Уравнения без логарифмов и тригонометрии
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
На ОДЗ левая часть равносильного исходному уравнения
по неравенству о средних для двух положительных чисел не меньше
а правая часть
Поэтому равенство выполнено в единственном случае: когда обе части равны 4. Равенство в неравенствах достигается при
Из второго уравнения легко получаем единственное решение которое подходит и в первое уравнение.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Подсказка 1
Подумаем, просто так ли нам даны такие числители?) Какой вид принимают одночлены после незамысловатой замены?
Подсказка 2
У нас есть одночлены вида t и y²/t! Что хочется с ними сделать? В каком неравенстве такое действие присутствует?
Подсказка 3
Хочется их перемножить. Воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и геометрическом для оценки!
Подсказка 4
Когда в неравенстве о средних достигается равенство?
Запишем исходное уравнение в виде
Заметим, что из очевидного при неравенства
вытекает, что
откуда получаем
Если сумма двух слагаемых, первое из которых не меньше 10, а второе не меньше 4, равна 14, то первое слагаемое равно 10, а второе 4.
Поскольку знак равенства в неравенстве вида достигается только лишь в случае
, то исходное уравнение
равносильно системе
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решить уравнение
Здесь — целая часть числа: наибольшее целое число не превосходящее
Источники:
Подсказка 1
Выглядит страшно, но мы сразу можем ограничить икс, написав ОДЗ. Как теперь начать раскручивать задачу?
Подсказка 2
Подставляя разные значения икса легче не становиться... Что можно сделать? Мы уже поняли, что наше число неотрицательно. Давайте попробуем написать оценки в общем случае на выражения такого вида.
Подсказка 3
Заменим неудобное подкоренное выражение на а. В изначальном выражении у нас фигурируют корни второй и четвёртой степени, целая часть числа. Как тогда удобнее всего оценивать а?
Подсказка 4
Верно! Можно утверждать, что для а всегда найдётся такое n, что n⁴ ≤ a < (n+1)⁴. Пользуясь тем, что а неотрицательно, приведём оценку к виду, который дан в условии: пусть над а будут выполнены все те операции, которые выполняются над подкоренным выражением из условия. Что тогда можно сказать про это выражение?
Подсказка 5
Да! Оно равно n. Давайте таким же образом оценим ⁴√а и скажем, когда выполняется равенство из условия!
Для любого неотрицательного числа найдется целое неотрицательное число
такое, что:
Кроме того,
Таким образом, для любых значений уравнение
является тождеством.
Положив в исходном уравнении
получаем, что все числа из области допустимых значений являются его решениями.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Инженер Коворкин установил, что мощность инновационной наноэлектростанции (выраженная в ГВт) должна быть равна корню уравнения
Выясните, имеет ли это уравнение корни и есть ли среди них положительные. Если корни имеются, то найдите максимальный и минимальный по модулю среди них.
Источники:
Подсказка 1
Было бы хорошо, если бы мы могли красиво извлечь хотя бы один корень. А на что похоже большее подкоренное выражение?
Подсказка 2
По ФСУ можно собрать подкоренное выражение в квадрат! Тогда уравнение станет проще.
Подсказка 3
Когда мы извлекли корень, в уравнении появился модуль. Значит, нужно разобрать два случая для знаков подмодульного выражения) В каждом из случаев нужно будет решить квадратное уравнение и не забыть про ОДЗ!
Сразу отметим, что Преобразуем подкоренное выражение:
Тогда изначальное уравнение приводится к виду:
Случай 1. Пусть выражение под модулем неотрицательно.
Изначальное уравнение имеет вид:
Пусть то
По формуле корней квадратного уравнения
Если то
Если то
С учётом корнем является только
Случай 2. Пусть выражение под модулем отрицательно.
Изначальное уравнение приобретает вид:
Пусть так же Тогда
Если то
Но данный корень не удовлетворяет условиям выше.
Если то
Подходит по условию только
Таким образом, корни уравнения и
Среди них есть положительный корень. Максимальный по модулю корень – это
а минимальный по модулю – это
Уравнение имеет положительные корни. Максимальный по модулю: минимальный по модулю:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Источники:
Подсказка 1
Для начала выпишем ограничения, а потом заметим, что под каждым корнем выделяются полные квадраты. Соответствующим образом преобразуем выражение.
Подсказка 2
Не забываем о том, что нужно навесить модули на подкоренные выражения после вынесения их из корня. Дальше выражение тривиально решается рассмотрением промежутков для подмодульных выражений.
Выделим полные квадраты при условии
То есть, с учётом ОДЗ, получаем, что
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решить уравнение
Пусть тогда уравнение примет вид
Это уравнение равносильно каждому из уравнений:
Отсюда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Подсказка 1.
Попробуйте разбить данные четыре скобки на пары таким образом, чтобы произведения в каждой паре давали выражения, отличающиеся на константу.
Подсказка 2.
Если раскрыть скобки (x + 1)(x + 7) и (x + 3)(x + 5), то получим x² + 8x + 7 и x² + 8x + 15 соотвественно. Что логично сделать после этого замечания?
Подсказка 3.
Верно, сделать замену переменной. Пусть t = x² + 8x + 11. Тогда уравнение примет вид: (t – 4)(t + 4) + 15 = 0. Остаётся найти t и затем решить несколько квадратных уравнений относительно x для найденных значений t.
Перемножим первую и последнюю скобки:
и вторую и третью:
Обозначим Тогда
Тогда уравнение принимает вид:
Таким образом,
Если то
корни
Если то
корни
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Источники:
Подсказка 1
Кажется, что разложить выражение на множители у нас не получится, тогда придется действовать иначе – перенести единицу в другую сторону и извлечь кубический корень из обеих частей уравнения!
Подсказка 2
Теперь мы получили обычное квадратное уравнение, которое легко можем решить, заметив формулу сокращённого умножения, либо же используя старый добрый дискриминант)
Так как степень нечетная,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Источники:
Подсказка 1
Посмотрите внимательно на неравенство, его правая и левая части очень похожи. Не удастся ли записать неравенство в несколько ином виде – через одну и ту же функцию разных аргументов?
Подсказка 2
Пусть f(t) = 9t + 2|4t - 7|, тогда неравенство имеет вид f(a) ≤ f(b), а что мы можем сказать про нашу функцию? Нельзя ли как-то перейти к сравнению аргументов?
Подсказка 3
Данная функция монотонна! А значит, неравенство равносильно а ≤ b) Ну теперь остается решить полученное неравенство с корнем, не забудьте при этом рассмотреть случаи с х < 0 и х ≥ 0, а также учесть ОДЗ!
Перепишем неравенство так:
Пусть Тогда неравенство принимает вид:
Заметим, что функция возрастающая, так как при любом раскрывании модуля старший коэффициент получаемой линейной функции
положителен. Следовательно, исходное неравенство равносильно неравенству
Для решения полученного неравенства выпишем систему
Получаем
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Подсказка 1
Сначала может быть непонятно, что вообще делать с уравнением, у которого сразу три знака корня... не возводить же всё в квадрат( А какой у нас ещё метод есть для решения уравнений, кроме топорной алгебры?
Подсказка 2
Метод оценки! В таких случаях часто бывает полезно оценить, а какие значения может принимать каждая из частей уравнения — найти максимальное и минимальное значение каждой из частей (для этого под корнями можно выделить полные квадраты).
Подсказка 3
Оказывается, наибольшее значение левой части уравнения совпадает с наименьшим значением правой. Равенство достигается, только когда левая часть максимальна, а правая минимальна. То есть когда в соответствующих оценках-неравенствах достигается равенство
Выделим в левой части уравнения полные квадраты под корнями:
Так как подкоренные выражения не превосходят 4 и 1 соответственно, то сумма корней не больше
а правая часть исходого уравнения не меньше 3. Получаем
Следовательно,
То есть во всех неравенствах должно достигаться равенство:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Подсказка 1
Видим и корни и дроби, поэтому сразу же считаем ОДЗ!
Подсказка 3
Неравенство 1/(2x + 5) ≥ 1/(x+4) нетрудно решается, но оно будет ещё легче, если посмотреть какие по знаку (положительные или отрицательные) будут знаменатели на ОДЗ. А мы знаем, что умножение на положительное выражение будет равносильным переходом.
Первое решение.
Запишем ОДЗ:
Рассмотрим два случая. Во-первых,
Во-вторых, значит, на него можно сокращать. Так же заметим, что на ОДЗ выражения
и
положительны.
Пересечём это с ОДЗ и получим в этом случае
В итоге, объединив все случаи, получим
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение.
Аналогично, как в первом решении, запишем ОДЗ неравенства:
Давайте перенесём теперь всё в одну часть и приведём разность дробей к общему знаменателю. Получится следующая дробь
Умножим на неравенство и поменяем знак:
Мы знаем нули этого выражения вместе с выколотыми точками. Поэтому давайте решим это неравенство методом интервалов, подставив
значения точек из нужных интервалов. Но выколотые точки в знаменателе не удовлетворяют ОДЗ, поэтому не будем их
рассматривать вовсе. Рассматривая промежуток и подставляя, например, точку
получаем, что значение будет
отрицательно(в числителе минус, в знаменателе обе скобки положительны). А рассматривая промежуток
можем
подставить
и получить, что знак плюс. Итого, решение получается
(не забываем, про не выколотые
точки).
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
В силу монотонности показательной функции получаем
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
ОДЗ: Домножив исходное равенство на знаменатель, получаем
Поделив на , получим
Сделаем замену . Тогда
И так как , подходит только
. Тогда
Проверим, что такое решение удовлетворяет ОДЗ. Заметим, что , так как
. Поэтому
, а значит
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решить уравнение
Источники:
Подсказка 1
Внимательно посмотрим на уравнение. Есть много похожих слагаемых, что можно сделать для удобства?
Подсказка 2
Замену! Попробуем избавиться от корней и заменить корни 4-й степени. Как можно работать с получившимся уравнением?
Подсказка 3
С одной стороны корень, с другой стоит число, поэтому возведем обе части в квадрат! Что получим после преобразований?
Подсказка 4
0 = c^2 + ab - ac - bc. Остается лишь вспомнить, к чему мы стремимся, когда с одной стороны уравнения стоит 0, и решить его!
Обозначим корни четвёртых степеней через и
, тогда уравнение примет вид:
После возведения в квадрат и приведения подобных получаем равенство
что равносильно
откуда либо , то есть
, либо
, откуда
.
При подстановке оба корня подходят (её необходимо сделать, потому что при возведении в квадрат могли появиться лишние корни).
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Заметим, что левая часть принимает всегда целые значения. Значит, и правая часть должна принять целое значение, но
поэтому это возможно только при
т.е. когда
— целое число. Тогда данное уравнение примет
вид
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Можно заметить, что так как справа от равенства целое число,
— целое, значит и
тоже целое.
Ограничим сверху. Так как при
значение
будет слишком большим, то ограничим
сверху:
Из последнего неравенства получаем, что иначе при
имеем, что
Ограничим снизу. Докажем, что
. Так как при
значение
будет слишком малым, то ограничим
снизу:
При левая часть меньше
значит
Получили, что
При имеем
но и не попадает в промежуток.
При имеем
где
Значит, существует одно решение
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Из последней строчки делаем вывод, что чтобы было корнем, необходимо и достаточно, чтобы
Поскольку
то
может принимать только целые значения от 0 до 5 включительно. Решаем все 6 уравнений и отбираем среди их
только подходящие по ограничениям
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Итого, мы нашли 6 корней исходного уравнения.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите систему уравнений
Перепишем первое уравнение в следующем виде:
Получили, что правая часть представляет из себя целое число. Значит, левая часть — это тоже целое число. Так как то
получаем, что
Аналогично для второго и третьего уравнений получаем, что
Тогда получаем следующую систему:
Из последней системы получаем, что Тогда получили, что
где Так как
то имеем, что
для любого
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все , для которых
где — целая часть числа
,
— дробная часть числа
, то есть
.
Подсказка 1
Попробуем оценить x. Каким будет значение левой части, если x будет достаточно маленьким? А при каких x значение левой части уже превысит 7/3?
Подсказка 2
Рассмотрите случаи x < 0 и x >= 2.
Подсказка 3
Правильно, при таких случаях значение левой части точно будет меньше или больше правой. Какие тогда значения может принимать [x]?
Если то
Если то
Остаётся два варианта:
Соответственно или
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Числа таковы, что
Найдите .
Замечание. обозначает дробную часть числа
Заметим, что
Значит, — целое число. Рассмотрим возможные остатки этого числа при делении на 3:
1)
Это значение достигается, например, при тогда
2)
Это значение достигается, например, при тогда
3)
Это значение достигается, например, при тогда
В итоге все возможные значения — это
и