Тема АЛГЕБРА

Уравнения без логарифмов и тригонометрии

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Уравнения без логарифмов и тригонометрии

Уравнения с модулем

Иррациональные уравнения (с радикалами)

Уравнения с модулями и корнями (радикалами)

Показательные уравнения

Оценки в уравнениях без логарифмов и тригонометрии

Уравнения с целой и дробной частями

Использование монотонности функций в уравнениях без логарифмов и тригонометрии

Правильная замена или группировка на скобки

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#83069

Решите уравнение

∘ ----2- ∘ ----2---- ∘-----2 4x− x + 4x− x − 3= 3+ 2x − x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сначала может быть непонятно, что вообще делать с уравнением, у которого сразу три знака корня... не возводить же всё в квадрат( А какой у нас ещё метод есть для решения уравнений, кроме топорной алгебры?

Подсказка 2

Метод оценки! В таких случаях часто бывает полезно оценить, а какие значения может принимать каждая из частей уравнения — найти максимальное и минимальное значение каждой из частей (для этого под корнями можно выделить полные квадраты).

Подсказка 3

Оказывается, наибольшее значение левой части уравнения совпадает с наименьшим значением правой. Равенство достигается, только когда левая часть максимальна, а правая минимальна. То есть когда в соответствующих оценках-неравенствах достигается равенство

Показать ответ и решение

Выделим в левой части уравнения полные квадраты под корнями:

∘-----2 ∘-----2--- ∘--------2 ∘ -------2- 4x − x + 4x − x − 3= 4 − (x− 2)+ 1− (x− 2)

Так как подкоренные выражения не превосходят 4 и 1 соответственно, то сумма корней не больше

√- √- 4+ 1= 3,

а правая часть исходого уравнения не меньше 3. Получаем

∘ ----2- ∘ ----2---- ∘-----2 3≥ 4x− x + 4x− x − 3= 3+ 2x − x ≥ 3

Следовательно,

3= ∘4x-− x2+ ∘4x-− x2−-3= 3+ ∘2x-− x2 = 3

То есть во всех неравенствах должно достигаться равенство:

( ∘--------- |{ ∘4−-(x− 2)2 = 2 | 1−√ (x− 2)2 = 1 ( 3+ 2x − x2 =3

{ (x − 2)2 = 0 2x − x2 =0

x= 2

Ответ: 2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#85024

Решите неравенство

√6-+-x−-x2- √6+-x−-x2 ---2x-+5-- ≥ --x-+4---

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим и корни и дроби, поэтому сразу же считаем ОДЗ!

Подсказка 3

Неравенство 1/(2x + 5) ≥ 1/(x+4) нетрудно решается, но оно будет ещё легче, если посмотреть какие по знаку (положительные или отрицательные) будут знаменатели на ОДЗ. А мы знаем, что умножение на положительное выражение будет равносильным переходом.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Запишем ОДЗ:

( ( (x− 3)(x +2)≤ 0 ( x ∈[−2,3] |||{ 6+ x− x2 ≥0 ||||{ ||||{ 2x+ 5⁄= 0 ⇐ ⇒ x⁄= − 5 ⇐⇒ x ⁄=− 5 ⇐⇒ x∈ [− 2,3] |||( x+ 4⁄= 0 ||||( 2 ||||( 2 x⁄= −4 x ⁄=− 4

Рассмотрим два случая. Во-первых,

∘ -------- [ 6+ x− x2 =0 ⇐⇒ 6+ x− x2 = 0 ⇐⇒ x= 3 x= −2

Во-вторых, $√ ------2- 6+ x− x >0,$ значит, на него можно сокращать. Так же заметим, что на ОДЗ выражения $2x+ 5$ и $x+4$ положительны.

