Тема АЛГЕБРА

Уравнения без логарифмов и тригонометрии → .01 Уравнения с модулем

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Уравнения без логарифмов и тригонометрии

Уравнения с модулем

Иррациональные уравнения (с радикалами)

Уравнения с модулями и корнями (радикалами)

Показательные уравнения

Оценки в уравнениях без логарифмов и тригонометрии

Уравнения с целой и дробной частями

Использование монотонности функций в уравнениях без логарифмов и тригонометрии

Правильная замена или группировка на скобки

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#34757Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

| 22 2 2 | |xy| |1− x− y − xy|+ |2x y − 2x y− 2xy + 2xy− 9|+ xy = −1.

Источники: ПВГ-2012, 11.5 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Слева модули, а справа (-1) –> намёк на оценку! Вот только одно слагаемое в левой части выбивается! Однако взгляните на него повнимательнее: может мы точно знаем, какие оно может принимать значения?

Подсказка 2

Если это выражение равно 1, то оценка даст нам явное противоречие, а если (-1), то красивую системку! Только не забудьте, что эти значения наше выражение принимает при определённых условиях – прикрепите их к системе. Остаётся решить системку! Возможно, уравнения могут вас пугать, но вот как работать с выражением 1-x-y-xy вы должны помнить ещё с вебов по тождественным преобразованиям!

Подсказка 3

Раскладываем на множители и замечаем, что сами x и y выразить трудновато, но зато легко можно найти значение xy. А зная его, и значение x+y легко ищется! А уже система из суммы и произведения легко решается либо обычной подстановкой, либо сведением к квадратному уравнению (вспомните теорему Виета)

Показать ответ и решение

Заметим, что $|xy|= ±1 xy$ , откуда левая часть не меньше $− 1$ , равенство достигается тогда и только тогда, когда

(| 1 − x − y− xy = 0 (| (x− 1)(y− 1)=2xy { 2x2y2− 2x2y− 2xy2+2xy− 9= 0 ⇐⇒ { 2xy(x− 1)(y − 1)= 9 |( |( xy <0 xy <0

Из первых двух уравнений следует, что $(2xy)2 =9$ , а с учётом третьего неравенства получаем $xy = − 3 2$ . Для решения системы осталось подставить это в первое уравнение, потому что второе и третье условия мы уже учли

{ 1− x− y+ 3= 0 { x+ y = 5 xy = − 3 2 ⇐⇒ xy = − 32 2 2

По обратной теореме Виета если решения системы есть, то числа $x,y$ будут корнями уравнения $t2− 52t− 32 = 0 ⇐⇒ t=− 12 или t=3$ . Осталось не забыть, что система симметрична $(x;y)<− > (y;x)$ , и записать обе пары в ответ.

Ответ:

$(3;− 1),(− 1;3) 2 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#92349Максимум баллов за задание: 7

Найдите площадь фигуры, состоящей из точек $(x,y)$ координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению

|x|+|x+ 3y|+ 3|y− 2|=6.

Источники: ДВИ - 2012, вариант 1, задача 5 (pk.cs.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Можно, конечно, все это честно раскрыть и построить, но мы не ищем проторенных путей! Раз просят найти площадь, то попробуем вспомнить, что же такое модуль с точки зрения геометрии. Есть ли в геометрии какие-то факты, связанные с модулями или даже их суммой?

Подсказка 2

Модуль — это по сути своей длина некоторого отрезка, а с суммой длин связано одно прекрасное неравенство — неравенство треугольника. Может быть, здесь будет удобно его применить?

Подсказка 3

|a|+|b|>=|a+b|, где равенство будет достигаться только в том случае, если ab≥0. Но давайте внимательно посмотрим на первые два модуля, может быть, можно чуть-чуть переделать неравенство так, чтобы нам было гораздо удобнее?

Подсказка 4

х+х+3у=2х+3у, а вот х-(х+3у)=-3у — второй вариант выглядит гораздо лучше. Давайте тогда возьмём |a|+|b|=|a|+|-b|>=|a-b|, и тогда равенство будет достигаться при ab≤0. Давайте теперь оценим сумму наших модулей. Сначала первые два, а потом и третий к ним прибавим.

Подсказка 5

Если удачно подобрать порядок, то выйдет, что 6=|x|+|x+3y|+3|y-2|≥6, то есть какое условие обязательно должно выполниться?

