Тема АЛГЕБРА

Уравнения без логарифмов и тригонометрии → .01 Уравнения с модулем

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Уравнения без логарифмов и тригонометрии

Уравнения с модулем

Иррациональные уравнения (с радикалами)

Уравнения с модулями и корнями (радикалами)

Показательные уравнения

Оценки в уравнениях без логарифмов и тригонометрии

Уравнения с целой и дробной частями

Использование монотонности функций в уравнениях без логарифмов и тригонометрии

Правильная замена или группировка на скобки

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#98709

Решите уравнение:

|5x+ 1|+7x+ 2= 0.

Показать ответ и решение

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1) $5x +1≥ 0,$ то есть $1 x≥ −5.$ Тогда $|5x+ 1|= 5x+ 1.$ Подставим это в данное уравнение и решим его:

5x +1+ 7x+ 2= 0

12x= −3

x= − 1 4

Но, так как $x≥ − 1, 5$ а $− 1< − 1, 4 5$ то $x= − 1 4$ не является корнем уравнения.

2) $5x +1< 0,$ то есть $1 x< −5.$ Тогда $|5x+ 1|=− 5x − 1.$ Получается:

−5x− 1+ 7x +2 =0

2x =− 1

1 x= −2

При этом $1 1 − 2 <− 5,$ поэтому $1 x= −2$ — корень уравнения.

Ответ:

$− 1 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#98710

Решите уравнение:

|x+3|−-2 2− x = 2.

Показать ответ и решение

Так как $2− x$ стоит в знаменателе, то $2− x⁄= 0,$ то есть $x⁄= 2.$

Домножим обе части уравнения на $2− x.$ Получим:

|x+ 3|− 2= 4− 2x

Теперь раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1) $x+3 ≥0,$ тогда $|x +3|= x+ 3.$ Подставим это в уравнение выше и решим его:

x+ 3− 2= 4− 2x

x= 1

При этом $x= 1$ удовлетворяет неравенству $x +3≥ 0,$ поэтому является корнем.

2) $x+3 <0,$ тогда $|x+3|= −x− 3.$ Получается:

− x− 3 − 2= 4− 2x

x= 9

Но $x =9$ не удовлетворяет неравенству $x+3 <0,$ поэтому не является корнем.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#98711

Решите уравнение:

| 2 | |x +x − 3|= |5x− 4|.

Показать ответ и решение

Если два модуля равны, значит подмодульные выражения либо равны, либо противоположны. Рассмотрим оба случая:

1) Подмодульные выражения равны, то есть:

2 x +x− 3= 5x− 4

x2− 4x +1 =0

Дискриминант этого уравнения равен $D = 16− 4 =12,$ а значит корни равны $- x= 2+ √3$ и $- x =2− √3$

2) Подмодульные выражения противоположны, то есть:

x2+ x− 3 =− 5x +4

x2+ 6x − 7 =0

По теореме Виета корни равны $x = −7$ и $x= 1.$

Ответ:

$− 7,$ $2− √3,$ $1,$ $2+ √3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#98712

Решите уравнение:

2 |x− 3|= x +2x− 3.

Показать ответ и решение

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1) $x− 3≥ 0,$ то есть $|x− 3|=x − 3.$ Подставим это в данное уравнение:

2 x − 3 =x + 2x− 3

x2+x =0

x(x+1)= 0

Получается, $x =0$ или $x= −1,$ но оба этих значения меньше 3, что не удовлетворяет неравенству $x− 3≥ 0,$ а значит при $x− 3≥0$ решений нет.

2) $x− 3< 0,$ то есть $x < 3.$ Тогда $|x− 3|=− x+ 3.$ Подставим:

−x+ 3= x2+ 2x − 3

x2+ 3x − 6 =0

$D= 9+ 24= 33,$ откуда корни уравнения равны $− 3− √33 x1 =---2----$ и $−3+ √33 x2 = ---2---.$ $x1$ — отрицательное число, то есть точно меньше трех и подходит нам. Оценим $x2 :$ $√-- √-- 33< 36= 6,$ отсюда $√-- −3+--33- 3 x2 = 2 < 2 <3.$ Итак, $x1$ и $x2$ — корни уравнения.

Ответ:

$−-3−-√33 −3+-√33 2 , 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#98713

Решите уравнение:

||3 − x|− 2x +1|= 4x − 10.

