Тема АЛГЕБРА

Уравнения без логарифмов и тригонометрии → .01 Уравнения с модулем

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Уравнения без логарифмов и тригонометрии

Уравнения с модулем

Иррациональные уравнения (с радикалами)

Уравнения с модулями и корнями (радикалами)

Показательные уравнения

Оценки в уравнениях без логарифмов и тригонометрии

Уравнения с целой и дробной частями

Использование монотонности функций в уравнениях без логарифмов и тригонометрии

Правильная замена или группировка на скобки

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#98709

Решите уравнение:

|5x+ 1|+7x+ 2= 0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Это довольно стандартное уравнение с одним модулем. Значит, нужно рассмотреть два случая его раскрытия.

Подсказка 2

Давайте заметим, что под модульное выражение зануляется при x = -0,2. При больших x оно положительное, а при меньших — отрицательное. Кажется, теперь понятно, какие случаи нужно разобрать.

Показать ответ и решение

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1) $5x +1≥ 0,$ то есть $1 x≥ −5.$ Тогда $|5x+ 1|= 5x+ 1.$ Подставим это в данное уравнение и решим его:

5x +1+ 7x+ 2= 0

12x= −3

x= − 1 4

Но, так как $x≥ − 1, 5$ а $− 1< − 1, 4 5$ то $x= − 1 4$ не является корнем уравнения.

2) $5x +1< 0,$ то есть $1 x< −5.$ Тогда $|5x+ 1|=− 5x − 1.$ Получается:

−5x− 1+ 7x +2 =0

2x =− 1

1 x= −2

При этом $1 1 − 2 <− 5,$ поэтому $1 x= −2$ — корень уравнения.

Ответ:

$− 1 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#98710

Решите уравнение:

|x+3|−-2 2− x = 2.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В первую очередь хочется избавиться от знаменателя, домножить на него. Не забудьте учесть ОДЗ!

Подсказка 2

Получилось простое уравнение с одним модулем. Нужно рассмотреть два случая — когда подмодульное выражение не положительно и отрицательно.

Подсказка 3

Модуль зануляется при x = -3. Значит, при x ≥ -3 он раскрывается со знаком +, а при x < 3 со знаком минус.

Показать ответ и решение

Так как $2− x$ стоит в знаменателе, то $2− x⁄= 0,$ то есть $x⁄= 2.$

Домножим обе части уравнения на $2− x.$ Получим:

|x+ 3|− 2= 4− 2x

Теперь раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1) $x+3 ≥0,$ тогда $|x +3|= x+ 3.$ Подставим это в уравнение выше и решим его:

x+ 3− 2= 4− 2x

x= 1

При этом $x= 1$ удовлетворяет неравенству $x +3≥ 0,$ поэтому является корнем.

2) $x+3 <0,$ тогда $|x+3|= −x− 3.$ Получается:

− x− 3 − 2= 4− 2x

x= 9

Но $x =9$ не удовлетворяет неравенству $x+3 <0,$ поэтому не является корнем.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#98711

Решите уравнение:

| 2 | |x +x − 3|= |5x− 4|.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Уравнение представляет из себя равенство двух модулей. А когда могут быть равны модули двух выражений?

Подсказка 2

Либо выражения равны, либо когда они противоположны. Отсюда вытекает два случая, в каждом из которых нужно решить простое квадратное уравнение.

Показать ответ и решение

Если два модуля равны, значит подмодульные выражения либо равны, либо противоположны. Рассмотрим оба случая:

1) Подмодульные выражения равны, то есть:

2 x +x− 3= 5x− 4

x2− 4x +1 =0

Дискриминант этого уравнения равен $D = 16− 4 =12,$ а значит корни равны $- x= 2+ √3$ и $- x =2− √3$

2) Подмодульные выражения противоположны, то есть:

x2+ x− 3 =− 5x +4

x2+ 6x − 7 =0

По теореме Виета корни равны $x = −7$ и $x= 1.$

Ответ:

$− 7,$ $2− √3,$ $1,$ $2+ √3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#98712

Решите уравнение:

2 |x− 3|= x +2x− 3.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если бы в левой части не было модуля, то это было бы простое квадратное уравнение.

Подсказка 2

Значит, модуль нужно раскрыть, рассмотрев два случая, когда он раскрывается со знаками + и -.

Подсказка 3

При x ≥ 3 модуль раскроется с положительным знаком, а при x < 3 — с отрицательным.

Показать ответ и решение

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1) $x− 3≥ 0,$ то есть $|x− 3|=x − 3.$ Подставим это в данное уравнение:

2 x − 3 =x + 2x− 3

x2+x =0

x(x+1)= 0

Получается, $x =0$ или $x= −1,$ но оба этих значения меньше 3, что не удовлетворяет неравенству $x− 3≥ 0,$ а значит при $x− 3≥0$ решений нет.

2) $x− 3< 0,$ то есть $x < 3.$ Тогда $|x− 3|=− x+ 3.$ Подставим:

−x+ 3= x2+ 2x − 3

x2+ 3x − 6 =0

$D= 9+ 24= 33,$ откуда корни уравнения равны $− 3− √33 x1 =---2----$ и $−3+ √33 x2 = ---2---.$ $x1$ — отрицательное число, то есть точно меньше трех и подходит нам. Оценим $x2 :$ $√-- √-- 33< 36= 6,$ отсюда $√-- −3+--33- 3 x2 = 2 < 2 <3.$ Итак, $x1$ и $x2$ — корни уравнения.