1 1 2x+-5 ≥ x+-4

x +4≥ 2x+ 5

x≤ −1

Пересечём это с ОДЗ и получим в этом случае $x∈ [− 2,−1].$

В итоге, объединив все случаи, получим $x ∈[−2,− 1]∪ {3}.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Аналогично, как в первом решении, запишем ОДЗ неравенства:

( (| (x− 3)(x +2)≤ 0 (| x ∈[−2,3] |||{ 6+ x− x2 ≥0 |||{ |||{ | 2x+ 5⁄= 0 ⇐ ⇒ | x⁄= − 5 ⇐⇒ | x ⁄=− 5 ⇐⇒ x∈ [− 2,3] ||( x+ 4⁄= 0 |||( 2 |||( 2 x⁄= −4 x ⁄=− 4

Давайте перенесём теперь всё в одну часть и приведём разность дробей к общему знаменателю. Получится следующая дробь

∘ ----------( − x− 1 ) (3− x)(x+2) (2x+-5)(x+-4) ≥ 0

Умножим на $− 1$ неравенство и поменяем знак:

∘ ----------( ---x+-1----) (3− x)(x+2) (2x+ 5)(x+ 4) ≤ 0

Мы знаем нули этого выражения вместе с выколотыми точками. Поэтому давайте решим это неравенство методом интервалов, подставив значения точек из нужных интервалов. Но выколотые точки в знаменателе не удовлетворяют ОДЗ, поэтому не будем их рассматривать вовсе. Рассматривая промежуток $[−2,− 1]$ и подставляя, например, точку $x =− 32,$ получаем, что значение будет отрицательно(в числителе минус, в знаменателе обе скобки положительны). А рассматривая промежуток $[−1,3],$ можем подставить $x= 0$ и получить, что знак плюс. Итого, решение получается $x∈ [−2,−1]∪{3}$ (не забываем, про не выколотые точки).

Ответ:

$[−2,−1]∪{3}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#88245

Решите уравнение

( 1)x−2 5x+1 = 5

Показать ответ и решение

x+1 2−x 5 = 5

В силу монотонности показательной функции получаем

x+ 1= 2− x

x = 1 2

Ответ:

$1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#88247

Решите уравнение

2⋅6x-− 4x−-15 6x− 9x − 5 = 3

Показать ответ и решение

ОДЗ: $6x− 9x− 5⁄= 0.$ Домножив исходное равенство на знаменатель, получаем

x x x x 2 ⋅6 − 4 − 15= 3⋅6 − 3⋅9 − 15

3 ⋅9x − 6x− 4x = 0

3 ⋅32x− 3x⋅2x − 22x = 0

Поделив на $22x$ , получим

( )2x ( )x 3⋅ 3 − 3 − 1 =0 2 2

Сделаем замену $( ) 3 x = t, t> 0 2$ . Тогда

3t2− t− 1= 0

√-- t= 1±--13 6

И так как $t>0$ , подходит только $√-- t= 1+--13 6$ . Тогда $√-- x= log 31+--13 2 6$

Проверим, что такое решение удовлетворяет ОДЗ. Заметим, что $log3(√13-+ 1)<0 2 6$ , так как $√13-+ 1< 1 6$ . Поэтому $6x < 1$ , а значит $6x− 9x− 5< 0.$

Ответ:

$log (1+√13) 32 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#88712

Решить уравнение

∘ √------√-------√-- 4√----- 4√----- 4√- 2x− 1+ 3x− 1 − x− 2x− 1− 3x− 1+ x= 0

Источники: САММАТ - 2024, 11.10 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Внимательно посмотрим на уравнение. Есть много похожих слагаемых, что можно сделать для удобства?

Подсказка 2

Замену! Попробуем избавиться от корней и заменить корни 4-й степени. Как можно работать с получившимся уравнением?

Подсказка 3

С одной стороны корень, с другой стоит число, поэтому возведем обе части в квадрат! Что получим после преобразований?

Подсказка 4

0 = c^2 + ab - ac - bc. Остается лишь вспомнить, к чему мы стремимся, когда с одной стороны уравнения стоит 0, и решить его!

Показать ответ и решение

Обозначим корни четвёртых степеней через $a,b$ и $c$ , тогда уравнение примет вид:

∘ -2--2---2 a +b − c = a+b− c

После возведения в квадрат и приведения подобных получаем равенство

0= c2 +ab− ac− bc,

что равносильно

(c− b)(c− a)= 0,

откуда либо $c= b$ , то есть $x = 12$ , либо $c= a$ , откуда $x =1$ .

При подстановке оба корня подходят (её необходимо сделать, потому что при возведении в квадрат могли появиться лишние корни).

