Тема АЛГЕБРА

Системы уравнений и неравенств

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Системы уравнений и неравенств

Арифметические операции над системой

Замены переменных

Оценки в системах

Симметрия или цикличность в системе

Однородные и сводящиеся к ним

Сведение системы к квадратному

Системы неравенств

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 61#70774Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений

({ 3y− 2x= √3xy−-2x− 3y+-2 ( 3x2+ 3y2 − 6x− 4y = 4

Источники: Физтех-2022, 11.2 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала запишем ОДЗ для первого уравнения, а после этого можем возвести в квадрат. Давайте теперь попробуем перебрать известные нам способы решения. Вот некоторые из них: сложение и вычитание уравнений, решение однородного уравнения, замены различные, решение квадратного уравнения относительно x или y. Какие из них целесообразно здесь применить? Попробуйте сделать это!

Подсказка 2

Попробовали? Скорее всего, заменой ничего не вышло, потому что общих частей особо нет, да и к однородному вряд ли получилось свести. А что если решить первое уравнение, как квадратное относительно одной из переменных? Кажется, что страшное выражение и ничего не выйдет, но не попробуете — не узнаете!

Подсказка 3

Верно, например, после решения квадратного уравнения относительно y в дискриминанте получается полный квадрат, а значит, мы можем выразить y через x. Осталось только подставить каждое из выражений во второе уравнение, найти x и y, и победа! Но не забудьте учесть ОДЗ!

Показать ответ и решение

Первое уравнение при условии $3y− 2x ≥0$ равносильно уравнению

2 (3y− 2x) = 3xy− 2x − 3y+ 2

2 2 4x +(2− 15y)x+ (9y + 3y− 2)= 0

Решая это уравнение как квадратное относительно переменной $x,$ имеем

⌊ x= 3y − 1 D =(2− 15y)2− 16(9y2+3y− 2)= (9y− 6)2 ⇒ ⌈ 3 1 x= 4y+ 2

Подставляем во второе уравнение исходной системы.

Если $x= 3y− 1,$ то

⌊ √-- | y = 4+6-10 6y2− 8y +1= 0⇔ |⌈ 4− √10 y = --6---

Получаем две пары $√-- √-- y = 4+610,x = 2+210$ и $√-- √-- y = 4−610,x= 2−210.$

Если $x= 34y+ 12,$ то

⌊ 2 y =2 3y − 4y− 4= 0⇔ ⌈ y =− 2 3

Также имеем две пары $y =2,x= 2$ и $y = − 2,x= 0. 3$

Из четырёх найденных пар чисел неравенству $3y ≥2x$ удовлетворяют только две из них: $(2;2),(2−√10;4−-√10) . 2 6$

Ответ:

$(2;2),(2−-√10;4−√10) 2 6$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 62#71445Максимум баллов за задание: 7

Найти все решения в действительных числах системы уравнений

(| x(1 +yz)= 9 { y(1 +xz)= 12 |( z(1+ xy)= 10

Источники: Всесиб-2022, 11.2 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В уравнениях степени небольшие, поэтому не составит труда немного поработать ручками и с помощью простых преобразований прийти к чему-то более красивому. Быть может, стоит попробовать выразить все переменные через одну из них?

Подсказка 2

Вычтем первое уравнение из двух других, теперь мы знаем, как выразить все переменные через одну! Теперь можно подставить их в любое уравнение и что-то понять.

Подсказка 3

Получится кубическое уравнение, у которого можно угадать корень. Остается лишь найти остальные или доказать, что их нет!

Показать ответ и решение

Вычтем первое уравнение из второго и третьего, получим:

{ y− x = 3 z− x = 1

Подставим выражения $y = x+ 3,z = x+1$ в первое уравнение, получим

x(x+ 3)(x+ 1)+ x= 9

x3+4x2+ 4x− 9=0

Одним из его корней является $x= 1,$ поэтому

x3+4x2+ 4x− 9 =(x− 1)(x2+ 5x+ 9)

Дискриминант второй скобки отрицателен, поэтому единственным действительным корнем кубического уравнения и решением исходной системы является $x= 1.$ Тогда $y = x+ 3= 4,z =x +1= 2.$

Ответ:

$(1,4,2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 63#71525Максимум баллов за задание: 7

Решите в действительных числах систему уравнений:

(| a+ c= 4 |||{ ac+ b+d =6 | |||( ad+ bc =5 bd= 2

Источники: ОММО-2022, номер 5 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами система с 4 неизвестными, в которой, если начать выражать всё последовательно, ничего хорошего не выйдет. Давайте немного повспоминаем, где такая конструкция встречается? Возможно, вы этим занимались в алгебре.

Подсказка 2

Ага, если вспомнили, то отлично. Если нет, то ничего страшного. Попробуйте перемножить два приведённых трёхчлена с коэффициентами a, b, c и d и привести подобные слагаемые. Не видите сходств? Какой вывод отсюда можно сделать?

