Тема АЛГЕБРА

Системы уравнений и неравенств

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Системы уравнений и неравенств

Арифметические операции над системой

Замены переменных

Оценки в системах

Симметрия или цикличность в системе

Однородные и сводящиеся к ним

Сведение системы к квадратному

Системы неравенств

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#31588Максимум баллов за задание: 7

Решите систему

{ y− 2|x|+ 3= 0; |y|+ x− 3= 0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Здесь логично будет раскрыть модуль сначала для какой-нибудь одной из переменных. Дальше можно что-нибудь сделать с уравнениями...

Подсказка 2

В каждом из случаев можно сложить или вычесть их. А дальше по необходимости можно раскрыть и модуль для другой переменной!

Показать ответ и решение

Если $y <0$ , то сложим эти два уравнения и получим $x − 2|x|= 0$ . Значит, $x= 0$ . Из исходной системы находим $y =− 3.$

Если $y ≥ 0$ , то рассмотрим разность уравнений системы: $x +2|x|− 6= 0.$

Если $x≥ 0$ , то $x= 2$ и из системы находим $y =1$ . Если $x <0$ , то $x =− 6$ и из системы находим $y =9.$

Ответ:

$(−6;9),(0;−3),(2;1)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#31698Максимум баллов за задание: 7

Решите систему:

{ x+ y+ x= 9; (x+y)x y y = 20.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что у нас есть две переменные - x и y, но они входят в оба выражения только в составе двух выражений - (x+y) и (x/y). Значит, время для замены!

Подсказка 2

Мы знаем что-то про сумму двух чисел и про их произведение.... Вот бы вспомнить какую-то теорему, чтобы быстро решать такие системы. Например, обратную теорему Виета!

Показать ответ и решение

Две переменные входят в систему лишь в составе двух устойчивых выражений. Обозначаем эти выражения новыми буквами! Пусть $a =x +y$ , $x b= y$ . Тогда система имеет вид

{ a+ b=9 ab=20.

По обратной теореме Виета если система имеет решение, то $a$ и $b$ являются корнями уравнения $t2− 9t+20= (t− 5)(t− 4)= 0$ .

$a =5 =x +y$ и $b= x =4 y$ . Тогда $5= x+ y = 4y+ y$ , значит, $y = 1$ и $x =4$ .
$a =4 =x +y$ и $x b= y =5$ . Тогда $4= x+ y = 5y+ y$ , значит, $2 y = 3$ и $10 x= 3$ .

Ответ:

$(4;1)$ или $(10;2) 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#31699Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений:

{ x2y+ xy2 =2 − 2x− 2y; x+ y+ 5= −xy.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами симметрическая система! И правда: при замене x на y, а y на x, система принимает то же значение. Хм, а какие замены мы можем сделать в симметрической системе? Замены тоже не должны менять свое значение при смене х на у, а у на х.

Подсказка 2

Удачной заменой для симметрических систем будет: а = х+у, b = xy

Подсказка 3

Для решения получившихся уравнений было бы удобно использовать обратнуюю теорему Виета - то есть было бы здорово, если бы мы знали, чему равна сумма чисел и их произведение. Но в уравнении на произведение у нас: ab = 2 - 2a. Значит давайте сделаем еще одну замену! Например, заменим b на c-2, чтобы убить слагаемое 2а.
Тогда мы получим: ac = 2 и a+c = -3!

Показать ответ и решение

Функция $f(x,y)$ двух переменных $x$ и $y$ называется симметрической, если $f(y,x)= f(x,y)$ . В симметрической системе можно сделать замену $x+ y = a$ , $xy = c$ .

Получим систему: $ac =2− 2a$ и $a+ 5= −c$ .

Переобозначим $c =b− 2$ . Тогда получаем $ab= 2$ и $a+ b= −3$ . Если решения системы есть, то $a$ и $b$ корни уравнения $2 x + 3x+ 2= (x +1)(x+ 2)= 0$ .

