Тема АЛГЕБРА

Системы уравнений и неравенств → .04 Симметрия или цикличность в системе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Системы уравнений и неравенств

Арифметические операции над системой

Замены переменных

Оценки в системах

Симметрия или цикличность в системе

Однородные и сводящиеся к ним

Сведение системы к квадратному

Системы неравенств

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#36910Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений:

{ x2− xy+ y2 =19; x4+ x2y2 +y4 = 931.

Источники: ОММО-2016, номер 5, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вы тоже это заметили? Сначала написали x²+y², а потом стало x⁴+y⁴, сначала было ху, стало (ху)² -> делаем замену!

Подсказка 2

Да, двойная замена: сумма квадратов - это а, произведение - b. Чтобы получить второе уравнение, достаточно записать a²-b². Когда станет известно, чему равны а и b, сделаем обратную замену.

Показать ответ и решение

Функция $f(x,y)$ двух переменных $x$ и $y$ называется симметрической, если $f(y,x)= f(x,y)$ . В симметрической системе можно сделать замену $2 2 2 u= (x+y) = x + y +2xy,v = xy$ , тогда система эквивалентна: