Тема АЛГЕБРА

Уравнения без логарифмов и тригонометрии

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Уравнения без логарифмов и тригонометрии

Уравнения с модулем

Иррациональные уравнения (с радикалами)

Уравнения с модулями и корнями (радикалами)

Показательные уравнения

Оценки в уравнениях без логарифмов и тригонометрии

Уравнения с целой и дробной частями

Использование монотонности функций в уравнениях без логарифмов и тригонометрии

Правильная замена или группировка на скобки

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#103512

Решите уравнение

√3x-+1+ 1 ( √3x+-1 √----) 13 ----x----+ 4 --3---− 4x− 3 = 3-− 4x.

Показать ответ и решение

На ОДЗ $x≥ 3 4$ левая часть равносильного исходному уравнения

√3x+-1+ 1 4(√ ----- ) √----- ----x----+ 3 3x +1− 1 = 4 4x− 3− (4x− 3)

по неравенству о средних для двух положительных чисел не меньше

∘ ---------- 2 4(3x+1-− 1)= 4, 3x

а правая часть

4− 4+4√4x-− 3-− (√4x−-3)2 = 4− (2− √4x-− 3)2 ≤ 4.

Поэтому равенство выполнено в единственном случае: когда обе части равны 4. Равенство в неравенствах достигается при

{ √---- -3x+x1+1-= 43(√3x+-1− 1) 2= √4x−-3

Из второго уравнения легко получаем единственное решение $7 x= 4,$ которое подходит и в первое уравнение.

Ответ:

$7 4$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#105471

Решите уравнение

25 4 √ ---- ∘ ---- √x-− 1-+√y-−-2 = 14− x− 1− y− 2.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумаем, просто так ли нам даны такие числители?) Какой вид принимают одночлены после незамысловатой замены?

Подсказка 2

У нас есть одночлены вида t и y²/t! Что хочется с ними сделать? В каком неравенстве такое действие присутствует?

Подсказка 3

Хочется их перемножить. Воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и геометрическом для оценки!

Подсказка 4

Когда в неравенстве о средних достигается равенство?

Показать ответ и решение

Запишем исходное уравнение в виде

(√---- 25 ) ( ∘---- 4 ) x− 1+ √x-− 1 + y − 2+ √y-− 2 = 14

Заметим, что из очевидного при $t> 0$ неравенства $2 t+ yt-≥2y$ вытекает, что

√---- x− 1+ √-25---≥2⋅5 =10, ∘---- x4− 1 y− 2+ √y-− 2 ≥2 ⋅2 =4,

откуда получаем

( ) ( ) √x−-1+ √-25-- + ∘y-− 2+ √-4-- ≥ 14 x − 1 y− 2

Если сумма двух слагаемых, первое из которых не меньше 10, а второе не меньше 4, равна 14, то первое слагаемое равно 10, а второе 4.

Поскольку знак равенства в неравенстве вида $2 t+ y ∕t≥ 2y$ достигается только лишь в случае $t=y$ , то исходное уравнение равносильно системе

{ √x-− 1 =5 { x= 26 √y-− 2= 2 ⇐ ⇒ y = 6

Ответ:

$(26;6)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#119630

Решить уравнение

[∘ [∘-------------]] [∘ -------------] 2024(x+ 1)(3− x) = 4 2024(x+ 1)(3− x)

Здесь $[b]$ — целая часть числа: наибольшее целое число не превосходящее $b.$

Источники: Росатом - 2025, 11.5 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выглядит страшно, но мы сразу можем ограничить икс, написав ОДЗ. Как теперь начать раскручивать задачу?

Подсказка 2

Подставляя разные значения икса легче не становиться... Что можно сделать? Мы уже поняли, что наше число неотрицательно. Давайте попробуем написать оценки в общем случае на выражения такого вида.

Подсказка 3

Заменим неудобное подкоренное выражение на а. В изначальном выражении у нас фигурируют корни второй и четвёртой степени, целая часть числа. Как тогда удобнее всего оценивать а?