Подсказка 3

Да, нам по сути сказали коэффициенты многочлена 4 степени! Видеть такое вы могли в методе неопределённых коэффициентов как раз для уравнения 4 степени. Теперь вы можете попробовать найти очевидные корни этого многочлена и разложить его на скобки. Теперь осталось понять главное. Для чего вы всё это делали?

Подсказка 4

Точно, для того, чтобы понять, что корни будут единственными. Вы могли и просто так угадать a, b, c и d, но о единственности ничего утверждать не могли. Осталось только сопоставить наши изначальные квадратные трёхчлены с тем, что получилось в итоге, и победа!

Показать ответ и решение

Пусть $x2+ ax+ b$ и $x2 +cx+ d$ — два квадратичных многочлена, коэффициенты которых — искомые корни данной системы. Тогда

( 2 )( 2 ) 4 3 2 x + ax+ b x + cx +d = x + (a +c)x +(ac+b+ d)x +(ad+bc)x +bd=

4 3 2 = x +4x + 6x +5x+ 2

Из делителей свободного коэффициента $2$ находим корни $− 1$ и $− 2$ , тогда можно поделить многочлен на $(x+ 1)(x+ 2)=(x2+ 3x +2):$

x4+ 4x3 +6x2+ 5x+2 =(x2+ 3x+ 2)(x2+ x+ 1),

что возможно только в двух случаях:

{ { x2+ax +b= x2+ 3x+2 x2 +ax+ b= x2+ x+1 x2+cx+ d= x2+ x+ 1 или x2 +cx+ d= x2+3x +2

тогда в первом случае получаем $a= 3,b= 2,c= 1,d =1,$ а во втором — $a= 1,b=1,$ $c= 3,d= 2.$

Ответ:

$(3,2,1,1),(1,1,3,2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 64#74786Максимум баллов за задание: 7

Решите систему в целых числах:

{ (y2 +6)(x− 1)= y(x2+ 1) (2 ) ( 2 ) x +6 (y− 1)= x y + 1

Источники: ФЕ-2022, 11.3 (см. www.formulo.org)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Оставлять такие скобки бессмысленно, поэтому раскроем их. Теперь у нас есть одинаковые слагаемые в обоих уравнениях, так что сразу начнем преобразовывать систему и приведем ее к удобному уравнению.

Подсказка 2

Сложим уравнения системы и начнем преобразовывать так, чтобы становилось как можно больше скобок. Совсем необязательно, чтобы все разложилось на множители.

Подсказка 3

(x-2)(x-3)+(y-2)(y-3)=0. Попробуем исследовать функцию f(x)=(t-3)(t-2) и понять, в каких случаях достигается равенство.

Показать ответ и решение

Раскроем скобки:

{ y2x− y2+ 6x− 6= yx2+y x2y− x2 +6y = xy2+x

Сложим эти 2 уравнения:

−x2− y2+ 6(x+y)− 12= x+ y

x2+y2− 5(x +y)+ 12= 0

(x2− 5x+ 6)+ (y2− 5y+ 6)= 0

(x− 2)(x− 3)+ (y− 2)(y− 3)= 0

Рассмотрим $f(t)= (t− 2)(t− 3)$ — это парабола с ветвями вверх, $f(t)≥ 0 при t∈ℤ.$ Тогда $f(x)+f(y)≥0,$ а равенство достигается только при

{ f(x) =0 f(y)= 0

То есть при

( [ ||||| x = 2 |{ x = 3 ||| [ |||( y = 2 y = 3

Остаётся только проверить найденные решения, подставив их в изначальную систему.

Ответ:

$(2,2);(3,3);(2,3);(3,2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 65#74952Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений

(| √yz ||||| x = y+-z ||{ √xz || y = x+-z ||||| √yx |( z = y+-x

Источники: САММАТ-2022, 11.8 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Система циклическая, поэтому попробуем найти какие-то «парные» решения и поставим какие-нибудь ограничения на переменные. Что нам напоминает правая часть каждого из уравнений?

Подсказка 2

Заметим, что сменив знак у каждой из переменных, тройка остается решением. Значит, мы можем считать, что все переменные положительны. А правая часть каждого из уравнений напоминаем нам неравенство о средних! Тогда попробуем лучше оценить каждую из переменных)

Подсказка 3

Заметим, что каждая из переменных не больше 1/2(почему?). Теперь хочется как-то связать равнения системы…а что если выполнить преобразования, после которых мы сможем что-то сократить? Обратим внимание на наличие корня в числителях! Остается дело за малым)

Показать ответ и решение

Отметим, что числа $x,y,z$ одного знака, при этом если тройка $(x;y;z)$ — решение системы, то $(−x;− y;−z)$ также решение.