Ответ:

$−-3−-√33 −3+-√33 2 , 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#98713

Решите уравнение:

||3 − x|− 2x +1|= 4x − 10.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Тут два модулю, и с ними нужно что-то делать. Стоит начать с внутреннего модуля |3-x|. Рассмотрите случаи его положительного и отрицательного раскрытия, наложите ограничения на x, получите два более простых уравнения.

Подсказка 2

С получившимися уравнениями работать гораздо проще, ведь у них только один модуль. Рассмотрите разные случаи его раскрытия, наложите на x дополнительные ограничения, связанные с этим.

Показать ответ и решение

1. Обозначим $a= |3− x|$ , тогда уравнение примет вид:

|a− 2x +1|= 4x− 10.

Теперь решим это уравнение в зависимости от значения $a= |3− x|$ .

Случай 1: $3 − x ≥0$ , то есть $x ≤3$ .

В этом случае $|3− x|= 3− x$ . Уравнение примет вид:

|3 − x− 2x+ 1|=4x− 10.

Упростим левую часть:

|4− 3x|=4x− 10.

Теперь рассмотрим два случая для значения $|4− 3x|$ .

Подслучай 1.1: $4− 3x≥ 0$ , то есть $4 x≤ 3$ .

В этом случае $|4− 3x|= 4− 3x$ . Тогда уравнение примет вид:

4− 3x= 4x− 10.

Решим это уравнение:

4+ 10= 4x+ 3x,

14 =7x,

x =2.

Проверим, удовлетворяет ли $x= 2$ условию $4 x ≤ 3$ . Нет, это условие не выполняется, следовательно, $x =2$ не является решением.

Подслучай 1.2: $4− 3x≤ 0$ , то есть $4 x≥ 3$ .

В этом случае $|4− 3x|= 3x− 4$ . Тогда уравнение примет вид:

3x− 4= 4x− 10.

Решим это уравнение:

4x− 3x= 10− 4,

x =6.

Проверим, удовлетворяет ли $x = 6$ условиям $4 x≥ 3$ и $x≤ 3$ . Нет, второе условие выполняется, следовательно, $x =6$ не является решением.

Случай 2: $3 − x ≤0$ , то есть $x ≥3$ .

В этом случае $|3− x|= x− 3$ . Тогда уравнение примет вид:

|x − 3− 2x+ 1|=4x− 10.

Упростим левую часть:

|− x− 2|= 4x− 10.

Теперь рассмотрим два случая для значения $|− x− 2|$ .

Подслучай 2.1: $−x − 2 ≥0$ , то есть $x ≤− 2$ .

В этом случае $|− x− 2|= −x − 2$ . Тогда уравнение примет вид:

−x − 2= 4x− 10.

Решим это уравнение:

− x− 4x =− 10+2,

−5x= −8,

8 x= 5.

Проверим, удовлетворяет ли $8 x= 5$ условию $x≤ −2$ . Нет, это условие не выполняется, следовательно, $8 x = 5$ не является решением.

Подслучай 2.2: $−x − 2 ≤0$ , то есть $x ≥− 2$ .

В этом случае $|− x− 2|= x+ 2$ . Тогда уравнение примет вид:

x+ 2= 4x − 10.

Решим это уравнение:

4x − x =10+ 2,

3x =12,

x =4.

Проверим, удовлетворяет ли $x = 4$ условиям $x≥ −2$ и $x≥ 3$ . Да, эти условия выполняются, следовательно, $x= 4$ является решением.

Ответ:

$4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#98714

Решите уравнение:

||x2− 2x|| --x−-3-+ |x +2|= 1.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала запишите ОДЗ.

Подсказка 2

В уравнении есть два модуля, при том совсем разных, никак не связанных друг с другом. Придётся рассматривать случаи раскрытия. Но этот процесс оптимизировать?

Подсказка 3

Давайте найдём все значения х, при которых хотя бы один из модулей зануляется. Это x = -2, 0, 2. Теперь стоит рассмотреть уравнение отдельно при x ≤ -2, -2 < x ≤ 0, 0 < x ≤ 2, 2 < x. И не забудьте про ОДЗ!

Показать ответ и решение

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Необходимо, чтобы знаменатель не обращался в ноль:

x ⁄=3.

2. Раскрытие модулей

Рассмотрим различные случаи для раскрытия модулей.

Модуль $|x2− 2x|$ :

({ x2 − 2x, если x ≤0 или x≥ 2, |x2− 2x|= ( 2 −(x − 2x), если 0 <x <2.

Модуль $|x +2|$ :

({ −(x+2), если x< −2, |x+ 2|= ( x+ 2, если x≥ −2.

3. Решение уравнения по частям

Случай 1: $x <− 2$

В этом случае:

|x+ 2|=− (x +2), |x2− 2x|=x2 − 2x.