$a =− 1= x+y$ и $b=xy +2= −2$ . Тогда $xy =− 4$ , значит, $x$ и $y$ корни уравнения $2 t+ t− 4= 0$ , так что они равны $−1±√17- --2---$ .
$a =− 2= x+y$ и $b =xy+ 2= −1$ . Тогда $xy = −3$ , значит, $x$ и $y$ корни уравнения $t2+ 2t− 3= (t+ 3)(t− 1)=0$ , так что они равны $1$ и $− 3$ .

Ответ:

$(1;− 3),(− 3;1),(−1−√17,−1+√17),(−1+√17,−1−√17) 2 2 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#31700Максимум баллов за задание: 7

Решите систему:

{ x3+ y3 = 7; x2y+ xy2 =− 2.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подозрительное совпадение - левые части обоих уравнений очень похожи на слагаемые из формулы куба суммы! Только некоторым из них не хватает нужных коэффициентов. Давайте попробуем понять, чему равно (x+y)³

Подсказка 2

Для этого нужно к верхнему уравнению прибавить три нижних, действительно, мы получим, чему равна сумма х и у. Нам не помешало бы еще знать произведение, но зная сумму мы можем его найти, пользуясь нижним уравнением!

Показать ответ и решение

Функция $f(x,y)$ двух переменных $x$ и $y$ называется симметрической, если $f(y,x)= f(x,y)$ . В симметрической системе можно сделать замену $x+ y = a$ , $xy = b$ .

Тогда система из условия

{ 2 2 (x +y)(x − xy+ y)= 7; xy(x+ y)= −2.

преобразуется в

{ a(a2− 3b)= 7; ab=− 2.

Прибавив к первому уравнению три вторых уравнения получаем

a3− 3ab+ 3ab= 7+ 3⋅(−2)=1

x+ y = 1

С учётом второго уравнения системы (для равносильности) имеем, что $xy = −2$ , значит, по обратной теореме Виета $x$ и $y$ это корни уравнения $t2− t− 2 =(t− 2)(t+1)$ .

Ответ:

$(−1;2),(2;−1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#31701Максимум баллов за задание: 7

Решите систему:

{ 3x2+ 5xy − 2y2 = 20; x2+ xy+ y2 =7.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы имеем два квадратных уравнения, у нас есть множители - квадраты х и у и произведение ху. Было бы здорово, если бы мы смогли разложить такие выражения на множители вида (ax + by)(cx+dy). Но тогда в правой части было бы здорово получить ноль, чтобы разложение на множители что-то нам дало.

Подсказка 2

Давайте умножим первое уравнение на 7 и вычтем из него нижнее, умноженное на 20. Тогда в правой части как раз будет 0! А левую необходимо разложить на множители!

Подсказка 3

После разложения на множители не забудьте провести проверку! Мы ведь получили не равносильное уравнение, а следствие из системы.

Показать ответ и решение

Функция $f(x,y)$ двух переменных $x$ и $y$ называется однородным многочленом второй степени, если она имеет вид $2 2 f(x,y)= ax + bxy+ cy.$

Чтобы занулить коэффициент в правой части, умножим первое уравнение на 7, а второе — на 20, и вычтем второе уравнение из первого:

7(3x2 +5xy− 2y2)− 20(x2+ xy+y2)= 0

2 2 x + 15xy− 34y =0

(x +17y)(x− 2y)=0

Если $x = 2y$ , то $x2+ xy+ y2 = 7y2 =7$ . Значит, либо $y =1$ и $x =2$ , либо $y = −1$ и $x =− 2$ .
Если $x = −17y$ , то $x2 +xy+ y2 = 273y2 = 7$ . Значит, либо $y = √1 39$ и $x= − 1√7- 39$ , либо $y =− √1- 39$ и $x= √17- 39$ .

Ответ:

$(2;1),(−2;−1),(− 1√7;√1-),(√17-;−√1-) 39 39 39 39$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 46#31702Максимум баллов за задание: 7

Найти действительные решения системы уравнений:

{ 53∘x5y2 = 4(x2+y2); 33∘xy4 = x2− y2.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что наша система - однородная степени k. Это означает, что
f(kx,ky)= f(x,y)*k^n. Сведя систему к однородной и равной нулю, мы сможем найти отношение x/y.