Пусть числа $x,y,z$ положительны. Из неравенства о средних

√ -- a+ b≥2 ab

следует, что

√ab- 1 a+ b ≤ 2

Следовательно, каждое из чисел числа $x,y,z$ не больше $1 2.$

Перемножив все уравнения системы, получим

(x+ y)(y+ z)(z+ x)= 1

Но сумма любых двух из чисел $x,y,z$ не превосходит 1. Следовательно,

x +y = y+ z = z+ x= 1

Значит $x =y =z = 1. 2$ Так как $(−x;−y;−z)$ также будет решением, то $x =$ $y =z =− 1. 2$

Ответ:

$(1;1;1), (− 1;− 1;− 1) 2 2 2 2 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 66#75003Максимум баллов за задание: 7

Подписью битового сообщения $(a,...,a ) 1 5$ является любой битовый набор $(x ,...,x ), 1 10$ при котором

$pict$

Здесь $⊕$ — стандартная операция сложения битов: $0⊕ 0= 1⊕ 1= 0,0⊕ 1= 1⊕ 0= 1.$

Найдите какую-нибудь подпись для сообщения $(0,1,0,0,0).$

Источники: Верченко-2022 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Задача только запугивает большим числом переменных, но это же обычная система уравнений, которые мы умеем решать. Так давайте подставим наше сообщение в левую часть условия.

Подсказка 2

Мы понимаем, что складывая одинаковые переменные они уничтожаются, поэтому полезно поскладывать уравнения в этой системе, тем самым, упростив её.

Подсказка 4

Сложите первые 3 уравнения, используя полученные знания, сложите 4-ое и 5-ое уравнения.

Подсказка 5

Теперь мы можем перейти к настоящей пугающей части, но не спешим расстраиваться, ведь нам нужно найти какой-нибудь набор иксов, а значит мы можем дополнительно навесить на него удобные нам ограничения, и если получится найти набор с доп. ограничениями, то задача решена. Какие бы ограничения нам тогда наложить?

Подсказка 6

Давайте перейдём от квадратичной системы к линейной, зафиксировав значения (x7,x8,x9,x10)=(1,1,0,0), и попробуем решить систему попроще.

Подсказка 7

Не забываем, что помимо действий с уравнениями мы можем делать действия внутри уравнения, давайте избавимся от 1, добавив их к обеим частям. Посмотрите на уравнения 2,4 и 1,3, дальше уже можно найти решение и радоваться победе!

Показать ответ и решение

Для начала, используя $(a,a ,a ,a,a )= (0,1,0,0,0), 1 2 3 4 5$ найдем $b,b,b,b ,b . 1 2 3 4 5$ Для этого решим систему:

( b ⊕ b ⊕b = 0 ||||| 3 4 5 |{ b2⊕ b4⊕b5 = 1 ||| b2⊕ b3⊕b5 = 0 |||( b1⊕ b2⊕b3 = 0 b1⊕ b3⊕b5 = 0

Сложив первые три уравнения и преобразовав их, получаем $b = 1. 5$ Подставим это значение в нашу систему:

(| b ⊕ b =1 ||||| b3⊕ b4=0 { b2⊕ b4=1 |||| b2⊕ b3⊕b = 0 ||( 1 2 3 b1⊕ b3 =1

Сложим четвертое и пятое уравнения и получим, что $b2 = 1.$ Тогда из второго уравнения следует, что $b4 = 1,$ а из третьего следует, что $b3 = 0.$ Тогда из пятого получаем $b1 =1.$

Итак, $(b,b ,b ,b,b)= (1,1,0,1,1). 1 2 3 4 5$ Теперь нужно найти набор какой-нибудь $(x ,x,x ,x ,x ,x ,x,x ,x,x ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10$

Для этого найдем любое решение системы:

(| x x ⊕ x x ⊕ x x ⊕x x ⊕ xx ⊕x x ⊕ xx ⊕ x x = 1 ||||| x1x9⊕ x21x0⊕x 3x 8⊕x4x9⊕ x5x9 ⊕ 6x 8x ⊕7x8x ⊕9x 10x = 1 { x1x8⊕ x29x ⊕ 3x 1x0⊕x4x8⊕ x5x10⊕x 6x10⊕ xx7⊕8x 8x 9⊕x = 0 |||| 1 9 210 3 8 4 7 58 6 8 7 8 8 9 10 ||( x1x7⊕ x2x10⊕ x3x10⊕ x4x7⊕x5x7⊕ x6x10⊕ x7x10⊕ x9x10 =1 x1x8⊕ x2x7 ⊕x3x7⊕ x4x9⊕ x5x9⊕x6x8⊕ x7x8 ⊕x8x10⊕x9 = 1

Решать квадратичную систему с десятью переменными сложно, поэтому попробуем ее как-нибудь упростить. Видно, что если убрать переменные $x ,x ,x ,x , 7 8 9 10$ то получится линейная система. Тогда зафиксируем значения этих переменных так, чтобы в новой системе не было противоречий, например, так: $(x7,x8,x9,x10)= (1,1,0,0).$ Тогда все слагаемые, в которых есть $x9$ или $x10$ пропадут.

