Тема АЛГЕБРА

Системы уравнений и неравенств → .01 Арифметические операции над системой

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Системы уравнений и неравенств

Арифметические операции над системой

Замены переменных

Оценки в системах

Симметрия или цикличность в системе

Однородные и сводящиеся к ним

Сведение системы к квадратному

Системы неравенств

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#77811Максимум баллов за задание: 7

Решите систему

(| -xy-= 1; |{ x+yzy ||( y+xzz = 2; x+z = 3.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем, что мы можем здесь сделать. Если не брать правые части уравнений, то выражения симметричны относительно переменных, которые в нем содержатся(хотя это вовсе не значит, что система симметрична). Это значит, что мы можем каким-то образом привести наши уравнения к нужному виду так, чтобы наши выражения относительно каждой из переменных были симметричны(то есть, на данный момент у нас в левой части каждого уравнения находится некоторое выражение, которое зависит и от x и от y(к примеру), а мы хотим, чтобы слева была сумма двух структурно одинаковых выражений, каждое из которых зависит только от одной переменной, ведь тогда мы сможем, сделав замену, просто-напросто решить линейную систему и все). Как это можно сделать?

Подсказка 2

Попробуйте перевернуть каждую из дробей слева и написать систему в виде (x + z)/xz = 1/3. Как тогда можно по-другому написать каждое из наших выражений слева, чтобы получилась сумма, структурно одинаковых выражений?

Подсказка 3

Верно, нужно расписать каждую дробь, как сумму обратных к переменным. Тогда, у нас получится система линейных уравнений на три переменных, которую мы умеем решать.

Показать ответ и решение

"Перевернём" каждое из уравнений системы:

(| x+y =1 |{ yx+yz 1 ||( xyz+z= 21 xz = 3

Преобразование равносильно, т.к. ни одна из правых частей не может обратиться в ноль.

Заметим, что $x+y = 1 + 1 xy x y$ и т.д.

Поэтому мы получили систему линейных уравнений на $1 1 x,y$ и $1 z.$

Решая её, получаем $1 -5 1 -7 1 1- x =12,y = 12,z = − 12.$

Ответ:

$(12;12;− 12) 5 7$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#90592Максимум баллов за задание: 7

Решите систему

(| x+ y+z =13 { x2+y2+ z2 = 61 |( xy+xz =2yz.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, кажется из всех данных уравнений кажется легко составить квадрат суммы (x + y + z). А что же делать теперь? Если очень внимательно посмотреть на то, что мы получили, можно без труда выразить произведение yz.

Подсказка 2

Теперь мы можем выразить x сразу из двух уравнений....Кажется осталось соединить полученные знания и досчитать значения оставшихся неизвестных.

Показать ответ и решение

Распишем $(x+ y+ z)2$ двумя разными способами. С одной стороны из первого уравнения системы получаем, что

2 (x+y +z) = 169

С другой стороны,

2 2 2 2 (x+ y+z) = x +y + z + 2(xy+ xz+ yz)

Подставляя второе и третье уравнение из системы, получаем, что

(x+ y+z)2 = 61+2(2yz+yz)= 61+6yz

Тогда

61+ 6yz =169 =⇒ yz =18

Выразим $y+ z$ из первого уравнения и подставим в третье:

{ [ y+ z = 13 − x =⇒ x2− 13x+ 36= 0 =⇒ x =4 x(13− x)= 2yz =36 x =9

(a) $x= 4:$

{ { y+z =9 =⇒ z = 9− y =⇒ y2− 9y+ 18= 0 y2 +z2 = 45 y2+(9− y)2 =45

Тогда получаем

[ y = 3 =⇒ z = 6 y = 6 =⇒ z = 3

(b) $x= 9:$

{ y+ z = 4 { z = 4− y y2+ z2 =45 =⇒ y2+ (4 − y)2 = −20 =⇒ y2− 4y+ 18 =0

Тогда получаем, что нет решений, так как у последнего уравнения $D < 0.$

Ответ:

$(4;3;6), (4;6;3)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#49486Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений

(| 2x2 = yz− 2x; { 2y2 = −xz+ 2y; |( 2 2z = −xy+ 2z.

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1. заметим, что у нас уравнения симметричные. тогда вычтем, например, из второго третье и разложить на множители. из-за симметрии и слева, и справа будет общий множитель (y-z). тогда можно на него сократить и выразить из оставшегося х через y и z! // не забываем, что нельзя делить на ноль

Подсказка 2!

2. осталось аккуратно подставить, разобрать оба случая (деление на ноль и нет деления на ноль), не забываем сделать проверку, если у вас неравносильные переходы

Показать ответ и решение

Вычтем третье уравнение из второго

2 2 2(y − z)= x(y− z)+ 2(y − z) ⇐⇒ z− y = 0 или 2y+ 2z = x+2

В первом случае подставим $z = y$

{ 2x2 = z2 − 2x 2z2 =− zx+2z =⇒ z = 0 или 2z =− x+2

Для $y = z = 0$ имеем $2x2+ 2x= 0 ⇐⇒ x= 0,− 1$ , иначе $x =2 − 2z$ и

8z2 − 16z+ 8= z2 − 4+ 4z ⇐⇒ 7z2 − 20z+ 12 =0 ⇐ ⇒ z = 6 или z =2 7

Получаем тройки $(2,6,6) 7 7 7$ и $(−2,2,2)$ ,

Во втором случае $2y+ 2z = x+ 2$ , получаем

(| yz = 2x2+2x (| 8yz =16x2+ 16x { 2y2+ 2z2 = −x(y+ z)+2y+ 2z =⇒ { 4y2 +4z2 = −x2− 2x+2x +4 |( 2y+ 2z = x+2 |( 4y2 +8yz+ 4z2 =x2+ 4x+ 4

Отсюда

16x2+16x− x2+ 4= x2 +4x+ 4 ⇐⇒ 14x2 +12x= 0 ⇐⇒ x= 0,− 6 7

В первом случае $yz = 0$ , не умаляя общности, $y = 0$ , тогда $2z2 = 2z$ , откуда добавляется решение $(0,0,1)$ , а также $(0,1,0)$ для $z =0$ в силу симметрии.Bо втором $y+ z = x+2 = 47,yz = 2x2+ 2x = − 1429$ . Отсюда легко найти оставшиеся две тройки $(− 67,− 27,67),(− 67,67,− 27)$ . Проверкой убеждаемся, что они подойдут.

Ответ:

$(0,0,0),(−1,0,0),(2,6,6),(−2,2,2),(− 6,− 2,6),(− 6,6,− 2),(0,1,0),(0,0,1) 7 7 7 7 7 7 7 7 7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#101224Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений:

( x +2x + 2x +...+ 2x = 1, ||||| x1+3x2+ 4x3+...+ 4x100= 2, |{ 1 2 3 100 ||| x1+3x2+ 5x3+...+ 6x100 = 3, |||( ... x1+3x2+ 5x3+...+ 199x100 =100.

Показать ответ и решение

Давайте перепишем систему следующим образом: Сначала запишем $1$ уравнение, потом второе, из которого вычли первое, потом второе, из которого вычли третье и т.д. Получим:

(| x + 2x +2x + ...+ 2x = 1, ||||| 1 2 3 100 |||{ x2+ 2x3+2x4+ ...+ 2x100 = 1, | x3+ 2x4+2x5+ ...+ 2x100 = 1, ||||| ... |||( x99+ 2x100 = 1 x100 =1.

Видно, что $x = −1, 99$ а значит $x = 1. 98$ Заметим, что дальше продолжится это чередование. Следовательно, $x = 1 2k$ и $x = −1. 2k−1$

Ответ:

$x = 1,x = −1, 2k 2k−1$ для $k$ от $1$ до $50$

Следующая подтема