Подсказка 2

Перемножим данные уравнения! Тогда мы получим красивое одородное уравнение степени 4 и сможем поделить его на x²y²

Подсказка 3

Не забудьте, что х = у = 0 тоже является решением (ведь мы делили на x²y²)

Показать ответ и решение

Функция $f(x,y)$ двух переменных $x$ и $y$ называется однородной функцией степени $n$ , если для любого числа $k$ выполняется $n f(kx,ky)= f(x,y)⋅k$ . Сведя систему к однородной (то есть $f(x,y)= 0$ для однородной $f$ ), можно найти отношение $x y$ .

Для этого перемножим данные уравнения системы:

22 4 4 15x y =4(x − y )

Получили однородное уравнение степени $4$ , так что делить будем на $x2y2$ . При этом нужно отметить, что $x =y =0$ это решение исходной системы, и не потерять его, зафиксировав в ответ перед делением.

Получаем уравнение $1 15 =4(t− t)$ , где $x2 t= y2 > 0$ . Решаем $2 4t − 15t− 4= 0$ : $t= 4$ или $1 t= −4$ (не соответствует $t> 0$ ).

Нам достаточно подставить полученное следствие $x2 y2 = 4$ в одно из уравнений системы:

Если $x = 2y$ , то $∘3--- 2 3 2y5 = 3y$ , так что $5 6 2y = y$ .
Если $x = −2y$ , то $3∘---- 3 − 2y5 = 3y2$ так что $− 2y5 = y6$ .

Ответ:

$(0;0),(4;±2)$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 47#31703Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений:

{ x2− 3xy +2y2+ 5x − 9y+ 4= 0; x2− y2 − 5= 0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что у нас первое уравнение можно решить как квадратное относительно х! Что мы тогда получим?

Подсказка 2

Верно, мы получим 2 случая того, как у выражается через х. А это уже можно довольно успешно подставить во второе выражение системы!

Показать ответ и решение

Решим первое уравнение как квадратное относительно $x$ :

2 2 2 D =(5− 3y) − 4(2y − 9y+4)= y + 6y +9

2x= 3y− 5 ±(y+ 3)

Подставим во второе уравнение $x= 2y− 1$ :

3y2− 4y− 4= 0

3y = 2±√4-+3-⋅4

y = 2±-4 3

x= 1±-8 3

Подставим во второе уравнение $x= y− 4$ :

−8y+ 11 =0

y = 11 8

11−-32 x= 8

Значит, у системы есть три решения: $y = 2$ и $x= 3$ , $2 y = −3$ и $7 x= − 3$ , $11 y = 8$ и $21 x= −8$ .

Ответ:

$(3;2),(− 7;− 2),(− 21;11) 3 3 8 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 48#32321Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений

{ |sin3x|=− √2siny; cos2y+ 2cos2x sin22x = 3. 4

Показать ответ и решение

С учётом $siny ≤0$ из первого имеем $sin23x= 2sin2y$ , тогда для второго

2 2 2 3 1− 2sin y+ 2cos2x sin 2x =1 − sin 3x+ sin4xsin2x = 4 =⇒

3 1 2cos23x+ 2sin4xsin2x =1 +cos6x +cos2x− cos6x= 2 =⇒ cos2x= 2

Или $x= ± π6 + πn=⇒ |sin3x|= 1=⇒ siny = − 1√2$ и $y = − π4 +2πk$ или $y = − 3π4 +2πk$ .

Ответ:

${(±π +πn,− π+ 2πk),(±π +πn,− 3π-+2πk), k,n∈ ℤ} 6 4 6 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 49#34755Максимум баллов за задание: 7

Найдите все действительные решения системы уравнений

{ x2+ 7x− y+ 11 =0; y2+ 3x− y+ 15 =0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Квадратные трёхчлены —> полезно будет выделить полные квадраты! Но выделять их, когда на месте удвоенного числа стоят 7 или 3 не супер приятно. Может вспомним, что перед нами система? Что в ней часто спасает?