Показать ответ и решение

1. Обозначим $a= |3− x|$ , тогда уравнение примет вид:

|a− 2x +1|= 4x− 10.

Теперь решим это уравнение в зависимости от значения $a= |3− x|$ .

Случай 1: $3 − x ≥0$ , то есть $x ≤3$ .

В этом случае $|3− x|= 3− x$ . Уравнение примет вид:

|3 − x− 2x+ 1|=4x− 10.

Упростим левую часть:

|4− 3x|=4x− 10.

Теперь рассмотрим два случая для значения $|4− 3x|$ .

Подслучай 1.1: $4− 3x≥ 0$ , то есть $4 x≤ 3$ .

В этом случае $|4− 3x|= 4− 3x$ . Тогда уравнение примет вид:

4− 3x= 4x− 10.

Решим это уравнение:

4+ 10= 4x+ 3x,

14 =7x,

x =2.

Проверим, удовлетворяет ли $x= 2$ условию $4 x ≤ 3$ . Нет, это условие не выполняется, следовательно, $x =2$ не является решением.

Подслучай 1.2: $4− 3x≤ 0$ , то есть $4 x≥ 3$ .

В этом случае $|4− 3x|= 3x− 4$ . Тогда уравнение примет вид:

3x− 4= 4x− 10.

Решим это уравнение:

4x− 3x= 10− 4,

x =6.

Проверим, удовлетворяет ли $x = 6$ условиям $4 x≥ 3$ и $x≤ 3$ . Нет, второе условие выполняется, следовательно, $x =6$ не является решением.

Случай 2: $3 − x ≤0$ , то есть $x ≥3$ .

В этом случае $|3− x|= x− 3$ . Тогда уравнение примет вид:

|x − 3− 2x+ 1|=4x− 10.

Упростим левую часть:

|− x− 2|= 4x− 10.

Теперь рассмотрим два случая для значения $|− x− 2|$ .

Подслучай 2.1: $−x − 2 ≥0$ , то есть $x ≤− 2$ .

В этом случае $|− x− 2|= −x − 2$ . Тогда уравнение примет вид:

−x − 2= 4x− 10.

Решим это уравнение:

− x− 4x =− 10+2,

−5x= −8,

8 x= 5.

Проверим, удовлетворяет ли $8 x= 5$ условию $x≤ −2$ . Нет, это условие не выполняется, следовательно, $8 x = 5$ не является решением.

Подслучай 2.2: $−x − 2 ≤0$ , то есть $x ≥− 2$ .

В этом случае $|− x− 2|= x+ 2$ . Тогда уравнение примет вид:

x+ 2= 4x − 10.

Решим это уравнение:

4x − x =10+ 2,

3x =12,

x =4.

Проверим, удовлетворяет ли $x = 4$ условиям $x≥ −2$ и $x≥ 3$ . Да, эти условия выполняются, следовательно, $x= 4$ является решением.

Ответ:

$4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#98714

Решите уравнение:

||x2− 2x|| --x−-3-+ |x +2|= 1.

Показать ответ и решение

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Необходимо, чтобы знаменатель не обращался в ноль:

x ⁄=3.

2. Раскрытие модулей

Рассмотрим различные случаи для раскрытия модулей.

Модуль $|x2− 2x|$ :

({ x2 − 2x, если x ≤0 или x≥ 2, |x2− 2x|= ( 2 −(x − 2x), если 0 <x <2.

Модуль $|x +2|$ :

({ −(x+2), если x< −2, |x+ 2|= ( x+ 2, если x≥ −2.

3. Решение уравнения по частям

Случай 1: $x <− 2$

В этом случае:

|x+ 2|=− (x +2), |x2− 2x|=x2 − 2x.

Уравнение принимает вид:

x2− 2x-− (x+ 2)=1. x − 3

Приведем всё к общему знаменателю:

x2−-2x− (x+-2)(x−-3) x− 3 = 1.

Раскроем скобки:

x2− 2x− (x2 − 3x+ 2x− 6)= −x +6.

Таким образом, уравнение становится:

−xx−+63 = 1.

Решим его:

−x+ 6= x− 3 =⇒ 2x= 9 =⇒ x = 9. 2

Это значение не принадлежит области $x< −2$ , поэтому решений в этом случае нет.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Случай 2: $− 2≤ x< 0$

В этом случае:

2 2 |x +2|= x+ 2, |x − 2x|= x − 2x.

