Тема АЛГЕБРА

Тождественные преобразования

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Тождественные преобразования

Действия с числами, составление уравнений и формулы сокращённого умножения

Раскрываем скобочки, приводим к общему знаменателю

Закрываем скобочки, раскладываем на множители, идём с конца, вангуем

Телескопические ряды: группировка и свёртка слагаемых/множителей

Преобразования с целой и дробной частями

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#83299Максимум баллов за задание: 7

На плоскости нарисовано 300 прямоугольников с вершиной в начале координат, с противоположной вершиной - на гиперболе $y = 3x+5 x$ в точках с абсциссой $x= n,n= 1,2,3,...,300$ , со сторонами параллельными координатным осям. Область $D$ содержит те точки плоскости, которые принадлежат только одному из прямоугольников. Найти площадь $D$ .

Источники: Росатом - 2024, московский вариант, 11.4 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

По своей сути задача геометрическая, а самая важная часть геометрической задачи – рисунок. Постройте график функции f(x) = 3 + 5/x и обозначенные прямоугольники. А теперь посмотрите, что за площади нас просят найти.

Подсказка 2

Каждый прямоугольник будет иметь вверху прямоугольную часть, которая принадлежит только ему. Как можно вычислить её площадь?

Подсказка 3

Как произведение сторон прямоугольника! У него одна сторона равна единице, а вторая разности значений функции в соседних натуральных аргументах. Только вот рассмотрите отдельно последний прямоугольник: у него одна из сторон лежит просто на оси абсцисс.

Подсказка 4

Остаётся только записать и вычислить сумму всех площадей. Поверьте, она удобно сворачивается!

Показать ответ и решение

Обозначим $3+ 5 x$ через $f(x)$ .

У каждого прямоугольника от первого до трёхсотого есть область, содержащаяся только в нём. Эта область является прямоугольником с шириной 1 и высотой $f(n)− f(n +1)$ (если считать $f(301)= 0$ , ведь у последнего прямоугольника нижнее основание лежит уже на оси абсцисс)

Поэтому сумма площадей таких областей равна

f(1)− f(2)+f(2)− f(3)+...+ f(299)− f(300)+f(300)− 0= f(1)= 8

Ответ: 8

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#85545Максимум баллов за задание: 7

Определим

-(2x− 1)6x- f(x)= 22x−1+ 32x−1.

Вычислите сумму

( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) (2023) f 2024 + f 2024- +f 2024- +...+f 2024- .

Показать ответ и решение

Заметим, что

(2− 2x−-1)61−x (2x-− 1)61−x-⋅62x−1 f(1− x)= 21−2x+ 31− 2x =− 22x−1 +32x−1 = −f(x)

Тогда в нашем выражении все слагаемые, кроме $(1012) f 2024 ,$ разбиваются на пары с суммой $0.$ При этом также понятно, что

( ) ( ) ( ) f 12001224 =f 12 =− f 12 ,

откуда $f(12001224) =0,$ и вся сумма равна нулю.

Ответ:

$0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#88066Максимум баллов за задание: 7

Сравните числа $(tg1∘+ tg 2∘ +...+ tg44∘)$ и 22.

Источники: Межвед - 2024, 11.5 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем преобразовать сумму тангенсов. На что намекают их аргументы?

Подсказка 2

Если разделить тангенсы на пары: первый с последним, второй с предпоследним и так далее, то сумма аргументов будет 45. Какую формулу тогда нужно применить?

Подсказка 3

Формулу суммы тангенсов! Количество дробей намекает на то, что можно доказать, что каждая из них меньше 1 (дробей 22).

Подсказка 4

В знаменателе можно применить формулу произведения косинусов. Тогда один из них будет всегда равен половине числителя.

Показать ответ и решение

Сгруппируем крайние члены

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ (tg1 +tg2 + ...+tg44 )=(tg1 +tg44 )+...+ (tg22 + tg 23 )

По формуле суммы тангенсов

∘ ∘ ∘ ∘ --sin45∘--- ---sin45∘--- (tg1 +tg44)+ ...+ (tg22 + tg23 )= cos1∘cos44∘ +...+cos22∘ cos23∘

Заменим синус от 45 градусов на равный ему косинус и воспользуемся формулой произведения косинусов

cos45∘ cos45∘ 2cos45∘ 2cos45∘ cos1∘cos44∘-+...+cos22∘-cos23∘ = cos43∘+-cos45∘ + ...+ cos1∘-+cos45∘

Осталось заметить, что функция $f(x)= cosx$ убывает на отрезке $π [0;2]$ , а значит, верны неравенства $cosn∘ > cos45∘$ для всех $n ∈{43,41,...,1}$ , следовательно, верны неравенства $cosn∘+ cos45∘ > 2cos45∘$ для всех $n ∈{43,41,...,1}$ , т.е. каждое слагаемое в сумме меньше 1. Таким образом, вся сумма меньше 22.

