Тема АЛГЕБРА

Уравнения без логарифмов и тригонометрии

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела алгебра
Разделы подтемы Уравнения без логарифмов и тригонометрии
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#103512

Решите уравнение

√3x-+1+ 1   ( √3x+-1  √----)   13
----x----+ 4  --3---−  4x− 3 = 3-− 4x.
Показать ответ и решение

На ОДЗ x≥ 3
   4  левая часть равносильного исходному уравнения

√3x+-1+ 1  4(√ -----  )   √-----
----x----+ 3   3x +1− 1 = 4 4x− 3− (4x− 3)

по неравенству о средних для двух положительных чисел не меньше

∘ ----------
2 4(3x+1-− 1)= 4,
      3x

а правая часть

4− 4+4√4x-− 3-− (√4x−-3)2 = 4− (2− √4x-− 3)2 ≤ 4.

Поэтому равенство выполнено в единственном случае: когда обе части равны 4. Равенство в неравенствах достигается при 

{ √----
  -3x+x1+1-= 43(√3x+-1− 1)
  2= √4x−-3

Из второго уравнения легко получаем единственное решение    7
x= 4,  которое подходит и в первое уравнение.

Ответ:

 7
4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#105471

Решите уравнение

  25      4       √ ---- ∘ ----
√x-− 1-+√y-−-2 = 14− x− 1− y− 2.
Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумаем, просто так ли нам даны такие числители?) Какой вид принимают одночлены после незамысловатой замены?

Подсказка 2

У нас есть одночлены вида t и y²/t! Что хочется с ними сделать? В каком неравенстве такое действие присутствует?

Подсказка 3

Хочется их перемножить. Воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и геометрическом для оценки!

Подсказка 4

Когда в неравенстве о средних достигается равенство?

Показать ответ и решение

Запишем исходное уравнение в виде

(√----    25 )  ( ∘----    4  )
  x− 1+ √x-− 1 +   y − 2+ √y-− 2 = 14

Заметим, что из очевидного при t> 0  неравенства    2
t+ yt-≥2y  вытекает, что

√----
 x− 1+ √-25---≥2⋅5 =10,
∘----   x4− 1
 y− 2+ √y-− 2 ≥2 ⋅2 =4,

откуда получаем

(            )   (            )
 √x−-1+ √-25-- +  ∘y-− 2+ √-4-- ≥ 14
         x − 1             y− 2

Если сумма двух слагаемых, первое из которых не меньше 10, а второе не меньше 4, равна 14, то первое слагаемое равно 10, а второе 4.

Поскольку знак равенства в неравенстве вида     2
t+ y ∕t≥ 2y  достигается только лишь в случае t=y  , то исходное уравнение равносильно системе

{ √x-− 1 =5    { x= 26
  √y-− 2= 2 ⇐ ⇒  y = 6
Ответ:

 (26;6)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#119630

Решить уравнение

[∘ [∘-------------]]  [∘ -------------]
     2024(x+ 1)(3− x)  = 4 2024(x+ 1)(3− x)

Здесь [b]  — целая часть числа: наибольшее целое число не превосходящее b.

Источники: Росатом - 2025, 11.5 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выглядит страшно, но мы сразу можем ограничить икс, написав ОДЗ. Как теперь начать раскручивать задачу?

Подсказка 2

Подставляя разные значения икса легче не становиться... Что можно сделать? Мы уже поняли, что наше число неотрицательно. Давайте попробуем написать оценки в общем случае на выражения такого вида.

Подсказка 3

Заменим неудобное подкоренное выражение на а. В изначальном выражении у нас фигурируют корни второй и четвёртой степени, целая часть числа. Как тогда удобнее всего оценивать а?

Подсказка 4

Верно! Можно утверждать, что для а всегда найдётся такое n, что n⁴ ≤ a < (n+1)⁴. Пользуясь тем, что а неотрицательно, приведём оценку к виду, который дан в условии: пусть над а будут выполнены все те операции, которые выполняются над подкоренным выражением из условия. Что тогда можно сказать про это выражение?