Уравнение принимает вид:

x2− 2x-− (x+ 2)=1. x − 3

Приведем всё к общему знаменателю:

x2−-2x− (x+-2)(x−-3) x− 3 = 1.

Раскроем скобки:

x2− 2x− (x2 − 3x+ 2x− 6)= −x +6.

Таким образом, уравнение становится:

−xx−+63 = 1.

Решим его:

−x+ 6= x− 3 =⇒ 2x= 9 =⇒ x = 9. 2

Это значение не принадлежит области $x< −2$ , поэтому решений в этом случае нет.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Случай 2: $− 2≤ x< 0$

В этом случае:

2 2 |x +2|= x+ 2, |x − 2x|= x − 2x.

Уравнение принимает вид:

2 x-− 2x-+(x+ 2)=1. x − 3

Приведем всё к общему знаменателю:

x2−-2x+(x+-2)(x−-3)= 1. x− 3

Раскроем скобки:

2 2 2 x − 2x+ (x − 3x+ 2x− 6)= 2x − 3x − 6.

Таким образом, уравнение становится:

2x2−-3x− 6 x− 3 = 1.

Решим это уравнение:

2 2 2x − 3x− 6= x− 3 =⇒ 2x − 4x− 3= 0.

Решим квадратное уравнение:

√------ √-- √-- √ -- x= 4±--16+-24= 4±--40 = 4-±2-10 = 2±-10. 4 4 4 2

Из корней $2+√10 2$ и $2−√10 2$ , только $2−√10 2$ принадлежит промежутку $[−2,0)$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Случай 3: $0 ≤x <2$

В этом случае:

|x+ 2|=x +2, |x2− 2x|= −(x2− 2x).

Уравнение принимает вид:

− (x2− 2x) --x-− 3- +(x+ 2)= 1.

Преобразуем:

−x2+-2x- x− 3 +x +2 =1.

Приведем всё к общему знаменателю:

− x2+2x +(x+ 2)(x− 3) --------x−-3------- =1.

Раскроем скобки:

− x2+2x+ (x2− 3x+ 2x− 6)=x − 6.

Таким образом, уравнение становится:

xx−−-63 = 1.

Решим его:

x − 6 =x − 3,

что приводит к противоречию. Решений в этом случае нет.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Случай 4: $x ≥2$

В этом случае:

|x +2|= x+ 2, |x2− 2x|= x2− 2x.

Уравнение принимает вид:

x2− 2x x-− 3-+(x+ 2)=1.

Приведем всё к общему знаменателю:

2 x-−-2x+(xx−+32)(x−-3)= 1.

Раскроем скобки:

x2− 2x+ (x2− 3x+ 2x− 6)= 2x2− 3x − 6.

Таким образом, уравнение становится:

2 2x-−-3x− 6-= 1. x− 3

Решим его:

2x2 − 3x− 6= x− 3 =⇒ 2x2− 4x− 3= 0.

Решения этого уравнения совпадают с предыдущими: $√-- x = 2±-210-$ , и только корень $√-- x= 2+210$ принадлежит области $x ≥2$ .

Ответ:

$1± √10 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#31587

Решите уравнение

| 2 | | 2| |x− x − 1|= |2x− 3 +x |

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Неужели рассматривать все случаи раскрытия модулей? А обратите внимание, что обе части уравнения неотрицательны и можно сделать некоторое равносильное преобразование

Подсказка 2

В уравнениях такого типа равносильным преобразованием является возведение в квадрат, а ведь квадрат модуля это квадрат самого выражения... Удобно, что модули уходят!

Подсказка 3

Теперь можно перенести всё в одну сторону и использовать формулу разности квадратов!

Показать ответ и решение

Возведем в квадрат (обе части неотрицательны, так что в данном случае переход равносилен) и рассмотрим разность квадратов:

2 2 2 2 2 (x − x − 1) − (2x− 3+x ) = (3x− 4)(−2x − x+ 2)=0

Значит, $x= 4 3$ или $x= − 1 ± √17 4 4$ .

Ответ:

$4;− 1± √17 3 4 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#31589

Решите уравнение

||2x− 1|− 5|+ x= |6 − x|.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В этой задаче, кажется, придётся пойти по пути раскрытия модулей! Надо только аккуратно это сделать:)

Показать ответ и решение

Если $x ≥6$ , то

3x − 6 =|2x− 6|+ x= ||2x − 1|− 5|+ x= |6 − x|= x− 6

Значит, $x= 0$ ?!

Если $3≤ x≤ 6$ , то

3x − 6 =|2x− 6|+ x= ||2x − 1|− 5|+ x= |6 − x|= 6− x

Значит, $x= 3$ и такой $x$ подходит.

Если $1≤ x≤ 3 2$ , то

6− x= |2x− 6|+x =||2x− 1|− 5|+x =|6− x|=6− x

Значит, любой $x$ в этом отрезке подходит.

Если $− 2≤ x≤ 12$ , то

3x +4 =|− 2x− 4|+ x= ||2x − 1|− 5|+ x= |6− x|= 6− x

Значит, $x= 12$ и такой $x$ нам подходит.

Если $x< −2$ , то

− x− 4= |− 2x− 4|+ x= ||2x− 1|− 5|+ x= |6− x|= 6− x

Значит, здесь корней нет.

Ответ:

$[1;3] 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#31628

Решите уравнение

|x+ |− x − 3|+ 1|− 6= x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В задачах такого типа часто можно сделать следующее равносильное преобразование: оставить слева только модуль, далее в системе записать неотрицательность правой части и совокупность. Какие же уравнения должны быть в совокупности?

Подсказка 2

Когда у нас может наблюдаться равенство? Только тогда, когда правая часть равна ± подмодульному выражению. Как раз эти уравнения и надо записать в совокупность. Осталось её дорешать!

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно системе:

({ x+ 6≥ 0 (x+ 1+ |x+ 3|=± (x +6)

Запомним, что $x≥ −6$ . Получаем совокупность:

⌊ ⌈ |x+3|= 5 |x+ 3|=− 2x − 7

Первое уравнение совокупности имеет решения $x = −3± 5$ , из которых под условие $x≥ −6$ подходит только $x = 2$ .

Второе уравнение совокупности равносильно:

( { −2x− 7≥ 0 ( x+ 3= ±(2x +7)

(||x ≤−3,5 |{⌊ |||⌈ x= −4 ( 3x= −10

−6 ≤x =−4 ≤− 3,5

Объединяя решения первого и второго уравнения совокупности, получаем ответ.

Ответ:

${−4;2}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#91924

Решите уравнение

||2x− 1|− 5|+x =|6− x|

Показать ответ и решение

Если $x ≥6$ , то

3x − 6 =|2x− 6|+ x= ||2x − 1|− 5|+ x= |6 − x|= x− 6

Значит, $x= 0$ ?! Если $3≤ x≤ 6$ , то

3x − 6 =|2x− 6|+ x= ||2x − 1|− 5|+ x= |6 − x|= 6− x

Значит, $x= 3$ и такой $x$ подходит. Если $1≤ x≥ 3 2$ , то

6− x= |2x− 6|+x =||2x− 1|− 5|+x =|6− x|=6− x

Значит, любой $x$ в этом отрезке подходит. Если $− 2≤ x≤ 12$ , то

3x +4 =|− 2x− 4|+ x= ||2x − 1|− 5|+ x= |6− x|= 6− x

Значит, $x= 12$ и такой $x$ нам подходит. Если $x < −2$ , то

− x− 4= |− 2x− 4|+ x= ||2x− 1|− 5|+ x= |6− x|= 6− x

Значит, тут нет корней.

Ответ:

$[1;3] 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#91510

Решите уравнение

4 2 2 3x + x − 8x − 4x |x − 4|+16 =0.

Источники: Физтех - 2020, 11.2 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем в части без модуля выделить квадрат суммы (не обязательно задействовав все слагаемые).

Подсказка 2

Выделяем x² - 8x + 16 = (x - 4)². Заметим, что |x-4|² = (x-4)². Используя это, представим выражение в виде произведения двух скобок.

Подсказка 3

Теперь рассмотрим все случаи, учитывая, что это выражение равно 0. Не обязательно во всех случаях будут решения, но в целом они найдутся!

Показать ответ и решение

3x4+x2− 8x−4x2|x− 4|+16= 3x4+(x− 4)2 − 4x2|x− 4|= ( 2 )( 2 ) = 3x − |x− 4| x − |x− 4|= 0

Значит, либо $2 x =x − 4$ корней нет, либо $2 x = −x+ 4$ (корни $1 √-- − 2 ± 17$ ), либо $2 3x = x− 4$ (решений нет), либо $2 3x = 4− x$ (решения 1 и $4 − 3$ ).

Ответ:

$1 ±√17,1,− 4 2 3$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#98715

Решите уравнение:

4 2 2 2x +x − 6x− 3x|x− 3|+ 9= 0.

Источники: Физтех - 2020, 9 класс (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте немного преобразуем уравнение: 2x⁴ - 3x²|x - 3| + (x - 3)² = 0. У вас не возникло никаких идей?

Подсказка 2

Давайте вспомним, что квадрат числа равен квадрату его модуля: 2x⁴ - 3x²|x - 3| + |x - 3|² = 0.

Подсказка 3

Если до сих пор не пришло никаких идей, скорее всего вы не знаете про однородные уравнения. Поделите на |x - 3|² (предварительно рассмотрев случай x = 3) и сделайте замену t = x²/|x - 3|. Теперь уравнение стало совсем простым, не так ли?:)

Показать ответ и решение

Рассмотрим уравнение:

4 2 2 2x +x − 6x− 3x|x− 3|+ 9= 0.

Разделим решение на два случая в зависимости от значения выражения $|x− 3|$ .

Случай 1: $x ≥3$

В этом случае $|x− 3|= x− 3$ . Подставим это в исходное уравнение:

2x4 +x2− 6x− 3x2(x− 3)+ 9= 0.

Упростим выражение:

2x4+x2− 6x− 3x3+9x2+ 9= 0.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

4 3 2 2x − 3x +10x − 6x +9 =0.

Теперь выделим два слагаемых следующим образом:

x2(2x2− 3x+9)+ (x − 3)2 = 0.