Подсказка 6

Получаем систему из x*(x+3y)≤0 и 3y*3(y-2)≤0. Решив их по очереди, а потом отметив результаты на координатной плоскости (не забудьте взять их пересечение!), получим фигуру, площадь которой считается максимально очевидно :)

Показать ответ и решение

Воспользуемся неравенством треугольника:

|a|+|b|≥ |a − b|

причем равенство достигается при $ab≤0.$

Тогда

|x|+ |x+3y|≥ |x− x− 3y| =⇒ |x|+ |x+ 3y|≥ |3y|

|x|+|x+ 3y|+ 3|y− 2|≥|3y|+ |3y− 6|≥|3y− 3y+ 6|

В итоге

6= |x|+ |x +3y|+3|y − 2|≥ 6,

поэтому во всех неравенствах должно достигаться равенство. Тогда

{ 3y⋅3(y− 2)≤ 0 x ⋅(x+ 3y)≤0

Первое условие равносильно

y(y− 2) ≤0 ⇐⇒ y ∈ [0;2],

а второе

⌊ { | x≥ 0 ||| { x+ 3y ≤0 ⌈ x≤ 0 x+ 3y ≥0

⌊ ({ | x≥ 0x ||| (( y ≤ −3 |⌈ { x≤ 0 ( y ≥ − x3

Изобразим полученные условия на координатной плоскости:

$PIC$

Тогда искомая площадь равна $6.$

Ответ:

$6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#113667Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

|x− 1|+ |x +1|+|x− 2|+ |x +2|+ ⋅⋅⋅+|x− 100|+ |x+ 100|= 200x.

Источники: Вступительные в МГУ - 2001 (см. pk.cs.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте вспомним какое-то полезное неравенство, в котором использовалась сумма модулей!

Подсказка 2

|a| + |b| >= |a+b|. Отлично, теперь мы можем записать цепочку неравенств и получить ограничения на x ;)

Подсказка 3

Попробуйте раскрыть модули в сумме |x+k| + |x-k|

Подсказка 4

Иногда |x+k| + |x-k| больше, чем нам нужно) Когда?

Показать ответ и решение

Так как $|a|+ |b|≥|a+ b|,$ то получаем, что

200x= |x+1|+ |x− 1|+|x− 2|+ |x +2|+⋅⋅⋅+|x+ 100|+|x− 100|≥

≥|x+1 +x − 1|+|x− 2+ x+2|+ ...+ |x+ 100 +x − 100|= 200|x|

200x≥ 200|x|

Это равносильно $x≥ 0.$

При $x≥ k,$ где $k= 1,...,100:$

|x +k|+ |x− k|= x+k +x − k= 2x

При $x< k,$ где $k= 1,...,100:$

|x+k|+ |x− k|= x+k +k − x =2k> 2x

Отсюда видно, что при $x ≥100$ равенство выполнено (так как у нас 100 пар с суммой $2x$ ), но если же $x< 100,$ то сумма модулей будет больше $200x.$

Ответ:

$[100;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#113668Максимум баллов за задание: 7

Сколько корней имеет уравнение

2 |x − 2|x|+ 1|= 3|2− x|− 1?

Источники: Вступительные в МГУ - 1995 (см. pk.cs.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На что похоже подмодульное выражение слева? Давайте преобразуем его!

Подсказка 2

Подмодульное выражение слева является полным квадратом! Тогда и модуль можно убрать ;)

Подсказка 3

Посмотрите, при каких x подмодульные выражения меняют знаки, и разберите случаи!

Подсказка 4

Разберите случаи x > 2, 2 ≥ x > 0, 0 ≥ x.

Показать ответ и решение

Заметим, что слева можно выделить полный квадрат:

2 |(|x|− 1) |=3|2 − x|− 1

Квадрат неотрицателен, так что уравнение равносильно следующему

2 (|x|− 1) = 3|2− x|− 1

Разберем три случая: $x> 2, 2 ≥x >0, 0 ≥x.$

1) $x> 2.$ В этом случае после раскрытия модулей уравнение примет следующий вид

(x− 1)2 = 3(x− 2)− 1

x2− 5x +8 =0

D =(−5)2− 4 ⋅8 <0

То есть корней в таком случае нет.

2) $2≥x >0.$ В этом же случае после раскрытия модулей уравнение примет следующий вид

(x− 1)2 = 3(2− x)− 1

x2+ x− 4= 0

2 D = 1 − 4 ⋅(−4)= 17

−1+ √17 −1 − √17 x1 = ---2---, x2 =--2----

Второй корень меньше нуля, следовательно, он не подходит, а первый:

√ -- √-- 0< −1-+--17-< −1+--25= 2 2 2

Значит, первый корень в этом случае идёт в ответ.

3) $0>x.$ В этом же случае после раскрытия модулей уравнение примет следующий вид

(− x− 1)2 = 3(2− x)− 1

x2+ 5x − 4 =0

D = 52− 4 ⋅(−4)= 41

√-- √ -- x1 = −5+--41, x2 = −5-−-41 2 2

Первый корень положительный, а второй отрицательный. Значит, второй нам походит.

В итоге у нас 2 подходящих корня.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#67149Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

( 1)2 5 4|x− 1|+ 2 = 11(x − 1)2+ 4

Источники: Вступительные в МГУ, 1994

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В левой и правой части видно (x-1) и |x-1|... Стоит сделать замену, не так ли? Сделайте правильную замену: не раскрывайте случаи модуля, сразу меняйте модуль!

Подсказка 2

Останется просто квадратное уравнение относительно замены, а такое мы умеем решать)

Показать ответ и решение

Так как $(x − 1)2 = |x− 1|2,$ сделав замену $t=|x− 1|,$ получим