Подсказка 5

Да! Оно равно n. Давайте таким же образом оценим ⁴√а и скажем, когда выполняется равенство из условия!

Показать ответ и решение

Для любого неотрицательного числа a  найдется целое неотрицательное число n  такое, что:

 4          4   2  √-       2
n ≤ a< (n +1) ⇒ n ≤  a <(n+ 1)

 2  [√-]       2     ∘ [√-]
n  ≤  a < (n+ 1) ⇒ n ≤    a < n+ 1

∘ [√-]
    a = n

Кроме того,

   √4-        [4√-]
n≤   a< n+ 1⇒   a = n

Таким образом, для любых значений a  уравнение

[∘ ---]
   [√a] = [4√a]

является тождеством.

Положив в исходном уравнении a= 2024(x+ 1)(3− x):

[∘ [∘-------------]]  [4∘ -------------]
     2024(x+ 1)(3− x)  =   2024(x+ 1)(3− x)

получаем, что все числа из области допустимых значений являются его решениями.

2024(x +1)(3− x)≥ 0

x∈ [−1;3]
Ответ:

 [−1;3]

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#121573

Инженер Коворкин установил, что мощность инновационной наноэлектростанции (выраженная в ГВт) должна быть равна корню уравнения

   ∘---------∘------    2
1+  1 +8x2− 6x  1− x2 = 10x

Выясните, имеет ли это уравнение корни и есть ли среди них положительные. Если корни имеются, то найдите максимальный и минимальный по модулю среди них.

Источники: Надежда Энергетики - 2025, 11.1(см. www.energy-hope.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Было бы хорошо, если бы мы могли красиво извлечь хотя бы один корень. А на что похоже большее подкоренное выражение?

Подсказка 2

По ФСУ можно собрать подкоренное выражение в квадрат! Тогда уравнение станет проще.

Подсказка 3

Когда мы извлекли корень, в уравнении появился модуль. Значит, нужно разобрать два случая для знаков подмодульного выражения) В каждом из случаев нужно будет решить квадратное уравнение и не забыть про ОДЗ!

Показать ответ и решение

Сразу отметим, что |x|≤1.  Преобразуем подкоренное выражение:

     2   ∘ -----     2    ∘-----   2  (∘ -----   )2
1+ 8x − 6x 1− x2 =1 − x − 6x 1− x2+ 9x =   1− x2− 3x

Тогда изначальное уравнение приводится к виду:

   |   ∘ ----|
1+ ||3x−   1− x2||= 10x2

Случай 1. Пусть выражение под модулем неотрицательно.

    ∘-----
3x−  1 − x2 ≥ 0

   ∘ -----
3x ≥  1− x2

{
  x ≥0
  9x2 ≥ 1− x2

{
  x≥ 0
  10x2 ≥1

     1
x ≥√10-

Изначальное уравнение имеет вид:

       ∘ -----
1 +3x−   1− x2 = 10x2

   2  ∘ ---2-       2
1− x −  1− x +3x− 9x = 0

Пусть √1−-x2 = t≥0,  то

t2− t+ 3x− 9x2 =0

По формуле корней квадратного уравнения

      ∘ -------------    ∘ -------
t= 1±---1− 4-⋅(3x−-9x2)= 1-±-(6x-− 1)2= 1±-(6x−-1)
           2               2            2

Если t= 1+6x−1= 3x,
     2  то

    2   2
1− x = 9x

x = √1-
     10

Если t= 1−6x2+1= 1− 3x,  то

∘ ---2-
  1− x =1 − 3x

{ x ≤1∕3
  1− x2 = 1− 6x +9x2

(
||{ x⌊ ≤1∕3
    x =0
||( ⌈ x = 3
        5

С учётом x≥ √1-,
     10  корнем является только x= √1-.
     10

Случай 2. Пусть выражение под модулем отрицательно.