Подсказка 4

Верно! Можно утверждать, что для а всегда найдётся такое n, что n⁴ ≤ a < (n+1)⁴. Пользуясь тем, что а неотрицательно, приведём оценку к виду, который дан в условии: пусть над а будут выполнены все те операции, которые выполняются над подкоренным выражением из условия. Что тогда можно сказать про это выражение?

Подсказка 5

Да! Оно равно n. Давайте таким же образом оценим ⁴√а и скажем, когда выполняется равенство из условия!

Показать ответ и решение

Для любого неотрицательного числа $a$ найдется целое неотрицательное число $n$ такое, что:

4 4 2 √- 2 n ≤ a< (n +1) ⇒ n ≤ a <(n+ 1)

2 [√-] 2 ∘ [√-] n ≤ a < (n+ 1) ⇒ n ≤ a < n+ 1

∘ [√-] a = n

Кроме того,

√4- [4√-] n≤ a< n+ 1⇒ a = n

Таким образом, для любых значений $a$ уравнение

[∘ ---] [√a] = [4√a]

является тождеством.

Положив в исходном уравнении $a= 2024(x+ 1)(3− x):$

[∘ [∘-------------]] [4∘ -------------] 2024(x+ 1)(3− x) = 2024(x+ 1)(3− x)

получаем, что все числа из области допустимых значений являются его решениями.

2024(x +1)(3− x)≥ 0

x∈ [−1;3]

Ответ:

$[−1;3]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#121573

Инженер Коворкин установил, что мощность инновационной наноэлектростанции (выраженная в ГВт) должна быть равна корню уравнения

∘---------∘------ 2 1+ 1 +8x2− 6x 1− x2 = 10x

Выясните, имеет ли это уравнение корни и есть ли среди них положительные. Если корни имеются, то найдите максимальный и минимальный по модулю среди них.

Источники: Надежда Энергетики - 2025, 11.1(см. www.energy-hope.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Было бы хорошо, если бы мы могли красиво извлечь хотя бы один корень. А на что похоже большее подкоренное выражение?

Подсказка 2

По ФСУ можно собрать подкоренное выражение в квадрат! Тогда уравнение станет проще.

Подсказка 3

Когда мы извлекли корень, в уравнении появился модуль. Значит, нужно разобрать два случая для знаков подмодульного выражения) В каждом из случаев нужно будет решить квадратное уравнение и не забыть про ОДЗ!

Показать ответ и решение

Сразу отметим, что $|x|≤1.$ Преобразуем подкоренное выражение:

2 ∘ ----- 2 ∘----- 2 (∘ ----- )2 1+ 8x − 6x 1− x2 =1 − x − 6x 1− x2+ 9x = 1− x2− 3x

Тогда изначальное уравнение приводится к виду:

| ∘ ----| 1+ ||3x− 1− x2||= 10x2

Случай 1. Пусть выражение под модулем неотрицательно.

∘----- 3x− 1 − x2 ≥ 0

∘ ----- 3x ≥ 1− x2

{ x ≥0 9x2 ≥ 1− x2

{ x≥ 0 10x2 ≥1

1 x ≥√10-

Изначальное уравнение имеет вид:

∘ ----- 1 +3x− 1− x2 = 10x2

2 ∘ ---2- 2 1− x − 1− x +3x− 9x = 0

Пусть $√1−-x2 = t≥0,$ то

t2− t+ 3x− 9x2 =0

По формуле корней квадратного уравнения

∘ ------------- ∘ ------- t= 1±---1− 4-⋅(3x−-9x2)= 1-±-(6x-− 1)2= 1±-(6x−-1) 2 2 2

Если $t= 1+6x−1= 3x, 2$ то

2 2 1− x = 9x

x = √1- 10

Если $t= 1−6x2+1= 1− 3x,$ то

∘ ---2- 1− x =1 − 3x

{ x ≤1∕3 1− x2 = 1− 6x +9x2

( ||{ x⌊ ≤1∕3 x =0 ||( ⌈ x = 3 5

С учётом $x≥ √1-, 10$ корнем является только $x= √1-. 10$

Случай 2. Пусть выражение под модулем отрицательно.