После подстановки этих значений в систему получаем:

( ||||| x3⊕ x6 ⊕1= 1 |{ x1⊕ x4 ⊕1= 1 ||| x3⊕ x4 ⊕x5⊕ x6⊕ 1= 0 |||( x1⊕ x4 ⊕x5 = 1 x1⊕ x2 ⊕x3⊕ x6⊕ 1= 1

Далее во всех уравнениях, где есть слагаемое 1 в левой части, прибавим 1 к обеим частям. Тогда справа константа изменится на противоположную, а слева останутся только переменные.

( ||||| x3⊕ x6 = 0 |{ x1⊕ x4 = 0 ||| x3⊕ x4⊕ x5 ⊕x6 = 1 |||( x1⊕ x4⊕ x5 =1 x1⊕ x2⊕ x3 ⊕x6 = 0

Из второго и четвертого уравнений следует, что $x = 1. 5$ Тогда из первого и третьего получаем, что $x = 0. 4$ Теперь подставим эти значения в систему:

( x ⊕ x = 0 ||||| 3 6 |{ x1 = 0 ||| x3⊕ x6 = 0 |||( x1 = 0 x1⊕ x2⊕ x3 ⊕x6 = 0

Итак, $x1 = 0.$ Тогда из первого и пятого получаем, что и $x2 =0.$ Осталось выбрать какие-нибудь значения для $x3x6,$ так как их система однозначно не задает. Пусть $x = x = 0. 3 6$

Получаем следующую подпись: $(0,0,0,0,1,0,1,1,0,0).$

Ответ:

$(0,0,0,0,1,0,1,1,0,0)$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 67#76576Максимум баллов за задание: 7

Действительные числа $x$ и $y$ таковы, что

x(x+ 1)y =6,

3( 3 ) 3 x x +1 y = 126.

Какие значения может принимать выражение

x2(x2+ 1)y2?

Укажите все возможные ответы и докажите, что других нет.

Источники: Турнир Ломоносова - 2022, 11.1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас есть система уравнений, казалось бы. И мы хотели бы ее решить. Однако, решать в лоб - долго и можно ошибиться. Нам нужно как-то составить из этой системы уравнение на x. При этом, y в нашей системе в одной форме(то есть, на него просто умножают все выражение в конце, на какую то степень). Как тогда можно составить уравнение, в котором есть только х?

Подсказка 2

Верно, возведем первое в куб. Тогда, у нас получится (xy)^3 * (x + 1)^3 = 6^3, (xy)^3 * (x^3 + 1) = 126. Поделим первое на второе и получим уравнение на х (квадратное, ведь x + 1 сократился, когда поделили). Значит, нашли корни. Осталось найти y и подставить в искомое выражение.

Показать ответ и решение

Возведём первое равенство в куб и поделим на второе:

-63- x3(x+-1)3y3 126 = x3(x3+1)y3

Отсюда при условии $x ⁄= 0,x⁄= −1,y ⁄= 0$ получаем

2 12-= -(x2-+1)-- 7 x − x+1

5x2− 26x+ 5= 0

Решая это квадратное уравнение, получаем $x= 5$ или $1 x = 5.$ Из первого равенства тогда $1 y = 5$ или $y = 25$ соответственно.

Подставляем получившиеся значения в требуемое выражение:

( ) ( ) (( ) ) 52⋅(52+ 1)⋅ 1 2 =26 и 1 2⋅ 1 2+ 1 ⋅252 =26 5 5 5

Ответ: 26

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 68#77812Максимум баллов за задание: 7

Найдите для всех натуральных $n >1$ положительные решения системы

{ x +2x + ⋅⋅⋅+ nx = 3 11+ -21-+⋅⋅⋅+-1n =3 x1 2x2 nxn

Источники: Бельчонок - 2022, 11.2 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Слишком много переменных, и еще они умножаются на коэффициенты какие-то. Попробуем вместо переменных x_i ввести y_i таким образом, чтобы нам стало приятнее жить. И для y_i уже можно что-то заметить.

Подсказка 2

Думаю, Вы догадались, что замена нужна такая: i*x_i = y_i. Тогда обращаем внимания, что во втором уравнении слагаемые - обратные величины к слагаемым первого. Что мы знаем про сумму положительного числа и его обратной величины?

Подсказка 3

Как с помощью этого неравенства мы можем отбросить из рассмотрения много случаев?

Подсказка 4

На этом этапе вам остается рассмотреть отдельно n = 2 и n = 3 и решить задачу для них. Здесь уже нет ничего сложного!!