    ∘-----
3x−  1 − x2 < 0

    ∘ -----
3x <  1− x2

   [    1 )
x∈  −1;√10

Изначальное уравнение приобретает вид:

1 − 3x+ ∘1-− x2 = 10x2

      ∘ -----
1− x2+  1− x2 − 3x− 9x2 = 0

Пусть так же √ -----
  1− x2 = t≥ 0.  Тогда

   −1 ±∘1-−-4⋅(−-3x-− 12x2) −1± ∘(6x+-1)2   −1± (6x+ 1)
t= ----------2--------- = ------2------= ----2-----

Если    −1+6x+1
t= --2---= 3x,  то

∘ -----
  1− x2 = 3x

{
  x ≥02    2
  1 − x = 9x

    -1-
x = √10

Но данный корень не удовлетворяет условиям выше.

Если    −1− 6x−1
t= --2----=− 1− 3x,  то

∘ ----2
  1− x = −1− 3x

{
  x ≤−1∕3
  1− x2 = 1+ 6x +9x2

{
  x≤ −1∕3
  10x2 =− 6x

(
||{  x⌊≤ −1∕3
|  ⌈ x= 0
|(    x= − 3
         5

Подходит по условию только x= − 3.
    5

Таким образом, корни уравнения      3
x= − 5  и -1-
√10.  Среди них есть положительный корень. Максимальный по модулю корень – это x =− 3,
     5  а минимальный по модулю – это x= √1-.
     10

Ответ:

Уравнение имеет положительные корни. Максимальный по модулю: x= − 3;
     5  минимальный по модулю: x = √1-.
     10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#125112

Решите уравнение

∘ --2-------  ∘-2-------  ∘ -------2  ∘---√-  ∘ --√--
  4x − 12x+ 9+ x − 6x+ 9+(  −(x− 2)) =  3+  8−   3−  8

Источники: Ломоносов - 2025, 11.1 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала выпишем ограничения, а потом заметим, что под каждым корнем выделяются полные квадраты. Соответствующим образом преобразуем выражение.

Подсказка 2

Не забываем о том, что нужно навесить модули на подкоренные выражения после вынесения их из корня. Дальше выражение тривиально решается рассмотрением промежутков для подмодульных выражений.

Показать ответ и решение

Выделим полные квадраты при условии x≤ 2:

∘---2----------2- ∘ -2---------2-       ∘-----√----  ∘ ---√-----
 (2x)− 2⋅2x⋅3+ 3 +  x − 2⋅3⋅x+3 − x+ 2=  1 +2⋅  2+2 −  1− 2 2+ 2

∘ ------- ∘ ------        ∘----√--- ∘ ---√----
  (2x − 3)2+ (x− 3)2− x+ 2= (1+  2)2 −  (1 −  2)2

                       √-  √ -
|2x − 3|+|x− 3|− x+ 2= 1+ 2− ( 2− 1)

|2x− 3|+ |x− 3|= x.

То есть, с учётом ОДЗ, получаем, что x∈[1.5;2].

Ответ:

 [1.5;2]

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#125521

Решить уравнение

x   x− 1  x+1   2x− 1
4 − 3 2 =3  2 − 2
Показать ответ и решение

Пусть x − 1 =t,
   2  тогда уравнение примет вид

  t   t    t   t
2⋅4− 3 = 3⋅3− 4

Это уравнение равносильно каждому из уравнений:

3⋅4t = 4⋅3t

( )
 4 t = 4
 3    3

Отсюда t= 1,

    3
x = 2
Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#127866

Решите уравнение (x+ 1)(x+ 3)(x+ 5)(x+ 7)+15= 0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1.

Попробуйте разбить данные четыре скобки на пары таким образом, чтобы произведения в каждой паре давали выражения, отличающиеся на константу.

Подсказка 2.

Если раскрыть скобки (x + 1)(x + 7) и (x + 3)(x + 5), то получим x² + 8x + 7 и x² + 8x + 15 соотвественно. Что логично сделать после этого замечания?