Покажем, что сумма $x2(2x2− 3x+ 9)+ (x− 3)2$ всегда больше нуля:

1. Рассмотрим выражение $x2(2x2− 3x+ 9)$ . Заметим, что $x2 ≥0$ для всех $x$ , поэтому достаточно исследовать знак многочлена $2x2− 3x+9$ .

Найдем дискриминант многочлена $2x2− 3x +9$ :

D = (− 3)2− 4⋅2⋅9= 9− 72 =− 63.

Поскольку дискриминант отрицателен ( $D < 0$ ), многочлен $2x2− 3x+9$ не имеет действительных корней и всегда положителен (так как коэффициент при $x2$ положителен). Следовательно, $x2(2x2− 3x+ 9)≥ 0$ для всех $x$ .

2. Теперь рассмотрим выражение $(x− 3)2$ , которое также всегда неотрицательно и равно нулю только при $x= 3$ .

Таким образом, сумма двух неотрицательных выражений, $x2(2x2− 3x +9)+ (x− 3)2$ , всегда больше нуля для всех $x$ , кроме $x =3$ . Следовательно, исходное уравнение не имеет действительных решений в этом случае.

Случай 2: $x <3$

В этом случае $|x− 3|= 3− x$ . Подставим это в исходное уравнение:

2x4 +x2− 6x− 3x2(3− x)+ 9= 0.

Упростим выражение:

4 2 2 3 2x +x − 6x− 9x +3x + 9= 0.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

2x4 +3x3− 8x2 − 6x+ 9= 0.

Заметим, что $x= 1$ и $x = −1.5$ являются корнями этого уравнения. Тогда разложим многочлен на множители:

1. Разделим $2x4+3x3− 8x2− 6x +9$ на $(x− 1)$ :

2x4+ 3x3− 8x2− 6x+9 =(x− 1)(2x3+ 5x2− 3x− 9).

2. Разделим $2x3+5x2− 3x− 9$ на $(x+1.5)$ :

2x3+ 5x2 − 3x− 9= (x +1.5)(2x2 +2x− 6).

Таким образом, исходное уравнение можно записать в виде:

(x− 1)(x+ 1.5)(2x2+2x− 6)= 0.

Теперь решим уравнение $2 2x +2x− 6= 0$ :

Найдем дискриминант:

D =22− 4⋅2⋅(−6)=4 +48= 52.

Тогда корни уравнения:

√ -- √-- √ -- x= −-2±--52-= −2±-2-13= −-1±--13. 2 ⋅2 4 2

Итак, решения исходного уравнения во втором случае: $x= 1$ , $x= −1.5$ , $√-- x= −1+2-13$ и $√-- x = −-1−213$ .

Ответ:

$1,−1.5,−1+√13,−1−-√13 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#67599

Найдите количество корней уравнения

2 |x|+ |x +1|+ ...+|x+ 2018|= x +2018x− 2019

Источники: Всеросс., 2018, ЗЭ, 10.1(см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Самое лучшее, что можно делать в задачах такого вида (когда явных корней не видно или их просто долго искать) это анализировать уравнение по интервалам. Для начала давайте разложим на множители квадратный трёхчлен и поймём, какие знаки он принимает на промежутках. Что тогда можно сказать сразу, учитывая, что левая часть у нас всегда положительна?

Подсказка 2

Верно, на интервале от -2019 до 1 квадратный трёхчлен отрицательный, а левая часть всегда положительна. Значит, корней тут нет. Давайте теперь проанализируем интервалы, где правая часть положительна. Что можно сказать про эти два интервала? Попробуйте понять, как на этих промежутках раскрываются модули.

Подсказка 3

Ага, от 1 до бесконечности они все раскроются положительно, откуда найти, сколько находится корней на этом промежутке, не составляет труда. Второй промежуток можно рассмотреть аналогично или же понять, что функции слева и справа симметричны относительно одной оси. Тогда на втором промежутке столько же корней, сколько на первом.

Показать ответ и решение

При $x∈ (− 2019;1)$ корней нет, так как на указанном интервале левая часть неотрицательна, а правая — отрицательна.

При $x ∈[1;∞ )$ все модули раскрываются со знаком “ $+$ ”, поэтому уравнение примет вид $g(x)= 0,$ где $2 g(x)=x − x− 2019 − (1+ 2+...+2018).$ Поскольку $g(1)< 0,$ это квадратное уравнение имеет единственный корень на промежутке $[1;∞ ).$

Поскольку графики функций в левой и правой части симметричны относительно прямой $x= −1009$ (т.е. $f(x)= f(−2018− x)$ ), то на промежутке $(− ∞;−2019]$ столько же корней, сколько и на промежутке $[1;+∞ ),$ т.е. ровно один корень. Итого, у данного уравнения два корня.

Ответ:

$2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#79127

Назовём расстоянием между числами модуль их разности. Известно, что сумма расстояний от семи последовательных натуральных чисел до некоторого числа $a$ равна $609,$ а сумма расстояний от этих же семи чисел до некоторого числа $b$ равна $721.$ Найдите все возможные значения $a$ , если известно, что $a+b =192.$

Источники: Физтех - 2018, 11.6 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала нужно понять, как точки а и b могут быть расположены относительно семи последовательных чисел из условия. Может ли какая-то из этих точек лежать внутри отрезка [k, k+6], где k - первое из данных последовательный чисел? Какие тогда остаются случаи расположения точек А и В относительно [k, k+6]?