Ответ:

$(tg1∘+tg2∘+ ...+ tg44∘)< 22$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#88710Максимум баллов за задание: 7

Величина $z$ является корнем уравнения

5 4 x + x = 1

Вычислить величину $S = ∏ ∞n=0 (1 +z2n)=$

= (1 +z)(1+z2)(1+ z4)(1+ z8)(1+ z16)⋅...

Источники: САММАТ - 2024, 11.8 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На что похоже выражение, которое надо найти? С чем ассоциируются скобки такого вида?

Подсказка 2

С разностью квадратов! А какой скобки не хватает?

Подсказка 3

(1 - z). Значит, мы ищем (1 - z)S/(1 - z). Попробуем преобразовать

Подсказка 4

После преобразований числителя он станет равным 1 - z^(2^(N + 1)). В таком случае хотелось бы узнать что-то про z… как мы можем понять, в каком интервале он лежит?

Подсказка 5

Исследуем функцию x^5 + x^4 - 1. В этом нам поможет производная ;) Теперь мы сможем найти, где функция меняет знак, и понять, к чему стремится нужная нам дробь при N, стремящемся к бесконечности.

Показать ответ и решение

Рассмотрим функцию $f(x)=x5+ x4− 1$ . Её производная $5x4+4x3 = x3(5x+ 4)$ имеет на отрезке $(−∞;0]$ корни $0$ и $− 4. 5$ При $x≤ 0$ максимальное значение функции равно $4 4 4 4 f(−5)= (−5)(−5 +1)− 1< 0,$ а при $x ≥0$ функция монотонно возрастает, поэтому может иметь не более одного пересечения с осью абсцисс. Заметим, что $f(0)=− 1,f(1) =1,$ поэтому по теореме о промежуточном значении корень находится на интервале $(0;1).$

Значит, величина $z ∈ (0;1).$ А в искомой величине произведение $N$ первых множителей равно

2 2N (1+z)(1+z2)...(1+z2N)= (1−-z)(1+-z)(1+z-)...(1+-z-) = 1− z

1−-z2N+1- =/многократно применяем формулу разности квадратов/= 1− z

При $N → ∞$ числитель стремится к единице, поэтому искомая величина равна $-1- 1−z$ .

Ответ:

$--1- 1 − z$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#89661Максимум баллов за задание: 7

Саша придумал два целых числа и перемножил их. Затем взял числа, обратные придуманным, и сложил. Полученные сумма и произведение оказались обратными числами. Найдите разность модулей Сашиных чисел.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

С самого начала давайте, конечно, запишем условие в алгебраическом виде. Что, учитывая одз, сразу можно тогда сказать?

Подсказка 2

Верно, x+y=1. Нас же спрашивают про разность модулей. Единственная проблема, которая может у нас возникнуть, это в раскрытии модулей. Что же можно сказать про знак x и y?

Подсказка 3

Да, они будут разного знака, так как являются целыми числами, и их сумма равна 1. Победа!

Показать ответ и решение

Пусть Саша загадал числа $x,y ⁄= 0.$ После операций Саши получатся числа $xy$ и $1+ 1. x y$ По условию они обратные, то есть

1 1 1 xy = x + y

-1 = y+-x xy xy

Откуда $x+ y = 1.$ $x,y$ — целые, не равные нулю, поэтому они должны быть разного знака, чтобы их сумма равнялась $1.$

Если $x> 0,y <0.$ Тогда

|x|− |y|= x+ y = 1

Если же $x <0,y > 0.$ Тогда

|x|− |y|= −(x+ y)= −1

Ответ:

$±1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 46#89662Максимум баллов за задание: 7

Целые числа $x,y,z$ таковы, что $xy+ yz+ zx= 1.$ Докажите, что число $(1 +x2)(1+ y2)(1+ z2)$ является полным квадратом.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое, о чём хочется задуматься, зачем же нам дали равенство с переменными и единицей. Выразить оттуда что-то вряд ли получится. Но связь с произведением нужно находить. Что есть общего из равенства в условии и с одной из скобок?

Подсказка 2

Да, это самое банальное, но самое верное. У них общая единица, поэтому нам ничего не мешает вместо неё подставить нашу сумму попарных произведений. Но чем же на самом деле теперь является каждая из скобок?