Подсказка 3.

Верно, сделать замену переменной. Пусть t = x² + 8x + 11. Тогда уравнение примет вид: (t – 4)(t + 4) + 15 = 0. Остаётся найти t и затем решить несколько квадратных уравнений относительно x для найденных значений t.

Показать ответ и решение

Перемножим первую и последнюю скобки:

             2
(x+ 1)(x+ 7)= x + 8x+ 7,

и вторую и третью:

             2
(x +3)(x +5)= x +8x +15.

Обозначим t= x2+ 8x +11.  Тогда

x2+ 8x+ 7= t− 4,

x2+ 8x +15= t+ 4.

Тогда уравнение принимает вид:

(t− 4)(t+4)+ 15= 0

t2 − 1 =0

Таким образом, t= ±1.

Если t=1,  то

x2 +8x+ 11= 1=⇒ x2+ 8x +10= 0,

корни x = −4± √6.

Если t=− 1,  то

 2                2
x + 8x +11= −1 =⇒ x +8x+ 12= 0,

корни x = −2,  x= −6.

Ответ:

 x = −6,
 1  x = −4 − √6,
 2  x  =− 4+√6,
 3  x =− 2.
4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#128115

Решите уравнение 64(x2+ x)3 +1= 0.

Источники: БИБН - 2025, 10.1 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Кажется, что разложить выражение на множители у нас не получится, тогда придется действовать иначе – перенести единицу в другую сторону и извлечь кубический корень из обеих частей уравнения!

Подсказка 2

Теперь мы получили обычное квадратное уравнение, которое легко можем решить, заметив формулу сокращённого умножения, либо же используя старый добрый дискриминант)

Показать ответ и решение

 2   3  -1
(x + x) +64 = 0

         (   )3
(x2+ x)3 = − 1
            4

Так как степень нечетная,

x2+ x= − 1
        4

(    1)2
  x+ 2  = 0

x= − 1
    2
Ответ:

− 1
 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#128579

Решите неравенство

√ -----               √ -----
9 8− 7x − 2|4x − 7|≤ 9x − 2|4 8− 7x − 7|

Источники: Звезда - 2025, 10.1 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрите внимательно на неравенство, его правая и левая части очень похожи. Не удастся ли записать неравенство в несколько ином виде – через одну и ту же функцию разных аргументов?

Подсказка 2

Пусть f(t) = 9t + 2|4t - 7|, тогда неравенство имеет вид f(a) ≤ f(b), а что мы можем сказать про нашу функцию? Нельзя ли как-то перейти к сравнению аргументов?

Подсказка 3

Данная функция монотонна! А значит, неравенство равносильно а ≤ b) Ну теперь остается решить полученное неравенство с корнем, не забудьте при этом рассмотреть случаи с х < 0 и х ≥ 0, а также учесть ОДЗ!

Показать ответ и решение

Перепишем неравенство так:

√ -----   √ -----
9 8− 7x +2|4 8− 7x− 7|≤ 9x +2|4x − 7|

Пусть f(t)=9t+ 2|4t− 7|.  Тогда неравенство принимает вид:

 √ -----
f( 8− 7x)≤ f(x)

Заметим, что функция f  возрастающая, так как при любом раскрывании модуля старший коэффициент получаемой линейной функции положителен. Следовательно, исходное неравенство равносильно неравенству

√8-− 7x≤ x

Для решения полученного неравенства выпишем систему

(
|||8− 7x≥ 0
{x≥ 0
|||(        2
 8− 7x≤ x

Получаем

   [  ]
x∈  1;8
     7
Ответ:

[1;8]
  7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#83069

Решите уравнение

∘ ----2- ∘ ----2----    ∘-----2
  4x− x +  4x− x − 3= 3+ 2x − x
Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сначала может быть непонятно, что вообще делать с уравнением, у которого сразу три знака корня... не возводить же всё в квадрат( А какой у нас ещё метод есть для решения уравнений, кроме топорной алгебры?

Подсказка 2

Метод оценки! В таких случаях часто бывает полезно оценить, а какие значения может принимать каждая из частей уравнения — найти максимальное и минимальное значение каждой из частей (для этого под корнями можно выделить полные квадраты).

Подсказка 3

Оказывается, наибольшее значение левой части уравнения совпадает с наименьшим значением правой. Равенство достигается, только когда левая часть максимальна, а правая минимальна. То есть когда в соответствующих оценках-неравенствах достигается равенство

Показать ответ и решение

Выделим в левой части уравнения полные квадраты под корнями:

∘-----2  ∘-----2---  ∘--------2  ∘ -------2-
 4x − x + 4x − x − 3= 4 − (x− 2)+  1− (x− 2)

Так как подкоренные выражения не превосходят 4 и 1 соответственно, то сумма корней не больше

√-  √-
 4+  1= 3,

а правая часть исходого уравнения не меньше 3. Получаем

   ∘ ----2- ∘ ----2----    ∘-----2
3≥   4x− x +  4x− x − 3= 3+ 2x − x ≥ 3

Следовательно,

3= ∘4x-− x2+ ∘4x-− x2−-3= 3+ ∘2x-− x2 = 3

То есть во всех неравенствах должно достигаться равенство:

(  ∘---------
|{  ∘4−-(x− 2)2 = 2
|   1−√ (x− 2)2 = 1
(  3+  2x − x2 =3

{
   (x − 2)2 = 0
   2x − x2 =0

x= 2
Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#85024

Решите неравенство

√6-+-x−-x2-  √6+-x−-x2
---2x-+5-- ≥ --x-+4---
Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим и корни и дроби, поэтому сразу же считаем ОДЗ!

Подсказка 3

Неравенство 1/(2x + 5) ≥ 1/(x+4) нетрудно решается, но оно будет ещё легче, если посмотреть какие по знаку (положительные или отрицательные) будут знаменатели на ОДЗ. А мы знаем, что умножение на положительное выражение будет равносильным переходом.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Запишем ОДЗ:

(                   (  (x− 3)(x +2)≤ 0       ( x ∈[−2,3]
|||{ 6+ x− x2 ≥0       ||||{                       ||||{
  2x+ 5⁄= 0     ⇐ ⇒     x⁄= − 5          ⇐⇒     x ⁄=− 5     ⇐⇒   x∈ [− 2,3]
|||( x+ 4⁄= 0           ||||(      2                ||||(      2
                       x⁄= −4                  x ⁄=− 4

Рассмотрим два случая. Во-первых,

∘ --------                           [
  6+ x− x2 =0 ⇐⇒   6+ x− x2 = 0 ⇐⇒     x= 3
                                       x= −2

Во-вторых, √ ------2-
  6+ x− x >0,  значит, на него можно сокращать. Так же заметим, что на ОДЗ выражения 2x+ 5  и x+4  положительны.

  1      1
2x+-5 ≥ x+-4

x +4≥ 2x+ 5

x≤ −1

Пересечём это с ОДЗ и получим в этом случае x∈ [− 2,−1].

В итоге, объединив все случаи, получим x ∈[−2,− 1]∪ {3}.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Аналогично, как в первом решении, запишем ОДЗ неравенства:

(                   (|  (x− 3)(x +2)≤ 0       (| x ∈[−2,3]
|||{ 6+ x− x2 ≥0       |||{                       |||{
| 2x+ 5⁄= 0     ⇐ ⇒  |  x⁄= − 5          ⇐⇒   | x ⁄=− 5     ⇐⇒   x∈ [− 2,3]
||( x+ 4⁄= 0           |||(      2                |||(      2
                       x⁄= −4                  x ⁄=− 4

Давайте перенесём теперь всё в одну часть и приведём разность дробей к общему знаменателю. Получится следующая дробь

∘ ----------(   − x− 1   )
  (3− x)(x+2) (2x+-5)(x+-4) ≥ 0

Умножим на − 1  неравенство и поменяем знак:

∘ ----------( ---x+-1----)
  (3− x)(x+2) (2x+ 5)(x+ 4) ≤ 0

Мы знаем нули этого выражения вместе с выколотыми точками. Поэтому давайте решим это неравенство методом интервалов, подставив значения точек из нужных интервалов. Но выколотые точки в знаменателе не удовлетворяют ОДЗ, поэтому не будем их рассматривать вовсе. Рассматривая промежуток [−2,− 1]  и подставляя, например, точку x =− 32,  получаем, что значение будет отрицательно(в числителе минус, в знаменателе обе скобки положительны). А рассматривая промежуток [−1,3],  можем подставить x= 0  и получить, что знак плюс. Итого, решение получается x∈ [−2,−1]∪{3} (не забываем, про не выколотые точки).

Ответ:

[−2,−1]∪{3}

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#88245

Решите уравнение

      ( 1)x−2
5x+1 =  5
Показать ответ и решение

 x+1  2−x
5   = 5

В силу монотонности показательной функции получаем

x+ 1= 2− x

x = 1
    2
Ответ:

 1
2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#88247

Решите уравнение

2⋅6x-− 4x−-15
 6x− 9x − 5 = 3
Показать ответ и решение

ОДЗ: 6x− 9x− 5⁄= 0.  Домножив исходное равенство на знаменатель, получаем

   x   x        x     x
2 ⋅6 − 4 − 15= 3⋅6 − 3⋅9 − 15

3 ⋅9x − 6x− 4x = 0

3 ⋅32x− 3x⋅2x − 22x = 0

Поделив на 22x  , получим

  ( )2x  ( )x
3⋅ 3   −  3   − 1 =0
   2      2

Сделаем замену (  )
  3 x = t, t> 0
  2  . Тогда

3t2− t− 1= 0

      √--
t= 1±--13
     6

И так как t>0  , подходит только       √--
t= 1+--13
      6  . Тогда           √--
x= log 31+--13
      2  6

Проверим, что такое решение удовлетворяет ОДЗ. Заметим, что log3(√13-+ 1)<0
  2      6  , так как √13-+ 1< 1
      6  . Поэтому 6x < 1  , а значит 6x− 9x− 5< 0.

Ответ:

log (1+√13)
  32   6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#88712

Решить уравнение

∘ √------√-------√--  4√-----  4√-----  4√-
   2x− 1+  3x− 1 − x−  2x− 1−  3x− 1+  x= 0

Источники: САММАТ - 2024, 11.10 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Внимательно посмотрим на уравнение. Есть много похожих слагаемых, что можно сделать для удобства?

Подсказка 2

Замену! Попробуем избавиться от корней и заменить корни 4-й степени. Как можно работать с получившимся уравнением?

Подсказка 3

С одной стороны корень, с другой стоит число, поэтому возведем обе части в квадрат! Что получим после преобразований?

Подсказка 4

0 = c^2 + ab - ac - bc. Остается лишь вспомнить, к чему мы стремимся, когда с одной стороны уравнения стоит 0, и решить его!

Показать ответ и решение

Обозначим корни четвёртых степеней через a,b  и c  , тогда уравнение примет вид:

∘ -2--2---2
  a +b − c = a+b− c

После возведения в квадрат и приведения подобных получаем равенство

0= c2 +ab− ac− bc,

что равносильно

(c− b)(c− a)= 0,

откуда либо c= b  , то есть x = 12  , либо c= a  , откуда x =1  .

При подстановке оба корня подходят (её необходимо сделать, потому что при возведении в квадрат могли появиться лишние корни).