Подсказка 2

Сложите уравнения! Тогда уже полные квадраты выделяются чётко, и мы вновь получаем стандартную для оценки конструкцию, из которой явно находим икс и игрек. Получается, задачка решена?

Подсказка 3

А вот и нет! Когда мы складываем уравнения системы, мы получаем лишь её следствие – не факт, что все решения действительно подходят, так что обязательно нужно сделать проверку!

Показать ответ и решение

Сложим уравнения:

2 2 (2 ) ( 2 ) x +10x+ y − 2y +26= 0 ⇐⇒ x +10x+ 25+ y − 2y+ 1 = 0 ⇐⇒

2 2 ⇐⇒ (x +5) +(y− 1)= 0

Сумма квадратов двух чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из чисел равно нулю. Поэтому из последнего равенства $x =− 5$ и $y =1$ . Мы нашли решение следствия системы, но не факт, что оно является решением исходной системы. Но после подстановки найденных значений $x$ и $y$ убеждаемся, что они подходит, и пишем ответ.

Ответ:

$(−5;1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 50#34756Максимум баллов за задание: 7

Решите систему:

{ x2+ y2+ 2(x− y)+2 =0; z2+ xz+ yz− 4 =0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какое уравнение в системе по-вашему приятнее выглядит? Конечно же, первое – там хотя бы переменных две! А ещё там квадратные трёхчлены относительно обеих переменных… Красивые трёхчлены!

Подсказка 2

Выделяем полные квадраты и получаем единственные подходящие x и y! А подставив их во второе уравнение системы, мы и z отыщем!

Показать ответ и решение

Выделим квадраты в первом уравнении

2 2 (x+1) + (y− 1) =0 ⇐ ⇒ x =− 1,y =1

Подставляя во второе уравнение, получаем $z2− 4= 0 ⇐⇒ z = ±2$ , откуда и получаем ответ

Ответ:

$(−1;1;2),(−1;1;− 2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 51#36906Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений

{ 1 + 1 = 5; x1 y-1 x2 + y2 = 13.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас есть сумма двух чисел, она равна 5. Есть и сумма квадратов этих двух чисел, она равна 13. Как из суммы каким-нибудь способом получить сумму квадратов? Нужно применить какую-то формулу, чтобы в ней фигурировали квадраты...

Подсказка 2

Ну конечно, если сумму возвести в квадрат, то как раз появится сумма квадратов! А также появится удвоенное произведение двух чисел. Теперь мы имеем систему, равносильную изначальной, где нам известна и сумма двух чисел, и их же произведение. Похоже на теорему Виета. Быть может, у нас получится подобрать здесь корни?

Показать ответ и решение

Первое решение.

Перепишем второе уравнение

( 1 1)2 2 2 1 x + y − xy =13 ⇐⇒ 25− xy = 13 ⇐⇒ xy = 6

Теперь применим это в первом

1+ 1 = x+y-= 5 =⇒ x +y = 5 x y xy 6

Отсюда легко видеть, что $x$ и $y$ — корни $t2− 5t+ 1 = 0 6 6$ , то есть подойдут только пары $(1,1) 2 3$ и $(1,1) 32$ . Все переходы были равносильны для положительных $x,y$ , потому решения можно не проверять.

Второе решение.

ОДЗ:

x ⁄=0,y ⁄= 0

Система равносильна:

( { x+y= 5; ( xxy2+y2-=13. x2y2

С учётом замены $u= x+ y,v =xy$ на ОДЗ система равносильна:

{ u =5v; u2− 2v = 13v2.

{ u= 5v; 25v2− 2v = 13v2.

{ 1 v = 65 = xy; u= 6 = x+ y.

По обратной теореме Виета если решения системы существуют, то они удовлетворяют уравнению $t2− 5t+ 1 =0 6 6$ , то есть в качестве $(x;y)$ подойдут только пары $(1;1) 2 3$ и $(1;1) 3 2$ . Обе пары удовлетворяют ОДЗ.

Ответ:

$(1;1),(1;1) 2 3 3 2$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 52#36913Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений:

{ x3− y3 =65; x2y − xy2 = −20.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нужно разложить на множители оба уравнения и сделать замену a = x-y, b = xy.

Подсказка 2

Отлично, мы нашли, чему равны а и b, то есть х-у и ху. Теперь остается выразить х через у, найти у, а затем найти и х.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Система эквивалентна:

{ (x− y)(x2+ xy+ y2)= 65 xy(x− y)=− 20

C учётом замены $a= x− y,b =xy$ получаем:

{ a(a2+ 3b)=65 { a3 =125 ab= −20 ⇐ ⇒ ab =−20

Откуда $x− y =5,xy = −4$ . То есть $x+ 4x =5 ⇐ ⇒ x2− 5x+ 4= 0 ⇐⇒ x= 1 или x =4$ . Соответственно находим $y = − 4x$ и получаем ответ.

Второе решение.

Система эквивалентна:

{ (x− y)(x2+ xy+ y2)= 65 xy(x− y)=− 20

Так как при $x − y = 0$ система не имеет решений и при $x =0$ система не имеет решений, то поделим первое уравнение на второе и получим:

x y 13 y + 1+ x =− 4 .

При замене $x t= y$ получаем уравнение $2 13 ±1 t +t+ 1+ 4 t= 0 ⇐⇒ t= −4 ,$ то есть либо $x = −4y$ , либо $xy =− 4$ .

Подставим во второе уравнение системы: либо $− 4y2(− 5y)= −20 ⇐⇒ y = −1$ (в этом случае $x =4$ ), либо $− 4(− 4y − y)= −20 ⇐⇒ y = −4$ (в этом cлучае $x= 1$ ).

Ответ:

$(1;− 4),(4;−1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 53#36917Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений:

{ (x +y)(x2− y2)= 16; (x − y)(x2+ y2)= 40.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Примените разность квадратов в первом уравнении, а затем заметим, что и в первом, и во втором уравнениях встречаются одинаковые множители, здесь должно появиться желание разделить второе уравнение на первое.

Подсказка 2

Мы получили квадратное уравнение, где есть две переменные. Давайте зафиксируем у и будем считать, что это просто заведомо известное число (как при решении параметров), и тогда решим уравнение относительно х, то есть мы получим выражение х через у.

Подсказка 3

Теперь для каждого полученного отношения х и у найдем ответ: подставим х, выраженный через у, в любое уравнение изначальной системы, найдем у и потом найдем и нужный х. Система решена!

Показать ответ и решение

Применив формулу разности квадратов в первом уравнении, получаем эквивалентную систему:

{ (x+ y)2(x − y)= 16 (x2+y2)(x− y)= 40 =⇒ 2(x2+y2)= 5(x2+ 2xy+ y2) ⇐⇒ 3x2+10xy+ 3y2 =0

Поскольку $y = 0$ не является решением, то поделим на $y2$ , получим

3 ⋅ x2+ 10 ⋅ x+ 3= 0 y2 y

x x 1 y =− 3 илиy = −3

Достаточно подставить в первое уравнение:

x= −3y =⇒ − 2y ⋅8y2 = 16 ⇐⇒ y = −1 =⇒ x= 3

x =− 1y =⇒ 2⋅y⋅ 8 ⋅y2 =18 ⇐⇒ y = −3 =⇒ x= 1 3 3 9

Ответ:

$(1;− 3),(3;−1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 54#36920Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений:

{ x3+ 3xy2 = 158; 3x2y+ y3 = −185.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Где-то мы уже видели такие слагаемые, как будто в кубе суммы... Ну конечно, давайте сложим оба уравнения и как раз получим куб суммы!