Подсказка 3

Верно, это (x+y)(z+x), например, в первой скобке. С остальными получится аналогично. Осталось увидеть, что это решает задачу. Победа!

Показать доказательство

Из условия следует, что

2 2 1+x =xy+ yz+ zx+x =(x+ y)(z+ x)

Аналогично разложив на множители $1+ y2 =(y+ x)(y+ z)$ и $1 +z2 = (z+x)(z+y),$ получим

( 2)( 2)( 2) 2 1+x 1+ y 1+ z =((x+y)(y+z)(z +x))

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 47#89663Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что если $a+b +c+ d= 0$ и $ab+cd+ ac+bc+ ad +bd= 0,$ то $a= b= c= d= 0.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

С первого взгляда кажется, что нам дали какие-то непонятные условия. Но нам всё таки нужно осознать, как они связаны. Где может в принципе встретиться сумма попарных произведений?

Показать доказательство

Вспомним, что

2 2 2 2 2 (a+ b+c+ d) =a + b +c + d + 2(ab+ cd+ ac+ bc+ ad+ bd)

Тогда

2 2 2 2 2 a +b + c +d = (a+b +c+ d)− 2(ab+ cd+ ac+ bc+ad +bd)=0

Сумма квадратов может равняться $0,$ только если каждый из них равен $0,$ то есть $a= b= c= d= 0.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 48#90236Максимум баллов за задание: 7

Известно, что число $a+ 1 a$ — целое. Докажите, что число $a2+ 1- a2$ — тоже целое.

Показать доказательство

Так как $a+ 1 a$ — целое, его квадрат тоже целое число. Значит, $(a + 1)2 = a2+ 2+ 1 a a2$ — целое число. Но от искомого оно отличается только на целое число 2.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 49#91975Максимум баллов за задание: 7

Найдите целое число, задаваемое выражением

∘ ---√-- ∘ ---√-- 3−-√5 + 3+-√5 3+ 5 3− 5

Источники: ДВИ - 2024, вариант 242, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Воспользуемся свойством: √(a/b) = √a/√b. Теперь можно привести нашу сумму дробей к общему знаменателю!

Подсказка 2

Осталось применить формулу разности квадратов и аккуратно всё вычислить! Ответ готов!

Показать ответ и решение

Воспользуемся свойством корня от частного двух положительных чисел и сложим полученные дроби:

∘---√-- ∘---√-- 3-−√-5+ 3-+√-5= 3 + 5 3 − 5

∘3−-√5 ∘3+-√5 = ∘3+-√5-+ ∘3−-√5-

Приведём к общему знаменателю и воспользуемся формулой разности квадратов

√- √- 3−∘--5+-3+--5 = 6= 3. 32 − (√5)2 2

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 50#92257Максимум баллов за задание: 7

Дана функция

(x+-1)2+-x2 f(x)= (x+ 1)2− x2.

Найдите наибольшее целое число, не превосходящее числа $f(2024)$ .

Источники: ДВИ - 2024, вариант 244, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если раскрыть квадраты суммы, то f(x) представима в виде (многочлен 2 степени)/(многочлен 1 степени). Как это можно упростить?

Подсказка 2

Поделить многочлены с остатком! Можно либо поделить в столбик, либо самому разбить дробь на две более простые так, чтобы одна из дробей сократилась со знаменателем

Показать ответ и решение

Преобразуем функцию по аналогии с выделением целой части у дроби:

2x2+-2x-+1- x(2x+-1)+x-+1- x+-1- f(x)= 2x+ 1 = 2x +1 =x + 2x +1

Тогда

2025 f(2024)= 2024+ 4049

Так как второе слагаемое меньше $1,$ то наибольшее не превосходящее $f(2024)$ целое число это $2024.$

Ответ: 2024

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 51#92258Максимум баллов за задание: 7

Вычислите сумму

-11-- --11--- ----11---- -----11------ 1+2 + 1+2 +3 +1 +2+ 3+ 4 + ...+ 1+ 2+...+10.

Источники: ДВИ - 2024, вариант 244, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какую закономерность можно заметить в знаменателях у слагаемых суммы? Можно ли её посчитать?

Подсказка 2

Знаменатель каждого из слагаемых представляет собой сумму членов арифметической прогрессии! Попробуйте расписать ее для произвольного k-го слагаемого

Подсказка 3

Полученная дробь разбивается на разность двух более простых дробей. (Разбиение нетрудно подобрать руками, но можно его найти и через метод неопределенных коэффициентов)
Теперь вместо каждого слагаемого суммы подставляем его представление через разность дробей. Что получим?

Подсказка 4

Благополучно почти все дроби сократятся! Остается посчитать разность двух дробей

Показать ответ и решение

По формуле суммы арифметической прогрессии каждый знаменатель имеет вид $1+ ...+ k= k(k+1). 2$ Отсюда получаем, что каждое слагаемое можно представить в виде

22 k +1− k ( 1 1 ) k(k+-1) =22-k(k+-1) =22 k − k+-1

Тогда искомая сумма равна

( ) 22 1 − 1+ 1− 1+ ...+ -1− -1 = 2 3 3 4 10 11

( ) = 22 1− -1 = 11− 2= 9 2 11

Ответ: 9

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 52#92362Максимум баллов за задание: 7

Найдите количество всех упорядоченных четвёрок чисел $a,b,c,d$ , таких что числа

2 2 2 2 2 2 a − ab +b ,b − bc +c ,c − cd+d

равны друг другу, если известно, что каждое из чисел $a,b,c,d$ равно либо 1, либо 2, либо 3, а число $a$ является среди них максимальным.

Источники: ДВИ - 2024, вариант 246, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если есть равные выражения, то что стоит попробовать сделать в первую очередь?

Подсказка 2

Да, приравниваем и смотрим, что получится. Например первое со вторым и второе с третьим. Если у нас есть некоторое равенство, то к какому виду стоит его привести, чтобы в дальнейшем было проще с ним работать?

Подсказка 3

Как и в самых обычных уравнениях — перенесем все влево, оставив справа 0, и попробуем разложить на множители.

Подсказка 4

Получили два произведения, равные нулю, то есть хотя бы один множитель из одного произведения и хотя бы один множитель из второго равны нулю, значит, нужно рассмотреть все возможные случаи, банально их перебрав.

Подсказка 5

Не забудьте, что а по условию — наибольшее число, и в ответ просят указать именно количество упорядоченных четвёрок, а не сами четвёрки.

Показать ответ и решение

Замечание. В оригинальном условии на экзамене была опечатка, которая делала задачу некорректной. Решение приведено для нового условия, которое дано на сайте.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Условие о равенстве трех чисел эквивалентно выполнению следующей системы:

{ 2 2 2 2 a2− ab+ b2 =b2− bc+ c2 b − bc+c = c − cd+ d

Переносим в каждом уравнении правую часть влево и раскладываем на множители:

{ (a− c)(a+ c− b)= 0 (b− d)(b+d − c)= 0

Тогда возможны $4$ случая:

1.: $a =c$ и $b= d.$ В этом случае, если $a =3,$ то остается выбрать значение $b= 1,2,3$ ( $3$ способа), если $a =2,$ то $b=1,2$ ( $2$ способа) и $a= 1,$ $b =1$ ( $1$ способ), то есть всего $6$ способов;
2.: $a =c$ и $b+ d− c =0.$ В этом случае имеем $b+ d= c.$ Тогда $b+ d≥ 2,$ поэтому $c≥ 2.$ С другой стороны, $c≤ 3,$ поэтому $b+ d≤ 3.$ Тогда $b+d =2$ или $3$ и $a$ и $c$ равны $2$ или $3.$ Если $b+d =2,$ то $b=d =1,$ и $a= c,$ и этот случай мы учли выше. Если же $b+d =3,$ то тут всего два случая: $a =c= 3$ и $b= 1,$ $d =2$ или $b= 2,$ $d =1.$ Таким образом, имеем $2$ варианта;
3.: $a +c− b= 0$ и $b= d.$ Этот случай симметричен предыдущему, но в нем возможны только случаи $b= d= 2,$ $a= c= 1$ (который нас не интересует, так как $a$ — наибольшее число) и $b= d= 3$ и $a+ c= 3,$ в которых $a≤ 2,$ что тоже нас не интересует;
4.: $a +c− b= 0$ и $b+d − c= 0.$ Сложим два этих равенства и получим, что $a+ d= 0,$ что невозможно, поскольку $a≥1,$ $d ≥1.$

Таким образом, получаем $6 +2= 8$ упорядоченных четверок.

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 53#94036Максимум баллов за задание: 7

Докажите тождество

(n−-1)n(n+-1) 1 ⋅2 +2⋅3+ ...+ (n − 1)⋅n= 3

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Такие тождества удобно доказывать по индукции. База очевидна. Будем полагать, что при n = p утверждение верно. Как свести доказываемое утверждение при n = p+1 к предположению индукции?