Ответ:

 1 ;1
2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#88909

Решите уравнение

[3]  [2]
x  +  x + [x]= {x}− 1
Показать ответ и решение

Заметим, что левая часть принимает всегда целые значения. Значит, и правая часть должна принять целое значение, но {x}∈ [0;1),  поэтому это возможно только при {x} =0,  т.е. когда x  — целое число. Тогда данное уравнение примет вид

 3   2
x + x + x= −1

 2
x (x+1)+ (x +1)= 0

(x +1)(x2+ 1)= 0

x= −1
Ответ:

− 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#88910

Решите уравнение

 3
x − [x]= 3
Показать ответ и решение

Можно заметить, что x∈ ℤ,  так как справа от равенства целое число, [x]  — целое, значит и x3  тоже целое.

Ограничим x  сверху. Так как при x > 0  значение  3
x  будет слишком большим, то ограничим  3
x  сверху:

 3                    2
x = [x]+3 ≤x +3  ⇒   x(x − 1)≤3

Из последнего неравенства получаем, что x <2,  иначе при x≥ 2  имеем, что

  2
x(x − 1)≥2 ⋅3 =6 >3

Ограничим x  снизу. Докажем, что x> 0  . Так как при x≤ 0  значение x3  будет слишком малым, то ограничим x3  снизу:

 3             3                  2
x ≥ [x]+3  ⇒   x > (x− 1)+ 3 ⇔  x(x − 1) >2

При x≤ 0  левая часть меньше 0,  значит x >0.

Получили, что 0< x< 2.

При 0< x< 1  имеем

x3− 0= 3  ⇒  x = 3√3

но √-
33 >1  и не попадает в промежуток.

При 1≤ x< 2  имеем

x3− 1= 3  ⇒  x = 3√4

где 3√-
 4∈ [1;2}.

Значит, существует одно решение    √3-
x =  4

Ответ:

√34-

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#88912

Решите уравнение

{     3}   3
 (x +1)  = x
Показать ответ и решение

      3   3
{(x +1)} =x

  3    2          3
{x + 3x +3x+ 1}= x

{x3+3x2+ 3x} =x3

Из последней строчки делаем вывод, что чтобы x  было корнем, необходимо и достаточно, чтобы x ∈[0,1),  3x2 +3x∈ ℤ.  Поскольку x ∈[0,1),  то 3x2 +3x  может принимать только целые значения от 0 до 5 включительно. Решаем все 6 уравнений и отбираем среди их только подходящие по ограничениям x∈[0,1).

1)

3x2+3x =0  =⇒   x1,2 = 0,− 1 =⇒  x =0

2)

                         ∘ ---             ∘ ---
3x2+3x =1  =⇒   x1,2 = − 1 ±-7  =⇒   x= − 1 + -7
                      2    12           2    12

3)

  2                   1  ∘ 11-          1  ∘ 11-
3x +3x =2  =⇒   x1,2 = −2 ± 12  =⇒   x= −2 +  12

4)

                         ∘ ---             ∘ ---
3x2+3x =3  =⇒   x1,2 = − 1 ± 15 =⇒   x= − 1 + 15
                      2    12           2    12

5)

                         ∘ ---             ∘ ---
3x2+3x =4  =⇒   x  = − 1 ± 19  =⇒   x= − 1 + 19
                 1,2   2    12           2    12

6)

  2                   1  ∘ 23-          1  ∘ 23-
3x +3x =5  =⇒   x1,2 = −2 ± 12  =⇒   x= −2 +  12

Итого, мы нашли 6 корней исходного уравнения.

Ответ:

   {   1  ∘ -7- 1  ∘ 11- 1  ∘ 15- 1  ∘ 19- 1  ∘ 23}
x ∈ 0,−2 +  12,−2 +  12,−2 +  12,−2 +  12,−2 +  12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#88913

Решите систему уравнений

(| x +[y]={z}+ 54,
{ y +[z]= {x}+ 54,
|(
  z +[x]= {y}+ 54.
Показать ответ и решение

Перепишем первое уравнение в следующем виде:

x− {z}= 54 − [y]

Получили, что правая часть представляет из себя целое число. Значит, левая часть — это тоже целое число. Так как x =[x]+ {x},  то получаем, что {x}= {z}.  Аналогично для второго и третьего уравнений получаем, что