Показать ответ и решение

Обозначим $y = kx k k$ и сложим уравнения системы:

( 1-) ( 1-) ( 1-) y1+ y1 + y2+ y2 + ...+ yn+ yn =6

Для положительных чисел справедливо неравенство об обратных: $a + 1a ≥ 2.$ Поэтому левая часть не меньше $2n,$ отсюда $n ≤3.$ При $n= 3$ каждое из слагаемых равно $2,$ отсюда $y1 =y2 = y3 = 1,$ и $x1 = 1,x2 = 12,x3 = 13.$ При $n =2$ получается система:

{ { x1+2x2 = 3, ⇒ 2x2 = 3− x1, 1x1-+ 12x2-=3. 1x1-+ 3−1x1-=3.

Решая последнее уравнение, получаем, что $3±√5 3∓√5 x1 =--2-,x2 =-4--.$

Ответ:

$x = 3±√5,x = 3∓√5 1 2 2 4$ при $n= 2;$

$1 1 x1 =1,x2 = 2,x3 = 3$ при $n= 3;$

при других $n$ решений не существует.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 69#80591Максимум баллов за задание: 7

Найти $2x2+ 10y2 − 23z2,$ если

{ (x− y)(x+y)= z2, 4y2 = 5+7z2

Показать ответ и решение

Перепишем систему в виде ${ x2− y2− z2 =0 4y2− 7z2 =5$ и воспользуемся методом неопределенных коэффициентов:

( 2 2 2) ( 2 2) 2 2 2 α x − y − z + β 4y − 7z =2x + 10y − 23z ⇐⇒ ⇐⇒ αx2 +(4β− α)y2− (7β +α)z2 = 2x2 +10y2− 23z2.

Запишем систему равенств для коэффициентов:

( |{ α= 2 { α = 2 |( 4β − α = 10, ⇔ β =3 7β +α = 23

Следовательно, $2 2 2 (2 2 2) ( 2 2) 2x + 10y − 23z = 2 x − y − z +3 4y − 7z = 2⋅0+ 3⋅5=15.$

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 70#80592Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений

{ xy+ 3y2− x+4y− 7= 0 2xy+ y2− 2x − 2y+ 1= 0

Показать ответ и решение

Вычтем из второго уравнения удвоенное первое:

2 2 −5y − 10y+ 15= 0⇔ y + 2y− 3 =0 ⇐⇒ y = 1,− 3

Если подставить $y = 1$ в первое уравнение, увидим, $x$ — любое, так как $0⋅x= 0.$

Если подставить $y = −3,$ получим $x= 2.$

Ответ:

$(2,− 3),(a,1),a∈R$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 71#90554Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений:

{ (x2+ y2)(x+ y)= 15xy (x4+ y4)(x2+ y2)= 85x2y2

Показать ответ и решение

Сразу обратим внимание на симметрию. Если $x= 0$ , то из второго уравнения и $y = 0$ – единственное подходящее решение (в обратную сторону аналогично), далее предполагаем, что обе переменные не равны нулю. Возведя первое уравнение в квадрат, из него и второго получим:

(x2+y2)2(x+ y)2 (x4+ y4)(x2+ y2) ------45------= ------17-------

Далее приводя к общему знаменателю и учитывая $y ⁄= 0$ , положим $t= xy ⁄=0(x⁄= 0)$ и получим:

28x4− 34x3y − 34x2y2 − 34xy3+28y4 = 0=⇒ 28t4− 34t3− 34t2− 24+ 28 =0

Теперь воспользуемся тем, что $t⁄= 0$ , откуда имеем:

( 1) ( 1) 1 1 28 t2 +t2 − 34 t+ t − 34= 0, продолжим z = t+ t,t2+ t2 = z2− 2

Получаем квадратное уравнение относительно $z$ : $14z2− 17z − 45= 0$ , откуда получаем $z = 52, − 97$ . Далее $| | |t+ 1t|≥ 2$ , тогда во втором случае решений нет, в первом получим $t2− 52t+ 1= 0$ , откуда $xy = t= 12, 2=⇒ x= 2y, 12y$ .

В силу той же симметрии достаточно подставить $x= 2y$ , причём в оба уравнения, поскольку преобразования не были равносильными, имеем:

{ 5y2⋅3y = 30y2 17y4⋅5y2 =340y4 =⇒ y = 2, x= 4

При обратной подстановке получим, пару $(2,4)$ , вспоминаем про изначально исключённые $(0,0)$ , откуда и имеем ответ.

Ответ:

$(4,2), (2,4), (0,0)$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 72#90837Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений

(| 2xy2+ 8zx2− 4yz2 =6xyz { 8xz2− 4yx2+ 2zy2 =6xyz |( 2xy− 4xz+2yz = 3

Показать ответ и решение

Вычитая из первого уравнения второе, получим

2 2 2 2 2 2 xy + 4x z− 2yz − 4xz +2x y− yz =0 (1)

Разложим левую часть этого уравнения на множители:

y2(x− z)+4xz(x − z)+ 2y (x2− z2)= 0 (x− z)[y(y +2z)+2x(y+ 2z)]= 0 (x− z)(y +2z)(y+ 2x)= 0

Заметим, что исходная система, равносильная системе, состоящей из ее первого и третьего уравнений и уравнения (1), равносильна также совокупности трех систем, получаемых присоединением к первому и третьему уравнениям соответственно уравнений

x= z (2) y = −2z (3) y =− 2x (4).