∘----- 3x− 1 − x2 < 0

∘ ----- 3x < 1− x2

[ 1 ) x∈ −1;√10

Изначальное уравнение приобретает вид:

1 − 3x+ ∘1-− x2 = 10x2

∘ ----- 1− x2+ 1− x2 − 3x− 9x2 = 0

Пусть так же $√ ----- 1− x2 = t≥ 0.$ Тогда

−1 ±∘1-−-4⋅(−-3x-− 12x2) −1± ∘(6x+-1)2 −1± (6x+ 1) t= ----------2--------- = ------2------= ----2-----

Если $−1+6x+1 t= --2---= 3x,$ то

∘ ----- 1− x2 = 3x

{ x ≥02 2 1 − x = 9x

-1- x = √10

Но данный корень не удовлетворяет условиям выше.

Если $−1− 6x−1 t= --2----=− 1− 3x,$ то

∘ ----2 1− x = −1− 3x

{ x ≤−1∕3 1− x2 = 1+ 6x +9x2

{ x≤ −1∕3 10x2 =− 6x

( ||{ x⌊≤ −1∕3 | ⌈ x= 0 |( x= − 3 5

Подходит по условию только $x= − 3. 5$

Таким образом, корни уравнения $3 x= − 5$ и $-1- √10.$ Среди них есть положительный корень. Максимальный по модулю корень – это $x =− 3, 5$ а минимальный по модулю – это $x= √1-. 10$

Ответ:

Уравнение имеет положительные корни. Максимальный по модулю: $x= − 3; 5$ минимальный по модулю: $x = √1-. 10$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#125112

Решите уравнение

∘ --2------- ∘-2------- ∘ -------2 ∘---√- ∘ --√-- 4x − 12x+ 9+ x − 6x+ 9+( −(x− 2)) = 3+ 8− 3− 8

Источники: Ломоносов - 2025, 11.1 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала выпишем ограничения, а потом заметим, что под каждым корнем выделяются полные квадраты. Соответствующим образом преобразуем выражение.

Подсказка 2

Не забываем о том, что нужно навесить модули на подкоренные выражения после вынесения их из корня. Дальше выражение тривиально решается рассмотрением промежутков для подмодульных выражений.

Показать ответ и решение

Выделим полные квадраты при условии $x≤ 2:$

∘---2----------2- ∘ -2---------2- ∘-----√---- ∘ ---√----- (2x)− 2⋅2x⋅3+ 3 + x − 2⋅3⋅x+3 − x+ 2= 1 +2⋅ 2+2 − 1− 2 2+ 2

∘ ------- ∘ ------ ∘----√--- ∘ ---√---- (2x − 3)2+ (x− 3)2− x+ 2= (1+ 2)2 − (1 − 2)2

√- √ - |2x − 3|+|x− 3|− x+ 2= 1+ 2− ( 2− 1)

|2x− 3|+ |x− 3|= x.

То есть, с учётом ОДЗ, получаем, что $x∈[1.5;2].$

Ответ:

$[1.5;2]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#125521

Решить уравнение

x x− 1 x+1 2x− 1 4 − 3 2 =3 2 − 2

Показать ответ и решение

Пусть $x − 1 =t, 2$ тогда уравнение примет вид

t t t t 2⋅4− 3 = 3⋅3− 4

Это уравнение равносильно каждому из уравнений:

3⋅4t = 4⋅3t

( ) 4 t = 4 3 3

Отсюда $t= 1,$

3 x = 2

Ответ:

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#127866

Решите уравнение $(x+ 1)(x+ 3)(x+ 5)(x+ 7)+15= 0.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1.

Попробуйте разбить данные четыре скобки на пары таким образом, чтобы произведения в каждой паре давали выражения, отличающиеся на константу.

Подсказка 2.

Если раскрыть скобки (x + 1)(x + 7) и (x + 3)(x + 5), то получим x² + 8x + 7 и x² + 8x + 15 соотвественно. Что логично сделать после этого замечания?

