Тема АЛГЕБРА

Уравнения без логарифмов и тригонометрии

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Уравнения без логарифмов и тригонометрии

Уравнения с модулем

Иррациональные уравнения (с радикалами)

Уравнения с модулями и корнями (радикалами)

Показательные уравнения

Оценки в уравнениях без логарифмов и тригонометрии

Уравнения с целой и дробной частями

Использование монотонности функций в уравнениях без логарифмов и тригонометрии

Правильная замена или группировка на скобки

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#103512Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

√3x-+1+ 1 ( √3x+-1 √----) 13 ----x----+ 4 --3---− 4x− 3 = 3-− 4x.

Показать ответ и решение

На ОДЗ $x≥ 3 4$ левая часть равносильного исходному уравнения

√3x+-1+ 1 4(√ ----- ) √----- ----x----+ 3 3x +1− 1 = 4 4x− 3− (4x− 3)

по неравенству о средних для двух положительных чисел не меньше

∘ ---------- 2 4(3x+1-− 1)= 4, 3x

а правая часть

4− 4+4√4x-− 3-− (√4x−-3)2 = 4− (2− √4x-− 3)2 ≤ 4.

Поэтому равенство выполнено в единственном случае: когда обе части равны 4. Равенство в неравенствах достигается при

{ √---- -3x+x1+1-= 43(√3x+-1− 1) 2= √4x−-3

Из второго уравнения легко получаем единственное решение $7 x= 4,$ которое подходит и в первое уравнение.

Ответ:

$7 4$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#105471Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

25 4 √ ---- ∘ ---- √x-− 1-+√y-−-2 = 14− x− 1− y− 2.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумаем, просто так ли нам даны такие числители?) Какой вид принимают одночлены после незамысловатой замены?

Подсказка 2

У нас есть одночлены вида t и y²/t! Что хочется с ними сделать? В каком неравенстве такое действие присутствует?

Подсказка 3

Хочется их перемножить. Воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и геометрическом для оценки!

Подсказка 4

Когда в неравенстве о средних достигается равенство?

Показать ответ и решение

Запишем исходное уравнение в виде

(√---- 25 ) ( ∘---- 4 ) x− 1+ √x-− 1 + y − 2+ √y-− 2 = 14

Заметим, что из очевидного при $t> 0$ неравенства $2 t+ yt-≥2y$ вытекает, что

√---- x− 1+ √-25---≥2⋅5 =10, ∘---- x4− 1 y− 2+ √y-− 2 ≥2 ⋅2 =4,

откуда получаем

( ) ( ) √x−-1+ √-25-- + ∘y-− 2+ √-4-- ≥ 14 x − 1 y− 2

Если сумма двух слагаемых, первое из которых не меньше 10, а второе не меньше 4, равна 14, то первое слагаемое равно 10, а второе 4.

Поскольку знак равенства в неравенстве вида $2 t+ y ∕t≥ 2y$ достигается только лишь в случае $t=y$ , то исходное уравнение равносильно системе

{ √x-− 1 =5 { x= 26 √y-− 2= 2 ⇐ ⇒ y = 6

Ответ:

$(26;6)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#119630Максимум баллов за задание: 7

Решить уравнение

[∘ [∘-------------]] [∘ -------------] 2024(x+ 1)(3− x) = 4 2024(x+ 1)(3− x)

Здесь $[b]$ — целая часть числа: наибольшее целое число не превосходящее $b.$

Источники: Росатом - 2025, 11.5 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выглядит страшно, но мы сразу можем ограничить икс, написав ОДЗ. Как теперь начать раскручивать задачу?

Подсказка 2

Подставляя разные значения икса легче не становиться... Что можно сделать? Мы уже поняли, что наше число неотрицательно. Давайте попробуем написать оценки в общем случае на выражения такого вида.

Подсказка 3

Заменим неудобное подкоренное выражение на а. В изначальном выражении у нас фигурируют корни второй и четвёртой степени, целая часть числа. Как тогда удобнее всего оценивать а?

Подсказка 4

Верно! Можно утверждать, что для а всегда найдётся такое n, что n⁴ ≤ a < (n+1)⁴. Пользуясь тем, что а неотрицательно, приведём оценку к виду, который дан в условии: пусть над а будут выполнены все те операции, которые выполняются над подкоренным выражением из условия. Что тогда можно сказать про это выражение?