1) Подставляя из (2) $x= z$ в первое и третье уравнения исходной системы, получаем

(2 2) x y − 5xy+4x = x(y − x)(y − 4x)= 0 4xy− 4x2 =4x(y− x) =3 (5)

Если $x= 0$ или $y =x$ , то из (5) следует, что $0= 3.$ Если $y = 4x$ , то из $(5)$ находим $x2 = 1,x= ±1. 4 2$ В этом случае система имеет два решения:

(1 1) ( 1 1) 2;2;2 и −2;−2;−2 .

2) Подставляя $y = −2z$ (см. (3)) в первое и третье уравнения исходной системы, получаем

( ) z 2z2+ 5xz+2x2 = z(z +2x)(x+ 2z)=0 −4z(z +2x)= 3 (6)

Если $z = 0$ или $z+ 2x= 0$ , то из (6) следует, что $0= 3.$ Если $x =−2z$ , то из (6) находим $z2 = 14,z =± 12.$ В этом случае система имеет решения:

( ) ( ) 1;1;− 1 и −1;−1;1 . 2 2

3) Подставляя $y = −2x$ (см. (4)) в первое и третье уравнения исходной системы, получаем

x(2x2+ 5xz+ 2z2)= x(x +2z)(z+ 2x)= 0 −4x(x +2z)= 3 (7)

Если $x= 0$ или $x +2z = 0$ , то из (7) следует, что $0 =3.$ Если $z =−2x$ , то из (7) находим $x2 = 1,x= ±1 4 2$ . В этом случае система имеет два решения $(1;−1;−1) 2$ и $(− 1;1;1) 2$ .

Ответ:

$(1;−1;−1),(− 1;1;1),(1;2;1),(− 1;−2;− 1) 2 2 2 2 2 2$ , $(1;1;− 1),(−1;− 1;1) 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 73#90926Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений

{ x2 +y2 = 13 x3 +y3 = 35

Показать ответ и решение

Заметим, что система симметрическая, а значит разумно обозначить симметрические многочлены $x+ y$ и $xy$ через $a$ и $b$ и выразить всё через них:

{ 2 a −2 2b= 13 a(a − 3b)= 35

Из первого уравнения следует, что $b= a2−13. 2$ Если подставить во второе, то мы получим уравнение относительно $a :$

3 a − 39a+ 70= 0.

Оно имеет корни $a= −7,a= 2$ и $a =5.$

Если $a= −7,$ то $b= 18.$ Однако в этом случае не будет вещественных решений относительно $x$ и $y,$ потому что они должны быть корнями уравнения $t2+ 7t+ 18= 0,$ а у него корней нет.

Если $a= 2,$ то $b= − 9. 2$ Этому случаю соответствуют решения $(2±√22,2∓-√22) 2 2$ относительно $x$ и $y.$

Если $a= 5,$ то $b= 6.$ В этом случае подойдут пары $(2,3)$ и $(3,2).$

Ответ:

$(2±√22,2∓√22),(2,3),(3,2) 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 74#91675Максимум баллов за задание: 7

Найдите действительные решения системы уравнений

{ x2− 4x− 2y − 1 =0 y2− 2x+ 6y +14= 0

Показать ответ и решение

Сложив уравнения системы, получим

2 2 (x− 3)+ (y+2) = 0

откуда может быть только

x= 3, y = −2

Пара чисел $x= 3,y = −2$ , как показывает проверка, действительно является решением системы.

Ответ:

$(3;− 2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 75#91965Максимум баллов за задание: 7

Имеет ли решение в положительных числах система уравнений

(| x2+ xy+ y2 = 4; { y2+ yz+ z2 =9; |( 2 2 z + zx+ x =36?

Показать ответ и решение

Пусть есть. Тогда возьмем точку, выпустим 3 луча, между которыми углы $120∘$ и отметим на эти лучах отрезки длины $x =a$ , $y =b$ и $z =c:$

$PIC$

Тогда

( |{ x2+ xy+ y2 = 4= AB; | y2+ yz+ z2 =9 =BC; ( z2+ zx+ x2 = 36 =AC

Но для треугольника $ABC$ не выполняется неравенство треугольника. Противоречие.

Ответ: нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 76#30989Максимум баллов за задание: 7

Найдите все действительные числа $a,$ для которых существуют три различных действительных числа $x,y,z,$ таких что

1 1 1 a= x+ y = y+ z =z+ x

Источники: Всесиб-2021, 11.3 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Тройное равенство вида a = f = g = h это на самом деле система a = f, f = g, g = h

Подсказка 2

У нас слишком много переменных. Давайте х, z выразим через a и y. Используем, что x = a - 1/y и z = a - 1/x.

Подсказка 3

А после этого вспоминаем, что a = y + 1/z. Подставляем сюда наше выражение на z - мы получили соотношение на a и y только. Попробуйте для удобства разложить его на множители.

Подсказка 4

Один из случаев невозможен в силу различности x,y,z. В другом случае должно получиться а=±1. Теперь осталось проверить различность решений при этих параметрах. Используйте выражения из предыдущих наработок (просто подставьте туда а=1, а=-1), и всё получится!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Из условия $1 1 x + y = y+ z$ получаем

y− z x − y =-zy--

Аналогично (в силу цикличности равенств) $y− z = z−zxx ,z− x= x−xyy .$

После перемножения полученных трёх равенств имеем

(x− y)(y− z)(z− x)= (x−-y)(y−-z)(2z−-x) (xyz)

С учётом того, что числа различные, получаем после сокращения на $(x− y)(y− z)(z− x)⁄= 0:$

(xyz)2 = 1 ⇐ ⇒ xyz = ±1

Из условия $a =x + 1y = y+ 1z$ получаем

a⋅a= (x + 1)⋅(y+ 1)= 1+ xy+ x+ 1-= 1+ x(y + 1+ -1-) y z z yz z xyz

a2− 1= x(a ±1)

Аналогично (в силу цикличности равенств) $a2 − 1= y(a±1),a2 − 1 =z(a± 1).$

После перемножения полученных трёх равенств имеем

(a2− 1)3 =±1 ⋅(a± 1)3

Этому равенству не могут удовлетворять значения $a,$ отличные от $± 1,$ поэтому других решений у задачи быть не может. Осталось проверить, подходят ли $a= 1,a= −1.$

При $a= 1$ существует удовлетворяющая условиям задачи тройка $1 (2,2,−1),$ а при $a =− 1$ можно взять $1 (−2,−2,1).$ Поэтому оба найденных значения параметра идут в ответ.

Второе решение.

Сначала постараемся избавиться от трёх неизвестных в одном выражении:

2 a =x + 1=⇒ x= a− 1 = ay− 1, z = a− 1= a−-y--= a-y−-y− a y y y x ay− 1 ay− 1

Наконец:

a= y+ 1= y+ --ay− 1--⇐⇒ a3y− ay− a2 =a2y2− y2 − ay+ ay− 1 z a2y− y − a

Получаем:

(a2− 1)(y2− ay+ 1)= 0

Тогда либо $a2 =1,$ либо $a= y+ 1y.$ Последнее невозможно, ведь по условию $a= x+ 1y$ и получаем $x= y$ — противоречие с условием.

Осталось проверить $a= ±1.$

Зафиксируем $y,$ тогда из ранее полученного

x = ay− 1 y

z = a2y−-y−-a=-−-a- ay− 1 ay− 1

1 1 a =y +z = y− y + a

Все три условия выполнены и можно предъявить конкретную тройку $(x,y,z),$ но нами получен общий вид $ay− 1 −a (-y-,y,ay−1)$ в зависимости от $y$ при учёте $a =±1.$

Осталось проверить, что в тройке нет совпадающих чисел различность.

Допустим, что $x= y.$ Тогда

x = ax− 1 x

x2− ax +1 =0

D =a2− 4= −3 <0

То есть такого быть не может. Остальные два равенства $y =z$ и $x =z$ проверяются (что они невозможны) аналогично.

Ответ:

{ $− 1$ ; $1$ }

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 77#83210Максимум баллов за задание: 7

Числа $a,b$ и $c$ (не обязательно целые) удовлетворяют условиям

( a2+ b= c2 |{ 2 2 |( b2+ c=a2 c + a= b

Чему может быть равно произведение $abc$ ?

Источники: КМО - 2021, первая задача первого дня для 8-9 классов, автор Белов Д.А. (cmo.adygmath.ru)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Сложим все данные условия и приведем подобные слагаемые. Получим $a+ b+ c=0$ . Подставим $c= −a− b$ в первое условие:

2 2 2 a +b= a + b +2ab; b(b+ 2a− 1)= 0.

Из последнего равенства следует, что либо $b= 0$ и тогда произведение $abc= 0$ , либо $b+2a− 1= 0$ , и тогда $b= −2a+ 1$ . В первом случае ответ получен, во втором случае подставим $b= −2a+ 1$ и $c =− a− b =a− 1$ в третье условие:

2 2 4a − 4a+1 +a− 1= a 3a2 − 3a= 0 3a(a− 1)= 0.

Итак, либо $a =0$ , и искомое произведение равно 0 , либо $a= 1$ , и тогда $c =a − 1= 0$ , и $abc$ также равно 0.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Докажем, что среди чисел $a,b$ и $c$ есть хотя бы один 0. Предположим, что среди чисел $a,b$ и $c$ есть два равных или противоположных, для определенности пусть это $a$ и $b$ . Тогда $a2 = b2$ , и из второго уравнения $c= 0$ . Аналогично рассматриваем случаи $b= ±c,c= ±a$ .