Подсказка 3.

Верно, сделать замену переменной. Пусть t = x² + 8x + 11. Тогда уравнение примет вид: (t – 4)(t + 4) + 15 = 0. Остаётся найти t и затем решить несколько квадратных уравнений относительно x для найденных значений t.

Показать ответ и решение

Перемножим первую и последнюю скобки:

2 (x+ 1)(x+ 7)= x + 8x+ 7,

и вторую и третью:

2 (x +3)(x +5)= x +8x +15.

Обозначим $t= x2+ 8x +11.$ Тогда

x2+ 8x+ 7= t− 4,

x2+ 8x +15= t+ 4.

Тогда уравнение принимает вид:

(t− 4)(t+4)+ 15= 0

t2 − 1 =0

Таким образом, $t= ±1.$

Если $t=1,$ то

x2 +8x+ 11= 1=⇒ x2+ 8x +10= 0,

корни $x = −4± √6.$

Если $t=− 1,$ то

2 2 x + 8x +11= −1 =⇒ x +8x+ 12= 0,

корни $x = −2,$ $x= −6.$

Ответ:

$x = −6, 1$ $x = −4 − √6, 2$ $x =− 4+√6, 3$ $x =− 2. 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#128115

Решите уравнение $64(x2+ x)3 +1= 0.$

Источники: БИБН - 2025, 10.1 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Кажется, что разложить выражение на множители у нас не получится, тогда придется действовать иначе – перенести единицу в другую сторону и извлечь кубический корень из обеих частей уравнения!

Подсказка 2

Теперь мы получили обычное квадратное уравнение, которое легко можем решить, заметив формулу сокращённого умножения, либо же используя старый добрый дискриминант)

Показать ответ и решение

2 3 -1 (x + x) +64 = 0

( )3 (x2+ x)3 = − 1 4

Так как степень нечетная,

x2+ x= − 1 4

( 1)2 x+ 2 = 0

x= − 1 2

Ответ:

$− 1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#128579

Решите неравенство

√ ----- √ ----- 9 8− 7x − 2|4x − 7|≤ 9x − 2|4 8− 7x − 7|

Источники: Звезда - 2025, 10.1 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрите внимательно на неравенство, его правая и левая части очень похожи. Не удастся ли записать неравенство в несколько ином виде – через одну и ту же функцию разных аргументов?

Подсказка 2

Пусть f(t) = 9t + 2|4t - 7|, тогда неравенство имеет вид f(a) ≤ f(b), а что мы можем сказать про нашу функцию? Нельзя ли как-то перейти к сравнению аргументов?

Подсказка 3

Данная функция монотонна! А значит, неравенство равносильно а ≤ b) Ну теперь остается решить полученное неравенство с корнем, не забудьте при этом рассмотреть случаи с х < 0 и х ≥ 0, а также учесть ОДЗ!

Показать ответ и решение

Перепишем неравенство так:

√ ----- √ ----- 9 8− 7x +2|4 8− 7x− 7|≤ 9x +2|4x − 7|

Пусть $f(t)=9t+ 2|4t− 7|.$ Тогда неравенство принимает вид:

√ ----- f( 8− 7x)≤ f(x)

Заметим, что функция $f$ возрастающая, так как при любом раскрывании модуля старший коэффициент получаемой линейной функции положителен. Следовательно, исходное неравенство равносильно неравенству

√8-− 7x≤ x

Для решения полученного неравенства выпишем систему

( |||8− 7x≥ 0 {x≥ 0 |||( 2 8− 7x≤ x

Получаем

[ ] x∈ 1;8 7

Ответ:

$[1;8] 7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#83069

Решите уравнение

∘ ----2- ∘ ----2---- ∘-----2 4x− x + 4x− x − 3= 3+ 2x − x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сначала может быть непонятно, что вообще делать с уравнением, у которого сразу три знака корня... не возводить же всё в квадрат( А какой у нас ещё метод есть для решения уравнений, кроме топорной алгебры?