Подсказка 5

Да! Оно равно n. Давайте таким же образом оценим ⁴√а и скажем, когда выполняется равенство из условия!

Показать ответ и решение

Для любого неотрицательного числа $a$ найдется целое неотрицательное число $n$ такое, что:

4 4 2 √- 2 n ≤ a< (n +1) ⇒ n ≤ a <(n+ 1)

2 [√-] 2 ∘ [√-] n ≤ a < (n+ 1) ⇒ n ≤ a < n+ 1

∘ [√-] a = n

Кроме того,

√4- [4√-] n≤ a< n+ 1⇒ a = n

Таким образом, для любых значений $a$ уравнение

[∘ ---] [√a] = [4√a]

является тождеством.

Положив в исходном уравнении $a= 2024(x+ 1)(3− x):$

[∘ [∘-------------]] [4∘ -------------] 2024(x+ 1)(3− x) = 2024(x+ 1)(3− x)

получаем, что все числа из области допустимых значений являются его решениями.

2024(x +1)(3− x)≥ 0

x∈ [−1;3]

Ответ:

$[−1;3]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#121573Максимум баллов за задание: 7

Инженер Коворкин установил, что мощность инновационной наноэлектростанции (выраженная в ГВт) должна быть равна корню уравнения

∘---------∘------ 2 1+ 1 +8x2− 6x 1− x2 = 10x

Выясните, имеет ли это уравнение корни и есть ли среди них положительные. Если корни имеются, то найдите максимальный и минимальный по модулю среди них.

Источники: Надежда Энергетики - 2025, 11.1(см. www.energy-hope.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Было бы хорошо, если бы мы могли красиво извлечь хотя бы один корень. А на что похоже большее подкоренное выражение?

Подсказка 2

По ФСУ можно собрать подкоренное выражение в квадрат! Тогда уравнение станет проще.

Подсказка 3

Когда мы извлекли корень, в уравнении появился модуль. Значит, нужно разобрать два случая для знаков подмодульного выражения) В каждом из случаев нужно будет решить квадратное уравнение и не забыть про ОДЗ!

Показать ответ и решение

Сразу отметим, что $|x|≤1.$ Преобразуем подкоренное выражение:

2 ∘ ----- 2 ∘----- 2 (∘ ----- )2 1+ 8x − 6x 1− x2 =1 − x − 6x 1− x2+ 9x = 1− x2− 3x

Тогда изначальное уравнение приводится к виду:

| ∘ ----| 1+ ||3x− 1− x2||= 10x2

Случай 1. Пусть выражение под модулем неотрицательно.

∘----- 3x− 1 − x2 ≥ 0

∘ ----- 3x ≥ 1− x2

{ x ≥0 9x2 ≥ 1− x2

{ x≥ 0 10x2 ≥1

1 x ≥√10-

Изначальное уравнение имеет вид:

∘ ----- 1 +3x− 1− x2 = 10x2

2 ∘ ---2- 2 1− x − 1− x +3x− 9x = 0

Пусть $√1−-x2 = t≥0,$ то

t2− t+ 3x− 9x2 =0

По формуле корней квадратного уравнения

∘ ------------- ∘ ------- t= 1±---1− 4-⋅(3x−-9x2)= 1-±-(6x-− 1)2= 1±-(6x−-1) 2 2 2

Если $t= 1+6x−1= 3x, 2$ то

2 2 1− x = 9x

x = √1- 10

Если $t= 1−6x2+1= 1− 3x,$ то

∘ ---2- 1− x =1 − 3x

{ x ≤1∕3 1− x2 = 1− 6x +9x2

( ||{ x⌊ ≤1∕3 x =0 ||( ⌈ x = 3 5

С учётом $x≥ √1-, 10$ корнем является только $x= √1-. 10$

Случай 2. Пусть выражение под модулем отрицательно.

∘----- 3x− 1 − x2 < 0

∘ ----- 3x < 1− x2

[ 1 ) x∈ −1;√10

Изначальное уравнение приобретает вид:

1 − 3x+ ∘1-− x2 = 10x2

∘ ----- 1− x2+ 1− x2 − 3x− 9x2 = 0

Пусть так же $√ ----- 1− x2 = t≥ 0.$ Тогда

−1 ±∘1-−-4⋅(−-3x-− 12x2) −1± ∘(6x+-1)2 −1± (6x+ 1) t= ----------2--------- = ------2------= ----2-----

Если $−1+6x+1 t= --2---= 3x,$ то

∘ ----- 1− x2 = 3x

{ x ≥02 2 1 − x = 9x

-1- x = √10

Но данный корень не удовлетворяет условиям выше.

Если $−1− 6x−1 t= --2----=− 1− 3x,$ то

∘ ----2 1− x = −1− 3x

{ x ≤−1∕3 1− x2 = 1+ 6x +9x2

{ x≤ −1∕3 10x2 =− 6x

( ||{ x⌊≤ −1∕3 | ⌈ x= 0 |( x= − 3 5

Подходит по условию только $x= − 3. 5$

Таким образом, корни уравнения $3 x= − 5$ и $-1- √10.$ Среди них есть положительный корень. Максимальный по модулю корень – это $x =− 3, 5$ а минимальный по модулю – это $x= √1-. 10$

Ответ:

Уравнение имеет положительные корни. Максимальный по модулю: $x= − 3; 5$ минимальный по модулю: $x = √1-. 10$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#125112Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

∘ --2------- ∘-2------- ∘ -------2 ∘---√- ∘ --√-- 4x − 12x+ 9+ x − 6x+ 9+( −(x− 2)) = 3+ 8− 3− 8

Источники: Ломоносов - 2025, 11.1 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала выпишем ограничения, а потом заметим, что под каждым корнем выделяются полные квадраты. Соответствующим образом преобразуем выражение.

Подсказка 2

Не забываем о том, что нужно навесить модули на подкоренные выражения после вынесения их из корня. Дальше выражение тривиально решается рассмотрением промежутков для подмодульных выражений.

Показать ответ и решение

Выделим полные квадраты при условии $x≤ 2:$

∘---2----------2- ∘ -2---------2- ∘-----√---- ∘ ---√----- (2x)− 2⋅2x⋅3+ 3 + x − 2⋅3⋅x+3 − x+ 2= 1 +2⋅ 2+2 − 1− 2 2+ 2

∘ ------- ∘ ------ ∘----√--- ∘ ---√---- (2x − 3)2+ (x− 3)2− x+ 2= (1+ 2)2 − (1 − 2)2

√- √ - |2x − 3|+|x− 3|− x+ 2= 1+ 2− ( 2− 1)

|2x− 3|+ |x− 3|= x.

То есть, с учётом ОДЗ, получаем, что $x∈[1.5;2].$

Ответ:

$[1.5;2]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#125521Максимум баллов за задание: 7

Решить уравнение

x x− 1 x+1 2x− 1 4 − 3 2 =3 2 − 2

Показать ответ и решение

Пусть $x − 1 =t, 2$ тогда уравнение примет вид

t t t t 2⋅4− 3 = 3⋅3− 4

Это уравнение равносильно каждому из уравнений:

3⋅4t = 4⋅3t

( ) 4 t = 4 3 3

Отсюда $t= 1,$

3 x = 2

Ответ:

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#127866Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $(x+ 1)(x+ 3)(x+ 5)(x+ 7)+15= 0.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1.

Попробуйте разбить данные четыре скобки на пары таким образом, чтобы произведения в каждой паре давали выражения, отличающиеся на константу.

Подсказка 2.

Если раскрыть скобки (x + 1)(x + 7) и (x + 3)(x + 5), то получим x² + 8x + 7 и x² + 8x + 15 соотвественно. Что логично сделать после этого замечания?

Подсказка 3.

Верно, сделать замену переменной. Пусть t = x² + 8x + 11. Тогда уравнение примет вид: (t – 4)(t + 4) + 15 = 0. Остаётся найти t и затем решить несколько квадратных уравнений относительно x для найденных значений t.

Показать ответ и решение

Перемножим первую и последнюю скобки:

2 (x+ 1)(x+ 7)= x + 8x+ 7,

и вторую и третью:

2 (x +3)(x +5)= x +8x +15.

Обозначим $t= x2+ 8x +11.$ Тогда

x2+ 8x+ 7= t− 4,

x2+ 8x +15= t+ 4.

Тогда уравнение принимает вид:

(t− 4)(t+4)+ 15= 0

t2 − 1 =0

Таким образом, $t= ±1.$

Если $t=1,$ то

x2 +8x+ 11= 1=⇒ x2+ 8x +10= 0,

корни $x = −4± √6.$

Если $t=− 1,$ то

2 2 x + 8x +11= −1 =⇒ x +8x+ 12= 0,

корни $x = −2,$ $x= −6.$

Ответ:

$x = −6, 1$ $x = −4 − √6, 2$ $x =− 4+√6, 3$ $x =− 2. 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#128115Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $64(x2+ x)3 +1= 0.$

Источники: БИБН - 2025, 10.1 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Кажется, что разложить выражение на множители у нас не получится, тогда придется действовать иначе – перенести единицу в другую сторону и извлечь кубический корень из обеих частей уравнения!

Подсказка 2

Теперь мы получили обычное квадратное уравнение, которое легко можем решить, заметив формулу сокращённого умножения, либо же используя старый добрый дискриминант)

Показать ответ и решение

2 3 -1 (x + x) +64 = 0

( )3 (x2+ x)3 = − 1 4

Так как степень нечетная,

x2+ x= − 1 4

( 1)2 x+ 2 = 0

x= − 1 2

Ответ:

$− 1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#128579Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

√ ----- √ ----- 9 8− 7x − 2|4x − 7|≤ 9x − 2|4 8− 7x − 7|

Источники: Звезда - 2025, 10.1 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрите внимательно на неравенство, его правая и левая части очень похожи. Не удастся ли записать неравенство в несколько ином виде – через одну и ту же функцию разных аргументов?

Подсказка 2

Пусть f(t) = 9t + 2|4t - 7|, тогда неравенство имеет вид f(a) ≤ f(b), а что мы можем сказать про нашу функцию? Нельзя ли как-то перейти к сравнению аргументов?

Подсказка 3

Данная функция монотонна! А значит, неравенство равносильно а ≤ b) Ну теперь остается решить полученное неравенство с корнем, не забудьте при этом рассмотреть случаи с х < 0 и х ≥ 0, а также учесть ОДЗ!

Показать ответ и решение

Перепишем неравенство так:

√ ----- √ ----- 9 8− 7x +2|4 8− 7x− 7|≤ 9x +2|4x − 7|

Пусть $f(t)=9t+ 2|4t− 7|.$ Тогда неравенство принимает вид:

√ ----- f( 8− 7x)≤ f(x)

Заметим, что функция $f$ возрастающая, так как при любом раскрывании модуля старший коэффициент получаемой линейной функции положителен. Следовательно, исходное неравенство равносильно неравенству

√8-− 7x≤ x

Для решения полученного неравенства выпишем систему

( |||8− 7x≥ 0 {x≥ 0 |||( 2 8− 7x≤ x

Получаем

[ ] x∈ 1;8 7

Ответ:

$[1;8] 7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#131799Максимум баллов за задание: 7

Найдите сумму квадратов всех решений уравнения

2 x − 24[x]+ 23= 0

Показать ответ и решение

Заметим, что $x= [x]+ {x}.$ Значит, $[x]= x− {x}.$ Подставив в условие, получаем:

2 x − 24(x− {x})+23= 0

2 x − 24x +24{x}+23= 0

x2− 24x+ 23= −24{x}

Так как $0≤ {x}< 1,$ то

−24< x2− 24x+ 23≤ 0

Отсюда следует, что

[ ) ( ] x∈ 1;12− √97 ∪ 12+ √97;23

Так как

9= √81< √97< √100= 10,

то

-- 2< 12− √97< 3,

√-- 21< 12+ 97< 22

Значит, $[x]$ может принимать 5 возможных значений. Переберём случаи для целой части $x$ :

1) $x∈[1;2).$ Тогда $[x]=1.$ Значит, получаем:

2 x − 24+ 23= 0

Уравнение имеет корни $1$ и $− 1.$ В нужный промежуток попадает только $x= 1.$

2) $[ ) x∈ 2;12− √97 .$ Тогда $[x]= 2.$ Значит, получаем:

x2 − 24⋅2+ 23= 0

Уравнение имеет корни $5$ и $− 5,$ ни один из которых не лежит в нужном промежутке.

3) $[ √-- ) x∈ 12+ 97;22 .$ Тогда $[x]= 21.$ Получаем:

x2− 24⋅21 +23= 0

Уравнение имеет корни $√--- − 481$ и $√ --- 481.$ Подойти может только положительный корень. Проверка:

√--- √--- 481< 484= 22

а также

√-- √--- 12+ 97∨ 481

144+ 24⋅√97+ 97 ∨481

√ -- 24⋅ 97 ∨240

55872< 57600

Значит, $√481$ — подходит.

4) $x∈[22;23).$ Тогда $[x]= 22.$ Значит, получаем:

x2− 24⋅22 +23= 0

Уравнение имеет корни $√--- − 505$ и $√ --- 505.$ Подойти может только положительный корень. Проверка:

√--- √--- 505< 529= 23

а также

√505> √484= 22

Значит, $√--- 505$ — подходит.

5) $x= 23.$ Тогда $[x]=23.$ Значит, получаем:

x2− 24⋅23 +23= 0

Уравнение имеет корни $− 23$ и $23.$ Положительный корень очевидно подходит.

Итого, уравнение имеет корни $1,$ $√--- 481,$ $√ --- 505,$ $23.$ Сумма их квадратов равна:

S =1 +481+ 505+ 232 = 1516

Ответ: 1516

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#136165Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 x − 6x+ 8+ |x− 4|= 0

Показать ответ и решение

Раскрываем модуль $|x− 4|$ в двух случаях.

$1)$ Пусть $x− 4 ≥0.$ В этом случае $|x− 4|= x− 4.$

2 x − 6x+ 8+ (x− 4)= 0

2 x − 5x +4 =0

Отcюда

[ x= 1 x= 4

Условию $x≥ 4$ удовлетворяет только $x= 4.$

$2)$ Пусть $x− 4 <0.$ В этом случае $|x− 4|= 4− x.$

x2− 6x+ 8− (x− 4)= 0

x2 − 7x+ 12= 0

Отсюда

[ x= 3 x= 4

Условию $x< 4$ удовлетворяет только $x= 3.$

Ответ: 3, 4

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#136166Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

|2 | | 2| |x − 13x+35|= |35− x |

Показать ответ и решение

Заметим, что данное уравнение равносильно следующей системе:

[ x2− 13x+35= 35− x2 2 2 x − 13x+35= x − 35

После упрощения первое уравнение системы принимает вид

2 2x − 13x= 0

Отсюда

⌊ x =0 |⌈ 13 x = 2-

Преобразуем второе уравнение системы. Получим

13x− 70 =0

x= 70 13

Итого, решениями системы является тройка ${ } 0,13,70 . 2 13$

Ответ:

$0,13,70 2 13$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#136167Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

|2 | |x +2x− 3|=x +3

Показать ответ и решение

Рассмотрим два случая:

1) $2 x +2x− 3< 0,$ т.е. $x∈(−3;1).$ Тогда получаем

2 −x − 2x+3 =x +3

x2+ 3x= 0

x(x+3)= 0

Отсюда $x= 0$ или $x= −3,$ но второй корень не лежит в рассматриваемом промежутке, а потому будет исключен.

2) $x2 +2x− 30≥ 0,$ т.е. $x ∈(−∞;− 3]∪ [1;+∞ ).$ Имеем

x2 +2x− 3= x+ 3

x2+ x− 6= 0

Решая квадратное уравнение, получаем, что корнями являются $x= 2$ и $x= −3,$ которые оба лежат в нужном промежутке.

Итого, подходят корни $x =− 3,$ $x = 0,$ $x =2.$

Ответ:

$− 3,$ $0,$ $2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#136168Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

||x+ 4|− 2x+ 1|= 2

Показать ответ и решение

Избавимся от внешнего модуля рассмотрев следующие случаи:

1.

$|x+ 4|− 2x+ 1= 2$

1.1.

При $x < −4$ получаем:

− x− 4 − 2x+ 1= 2

−3x= 5

Отсюда $5 x= − 3,$ но $5 − 3 > −4,$ а значит, этот корень не подходит.

1.2.

При $x ≥− 4$ получаем:

x+ 4− 2x +1 =2

−x+ 5= 2

− x= −3

Значит, $x= 3.$ Корень лежит на нужном луче.

2.