Теперь пусть среди чисел $ab$ и $c$ нет равных и противоположных. Складывая первые два уравнения, имеем $a2+ b+b2+ c= c2+a2$ , откуда $b2− c2+ b+c =0$ , $(b− c)(b +c)+b +c= 0,(b− c+1)(b+ c)=0$ , а поскольку $b⁄= −c$ , имеем $b− c+ 1= 0$ . Аналогично (складывая второе уравнение с третьим, а также третье с первым) имеем $c− a +1 =0,a− b+1 =0$ . Но сложив все три полученных равенства, получим $0 =3$ , т. е. рассматриваемый случай не возможен.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание.

Как мы видим из решений, необязательно все три числа равны 0. Например, подходит тройка $a= 1,b= −1,c= 0$ .

Ответ: только нулю

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 78#94089Максимум баллов за задание: 7

Решите систему

(| 2x− 3y+-1 =6, |{ xy1 ||( 3z− 6x+ xz1 = 2, 6y− 2z+ yz = 3.

Источники: ПВГ - 2021, 11.4 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

С первого взгляда не очень понятно, что тут можно сделать... Однако оказывается, что здесь очень хорошо подобраны коэффициенты — попробуйте правые части уравнений домножить на разность соответствующих слагаемых в левой и сложить!

Подсказка 2

Ага, получился 0! А давайте тогда попробуем сделать с дробями то же самое, что получится? А значит, к какому следствию из системы хорошо бы перейти?

Показать ответ и решение

Умножив первое уравнение на $(2x− 3y)$ , второе — на $(3z− 6x)$ , третье — на $(6y− 2z)$ и сложив, получаем уравнение-следствие:

2 2 2 2x−-3y- 3z− 6x 6y-− 2z (2x− 3y)+ (3z − 6x) +(6y− 2z) + xy + xz + yz = 6(2x − 3y)+ 2(3z− 6x)+ 3(6y− 2z)

(2x − 3y)2+(3z− 6x)2+ (6y− 2z)2 = 0

2x= 3y = z

Подстановка $2x =3y =z$ в систему приводит к ответу: $1 1 x= 2,y = 3,z = 1$ и $1 1 x= −2,y = − 3,z = −1.$

Ответ:

$(1,1,1) ,(− 1,− 1,− 1) 2 3 2 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 79#94202Максимум баллов за задание: 7

Найдите все пары целых чисел, удовлетворяющих системе неравенств

{ y3− 3x2− 4y +18x− 26 >0, y3+ x2− 4y − 8x+ 14< 0.

Источники: САММАТ - 2021, 11.10 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумаем, как упростить систему, чтобы решать неравенство относительно одной переменной?

Подсказка 2

Домножим первое неравенство на -1 и сложим со вторым! Какими будут целые корни у получившегося неравенства?

Подсказка 3

После того, как мы найдем целые значения x, удовлетворяющие получившемуся квадратному неравенству, можно подставить их в исходную систему и найти y!

Показать ответ и решение

Умножим первое неравенство на $(−1)$ , сложим и получим

2 2 4x − 26x+40 <0 ⇒ 2x − 13x+ 20 <0 ⇒ (D = 9)x ∈(2,5;4).

Единственное целое значение $x$ , удовлетворяющее неравенству, $x =3$ . Подставим $x= 3$ в исходную систему

{ y3− 27− 4y+ 54− 26 >0, { y3− 4y+ 1> 0, { y3 >4y− 1, y3+ 9− 4y − 24+ 14< 0. ⇒ y3− 4y− 1< 0. ⇒ y3 <4y+ 1.

Двойному неравенству удовлетворяют только три целых значения $y :0,− 2,2$ . Сделав проверку, получим, что система имеет три целых решения: $(3;0),(3;2),(3;−2)$ .

Ответ:

$(3;0),(3;2),(3;−2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 80#95399Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений

{ x4+ 7x2y+ 2y3 = 0 4x2+ 27xy+ 2y3 =0

Источники: Межвед - 2021, 11.5 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание на то, что уравнения достаточно похожи) Быть может, их левые части можно записать в общем виде?...

Подсказка 2

Левые части — это функция от некоторой переменной t с коэффициентами, включающими y. Справа стоят нули, значит, мы ищем корни уравнения f(t)=0!

Подсказка 3

Конями этого уравнения являются числа x² и 2x. А что можно сказать про них как про корни квадратного уравнения?

Подсказка 4

С помощью теоремы Виета запишем условия на корни, таким образом свяжем y и x!

Показать ответ и решение

Рассмотрим функцию $f(t)= t2+ 7ty+ 2y3 2$ . При условии выполнения равенств исходной системы её корнями будут $t = x2 1$ и $t =2x 2$ . Если $t1 = t2$ , то $x1 =0,x2 = 2$ . Отсюда найдём $y1 = 0,y2 = −1$ . Если $t1 ⁄= t2$ , то по теореме Виета