Подсказка 2

Метод оценки! В таких случаях часто бывает полезно оценить, а какие значения может принимать каждая из частей уравнения — найти максимальное и минимальное значение каждой из частей (для этого под корнями можно выделить полные квадраты).

Подсказка 3

Оказывается, наибольшее значение левой части уравнения совпадает с наименьшим значением правой. Равенство достигается, только когда левая часть максимальна, а правая минимальна. То есть когда в соответствующих оценках-неравенствах достигается равенство

Показать ответ и решение

Выделим в левой части уравнения полные квадраты под корнями:

∘-----2 ∘-----2--- ∘--------2 ∘ -------2- 4x − x + 4x − x − 3= 4 − (x− 2)+ 1− (x− 2)

Так как подкоренные выражения не превосходят 4 и 1 соответственно, то сумма корней не больше

√- √- 4+ 1= 3,

а правая часть исходого уравнения не меньше 3. Получаем

∘ ----2- ∘ ----2---- ∘-----2 3≥ 4x− x + 4x− x − 3= 3+ 2x − x ≥ 3

Следовательно,

3= ∘4x-− x2+ ∘4x-− x2−-3= 3+ ∘2x-− x2 = 3

То есть во всех неравенствах должно достигаться равенство:

( ∘--------- |{ ∘4−-(x− 2)2 = 2 | 1−√ (x− 2)2 = 1 ( 3+ 2x − x2 =3

{ (x − 2)2 = 0 2x − x2 =0

x= 2

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#85024

Решите неравенство

√6-+-x−-x2- √6+-x−-x2 ---2x-+5-- ≥ --x-+4---

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим и корни и дроби, поэтому сразу же считаем ОДЗ!

Подсказка 2

Когда смотришь на это неравенство, так и хочется сократить на корень, хорошо, что он по определению неотрицательный. Значит, нужно рассмотреть только случай, когда он 0, а потом уже можно и сокращать!

Подсказка 3

Неравенство 1/(2x + 5) ≥ 1/(x+4) нетрудно решается, но оно будет ещё легче, если посмотреть какие по знаку (положительные или отрицательные) будут знаменатели на ОДЗ. А мы знаем, что умножение на положительное выражение будет равносильным переходом.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Запишем ОДЗ:

( ( (x− 3)(x +2)≤ 0 ( x ∈[−2,3] |||{ 6+ x− x2 ≥0 ||||{ ||||{ 2x+ 5⁄= 0 ⇐ ⇒ x⁄= − 5 ⇐⇒ x ⁄=− 5 ⇐⇒ x∈ [− 2,3] |||( x+ 4⁄= 0 ||||( 2 ||||( 2 x⁄= −4 x ⁄=− 4

Рассмотрим два случая. Во-первых,

∘ -------- [ 6+ x− x2 =0 ⇐⇒ 6+ x− x2 = 0 ⇐⇒ x= 3 x= −2

Во-вторых, $√ ------2- 6+ x− x >0,$ значит, на него можно сокращать. Так же заметим, что на ОДЗ выражения $2x+ 5$ и $x+4$ положительны.

1 1 2x+-5 ≥ x+-4

x +4≥ 2x+ 5

x≤ −1

Пересечём это с ОДЗ и получим в этом случае $x∈ [− 2,−1].$

В итоге, объединив все случаи, получим $x ∈[−2,− 1]∪ {3}.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Аналогично, как в первом решении, запишем ОДЗ неравенства:

( (| (x− 3)(x +2)≤ 0 (| x ∈[−2,3] |||{ 6+ x− x2 ≥0 |||{ |||{ | 2x+ 5⁄= 0 ⇐ ⇒ | x⁄= − 5 ⇐⇒ | x ⁄=− 5 ⇐⇒ x∈ [− 2,3] ||( x+ 4⁄= 0 |||( 2 |||( 2 x⁄= −4 x ⁄=− 4

Давайте перенесём теперь всё в одну часть и приведём разность дробей к общему знаменателю. Получится следующая дробь