Подсказка 2

Мы хотим найти все значения а, поэтому хочется составить систему, из которой можно будет получить значения a, b, k.

Подсказка 3

Должно получиться 4 случая расположения а и b, систему записываем, выражая сумму расстояний от наших чисел до а и b и не забывая про условие о сумме а и b. Cоответственно, 4 варианта системы дают нам максимум 4 возможных ответа!

Показать ответ и решение

Обозначим данные последовательные натуральные числа через

k, k+ 1, ..., k+ 6

Заметим, что если некоторое число лежит на отрезке $[k; k +6],$ то сумма расстояний от него до данных семи чисел не превосходит $7⋅ 6 = 21 2$ (сумма расстояний до двух крайних чисел в точности равна $6,$ сумма расстояний до $k+ 1$ и $k+ 5$ не превосходит $6,$ сумма расстояний до $k +2$ и $k+ 4$ также не превосходит $6,$ расстояние до $k+ 3$ не превосходит половины длины отрезка между крайними числами, т.е. $3$ ). Следовательно, числа $a$ и $b$ лежат вне отрезка $[k;k+ 6].$ Тогда сумма расстояний от числа $a$ до каждого из данных последовательных чисел выражается формулой

|7a− k− (k +1)− ...− (k+ 6)|= 7|a− k− 3|

Аналогично, сумма расстояний от числа $b$ до каждого из данных чисел равна $7|b− k − 3|.$ Получаем систему уравнений

(|{ 7|a− k− 3|=609, (|{ |a − k− 3|=87, 7|b− k− 3|=721, ⇐ ⇒ |b− k− 3|=103, |( a+b =192 |( a+ b= 192

Рассмотрим четыре случая раскрытия модуля.

(a) Оба числа $a$ и $b$ лежат справа от отрезка $[k;k+ 6].$ Тогда

(| a− k− 3= 87, (| a =88, { b− k− 3= 103, ⇐⇒ { b= 104, |( a+ b= 192 |( k =− 2

Ввиду того, что $k$ должно быть натуральным числом, этот случай не подходит

(b) Оба числа $a$ и $b$ лежат слева от отрезка $[k;k +6].$ Тогда

(|{ − a+ k+3 =87, (|{ a= 104, − b+k +3 =103, ⇐ ⇒ b= 88, |( a +b= 192 |( k= 188

(|{ a − k − 3= 87, (|{ a= 191, − b+k +3 =103, ⇐ ⇒ b= 1, |( a +b= 192 |( k= 101

(d) Число $b$ лежит справа, а $a$ — слева от отрезка $[k;k+ 6].$ Тогда

( ( |{ −a+ k+ 3= 87, |{ a= 1, | b− k− 3 =103, ⇐⇒ | b=191, ( a+ b= 192 ( k= 85

Итак, возможны три случая: $a= 1, a= 191, a =104.$

Ответ:

$1, 104, 191$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#32859

При каждом значении $a$ решите уравнение

|x− 1|+ |x+ 1|+|x− 2|+ |x +2|+ |x− 3|+ |x+3|+ ...+ +|x− 2015|+|x+2015|+2x2+ 2a2+ 40302− 8060x − 8060a =4030x.

Источники: ПВГ-2015, 11.5 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Уравнение на первый взгляд выглядит страшно, обычные действия из неравенств с модулями делать не хочется. Ещё и вопрос такой неприятный: решить при каждом значении a. Не раскрывать же модули! В общем, нужно подумать про какие-то нестандартные методы. Среди таких есть метод оценки, который часто используется в уравнениях с модулями, так как есть неравенства |a| + |b| >= |a + b| и |a| >= a.

Подсказка 2

Попробуем найти оценку. Заметим, что если сложить все подмодульные выражения слева, то получится 4030x. А это как раз то, что стоит справа! Мы же знаем, что сумма модулей не меньше, чем сумма подмодульных выражений, то есть уже получили некоторую оценку. Но ещё ведь есть лишние слагаемые без модулей, может, и их можно оценить?

Подсказка 3

Большое количество квадратов намекает на мысль, что здесь можно поискать квадраты суммы или разности. И они есть! Убедитесь, что слагаемые без модулей слева можно записать как 2(a - 2015)^2 + 2(x - 2015)^2. Теперь дело за малым. Слева выражение не меньше, чем справа, но нам нужно равенство. Тогда во всех неравенствах должно достигаться равенство, то есть квадраты должны быть равны нулю и сумма модулей должна быть равна сумме подмодульных выражений.