Подсказка 2

Хм, но ведь эти слагаемые фигурировали не только в кубе суммы, но и в кубе разности. Так давайте попробуем вычесть из первого уравнения второе, что получим?

Подсказка 3

А получим мы равносильную систему, потому что применили сложение и вычитание двух уравнений. В этой системе есть сумма и разность х и у, пусть и в кубе ⇒ возьмем корень третьей степени от каждой части уравнений, и остается только лишь записать ответ :)

Показать ответ и решение

Сложив уравнения, получим:

3 2 2 3 3 x +3x y+ 3y x+ y = (x +y) = −27 =⇒ x +y =− 3

Теперь напишем их разность:

3 2 2 3 3 x − 3x y+3xy − y = (x − y) = 343 =⇒ x− y = 7

Откуда получаем единственное решение $(2,− 5)$ . Проверять его не нужно, поскольку система из суммы и разности уравнений вместе эквивалентна изначальной.

Ответ:

$(2;− 5)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 55#37109Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений:

(| x3 |||{ xy+ 24= y- | |||( xy− 6= y3 x

Показать ответ и решение

Допустимые значения $x$ и $y$ определяются условием $xy ⁄= 0$ , а произведение правых частей уравнения равно $x2y2$ . Перемножив уравнения системы, получим $2 2 (xy+ 24)(xy− 6)= x y$ или $xy = 8$ .

Так как обе части уравнений системы отличны от нуля, то система из первого уравнения и уравнения-следствия после перемножения равносильна исходной системе. Исключая $y$ из системы, получаем $x4 x4 4 8 8+ 24= xy = 8 ⇐⇒ x = 2$ . Отсюда $x1 = 4,x2 = −4$ , тогда $y1 = 2$ , $y2 = −2$ .

Ответ:

$(4;2),(−4;−2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 56#39062Максимум баллов за задание: 7

Известно, что для положительных чисел $x$ и $y$ выполняются равенства: $-1+ -1= 1 x2 xy 9$ и $1-+ 1-= 1- y2 xy 16$ . Чему равно $3y− 4x$ ?

Показать ответ и решение

Равенства из условия переписываются в виде $1(1 + 1)= 1 x x y 9$ и $1(1+ 1)= 1- y x y 16$ . Если их сложить, то мы получим, что $1 1 2 1 -1 -25- (x + y) = 9 + 16 = 144$ . Отсюда следует, что $1 1 -5 x + y = ±12$ . В силу того, что числа положительны, то $1 1 5- x + y = 12$ . Из равенств выше, следует, что $1+ 1 -5 x= x19-y= 1219 = 154-$ , а $1+1 5- y = x116y-= 11126 = 203$ . Далее подстановкой получаем, что $3y− 4x= 3⋅ 230− 4⋅ 145= 20− 15= 5$ .

Ответ: 5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 57#40725Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений

( 1 1 1 13 |||{ x + y + z = 3 | x+ y+ z = 13 ||( xyz = 1 3

Показать ответ и решение

Из первого уравнения с учётом третьего получаем $xy+ yz+ xz = 13 3$ . Итак, нам известны сумма, произведение и попарное произведение чисел $x,y,z$ . По обратной теореме Виета если решение системы существует, то каждое из этих чисел $x$ , $y$ и $z$ является корнем уравнения $3 13 2 13 x − 3 x + 3 x− 1 =0.$

Левую часть уравнения легко разложить на множители:

13 13 13 9 1 ( 1) x3− 1− (3 x2−-3 x)= (x − 1)(x2+ x+ 1− 3-x)=(x− 1)(x2− 3x− 3(x− 3))= (x− 1) x −3 (x− 3)

Так что решением является тройка $(1;3;13)$ и её перестановки.