∘ ----------( − x− 1 ) (3− x)(x+2) (2x+-5)(x+-4) ≥ 0

Умножим на $− 1$ неравенство и поменяем знак:

∘ ----------( ---x+-1----) (3− x)(x+2) (2x+ 5)(x+ 4) ≤ 0

Мы знаем нули этого выражения вместе с выколотыми точками. Поэтому давайте решим это неравенство методом интервалов, подставив значения точек из нужных интервалов. Но выколотые точки в знаменателе не удовлетворяют ОДЗ, поэтому не будем их рассматривать вовсе. Рассматривая промежуток $[−2,− 1]$ и подставляя, например, точку $x =− 32,$ получаем, что значение будет отрицательно(в числителе минус, в знаменателе обе скобки положительны). А рассматривая промежуток $[−1,3],$ можем подставить $x= 0$ и получить, что знак плюс. Итого, решение получается $x∈ [−2,−1]∪{3}$ (не забываем про не выколотые точки).

Ответ:

$[−2,−1]∪{3}$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#88245

Решите уравнение

( 1)x−2 5x+1 = 5

Показать ответ и решение

x+1 2−x 5 = 5

В силу монотонности показательной функции получаем

x+ 1= 2− x

x = 1 2

Ответ:

$1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#88247

Решите уравнение

2⋅6x-− 4x−-15 6x− 9x − 5 = 3

Показать ответ и решение

ОДЗ: $6x− 9x− 5⁄= 0.$ Домножив исходное равенство на знаменатель, получаем

x x x x 2 ⋅6 − 4 − 15= 3⋅6 − 3⋅9 − 15

3 ⋅9x − 6x− 4x = 0

3 ⋅32x− 3x⋅2x − 22x = 0

Поделив на $22x$ , получим

( )2x ( )x 3⋅ 3 − 3 − 1 =0 2 2

Сделаем замену $( ) 3 x = t, t> 0 2$ . Тогда

3t2− t− 1= 0

√-- t= 1±--13 6

И так как $t>0$ , подходит только $√-- t= 1+--13 6$ . Тогда $√-- x= log 31+--13 2 6$

Проверим, что такое решение удовлетворяет ОДЗ. Заметим, что $log3(√13-+ 1)<0 2 6$ , так как $√13-+ 1< 1 6$ . Поэтому $6x < 1$ , а значит $6x− 9x− 5< 0.$

Ответ:

$log (1+√13) 32 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#88712

Решить уравнение

∘ √------√-------√-- 4√----- 4√----- 4√- 2x− 1+ 3x− 1 − x− 2x− 1− 3x− 1+ x= 0

Источники: САММАТ - 2024, 11.10 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Внимательно посмотрим на уравнение. Есть много похожих слагаемых, что можно сделать для удобства?

Подсказка 2

Замену! Попробуем избавиться от корней и заменить корни 4-й степени. Как можно работать с получившимся уравнением?

Подсказка 3

С одной стороны корень, с другой стоит число, поэтому возведем обе части в квадрат! Что получим после преобразований?

Подсказка 4

0 = c^2 + ab - ac - bc. Остается лишь вспомнить, к чему мы стремимся, когда с одной стороны уравнения стоит 0, и решить его!

Показать ответ и решение

Обозначим корни четвёртых степеней через $a,b$ и $c$ , тогда уравнение примет вид:

∘ -2--2---2 a +b − c = a+b− c

После возведения в квадрат и приведения подобных получаем равенство

0= c2 +ab− ac− bc,

что равносильно

(c− b)(c− a)= 0,

откуда либо $c= b$ , то есть $x = 12$ , либо $c= a$ , откуда $x =1$ .

При подстановке оба корня подходят (её необходимо сделать, потому что при возведении в квадрат могли появиться лишние корни).