Ответ:

$1 ;1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#88909

Решите уравнение

[3] [2] x + x + [x]= {x}− 1

Показать ответ и решение

Заметим, что левая часть принимает всегда целые значения. Значит, и правая часть должна принять целое значение, но ${x}∈ [0;1),$ поэтому это возможно только при ${x} =0,$ т.е. когда $x$ — целое число. Тогда данное уравнение примет вид

3 2 x + x + x= −1

2 x (x+1)+ (x +1)= 0

(x +1)(x2+ 1)= 0

x= −1

Ответ:

$− 1$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#88910

Решите уравнение

3 x − [x]= 3

Показать ответ и решение

Можно заметить, что $x∈ ℤ,$ так как справа от равенства целое число, $[x]$ — целое, значит и $x3$ тоже целое.

Ограничим $x$ сверху. Так как при $x > 0$ значение $3 x$ будет слишком большим, то ограничим $3 x$ сверху:

3 2 x = [x]+3 ≤x +3 ⇒ x(x − 1)≤3

Из последнего неравенства получаем, что $x <2,$ иначе при $x≥ 2$ имеем, что

2 x(x − 1)≥2 ⋅3 =6 >3

Ограничим $x$ снизу. Докажем, что $x> 0$ . Так как при $x≤ 0$ значение $x3$ будет слишком малым, то ограничим $x3$ снизу:

3 3 2 x ≥ [x]+3 ⇒ x > (x− 1)+ 3 ⇔ x(x − 1) >2

При $x≤ 0$ левая часть меньше $0,$ значит $x >0.$

Получили, что $0< x< 2.$

При $0< x< 1$ имеем

x3− 0= 3 ⇒ x = 3√3

но $√- 33 >1$ и не попадает в промежуток.

При $1≤ x< 2$ имеем

x3− 1= 3 ⇒ x = 3√4

где $3√- 4∈ [1;2}.$

Значит, существует одно решение $√3- x = 4$

Ответ:

$√34-$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#88912

Решите уравнение

{ 3} 3 (x +1) = x

Показать ответ и решение

3 3 {(x +1)} =x

3 2 3 {x + 3x +3x+ 1}= x

{x3+3x2+ 3x} =x3

Из последней строчки делаем вывод, что чтобы $x$ было корнем, необходимо и достаточно, чтобы $x ∈[0,1),$ $3x2 +3x∈ ℤ.$ Поскольку $x ∈[0,1),$ то $3x2 +3x$ может принимать только целые значения от 0 до 5 включительно. Решаем все 6 уравнений и отбираем среди их только подходящие по ограничениям $x∈[0,1).$

3x2+3x =0 =⇒ x1,2 = 0,− 1 =⇒ x =0

∘ --- ∘ --- 3x2+3x =1 =⇒ x1,2 = − 1 ±-7 =⇒ x= − 1 + -7 2 12 2 12

2 1 ∘ 11- 1 ∘ 11- 3x +3x =2 =⇒ x1,2 = −2 ± 12 =⇒ x= −2 + 12

∘ --- ∘ --- 3x2+3x =3 =⇒ x1,2 = − 1 ± 15 =⇒ x= − 1 + 15 2 12 2 12

∘ --- ∘ --- 3x2+3x =4 =⇒ x = − 1 ± 19 =⇒ x= − 1 + 19 1,2 2 12 2 12

2 1 ∘ 23- 1 ∘ 23- 3x +3x =5 =⇒ x1,2 = −2 ± 12 =⇒ x= −2 + 12

Итого, мы нашли 6 корней исходного уравнения.

Ответ:

${ 1 ∘ -7- 1 ∘ 11- 1 ∘ 15- 1 ∘ 19- 1 ∘ 23} x ∈ 0,−2 + 12,−2 + 12,−2 + 12,−2 + 12,−2 + 12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#88913

Решите систему уравнений

(| x +[y]={z}+ 54, { y +[z]= {x}+ 54, |( z +[x]= {y}+ 54.

Показать ответ и решение

Перепишем первое уравнение в следующем виде:

x− {z}= 54 − [y]

Получили, что правая часть представляет из себя целое число. Значит, левая часть — это тоже целое число. Так как $x =[x]+ {x},$ то получаем, что ${x}= {z}.$ Аналогично для второго и третьего уравнений получаем, что

{x} ={y}= {z}

Тогда получаем следующую систему:

(|{ ([x]+ {x})+ [y]= {z}+54, (|{ ([x]+ [y])= 54 ([y]+ {y})+ [z]= {x}+54, ⇐⇒ ([y]+[z])= 54 |( ([z]+ {z})+ [x]= {y} +54. |( ([z]+[x])= 54

Из последней системы получаем, что $[x]= [y]= [z]=27.$ Тогда получили, что

x= y = z

где $x =27+ {x}.$ Так как $0 ≤{x}< 1,$ то имеем, что

x= y = z, где 27≤x < 28

Ответ:

$(c;c;c)$ для любого $c∈[27;28)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#88914

Найдите все $x$ , для которых

7 2[x]+3{x}= 3,

где $[x]$ — целая часть числа $x$ , ${x}$ — дробная часть числа $x$ , то есть ${x} =x− [x]$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем оценить x. Каким будет значение левой части, если x будет достаточно маленьким? А при каких x значение левой части уже превысит 7/3?

Подсказка 2

Рассмотрите случаи x < 0 и x >= 2.

Подсказка 3

Правильно, при таких случаях значение левой части точно будет меньше или больше правой. Какие тогда значения может принимать [x]?

Показать ответ и решение

Если $x <0,$ то $2[x]+ 3{x}< 2⋅(−1)+ 3⋅1< 7. 3$

Если $x≥ 2,$ то $7 2[x]+3{x}≥ 2⋅2+ 3⋅0 > 3.$

Остаётся два варианта:

$7 [x]=0, 3{x}= 3$
$1 [x]=1, 3{x}= 3$

Соответственно $x= 0+ 7 9$ или $x= 1+ 1. 9$

Ответ:

$7 ;10 9 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#89460

Числа $x,y,z,t$ таковы, что

1 {x +y +z}= {y+ z+t}= {z+ t+ x}= {t+x +y}= 4

Найдите ${x+ y+ z+ t}$ .

Замечание. ${A}$ обозначает дробную часть числа $A.$

Показать ответ и решение

Заметим, что

{3(x+ y+ z+t)}={{x+ y+ z}+{y+ z+ t} +{z+ t+x} +{t+x +y}}= {1}= 0

Значит, $3(x+ y+ z+ t)$ — целое число. Рассмотрим возможные остатки этого числа при делении на 3:

3(x+ y+z +t)= 3n, n∈ ℤ

x+ y+z +t= n, n ∈ℤ

{x +y +z+ t}= 0

Это значение достигается, например, при $x= y = z = t= 912,$ тогда

{ } {x+ y+ z}= {y +z+ t}= {z +t+ x}= {t+ x+ y}= 3⋅-9 = 1 12 4

{x+ y+ z+ t}= {4 ⋅ 9} = 0 12

3(x +y+ z+ t) =3n+ 1, n ∈ℤ

1 x+ y+ z+ t=n + 3, n∈ ℤ

1 {x+ y+ z+ t} = 3

Это значение достигается, например, при $1- x= y = z = t= 12,$ тогда

{ 1} 1 {x+ y+ z}= {y +z+ t}= {z +t+ x}= {t+ x+ y}= 3⋅12 = 4

{ } {x+ y+ z+t}= 4⋅-1 = 1 12 3

3(x +y+ z+ t) =3n+ 2, n ∈ℤ

x+ y+ z+ t=n + 2, n∈ ℤ 3

{x+ y+ z+ t} = 2 3

Это значение достигается, например, при $x= y = z = t=-5, 12$ тогда

{ } {x+ y+ z}= {y +z+ t}= {z +t+ x}= {t+ x+ y}= 3⋅-5 = 1 12 4

{ -5} 2 {x+ y+ z+t}= 4⋅12 = 3

В итоге все возможные значения ${x +y +z+ t}$ — это $0,13$ и $23.$

Ответ:

$0;1;2 3 3$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#90370

Сколько решений имеет уравнение $4x2 − 40[x]+ 51 =0$ ?

Показать ответ и решение

Распишем целую часть:

2 4x − 40(x− {x})+ 51 =0

2 4x − 40x+ 51 +40{x}= 0

Оценим последнее слагаемое:

0≤ 40{x} <40

Тогда получаем ограничения на уравнение:

−40 <4x2− 40x +51≤ 0

$1)Рассмотрим − 40< 4x2− 40x +51:$

4x2 − 40x+ 91 >0

( 7) ( 13 ) (2x− 7)(2x− 13)> 0 =⇒ x∈ −∞;2 ∪ 2-;+ ∞

$2)Рассмотрим 4x2− 40x+ 51≤ 0:$

4x2 − 40x+ 51≤0

[ ] (2x− 3)(2x − 17)≤ 0 =⇒ x∈ 3;17 2 2

Итого получили следующие ограничения:

[3 7) (13 17] x∈ 2;2 ∪ 2 ; 2

Рассмотрим случаи:

$1) 1≤x <2 :$

4x2− 40+51= 0 =⇒ 4x2 +11= 0 —нет решений

$2) 2≤x <3 :$

2 2 4x − 80+51= 0 =⇒ 4x − 29= 0 —1 решениe

$3) 3≤x <4 :$

2 2 4x − 120+ 51= 0 =⇒ 4x − 69 =0 — нет реш ений

$4) 6≤x <7 :$

4x2− 240+ 51− = 0 =⇒ 4x2− 189 =0 — 1 решениe

$5) 7≤x <8 :$

4x2− 280+51= 0 =⇒ 4x2 − 229= 0 — 1 решениe

$6) 8≤x <8 :$

4x2− 320+51= 0 =⇒ 4x2 − 269= 0 — 1 решениe

Итого, всего $4$ решения.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#90371

Найдите все $x$ , для которых

[8x+-19] 16(x+-1) 7 = 11 .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

[(8x+19)/7] — это некоторое целое число, пусть k. Тогда мы можем оценить выражение внутри целой части через k.

Подсказка 2

Получилось неравенство с двумя переменными, надо точно избавиться от одной. Как это можно сделать?

Подсказка 3

С одной стороны [(8x+19)/7] равно k, с другой — 16(x+1)/1. Можно выразить х через k! Останется лишь решить неравенство для целого k.

Показать ответ и решение

Сделаем замену:

16(x+-1)- [ 8x-+19] k = 11 = 7 .

Так как $k$ равняется целой части какого-то числа, то $k∈ ℤ.$ Получается,

[ ] 8x+-19 = k. 7

Отсюда по свойству целой части

k≤ 8x+-19< k+ 1. 7

Выразим $x$ через $k$

11k− 16 x= 16

и подставим в неравенство:

( ) 8 11k−-16-+ 19 k≤ -----16-------< k+ 1, 7

k≤ 11k-+22-<k +1, 14

3k≤ 22 <3k+ 14.

8 < k≤ 22 3 3

Так как $k$ — целое, то $k ∈{3,4,5,6,7}.$ Теперь подставим каждое возможное значение k в формулу

11k− 16 x= 16

и получим

{ 17 7 39 25 61} x ∈ 16,4,16,-8 ,16 .

Ответ:

$17,7,39,25,61 16 4 16 8 16$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#90448

Пусть $x <y$ — положительные действительные числа такие, что

√ - √- √---- ∘ ---- x+ y = 4 и x +2+ y+2 =5.

Найдите $x$ .

Источники: Турнир Ломоносова - 2024, 11.1 (см. turlom.olimpiada.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала попробуйте в обоих уравнениях в одной части оставить корни от одной и той же переменной и возвести в квадрат.

Подсказка 2

Отлично! Теперь мы можем избавиться от второй переменной, выразив её в обоих уравнениях системы через первую и записав за счёт этого новое равенство для одной переменной.

Подсказка 3

Попробуйте снова перенести одно выражение с корнем в одну часть, а всё остальное в другую и возвести в квадрат. Так мы получим квадратное уравнение относительно корня из x.

Показать ответ и решение

Запишем равенства в следующем виде:

√ - √ - ∘ ---- √---- y = 4− x и y+2 =5 − x +2.

Учитывая ограничение $x ≤16$ возведём их в квадрат и выразим $y$ :

√ -2 √----2 y = (4 − x) и y = (5− x+ 2)− 2.

Получаем уравнение

(4− √x)2 = (5− √x-+2)2− 2.

После раскрытия полных квадратов и приведения подобных оно примет вид

10√x+-2= 8√x+ 9.

После возведения в квадрат получим уравнение

36x− 144√x − 119= 0.

Решая его как квадратное относительно $x$ , получаем

√-- 17 √-- 7 x1 =-6 , x2 =6,

откуда

x1 = 289,x2 = 49. 36 36

По ОДЗ оба корня проходят, но при первом корне $y < x$ , значит он не подходит.

Ответ:

$49 36$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#91511

Решите уравнение

4 3 2 x − 5x +4x + 5x+ 1= 0.