Показать ответ и решение

Так как $|A|+ |B |≥|A+ B|$ , то

|x− 1|+|x+1|+ |x− 2|+|x+ 2|+ ...+ |x− 2015|+ |x+ 2015|≥ 2◟|x|+2|x|+◝◜...+-2|x|◞= 2015⋅2|x|= 4030|x| 2015раз

Заметим также, что

2 2 2 2 2 2x +2a + 4030 − 8060x− 8060a= 2(x− 2015) +2(a− 2015)

Следовательно, левая часть равенства

|x − 1|+|x+ 1|+ |x − 2|+ |x+ 2|+...|x− 2015|+|x+ 2015|+ + 2x2+2a2+ 40302− 8060x− 8060a≥ 4030|x|+ 2(x− 2015)2+ 2(a − 2015)2 ≥ 4030|x|

Таким образом, левая часть равна $4030x$ , если

(|| (x − 1)(x +1)≥ 0 ||||| ||||| (x − 2)(x +2)≥ 0 |||{ ... ({ | (x − 2015)(x+ 2015)≥ 0 ⇔ (x = 2015 ||||| 2(x− 2015)2 = 0 a =2015 ||||| 2 ||||( 2(a− 2015) = 0 x≥ 0

Тогда при $a= 2015$ решением уравнения является $x= 2015$ , а при $a⁄= 2015$ уравнение не имеет решений.

Ответ:

$a = =⇒ x= 2015,$

при других значениях $a$ решений нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#34757

Решите уравнение

| 22 2 2 | |xy| |1− x− y − xy|+ |2x y − 2x y− 2xy + 2xy− 9|+ xy = −1.

Источники: ПВГ-2012, 11.5 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Слева модули, а справа (-1) –> намёк на оценку! Вот только одно слагаемое в левой части выбивается! Однако взгляните на него повнимательнее: может мы точно знаем, какие оно может принимать значения?

Подсказка 2

Если это выражение равно 1, то оценка даст нам явное противоречие, а если (-1), то красивую системку! Только не забудьте, что эти значения наше выражение принимает при определённых условиях – прикрепите их к системе. Остаётся решить системку! Возможно, уравнения могут вас пугать, но вот как работать с выражением 1-x-y-xy вы должны помнить ещё с вебов по тождественным преобразованиям!

Подсказка 3

Раскладываем на множители и замечаем, что сами x и y выразить трудновато, но зато легко можно найти значение xy. А зная его, и значение x+y легко ищется! А уже система из суммы и произведения легко решается либо обычной подстановкой, либо сведением к квадратному уравнению (вспомните теорему Виета)

Показать ответ и решение

Заметим, что $|xy|= ±1 xy$ , откуда левая часть не меньше $− 1$ , равенство достигается тогда и только тогда, когда

(| 1 − x − y− xy = 0 (| (x− 1)(y− 1)=2xy { 2x2y2− 2x2y− 2xy2+2xy− 9= 0 ⇐⇒ { 2xy(x− 1)(y − 1)= 9 |( |( xy <0 xy <0

Из первых двух уравнений следует, что $(2xy)2 =9$ , а с учётом третьего неравенства получаем $xy = − 3 2$ . Для решения системы осталось подставить это в первое уравнение, потому что второе и третье условия мы уже учли

{ 1− x− y+ 3= 0 { x+ y = 5 xy = − 3 2 ⇐⇒ xy = − 32 2 2

По обратной теореме Виета если решения системы есть, то числа $x,y$ будут корнями уравнения $t2− 52t− 32 = 0 ⇐⇒ t=− 12 или t=3$ . Осталось не забыть, что система симметрична $(x;y)<− > (y;x)$ , и записать обе пары в ответ.

Ответ:

$(3;− 1),(− 1;3) 2 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#92349

Найдите площадь фигуры, состоящей из точек $(x,y)$ координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению

|x|+|x+ 3y|+ 3|y− 2|=6.

Источники: ДВИ - 2012, вариант 1, задача 5 (pk.cs.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Можно, конечно, все это честно раскрыть и построить, но мы не ищем проторенных путей! Раз просят найти площадь, то попробуем вспомнить, что же такое модуль с точки зрения геометрии. Есть ли в геометрии какие-то факты, связанные с модулями или даже их суммой?

Подсказка 2

Модуль — это по сути своей длина некоторого отрезка, а с суммой длин связано одно прекрасное неравенство — неравенство треугольника. Может быть, здесь будет удобно его применить?

Подсказка 3

|a|+|b|>=|a+b|, где равенство будет достигаться только в том случае, если ab≥0. Но давайте внимательно посмотрим на первые два модуля, может быть, можно чуть-чуть переделать неравенство так, чтобы нам было гораздо удобнее?

Подсказка 4

х+х+3у=2х+3у, а вот х-(х+3у)=-3у — второй вариант выглядит гораздо лучше. Давайте тогда возьмём |a|+|b|=|a|+|-b|>=|a-b|, и тогда равенство будет достигаться при ab≤0. Давайте теперь оценим сумму наших модулей. Сначала первые два, а потом и третий к ним прибавим.

Подсказка 5

Если удачно подобрать порядок, то выйдет, что 6=|x|+|x+3y|+3|y-2|≥6, то есть какое условие обязательно должно выполниться?

Подсказка 6

Получаем систему из x*(x+3y)≤0 и 3y*3(y-2)≤0. Решив их по очереди, а потом отметив результаты на координатной плоскости (не забудьте взять их пересечение!), получим фигуру, площадь которой считается максимально очевидно :)

Показать ответ и решение

Воспользуемся неравенством треугольника:

|a|+|b|≥ |a − b|

причем равенство достигается при $ab≤0.$

Тогда

|x|+ |x+3y|≥ |x− x− 3y| =⇒ |x|+ |x+ 3y|≥ |3y|

|x|+|x+ 3y|+ 3|y− 2|≥|3y|+ |3y− 6|≥|3y− 3y+ 6|

В итоге

6= |x|+ |x +3y|+3|y − 2|≥ 6,

поэтому во всех неравенствах должно достигаться равенство. Тогда

{ 3y⋅3(y− 2)≤ 0 x ⋅(x+ 3y)≤0

Первое условие равносильно

y(y− 2) ≤0 ⇐⇒ y ∈ [0;2],

а второе

⌊ { | x≥ 0 ||| { x+ 3y ≤0 ⌈ x≤ 0 x+ 3y ≥0

⌊ ({ | x≥ 0x ||| (( y ≤ −3 |⌈ { x≤ 0 ( y ≥ − x3

Изобразим полученные условия на координатной плоскости:

$PIC$

Тогда искомая площадь равна $6.$

Ответ:

$6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#113667

Решите уравнение

|x− 1|+ |x +1|+|x− 2|+ |x +2|+ ⋅⋅⋅+|x− 100|+ |x+ 100|= 200x.

Источники: Вступительные в МГУ - 2001 (см. pk.cs.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте вспомним какое-то полезное неравенство, в котором использовалась сумма модулей!

Подсказка 2

|a| + |b| >= |a+b|. Отлично, теперь мы можем записать цепочку неравенств и получить ограничения на x ;)

Подсказка 3

Попробуйте раскрыть модули в сумме |x+k| + |x-k|

Подсказка 4

Иногда |x+k| + |x-k| больше, чем нам нужно) Когда?

Показать ответ и решение

Так как $|a|+ |b|≥|a+ b|,$ то получаем, что

200x= |x+1|+ |x− 1|+|x− 2|+ |x +2|+⋅⋅⋅+|x+ 100|+|x− 100|≥

≥|x+1 +x − 1|+|x− 2+ x+2|+ ...+ |x+ 100 +x − 100|= 200|x|

200x≥ 200|x|

Это равносильно $x≥ 0.$

При $x≥ k,$ где $k= 1,...,100:$

|x +k|+ |x− k|= x+k +x − k= 2x

При $x< k,$ где $k= 1,...,100:$

|x+k|+ |x− k|= x+k +k − x =2k> 2x

Отсюда видно, что при $x ≥100$ равенство выполнено (так как у нас 100 пар с суммой $2x$ ), но если же $x< 100,$ то сумма модулей будет больше $200x.$

Ответ:

$[100;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#113668

Сколько корней имеет уравнение

2 |x − 2|x|+ 1|= 3|2− x|− 1?

Источники: Вступительные в МГУ - 1995 (см. pk.cs.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На что похоже подмодульное выражение слева? Давайте преобразуем его!

Подсказка 2

Подмодульное выражение слева является полным квадратом! Тогда и модуль можно убрать ;)

Подсказка 3

Посмотрите, при каких x подмодульные выражения меняют знаки, и разберите случаи!

Подсказка 4

Разберите случаи x > 2, 2 ≥ x > 0, 0 ≥ x.

Показать ответ и решение

Заметим, что слева можно выделить полный квадрат:

2 |(|x|− 1) |=3|2 − x|− 1

Квадрат неотрицателен, так что уравнение равносильно следующему

2 (|x|− 1) = 3|2− x|− 1

Разберем три случая: $x> 2, 2 ≥x >0, 0 ≥x.$

1) $x> 2.$ В этом случае после раскрытия модулей уравнение примет следующий вид

(x− 1)2 = 3(x− 2)− 1

x2− 5x +8 =0

D =(−5)2− 4 ⋅8 <0

То есть корней в таком случае нет.

2) $2≥x >0.$ В этом же случае после раскрытия модулей уравнение примет следующий вид

(x− 1)2 = 3(2− x)− 1

x2+ x− 4= 0

2 D = 1 − 4 ⋅(−4)= 17

−1+ √17 −1 − √17 x1 = ---2---, x2 =--2----

Второй корень меньше нуля, следовательно, он не подходит, а первый:

√ -- √-- 0< −1-+--17-< −1+--25= 2 2 2

Значит, первый корень в этом случае идёт в ответ.

3) $0>x.$ В этом же случае после раскрытия модулей уравнение примет следующий вид

(− x− 1)2 = 3(2− x)− 1

x2+ 5x − 4 =0

D = 52− 4 ⋅(−4)= 41

√-- √ -- x1 = −5+--41, x2 = −5-−-41 2 2

Первый корень положительный, а второй отрицательный. Значит, второй нам походит.

В итоге у нас 2 подходящих корня.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#67149

Решите уравнение

( 1)2 5 4|x− 1|+ 2 = 11(x − 1)2+ 4

Источники: Вступительные в МГУ, 1994

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В левой и правой части видно (x-1) и |x-1|... Стоит сделать замену, не так ли? Сделайте правильную замену: не раскрывайте случаи модуля, сразу меняйте модуль!

Подсказка 2

Останется просто квадратное уравнение относительно замены, а такое мы умеем решать)

Показать ответ и решение

Так как $(x − 1)2 = |x− 1|2,$ сделав замену $t=|x− 1|,$ получим