Тема АЛГЕБРА

Уравнения без логарифмов и тригонометрии → .05 Оценки в уравнениях без логарифмов и тригонометрии

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Уравнения без логарифмов и тригонометрии

Уравнения с модулем

Иррациональные уравнения (с радикалами)

Уравнения с модулями и корнями (радикалами)

Показательные уравнения

Оценки в уравнениях без логарифмов и тригонометрии

Уравнения с целой и дробной частями

Использование монотонности функций в уравнениях без логарифмов и тригонометрии

Правильная замена или группировка на скобки

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#101220Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение:

2012 -1-- 2013 x + x2012 = 1+ x .

Показать ответ и решение

Заметим, что $x= 1$ является корнем. При $x <1$ легко видеть, что

2012 -1-- 2013 x + x2012 ≥ 2> 1+ x

Если же $x >1,$ то $2012 2013 x <x$ и $1 x2012 <1,$ откуда

1 x2012+ x2012 <1+ x2013

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#67598Максимум баллов за задание: 7

Сколько решений имеет уравнение

--1--- ---1-- 2- (x− 1)2 + (x− 2)2 = x2?

Источники: Ломоносов-2011, отборочный тур (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раз нам сказали найти количество корней такого уравнения, то, скорее всего, сами корни некрасивые, то есть просто в лоб мы их не найдём. Но давайте внимательно посмотрим на уравнение, а точнее, на числа в числителе. Слева у нас по единице, а справа двойка. Почему тогда привести всё к общему знаменателю не такая плохая идея? Попробуйте это сделать.

Подсказка 2

Верно, это хорошо сделать, потому что, прикинув на глаз, можно увидеть и слева, и справа одинаковые коэффициенты при x⁴. То есть они сократятся, и останется только x³. Тогда этот многочлен легко проанализировать с точки зрения функции. Для чего же мы это сделали? Вспомните теорему, которая очень хорошо определяет наличие корня на каком-то интервале.

Подсказка 3

Ага, это теорема о промежуточном значении. Также мы определили, где функция возрастает, а где убывает. Тогда посмотрите значение в хороших точках и поймите, сколько корней есть у уравнения.

Показать ответ и решение

Если $x <0,$ то $(x− 1)2 >x2,(x − 2)2 > x2,$ поэтому

---1-- --1--- 2- (x− 1)2 + (x− 2)2 < x2

Если $x> 2,$ то $(x − 1)2 < x2,(x− 2)2 < x2,$ поэтому

---1-2 + --1-2-> 22 (x− 1) (x− 2) x

Если $1< x< 2,$ то $22 < 2, x$ а по неравенству между средним квадратическим и средним гармоническим

------------- ∘ --12-+ -1-2- 2 -(x−1)-2-(x−2) ≥ x−-1+2-− x

---1-- + --1---≥ 8> 2> 2- (x− 1)2 (x − 2)2 x2

Если $0< x< 1,$ то функция $f(x)= -2 x2$ от $+ ∞$ убывает до $f(1)= 2,$ а функция $g(x) =--1-- +--1-- (x−1)2 (x−2)2$ неограниченно возрастает от $g(0)=1+ 1 <2. 4$ По теореме о промежуточном значении непрерывной функции существует единственное значение $x, 0$ при котором $f(x )=g(x). 0 0$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Исходное уравнение при условиях $x⁄= 0,x ⁄=1,x⁄= 2$ равносильно

3 2 6x − 21x +24x− 8= 0

Рассмотрим функцию

f(x)=6x3− 21x2 +24x− 8.

Поскольку

f′(x)=18x2− 42x +24,

то $x= 1$ — точка максимума, а $x= 43$ — точка минимума. Функция $f$ возрастает на области $(−∞,1)$ и на области $( ) 43;+∞$ , а на промежутке $(1;43)$ убывает.