Показать ответ и решение

Заметим, что данное уравнение возвратное. Тогда поделим его на $x2 ⁄= 0:$

2 5 1 x − 5x+ 4+ x + x2 = 0

( 1 ) ( 1) x2− 2+ x2 − 5 x− x + 4+2 =0

( ) ( ) x− 1 2− 5 x− 1 +6= 0 x x

Замена $1 t= x− x$

2 t − 5t+ 6= 0

⌊ | t= 2 =⇒ x − 1= 2 |⌈ x1 t= 3 =⇒ x − x = 3

[ x2− 2x− 1= 0 x2− 3x− 1= 0

⌊ √- | x =1± 2 |⌈ 3±√13- x = --2---

Ответ:

$√- 3±√13- 1± 2; 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#91513

Решите уравнение

----6----- -----8---- (x +1)(x+ 2) + (x− 1)(x+4) =1.

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

(| x⁄= 1 |||{ x⁄= −1 | |||( x⁄= −2 x⁄= −4

Раскроем скобки:

---6----- ----8---- x2 +3x+ 2 + x2+ 3x− 4 = 1

Сделаем замену $2 t= x +3x$

6 8 t+-2 + t−-4 = 1

2 6t−-24-+8t+-16-− t-+-2t+-8= 0 (t+ 2)(t− 4)

2 --−t-+16t-= 0 (t+ 2)(t− 4)

[ t=0 =⇒ x2+ 3x = 0 t=16 =⇒ x2+3x =16

Итого:

⌊ x= 0 || x= −3 ||⌈ √-- x= −3±--73- 2

Ответ:

$−3±-√73- 0; − 3; 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#91514

Решите уравнение $-x2-= 12x2+7x− 6 1−2x2$ .

Показать ответ и решение

Перепишем изначальное равенство:

x2 2 1− 2x2-=6⋅(2x − 1)+ 7x

Сделаем замену: $2x2− 1= t$ , ОДЗ: $t⁄= 0$

2 x-= 6t+7x t

6t2+ 7tx +x2 =0

6t2+6tx+ tx+ x2 = 0

6t(t+ x)+x(t+x)= 0

(6t+ x)(t+ x)=0

Рассмотрим два случая:

1.

$t= −x$

2x2 − 1= −x

2 2x +x − 1 =0

[ x= 1 x= 1 2

2.

$6t= −x$

2 12x − 6= −x

12x2+ x− 6= 0

[ x= − 3 x= 2 4 3

Ответ:

$3 ;2 ;1;1 4 3 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#92349

Найдите площадь фигуры, состоящей из точек $(x,y)$ координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению

|x|+|x+ 3y|+ 3|y− 2|=6.

Источники: ДВИ - 2012, вариант 1, задача 5 (pk.cs.msu.ru)

Показать ответ и решение

Воспользуемся неравенством треугольника:

|a|+|b|≥ |a − b|

причем равенство достигается при $ab≤0.$

Тогда

|x|+ |x+3y|≥ |x− x− 3y| =⇒ |x|+ |x+ 3y|≥ |3y|

|x|+|x+ 3y|+ 3|y− 2|≥|3y|+ |3y− 6|≥|3y− 3y+ 6|

В итоге

6= |x|+ |x +3y|+3|y − 2|≥ 6,

поэтому во всех неравенствах должно достигаться равенство. Тогда

{ 3y⋅3(y− 2)≤ 0 x ⋅(x+ 3y)≤0

Первое условие равносильно

y(y− 2) ≤0 ⇐⇒ y ∈ [0;2],

а второе

⌊ { | x≥ 0 ||| { x+ 3y ≤0 ⌈ x≤ 0 x+ 3y ≥0

⌊ ({ | x≥ 0x ||| (( y ≤ −3 |⌈ { x≤ 0 ( y ≥ − x3

Изобразим полученные условия на координатной плоскости:

$PIC$

Тогда искомая площадь равна $6.$

Ответ:

$6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#95965

Решите уравнение:

2 2 2 x y + 10+y + 6xy− 2y =0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас одно уравнение и две неизвестных. Сначала попробуем преобразовать его в более удобный вид. Самое простое, что можно сделать — это попробовать выделить полные квадраты.

Подсказка 2

Отлично! Теперь мы имеем, что сумма квадратов равна нулю. А когда такое в принципе возможно?

Подсказка 3

Верно! Когда обе скобки под квадратами равны нулю. Осталось лишь решить несложную систему.

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение и сгруппируем на скобочки: