$ , тогда $arccosx= π − πt 2$ , откуда

2 2 π2 2 2 2 5π2 2 1 2 5- πt + 4 − π t+π t = 36 ⇐⇒ t+ 4 − t+ t = 36

То есть $2 1 11 π π 2t − t+ 9 = 0 ⇐⇒ t= 6,3 ⇐ ⇒ arcsinx= 6,3$ . Оба решения входят в область значений арксинуса, откуда и получаем ответ.

Ответ:

$1,√3 2 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 177#38268Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

π arctg(2+ cosx)− arctg(1+ cosx)= 4

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Как удобно, у нас два арктангенса! Давайте возьмем от них тангенс, чтобы перейти от арктриги к обычной). Вспоминаем формулу тангенса разности...

Подсказка 2!

2) Ага, очень удачно, у нас tg(arctg), такое мы знаем! Заменяем на содержимое, дальше дело техники!

Показать ответ и решение

Пусть $α =arctg(2+cosx),β =arctg(1+cosx)$ .

Возьмём тангенc от обеих частей:

tgα − tgβ 2+ cosx− 1− cosx tg(α − β)= 1 ⇐⇒ 1+-tg-αtgβ = 1 ⇐⇒ 1+-(2+cosx)(1+-cosx) = 1

Что эквивалентно $(1+ cosx)(2 +cosx)=0 ⇐ ⇒ cosx= −1 ⇐⇒ x= π+ 2πn,,n ∈ℤ.$

Легко проверить, что все найденные значения $x$ подходят:

arctg(2− 1)− arctg(1− 1)= π − 0 4

Ответ:

$π +2πn, n ∈ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 178#39068Максимум баллов за задание: 7

Дано

3 2 cosx− sinx= 1

Найдите $13cosx$ , если известно, что $sinx +1 >0$ .

Показать ответ и решение

Перепишем условие в виде $sinx = 3cosx− 1 2$ . Возведём данное равенство в кадрат и получим:

2 9 2 sin x= 4cos x− 3cosx+ 1.

Сделаем замену $2 2 sin x =1 − cosx$ :

9 13 13 1− cos2x= 4cos2x− 3cosx+ 1⇔ 4-cos2x− 3cosx =0 ⇔ cosx(12cosx − 1)= 0.

Откуда имеем: $cosx= 0$ или $13cosx= 12$ . Но первое невозможно, так как при подстановке в исходное выражение получим: $sinx= −1$ , что противоречит условию $sinx+ 1> 0.$

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 179#39087Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

(2x) (π x) 3sin 3 ≥ 5− 2cos 4 − 3 .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы видим свободный коэффициент, равный 5. Для уравнений в тригонометрии это очень немаленький коэффициент, так как синусы-косинусы оцениваются всегда от -1 до 1. Подумайте, как это применить?

Подсказка 2

Да, можно перенести всё, что связано с тригонометрией в одну сторону, а пятерку оставить слева. Что тогда интересного вы видите?

Подсказка 3

Верно, левая часть меньше или равна 5, но у нас написано, что больше или равна. Значит, достигается равенство. Осталось решить эти простейшие тригонометрические уравнения, подумать, все ли решения подходят нам, и записать итоговый ответ!

Показать ответ и решение

Заметим, что