$|x+ 4|− 2x+ 1= −2$

2.1.

При $x < −4$ получаем:

−x− 4− 2x +1 =− 2

− 3x− 3 =− 2

−3x= 1

Отсюда $x= − 13,$ но $− 13 > −4,$ а значит, этот корень не подходит.

2.2.

При $x ≥− 4$ получаем:

x +4− 2x+ 1= −2

−x+ 5= −2

− x= −7

Значит, $x= 7.$ Корень лежит на нужном луче.

Итого, подходят корни $x =3$ и $x =7.$

Ответ: 3, 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#136169Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

|x− 1|− 2|x− 2|+3|x− 3|= 4

Показать ответ и решение

Рассмотрим $4$ случая раскрытия всех модулей:

1.

$x ∈(−∞;1)$

Получаем

−(x− 1)+2(x− 2)− 3(x− 3)= 4

−2x+ 6= 4

−2x= −2

Отсюда $x= 1.$ Этот корень не удовлетворяет промежутку, а значит, будет исключен.

2.

$x ∈[1;2)$

Получаем

x − 1+ 2(x− 2)− 3(x − 3)= 4

−5+ 9= 4

Заметим, что достигается равенство, а потому весь рассматриваемый промежуток пойдет в ответ.

3.

$x ∈[2;3)$

Получаем

x − 1− 2(x− 2)− 3(x − 3)= 4

− 4x − 1+ 4+ 9= 4

−4x= −8

Отсюда $x= 2.$ Этот корень удовлетворяет нужному промежутку.

4.

$x ∈[3;+∞ )$

Получаем

x − 1− 2(x− 2)+ 3(x − 3)= 4

2x− 1+4 − 9= 4

2x= 10

Отсюда $x= 5.$ Этот корень удовлетворяет рассматриваемому промежутку.

Итого, $x∈ [1;2]∪ {5} .$

Ответ:

$[1;2]∪ {5}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#83069Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

∘ ----2- ∘ ----2---- ∘-----2 4x− x + 4x− x − 3= 3+ 2x − x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сначала может быть непонятно, что вообще делать с уравнением, у которого сразу три знака корня... не возводить же всё в квадрат( А какой у нас ещё метод есть для решения уравнений, кроме топорной алгебры?

Подсказка 2

Метод оценки! В таких случаях часто бывает полезно оценить, а какие значения может принимать каждая из частей уравнения — найти максимальное и минимальное значение каждой из частей (для этого под корнями можно выделить полные квадраты).

Подсказка 3

Оказывается, наибольшее значение левой части уравнения совпадает с наименьшим значением правой. Равенство достигается, только когда левая часть максимальна, а правая минимальна. То есть когда в соответствующих оценках-неравенствах достигается равенство

Показать ответ и решение

Выделим в левой части уравнения полные квадраты под корнями:

∘-----2 ∘-----2--- ∘--------2 ∘ -------2- 4x − x + 4x − x − 3= 4 − (x− 2)+ 1− (x− 2)

Так как подкоренные выражения не превосходят 4 и 1 соответственно, то сумма корней не больше

√- √- 4+ 1= 3,

а правая часть исходого уравнения не меньше 3. Получаем

∘ ----2- ∘ ----2---- ∘-----2 3≥ 4x− x + 4x− x − 3= 3+ 2x − x ≥ 3

Следовательно,

3= ∘4x-− x2+ ∘4x-− x2−-3= 3+ ∘2x-− x2 = 3

То есть во всех неравенствах должно достигаться равенство:

( ∘--------- |{ ∘4−-(x− 2)2 = 2 | 1−√ (x− 2)2 = 1 ( 3+ 2x − x2 =3

{ (x − 2)2 = 0 2x − x2 =0

x= 2

Ответ: 2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#85024Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

√6-+-x−-x2- √6+-x−-x2 ---2x-+5-- ≥ --x-+4---

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим и корни и дроби, поэтому сразу же считаем ОДЗ!

Подсказка 2

Когда смотришь на это неравенство, так и хочется сократить на корень, хорошо, что он по определению неотрицательный. Значит, нужно рассмотреть только случай, когда он 0, а потом уже можно и сокращать!