Ответ:

$1 ;1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#88909

Решите уравнение

[3] [2] x + x + [x]= {x}− 1

Показать ответ и решение

Заметим, что левая часть принимает всегда целые значения. Значит, и правая часть должна принять целое значение, но ${x}∈ [0;1),$ поэтому это возможно только при ${x} =0,$ т.е. когда $x$ — целое число. Тогда данное уравнение примет вид

3 2 x + x + x= −1

2 x (x+1)+ (x +1)= 0

(x +1)(x2+ 1)= 0

x= −1

Ответ:

$− 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#88910

Решите уравнение

3 x − [x]= 3

Показать ответ и решение

Можно заметить, что $x∈ ℤ,$ так как справа от равенства целое число, $[x]$ — целое, значит и $x3$ тоже целое.

Ограничим $x$ сверху. Так как при $x > 0$ значение $3 x$ будет слишком большим, то ограничим $3 x$ сверху:

3 2 x = [x]+3 ≤x +3 ⇒ x(x − 1)≤3

Из последнего неравенства получаем, что $x <2,$ иначе при $x≥ 2$ имеем, что

2 x(x − 1)≥2 ⋅3 =6 >3

Ограничим $x$ снизу. Докажем, что $x> 0$ . Так как при $x≤ 0$ значение $x3$ будет слишком малым, то ограничим $x3$ снизу:

3 3 2 x ≥ [x]+3 ⇒ x > (x− 1)+ 3 ⇔ x(x − 1) >2

При $x≤ 0$ левая часть меньше $0,$ значит $x >0.$

Получили, что $0< x< 2.$

При $0< x< 1$ имеем

x3− 0= 3 ⇒ x = 3√3

но $√- 33 >1$ и не попадает в промежуток.

При $1≤ x< 2$ имеем

x3− 1= 3 ⇒ x = 3√4

где $3√- 4∈ [1;2}.$

Значит, существует одно решение $√3- x = 4$

Ответ:

$√34-$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#88912

Решите уравнение

{ 3} 3 (x +1) = x

Показать ответ и решение

3 3 {(x +1)} =x

3 2 3 {x + 3x +3x+ 1}= x

{x3+3x2+ 3x} =x3

Из последней строчки делаем вывод, что чтобы $x$ было корнем, необходимо и достаточно, чтобы $x ∈[0,1),$ $3x2 +3x∈ ℤ.$ Поскольку $x ∈[0,1),$ то $3x2 +3x$ может принимать только целые значения от 0 до 5 включительно. Решаем все 6 уравнений и отбираем среди их только подходящие по ограничениям $x∈[0,1).$

3x2+3x =0 =⇒ x1,2 = 0,− 1 =⇒ x =0

∘ --- ∘ --- 3x2+3x =1 =⇒ x1,2 = − 1 ±-7 =⇒ x= − 1 + -7 2 12 2 12

2 1 ∘ 11- 1 ∘ 11- 3x +3x =2 =⇒ x1,2 = −2 ± 12 =⇒ x= −2 + 12

∘ --- ∘ --- 3x2+3x =3 =⇒ x1,2 = − 1 ± 15 =⇒ x= − 1 + 15 2 12 2 12

∘ --- ∘ --- 3x2+3x =4 =⇒ x = − 1 ± 19 =⇒ x= − 1 + 19 1,2 2 12 2 12

2 1 ∘ 23- 1 ∘ 23- 3x +3x =5 =⇒ x1,2 = −2 ± 12 =⇒ x= −2 + 12

Итого, мы нашли 6 корней исходного уравнения.

Ответ:

${ 1 ∘ -7- 1 ∘ 11- 1 ∘ 15- 1 ∘ 19- 1 ∘ 23} x ∈ 0,−2 + 12,−2 + 12,−2 + 12,−2 + 12,−2 + 12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#88913

Решите систему уравнений

(| x +[y]={z}+ 54, { y +[z]= {x}+ 54, |( z +[x]= {y}+ 54.

Показать ответ и решение

Перепишем первое уравнение в следующем виде:

x− {z}= 54 − [y]

Получили, что правая часть представляет из себя целое число. Значит, левая часть — это тоже целое число. Так как $x =[x]+ {x},$ то получаем, что ${x}= {z}.$ Аналогично для второго и третьего уравнений получаем, что