{x} ={y}= {z}

Тогда получаем следующую систему:

(|{ ([x]+ {x})+ [y]= {z}+54,        (|{ ([x]+ [y])= 54
  ([y]+ {y})+ [z]= {x}+54,   ⇐⇒     ([y]+[z])= 54
|( ([z]+ {z})+ [x]= {y} +54.        |( ([z]+[x])= 54

Из последней системы получаем, что [x]= [y]= [z]=27.  Тогда получили, что

x= y = z

где x =27+ {x}.  Так как 0 ≤{x}< 1,  то имеем, что

x= y = z, где 27≤x < 28
Ответ:

 (c;c;c)  для любого c∈[27;28)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#88914

Найдите все x  , для которых

          7
2[x]+3{x}= 3,

где [x]  — целая часть числа x  , {x} — дробная часть числа x  , то есть {x} =x− [x]  .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем оценить x. Каким будет значение левой части, если x будет достаточно маленьким? А при каких x значение левой части уже превысит 7/3?

Подсказка 2

Рассмотрите случаи x < 0 и x >= 2.

Подсказка 3

Правильно, при таких случаях значение левой части точно будет меньше или больше правой. Какие тогда значения может принимать [x]?

Показать ответ и решение

Если x <0,  то 2[x]+ 3{x}< 2⋅(−1)+ 3⋅1< 7.
                      3

Если x≥ 2,  то                     7
2[x]+3{x}≥ 2⋅2+ 3⋅0 > 3.

Остаётся два варианта:

  •              7
[x]=0, 3{x}= 3
  •              1
[x]=1, 3{x}= 3

Соответственно x= 0+ 7
      9  или x= 1+ 1.
      9

Ответ:

 7 ;10
9  9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#89460

Числа x,y,z,t  таковы, что

                                        1
{x +y +z}= {y+ z+t}= {z+ t+ x}= {t+x +y}= 4

Найдите {x+ y+ z+ t} .

Замечание. {A} обозначает дробную часть числа A.

Показать ответ и решение

Заметим, что

{3(x+ y+ z+t)}={{x+ y+ z}+{y+ z+ t} +{z+ t+x} +{t+x +y}}= {1}= 0

Значит, 3(x+ y+ z+ t)  — целое число. Рассмотрим возможные остатки этого числа при делении на 3:

1)

3(x+ y+z +t)= 3n, n∈ ℤ

x+ y+z +t= n, n ∈ℤ

{x +y +z+ t}= 0

Это значение достигается, например, при x= y = z = t= 912,  тогда

                                         {    }
{x+ y+ z}= {y +z+ t}= {z +t+ x}= {t+ x+ y}=  3⋅-9  = 1
                                            12    4

{x+ y+ z+ t}= {4 ⋅ 9} = 0
                 12

2)

3(x +y+ z+ t) =3n+ 1, n ∈ℤ

               1
x+ y+ z+ t=n + 3, n∈ ℤ

              1
{x+ y+ z+ t} = 3

Это значение достигается, например, при             1-
x= y = z = t= 12,  тогда

                                         {   1}   1
{x+ y+ z}= {y +z+ t}= {z +t+ x}= {t+ x+ y}=  3⋅12  = 4

             {    }
{x+ y+ z+t}=  4⋅-1  = 1
                12    3

3)

3(x +y+ z+ t) =3n+ 2, n ∈ℤ

x+ y+ z+ t=n + 2, n∈ ℤ
               3

{x+ y+ z+ t} = 2
              3

Это значение достигается, например, при x= y = z = t=-5,
            12  тогда

                                         {    }
{x+ y+ z}= {y +z+ t}= {z +t+ x}= {t+ x+ y}=  3⋅-5  = 1
                                            12    4

             {  -5}   2
{x+ y+ z+t}=  4⋅12  = 3

В итоге все возможные значения {x +y +z+ t} — это 0,13  и 23.

Ответ:

 0;1;2
  3 3

Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!