Уравнение принимает вид:

2 x-− 2x-+(x+ 2)=1. x − 3

Приведем всё к общему знаменателю:

x2−-2x+(x+-2)(x−-3)= 1. x− 3

Раскроем скобки:

2 2 2 x − 2x+ (x − 3x+ 2x− 6)= 2x − 3x − 6.

Таким образом, уравнение становится:

2x2−-3x− 6 x− 3 = 1.

Решим это уравнение:

2 2 2x − 3x− 6= x− 3 =⇒ 2x − 4x− 3= 0.

Решим квадратное уравнение:

√------ √-- √-- √ -- x= 4±--16+-24= 4±--40 = 4-±2-10 = 2±-10. 4 4 4 2

Из корней $2+√10 2$ и $2−√10 2$ , только $2−√10 2$ принадлежит промежутку $[−2,0)$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Случай 3: $0 ≤x <2$

В этом случае:

|x+ 2|=x +2, |x2− 2x|= −(x2− 2x).

Уравнение принимает вид:

− (x2− 2x) --x-− 3- +(x+ 2)= 1.

Преобразуем:

−x2+-2x- x− 3 +x +2 =1.

Приведем всё к общему знаменателю:

− x2+2x +(x+ 2)(x− 3) --------x−-3------- =1.

Раскроем скобки:

− x2+2x+ (x2− 3x+ 2x− 6)=x − 6.

Таким образом, уравнение становится:

xx−−-63 = 1.

Решим его:

x − 6 =x − 3,

что приводит к противоречию. Решений в этом случае нет.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Случай 4: $x ≥2$

В этом случае:

|x +2|= x+ 2, |x2− 2x|= x2− 2x.

Уравнение принимает вид:

x2− 2x x-− 3-+(x+ 2)=1.

Приведем всё к общему знаменателю:

2 x-−-2x+(xx−+32)(x−-3)= 1.

Раскроем скобки:

x2− 2x+ (x2− 3x+ 2x− 6)= 2x2− 3x − 6.

Таким образом, уравнение становится:

2 2x-−-3x− 6-= 1. x− 3

Решим его:

2x2 − 3x− 6= x− 3 =⇒ 2x2− 4x− 3= 0.

Решения этого уравнения совпадают с предыдущими: $√-- x = 2±-210-$ , и только корень $√-- x= 2+210$ принадлежит области $x ≥2$ .

Ответ:

$1± √10 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#31587

Решите уравнение

| 2 | | 2| |x− x − 1|= |2x− 3 +x |

Показать ответ и решение

Возведем в квадрат (обе части неотрицательны, так что в данном случае переход равносилен) и рассмотрим разность квадратов:

2 2 2 2 2 (x − x − 1) − (2x− 3+x ) = (3x− 4)(−2x − x+ 2)=0

Значит, $x= 4 3$ или $x= − 1 ± √17 4 4$ .

Ответ:

$4;− 1± √17 3 4 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#31589

Решите уравнение

||2x− 1|− 5|+ x= |6 − x|.

Показать ответ и решение

Если $x ≥6$ , то

3x − 6 =|2x− 6|+ x= ||2x − 1|− 5|+ x= |6 − x|= x− 6

Значит, $x= 0$ ?!

Если $3≤ x≤ 6$ , то

3x − 6 =|2x− 6|+ x= ||2x − 1|− 5|+ x= |6 − x|= 6− x

Значит, $x= 3$ и такой $x$ подходит.

Если $1≤ x≤ 3 2$ , то

6− x= |2x− 6|+x =||2x− 1|− 5|+x =|6− x|=6− x

Значит, любой $x$ в этом отрезке подходит.

Если $− 2≤ x≤ 12$ , то

3x +4 =|− 2x− 4|+ x= ||2x − 1|− 5|+ x= |6− x|= 6− x

Значит, $x= 12$ и такой $x$ нам подходит.

Если $x< −2$ , то

− x− 4= |− 2x− 4|+ x= ||2x− 1|− 5|+ x= |6− x|= 6− x

Значит, здесь корней нет.

Ответ:

$[1;3] 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#31628

Решите уравнение

|x+ |− x − 3|+ 1|− 6= x

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно системе:

({ x+ 6≥ 0 (x+ 1+ |x+ 3|=± (x +6)

Запомним, что $x≥ −6$ . Получаем совокупность:

⌊ ⌈ |x+3|= 5 |x+ 3|=− 2x − 7

Первое уравнение совокупности имеет решения $x = −3± 5$ , из которых под условие $x≥ −6$ подходит только $x = 2$ .

Второе уравнение совокупности равносильно:

( { −2x− 7≥ 0 ( x+ 3= ±(2x +7)

(||x ≤−3,5 |{⌊ |||⌈ x= −4 ( 3x= −10

−6 ≤x =−4 ≤− 3,5

Объединяя решения первого и второго уравнения совокупности, получаем ответ.

Ответ:

${−4;2}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#91924

Решите уравнение

||2x− 1|− 5|+x =|6− x|

Показать ответ и решение

Если $x ≥6$ , то

3x − 6 =|2x− 6|+ x= ||2x − 1|− 5|+ x= |6 − x|= x− 6

Значит, $x= 0$ ?! Если $3≤ x≤ 6$ , то

3x − 6 =|2x− 6|+ x= ||2x − 1|− 5|+ x= |6 − x|= 6− x

Значит, $x= 3$ и такой $x$ подходит. Если $1≤ x≥ 3 2$ , то

6− x= |2x− 6|+x =||2x− 1|− 5|+x =|6− x|=6− x

Значит, любой $x$ в этом отрезке подходит. Если $− 2≤ x≤ 12$ , то

3x +4 =|− 2x− 4|+ x= ||2x − 1|− 5|+ x= |6− x|= 6− x

Значит, $x= 12$ и такой $x$ нам подходит. Если $x < −2$ , то

− x− 4= |− 2x− 4|+ x= ||2x− 1|− 5|+ x= |6− x|= 6− x

Значит, тут нет корней.

Ответ:

$[1;3] 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#91510

Решите уравнение

4 2 2 3x + x − 8x − 4x |x − 4|+16 =0.

Источники: Физтех - 2020, 11.2 (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

3x4+x2− 8x−4x2|x− 4|+16= 3x4+(x− 4)2 − 4x2|x− 4|= ( 2 )( 2 ) = 3x − |x− 4| x − |x− 4|= 0

Значит, либо $2 x =x − 4$ корней нет, либо $2 x = −x+ 4$ (корни $1 √-- − 2 ± 17$ ), либо $2 3x = x− 4$ (решений нет), либо $2 3x = 4− x$ (решения 1 и $4 − 3$ ).

Ответ:

$1 ±√17,1,− 4 2 3$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#98715

Решите уравнение:

4 2 2 2x +x − 6x− 3x|x− 3|+ 9= 0.

Источники: Физтех - 2020, 9 класс (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Рассмотрим уравнение:

4 2 2 2x +x − 6x− 3x|x− 3|+ 9= 0.

Разделим решение на два случая в зависимости от значения выражения $|x− 3|$ .

Случай 1: $x ≥3$

В этом случае $|x− 3|= x− 3$ . Подставим это в исходное уравнение:

2x4 +x2− 6x− 3x2(x− 3)+ 9= 0.

Упростим выражение:

2x4+x2− 6x− 3x3+9x2+ 9= 0.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

4 3 2 2x − 3x +10x − 6x +9 =0.

Теперь выделим два слагаемых следующим образом:

x2(2x2− 3x+9)+ (x − 3)2 = 0.

Покажем, что сумма $x2(2x2− 3x+ 9)+ (x− 3)2$ всегда больше нуля:

1. Рассмотрим выражение $x2(2x2− 3x+ 9)$ . Заметим, что $x2 ≥0$ для всех $x$ , поэтому достаточно исследовать знак многочлена $2x2− 3x+9$ .

Найдем дискриминант многочлена $2x2− 3x +9$ :

D = (− 3)2− 4⋅2⋅9= 9− 72 =− 63.

Поскольку дискриминант отрицателен ( $D < 0$ ), многочлен $2x2− 3x+9$ не имеет действительных корней и всегда положителен (так как коэффициент при $x2$ положителен). Следовательно, $x2(2x2− 3x+ 9)≥ 0$ для всех $x$ .

2. Теперь рассмотрим выражение $(x− 3)2$ , которое также всегда неотрицательно и равно нулю только при $x= 3$ .

Таким образом, сумма двух неотрицательных выражений, $x2(2x2− 3x +9)+ (x− 3)2$ , всегда больше нуля для всех $x$ , кроме $x =3$ . Следовательно, исходное уравнение не имеет действительных решений в этом случае.

Случай 2: $x <3$

В этом случае $|x− 3|= 3− x$ . Подставим это в исходное уравнение:

2x4 +x2− 6x− 3x2(3− x)+ 9= 0.

Упростим выражение:

4 2 2 3 2x +x − 6x− 9x +3x + 9= 0.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

2x4 +3x3− 8x2 − 6x+ 9= 0.

Заметим, что $x= 1$ и $x = −1.5$ являются корнями этого уравнения. Тогда разложим многочлен на множители:

1. Разделим $2x4+3x3− 8x2− 6x +9$ на $(x− 1)$ :

2x4+ 3x3− 8x2− 6x+9 =(x− 1)(2x3+ 5x2− 3x− 9).

2. Разделим $2x3+5x2− 3x− 9$ на $(x+1.5)$ :

2x3+ 5x2 − 3x− 9= (x +1.5)(2x2 +2x− 6).

Таким образом, исходное уравнение можно записать в виде:

(x− 1)(x+ 1.5)(2x2+2x− 6)= 0.

Теперь решим уравнение $2 2x +2x− 6= 0$ :

Найдем дискриминант:

D =22− 4⋅2⋅(−6)=4 +48= 52.

Тогда корни уравнения:

√ -- √-- √ -- x= −-2±--52-= −2±-2-13= −-1±--13. 2 ⋅2 4 2

Итак, решения исходного уравнения во втором случае: $x= 1$ , $x= −1.5$ , $√-- x= −1+2-13$ и $√-- x = −-1−213$ .

Ответ:

$1,−1.5,−1+√13,−1−-√13 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#67599

Найдите количество корней уравнения

2 |x|+ |x +1|+ ...+|x+ 2018|= x +2018x− 2019

Источники: Всеросс., 2018, ЗЭ, 10.1(см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

При $x∈ (− 2019;1)$ корней нет, так как на указанном интервале левая часть неотрицательна, а правая — отрицательна.

При $x ∈[1;∞ )$ все модули раскрываются со знаком “ $+$ ”, поэтому уравнение примет вид $g(x)= 0,$ где $2 g(x)=x − x− 2019 − (1+ 2+...+2018).$ Поскольку $g(1)< 0,$ это квадратное уравнение имеет единственный корень на промежутке $[1;∞ ).$

Поскольку графики функций в левой и правой части симметричны относительно прямой $x= −1009$ (т.е. $f(x)= f(−2018− x)$ ), то на промежутке $(− ∞;−2019]$ столько же корней, сколько и на промежутке $[1;+∞ ),$ т.е. ровно один корень. Итого, у данного уравнения два корня.

Ответ:

$2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#79127

Назовём расстоянием между числами модуль их разности. Известно, что сумма расстояний от семи последовательных натуральных чисел до некоторого числа $a$ равна $609,$ а сумма расстояний от этих же семи чисел до некоторого числа $b$ равна $721.$ Найдите все возможные значения $a$ , если известно, что $a+b =192.$

Источники: Физтех - 2018, 11.6 (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Обозначим данные последовательные натуральные числа через

k, k+ 1, ..., k+ 6

Заметим, что если некоторое число лежит на отрезке $[k; k +6],$ то сумма расстояний от него до данных семи чисел не превосходит $7⋅ 6 = 21 2$ (сумма расстояний до двух крайних чисел в точности равна $6,$ сумма расстояний до $k+ 1$ и $k+ 5$ не превосходит $6,$ сумма расстояний до $k +2$ и $k+ 4$ также не превосходит $6,$ расстояние до $k+ 3$ не превосходит половины длины отрезка между крайними числами, т.е. $3$ ). Следовательно, числа $a$ и $b$ лежат вне отрезка $[k;k+ 6].$ Тогда сумма расстояний от числа $a$ до каждого из данных последовательных чисел выражается формулой

|7a− k− (k +1)− ...− (k+ 6)|= 7|a− k− 3|

Аналогично, сумма расстояний от числа $b$ до каждого из данных чисел равна $7|b− k − 3|.$ Получаем систему уравнений

(|{ 7|a− k− 3|=609, (|{ |a − k− 3|=87, 7|b− k− 3|=721, ⇐ ⇒ |b− k− 3|=103, |( a+b =192 |( a+ b= 192

Рассмотрим четыре случая раскрытия модуля.

(a) Оба числа $a$ и $b$ лежат справа от отрезка $[k;k+ 6].$ Тогда

(| a− k− 3= 87, (| a =88, { b− k− 3= 103, ⇐⇒ { b= 104, |( a+ b= 192 |( k =− 2

Ввиду того, что $k$ должно быть натуральным числом, этот случай не подходит

(b) Оба числа $a$ и $b$ лежат слева от отрезка $[k;k +6].$ Тогда

(|{ − a+ k+3 =87, (|{ a= 104, − b+k +3 =103, ⇐ ⇒ b= 88, |( a +b= 192 |( k= 188

(|{ a − k − 3= 87, (|{ a= 191, − b+k +3 =103, ⇐ ⇒ b= 1, |( a +b= 192 |( k= 101

(d) Число $b$ лежит справа, а $a$ — слева от отрезка $[k;k+ 6].$ Тогда

( ( |{ −a+ k+ 3= 87, |{ a= 1, | b− k− 3 =103, ⇐⇒ | b=191, ( a+ b= 192 ( k= 85

Итак, возможны три случая: $a= 1, a= 191, a =104.$

Ответ:

$1, 104, 191$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#32859

При каждом значении $a$ решите уравнение

|x− 1|+ |x+ 1|+|x− 2|+ |x +2|+ |x− 3|+ |x+3|+ ...+ +|x− 2015|+|x+2015|+2x2+ 2a2+ 40302− 8060x − 8060a =4030x.

Источники: ПВГ-2015, 11.5 (см. pvg.mk.ru)

Показать ответ и решение

Так как $|A|+ |B |≥|A+ B|$ , то

|x− 1|+|x+1|+ |x− 2|+|x+ 2|+ ...+ |x− 2015|+ |x+ 2015|≥ 2◟|x|+2|x|+◝◜...+-2|x|◞= 2015⋅2|x|= 4030|x| 2015раз

Заметим также, что

2 2 2 2 2 2x +2a + 4030 − 8060x− 8060a= 2(x− 2015) +2(a− 2015)

Следовательно, левая часть равенства

|x − 1|+|x+ 1|+ |x − 2|+ |x+ 2|+...|x− 2015|+|x+ 2015|+ + 2x2+2a2+ 40302− 8060x− 8060a≥ 4030|x|+ 2(x− 2015)2+ 2(a − 2015)2 ≥ 4030|x|

Таким образом, левая часть равна $4030x$ , если

(|| (x − 1)(x +1)≥ 0 ||||| ||||| (x − 2)(x +2)≥ 0 |||{ ... ({ | (x − 2015)(x+ 2015)≥ 0 ⇔ (x = 2015 ||||| 2(x− 2015)2 = 0 a =2015 ||||| 2 ||||( 2(a− 2015) = 0 x≥ 0

Тогда при $a= 2015$ решением уравнения является $x= 2015$ , а при $a⁄= 2015$ уравнение не имеет решений.

Ответ:

$a = =⇒ x= 2015,$

при других значениях $a$ решений нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#34757

Решите уравнение

| 22 2 2 | |xy| |1− x− y − xy|+ |2x y − 2x y− 2xy + 2xy− 9|+ xy = −1.

Источники: ПВГ-2012, 11.5 (см. pvg.mk.ru)

Показать ответ и решение

Заметим, что $|xy|= ±1 xy$ , откуда левая часть не меньше $− 1$ , равенство достигается тогда и только тогда, когда

(| 1 − x − y− xy = 0 (| (x− 1)(y− 1)=2xy { 2x2y2− 2x2y− 2xy2+2xy− 9= 0 ⇐⇒ { 2xy(x− 1)(y − 1)= 9 |( |( xy <0 xy <0

Из первых двух уравнений следует, что $(2xy)2 =9$ , а с учётом третьего неравенства получаем $xy = − 3 2$ . Для решения системы осталось подставить это в первое уравнение, потому что второе и третье условия мы уже учли

{ 1− x− y+ 3= 0 { x+ y = 5 xy = − 3 2 ⇐⇒ xy = − 32 2 2

По обратной теореме Виета если решения системы есть, то числа $x,y$ будут корнями уравнения $t2− 52t− 32 = 0 ⇐⇒ t=− 12 или t=3$ . Осталось не забыть, что система симметрична $(x;y)<− > (y;x)$ , и записать обе пары в ответ.