Подсказка 3

Неравенство 1/(2x + 5) ≥ 1/(x+4) нетрудно решается, но оно будет ещё легче, если посмотреть какие по знаку (положительные или отрицательные) будут знаменатели на ОДЗ. А мы знаем, что умножение на положительное выражение будет равносильным переходом.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Запишем ОДЗ:

( ( (x− 3)(x +2)≤ 0 ( x ∈[−2,3] |||{ 6+ x− x2 ≥0 ||||{ ||||{ 2x+ 5⁄= 0 ⇐ ⇒ x⁄= − 5 ⇐⇒ x ⁄=− 5 ⇐⇒ x∈ [− 2,3] |||( x+ 4⁄= 0 ||||( 2 ||||( 2 x⁄= −4 x ⁄=− 4

Рассмотрим два случая. Во-первых,

∘ -------- [ 6+ x− x2 =0 ⇐⇒ 6+ x− x2 = 0 ⇐⇒ x= 3 x= −2

Во-вторых, $√ ------2- 6+ x− x >0,$ значит, на него можно сокращать. Так же заметим, что на ОДЗ выражения $2x+ 5$ и $x+4$ положительны.

1 1 2x+-5 ≥ x+-4

x +4≥ 2x+ 5

x≤ −1

Пересечём это с ОДЗ и получим в этом случае $x∈ [− 2,−1].$

В итоге, объединив все случаи, получим $x ∈[−2,− 1]∪ {3}.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Аналогично, как в первом решении, запишем ОДЗ неравенства:

( (| (x− 3)(x +2)≤ 0 (| x ∈[−2,3] |||{ 6+ x− x2 ≥0 |||{ |||{ | 2x+ 5⁄= 0 ⇐ ⇒ | x⁄= − 5 ⇐⇒ | x ⁄=− 5 ⇐⇒ x∈ [− 2,3] ||( x+ 4⁄= 0 |||( 2 |||( 2 x⁄= −4 x ⁄=− 4

Давайте перенесём теперь всё в одну часть и приведём разность дробей к общему знаменателю. Получится следующая дробь

∘ ----------( − x− 1 ) (3− x)(x+2) (2x+-5)(x+-4) ≥ 0

Умножим на $− 1$ неравенство и поменяем знак:

∘ ----------( ---x+-1----) (3− x)(x+2) (2x+ 5)(x+ 4) ≤ 0

Мы знаем нули этого выражения вместе с выколотыми точками. Поэтому давайте решим это неравенство методом интервалов, подставив значения точек из нужных интервалов. Но выколотые точки в знаменателе не удовлетворяют ОДЗ, поэтому не будем их рассматривать вовсе. Рассматривая промежуток $[−2,− 1]$ и подставляя, например, точку $x =− 32,$ получаем, что значение будет отрицательно(в числителе минус, в знаменателе обе скобки положительны). А рассматривая промежуток $[−1,3],$ можем подставить $x= 0$ и получить, что знак плюс. Итого, решение получается $x∈ [−2,−1]∪{3}$ (не забываем про не выколотые точки).

Ответ:

$[−2,−1]∪{3}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#88245Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

( 1)x−2 5x+1 = 5

Показать ответ и решение

x+1 2−x 5 = 5

В силу монотонности показательной функции получаем

x+ 1= 2− x

x = 1 2

Ответ:

$1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#88247Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2⋅6x-− 4x−-15 6x− 9x − 5 = 3

Показать ответ и решение

ОДЗ: $6x− 9x− 5⁄= 0.$ Домножив исходное равенство на знаменатель, получаем

x x x x 2 ⋅6 − 4 − 15= 3⋅6 − 3⋅9 − 15

3 ⋅9x − 6x− 4x = 0

3 ⋅32x− 3x⋅2x − 22x = 0

Поделив на $22x$ , получим

( )2x ( )x 3⋅ 3 − 3 − 1 =0 2 2

Сделаем замену $( ) 3 x = t, t> 0 2$ . Тогда

3t2− t− 1= 0

√-- t= 1±--13 6

И так как $t>0$ , подходит только $√-- t= 1+--13 6$ . Тогда $√-- x= log 31+--13 2 6$

Проверим, что такое решение удовлетворяет ОДЗ. Заметим, что $log3(√13-+ 1)<0 2 6$ , так как $√13-+ 1< 1 6$ . Поэтому $6x < 1$ , а значит $6x− 9x− 5< 0.$