Уравнения без логарифмов и тригонометрии

Подсказка 1

Слева модули, а справа (-1) –> намёк на оценку! Вот только одно слагаемое в левой части выбивается! Однако взгляните на него повнимательнее: может мы точно знаем, какие оно может принимать значения?

Подсказка 2

Если это выражение равно 1, то оценка даст нам явное противоречие, а если (-1), то красивую системку! Только не забудьте, что эти значения наше выражение принимает при определённых условиях – прикрепите их к системе. Остаётся решить системку! Возможно, уравнения могут вас пугать, но вот как работать с выражением 1-x-y-xy вы должны помнить ещё с вебов по тождественным преобразованиям!

Подсказка 3

Раскладываем на множители и замечаем, что сами x и y выразить трудновато, но зато легко можно найти значение xy. А зная его, и значение x+y легко ищется! А уже система из суммы и произведения легко решается либо обычной подстановкой, либо сведением к квадратному уравнению (вспомните теорему Виета)

Подсказка 1

На первый взгляд в голову приходит только раскрытие скобок. Что ж, здесь это сделать просто, поэтому сделаем это)

Подсказка 2

Хм, многочлен четвёртой степени... Такое просто так не решишь. Разложить на множители не получается. Можно заметить, что коэффициенты этого уравнения с точностью до знаков симметричны! Но пока не особо понятно, как это может помочь( А давайте подумаем над следующей идеей: может, можно привести это уравнение к квадратному? Сразу это сделать не получается, но можно, например, преобразовать этот многочлен так, чтобы максимальная степень была равна 2...

Подсказка 3

Сделать это можно, разделив уравнение на x², предварительно заметив, что x ≠ 0. А теперь можно погруппировать слагаемые, так как теперь вся надежда на замену!

Подсказка 4

Ура, здесь можно сделать замену t = x - 1/x. Остаётся только решить получившееся квадратное уравнение и сделать обратную замену! Подобные уравнения, в которых коэффициенты симметричны, часто решаются с помощью деления на x², запомните этот приём)

Подсказка 1

Можно, конечно, все это честно раскрыть и построить, но мы не ищем проторенных путей! Раз просят найти площадь, то попробуем вспомнить, что же такое модуль с точки зрения геометрии. Есть ли в геометрии какие-то факты, связанные с модулями или даже их суммой?

Подсказка 2

Модуль — это по сути своей длина некоторого отрезка, а с суммой длин связано одно прекрасное неравенство — неравенство треугольника. Может быть, здесь будет удобно его применить?

Подсказка 3

|a|+|b|>=|a+b|, где равенство будет достигаться только в том случае, если ab≥0. Но давайте внимательно посмотрим на первые два модуля, может быть, можно чуть-чуть переделать неравенство так, чтобы нам было гораздо удобнее?

Подсказка 4

х+х+3у=2х+3у, а вот х-(х+3у)=-3у — второй вариант выглядит гораздо лучше. Давайте тогда возьмём |a|+|b|=|a|+|-b|>=|a-b|, и тогда равенство будет достигаться при ab≤0. Давайте теперь оценим сумму наших модулей. Сначала первые два, а потом и третий к ним прибавим.

Подсказка 5

Если удачно подобрать порядок, то выйдет, что 6=|x|+|x+3y|+3|y-2|≥6, то есть какое условие обязательно должно выполниться?

Подсказка 6

Получаем систему из x*(x+3y)≤0 и 3y*3(y-2)≤0. Решив их по очереди, а потом отметив результаты на координатной плоскости (не забудьте взять их пересечение!), получим фигуру, площадь которой считается максимально очевидно :)

Подсказка 1

Элементы последовательности - целые части. Для каких х уравнение [x]=72 имеет решение?

Подсказка 2

Для [x]=72 72≤х<73. Так что мы можем снять целую часть и перейти к неравенству на n. Дальше следует несложный подсчёт.

Подсказка 1

Раз нам сказали найти количество корней такого уравнения, то, скорее всего, сами корни некрасивые, то есть просто в лоб мы их не найдём. Но давайте внимательно посмотрим на уравнение, а точнее, на числа в числителе. Слева у нас по единице, а справа двойка. Почему тогда привести всё к общему знаменателю не такая плохая идея? Попробуйте это сделать.

Подсказка 2

Верно, это хорошо сделать, потому что, прикинув на глаз, можно увидеть и слева, и справа одинаковые коэффициенты при x⁴. То есть они сократятся, и останется только x³. Тогда этот многочлен легко проанализировать с точки зрения функции. Для чего же мы это сделали? Вспомните теорему, которая очень хорошо определяет наличие корня на каком-то интервале.

Подсказка 3

Ага, это теорема о промежуточном значении. Также мы определили, где функция возрастает, а где убывает. Тогда посмотрите значение в хороших точках и поймите, сколько корней есть у уравнения.

Подсказка 1

Попробуйте внимательно посмотреть, вдруг какое-то выражение повторяется довольно часто? Что можно сделать в таком случае?

Подсказка 2

Да, можно сделать замену! Но тогда нужно придумать, как полностью избавиться от х.

Подсказка 3

В замене просто х, а нужно получить х², что для этого можно сделать?

Подсказка 4

Теперь получилось уравнение с корнями, что можно попробовать, чтобы его решить?

Подсказка 5

Конечно, можно попробовать возвести уравнение в квадрат, но чтобы полностью избавиться от корней, придется сделать это минимум два раза — а искать корни многочлена четвёртой степени явно не предел наших мечтаний, не так ли?

Подсказка 6

Раз уж решаем уравнение, то было бы неплохо найти ОДЗ — вдруг она как-то сможет помочь?

Подсказка 7

Самое время подумать, как же ведут себя части уравнения на ОДЗ!

Подсказка 8

Слева функция убывает, а справа возрастает. А сколько раз в таком случае они могут пересечься? Осталось только подобрать ответ :)

Подсказка 1

Вспомним, что такое корень из числа. √x = x^(0.5). Воспользуемся этим!

Подсказка 2

Не забудем, что (x^(a))^b = x^(ab). Что же мы получили?

Подсказка 3

2^(x²/2) = 2^(25√x). Степени нам мешают, что же с ними сделать?

Подсказка 4

Верно! Прологарифмировать и получить, что x²/2 = 25√x. А теперь осталось посчитать... Успехов!

Подсказка 1

Внимательно взгляните на правую часть – как бы всё страшно не выглядело, тут у нас под целой частью стоит конкретное число. Так почему бы эту целую часть просто не посчитать? Корень из 1002^2+1 – это 1002 с копейками, но вопрос в том, насколько большие эти копейки

Подсказка 2

Есть честный способ для подсчёта целой части: обозначьте её за k, и тогда то, что внутри ≥k и <k+1 – из такого вот двойного неравенства и найдётся k (подставьте вместо k то, чему вы желаете, чтобы оно было равно, и убедитесь, что двойное неравенство выполнено)

Подсказка 3

Возвращаемся к нашему уравнению! Теперь мы можем сократить на 2004 и получить уравнение с одной целой частью. Внутри целой части выражение очень похоже на то, чему целая часть равна. Так что нам нужно просто найти такой момент, когда n уже настолько большое, что унесёт выражение до следующей целой части. То есть момент, когда аргумент целой части больше либо равен тому, чему целая часть равна + 1 – получается обычное квадратное неравенство! Всё до этого момента нам подойдёт. Помните, что n у нас натуральное, решайте неравенство, и задачка убита!

Подсказка 1

Пупупу… Выглядит страшновато. Есть ли что-то общее между левой и правой частью уравнения? А если заменить √(3x+18) на y?

Подсказка 2

Да, если заменить в правой части √(3x+18) на y, то правая часть уравнения и левая будут одинаковы(только в одной x, а в другой y). Какой вывод из этого можно сделать?

Подсказка 3

Конечно, хочется сказать, что если x=y, то левая часть равна правой! Поэтому осталось решить уравнение x = √(3x+18)

Подсказка 1

Давайте вспомним какое-то полезное неравенство, в котором использовалась сумма модулей!

Подсказка 2

|a| + |b| >= |a+b|. Отлично, теперь мы можем записать цепочку неравенств и получить ограничения на x ;)

Подсказка 3

Попробуйте раскрыть модули в сумме |x+k| + |x-k|

Подсказка 4

Иногда |x+k| + |x-k| больше, чем нам нужно) Когда?

Подсказка 1

Давайте просто запишем наше уравнение как системку: числитель = 0, знаменатель не равен 0, и одз из-за корня) Думаю, решить уравнение числитель = 0 не сложно)

Подсказка 2

Остаётся подставить получившиеся корни из первого уравнения в оставшиеся условия из системы и проверить, подходят они или нет)

Подсказка 1

На что похоже подмодульное выражение слева? Давайте преобразуем его!

Подсказка 2

Подмодульное выражение слева является полным квадратом! Тогда и модуль можно убрать ;)

Подсказка 3

Посмотрите, при каких x подмодульные выражения меняют знаки, и разберите случаи!

Подсказка 4

Разберите случаи x > 2, 2 ≥ x > 0, 0 ≥ x.

Подсказка 1

В левой и правой части видно (x-1) и |x-1|... Стоит сделать замену, не так ли? Сделайте правильную замену: не раскрывайте случаи модуля, сразу меняйте модуль!

Подсказка 2

Останется просто квадратное уравнение относительно замены, а такое мы умеем решать)

Подсказка 1

Давайте внимательно посмотрим на уравнение. Где есть похожие множители или слагаемые? Делать замену может быть неэффективным… что тогда можно рассмотреть?

Подсказка 2

Оба слагаемых в левой части имеют одинаковый вид: y(2+ √(y² + 3)). Быть может, рассмотрим такую функцию?

Подсказка 3

Наше равенство имеет вид f(2x+1)=-f(3x). Нам нужны корни. А что если проверить f(x) на монотонность и четность?

Подсказка 1

Сразу заметим, что как слева, так и справа выражения принимают достаточно маленькие значения —> стоит попробовать их оценить! Правая часть оценивается легко сверху и снизу, ведь мы знаем часто помогающую оценку на {x}. Попробуйте порассматривать маленькие целые иксы, поймав момент, когда правая часть выходит из границ значений для левой части

Подсказка 2

Остаётся перебор по конкретным полуинтервалам – на них ведь мы точно знаем, чему равен [x], но вот с [2x] всё не так однозначно. Его значение зависит от дробной части: x=3,1 —> [2x]=6, x=3,6 —> [2x]=7. Так что поможет нам вновь оценка дробной части! Только более точная с учётом того, что мы знаем, в каком полуинтервале работаем. А определив [x] и [2x] мы как раз и {x} сразу найдём, откуда тут же получим сам x

Подсказка 1

Так, перед нами уравнение, где используется переменная и её целая часть. Что мы обычно делаем в таких случаях? А, да, точно, давайте представим переменную в виде суммы её целой и дробной части. (т.е. введём a = [x] и b = {x})

Подсказка 2

Немного подумаем. Да, очевидно, что 40 * b ∈ [0, 40) ≥ (a² + 40*a + 336) ∈ (-40, 0]. Получаем систему неравенств, которые надо решить в целых числах. Да...звучит непросто, но мы же суровые ребята, находим все значения а, к каждому из них найдём b, далее складываем всё, что получилось и уверенно пишем ответ!!!