Ответ:

$(1;3;1) 3$ , $(3;1;1) 3$ , $(1;1;3) 3$ , $(3;1;1) 3$ , $(1;1;3) 3$ , $(1;3;1) 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 58#42935Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений

{ x2y +x +xy2+ y+ 5=0 x +y+ xy+ 5= 0

Показать ответ и решение

Сделаем двойную замену $a= x+ y,b= xy$ , имеем

{ ab+a +5= 0 a+ b+5 =0 =⇒ ab− b =0 ⇐⇒ b= 0 или a= 1

В первом случае имеем $a= −5$ , а во втором $b= −6$ , осталось вернуться к первоначальным переменным, имеем в первом случае

{ b= 0 { x= 0 { x= −5 a =−5 ⇐⇒ y = −5 или y = 0

Во втором аналогично

{ { { b= −6 x= 3 x= −2 a =1 ⇐ ⇒ y = −2 или y = 3

Ответ:

$(−5;0),(0;−5),(−2;3),(3;−2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 59#45002Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений

{ 4x2− 4x4+y =ey, 2arcsinx+ arccosy =0.

Показать ответ и решение

Система определена при $x,y ∈ [−1;1].$

При замене $2 t=x$ первое уравнение системы равносильно

2 y 4t− 4t= e − y

Вычитая единичку из обеих частей, получаем

2 y −(2t− 1) = e − y− 1

Левая часть неположительна. Докажем, что правая часть неотрицательна, то есть

f(y)= ey− y− 1 ≥0

По знакам производной $f′(y)= ey − 1$ понимаем, что функция $f(y)$ принимает наименьшее значение при $y = 0$ , так что $f(y)≥f(0)= 0.$

Получили

0≥ −(2t− 1)2 =ey− y− 1≥ 0,

так что должно достигаться равенство, откуда $2t= 1 ⇐⇒ |x|= 1√2$ и $y = 0$ . При этом условии выполняется первое уравнение системы.

Подстановкой во второе уравнение системы при $x= √12,y = 0$ получаем неверное равенство

2 ⋅ π+ π =0, 4 2

поэтому эта пара не подходит. А вот пара $(x= − 1√2;y =0)$ подходит, так как равенство

2 (− π)+ π = 0 4 2

верно.

Ответ:

$(−√1-;0) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 60#45006Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений

(| 3x− y− 5z− 2yz = 0 { x − 5y− z− 2z2 = 0 |( x +9y− 3z+2xz = 0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

у нас какие-то странные формулы, давайте попробуем вычесть из первого третье и из первого второе и посмотрим, что получится

Подсказка 2

заметим, что и там, и там у нас присутствует x-5. попробуем проанализировать, чему равно x-5-z и посмотрев на эти два уравнения и понять, чему может быть равен z

Подсказка 3

в первом случае это равняется z(x+y), а во втором 2z*z, значит можно разобрать возможные значения z!

Показать ответ и решение

(| 3x− y− 5z− 2yz = 0 | (1) { x − 5y− z− 2z2 =0 | (2) |( x +9y− 3z+ 2xz =0 | (3)

Рассмотрев $(1)− (3)$ и $(1)− (2)$ , получаем:

{ 2(x− 5y− z− yz− xz)= 0 x− 5y = z+ 2z2

Откуда: $z = 0$ или $z = x+2y$

Первый случай при подстановке (проверьте!) даёт тривиальную тройку $(0,0,0).$

Второй случай позволяет выразить $x =2z− y$ , тогда после подстановки и приведения подобных слагаемых мы получаем:

(|{ z − 4y− 2yz =0 | (1′) z − 6y− 2z2 =0 | (2′) |( z − 8y− 4z2 +2zy = 0 | (3′)

Пробуем теперь посмотреть на $2⋅(1′)− (3′) :$ $z− 6yz+ 4z2 =0$ , откуда, поделив на $z ⁄= 0$ , получаем $1 − 6y+ 4z = 0⇒ z = 6y4−1$

Если выразить одну переменную через другую и подставить, мы получим еще две серии решений (не забудьте проверить полученные решения!): $(− 32,− 12,−1),(− 56,− 16,− 12)$

Ответ:

$(0,0,0),(− 3,− 1,−1),(− 5,− 1,− 1) 2 2 6 6 2$

Следующая подтема