Подсказка 2

Верно! Сумма, в которой последнее слагаемое получается при n = p + 1 содержит в себе сумму всех слагаемых для n = p. Как тогда применить предположение?

Показать доказательство

Первое решение. Попробуем телескопировать эту сумму. Для этого надо выразить $k(k+ 1)$ как разность двух выражений, похожих на то, что должно получиться в ответе. Заметим, что $k(k+1)(k+2)−(k−1)k(k+1) k(k+ 1)= 3 .$ Тогда

n∑−1 n∑−1 k(k+ 1)= 1 (k(k+ 1)(k+ 2)− (k− 1)k(k+ 1))= (n−-1)n(n+-1) k=1 3k=1 3

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. При $n= 2$ в левой части получаем $1⋅2,$ а в правой $1⋅2⋅3 =2, 3$ так что равенство выполнено. Предположим, что равенство верно при $n= p,$ то есть

p∑−1 p−∑1 k(k +1)= 1 (k(k+ 1)(k+ 2)− (k− 1)k(k+ 1))= (p−-1)p(p-+1) k=1 3k=1 3

Тогда при $n= p+ 1$ имеем

p∑ p∑−1 k(k+ 1) = 1 (k(k +1)(k +2)− (k − 1)k(k+ 1))+ p(p +1)= (p−-1)p(p-+1)+ p(p+ 1) k=1 3 k=1 3

после вынесения за скобки $p(p +1)$ и преобразований получается

(p−-1)p(p+-1) p−-1+-3 p(p-+1)(p+-2) 3 +p(p+1)= p(p +1) 3 = 3

Шаг индукции доказан. Значит, утверждение задачи выполнено при любых натуральных $n ≥2.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 54#94166Максимум баллов за задание: 7

Вычислите разность сумм

2 2 2 2 (1⋅3+ 3⋅5+ 5⋅7+ ...+99⋅101)− (2 +4 + 6 + ...+100 )

Показать ответ и решение

Заметим, что слагаемые из первой и второй скобки можно разбить в пары вида $(2k− 1)(2k+ 1)$ и $4k2.$ Разность в каждой паре равна

2 2 2 (2k− 1)(2k+1)− 4k = 4k − 1− 4k =− 1

Раз всего таких пар $50,$ то исходная разность равна $− 50.$

Ответ:

$− 50$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 55#94375Максимум баллов за задание: 7

Найдите сумму

--1-- --2-- --3-- ---1010---- 12⋅32 + 32⋅52 + 52⋅72 + ...+ 20192⋅20212.

Показать ответ и решение

Заметим, что

--1---- --1---- 4k2-+4k+-1−-4k2-+4k−-1 ------8k------ (2k− 1)2 − (2k+ 1)2 = (2k− 1)2(2k+ 1)2 = (2k− 1)2(2k+ 1)2

Используем это и преобразуем исходную сумму

( ) 8 ⋅ -21-2 +-222-+ -32-2-+...+---10210--2 = 8 1 ⋅3 3 ⋅5 5 ⋅7 2019 ⋅2021

( ) = 1⋅ -1− -1 +-1 −-1 +...+ --1--− -1--- 8 12 32 32 52 20192 20212

Получаем телескопическую сумму, все члены этой суммы, кроме первого и последнего уходят, значит, она равна

1( 1 ) 2020⋅2022 8 1− 20212 = -8⋅20212-.

Ответ:

$2020⋅2022 8⋅20212$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 56#96410Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

-5-- x−-5 3x+-8 2− x + x+ 2 + x2− 4 = 0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу запишем ОДЗ и подумаем, а как связаны между собой знаменатели дробей?

Подсказка 2

Один знаменатель равен произведению двух других, так что несложно привести их к общему! А когда дробь равна нулю?

Подсказка 3

Когда её числитель равен нулю! Теперь наша задача превратилась в поиски корней квадратного уравнения 😉

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

{ x⁄= 2 x ⁄= −2

Преобразуем выражение:

-5-- x−-5 3x+-8 2− x + x+ 2 + x2− 4 = 0

5(x+ 2) (x − 5)(x − 2) 3x+8 −(x+-2)(x−-2) + (x-− 2)(x-+2) + (x−-2)(x+2) =0

2 −5x−-10+-x-− 7x+-10+-3x-+8-=0 (x− 2)(x+ 2)

2 -x-−-9x-+8- =0 (x− 2)(x+ 2)

Тогда найдем корни:

2 [ x= 1 x − 9x+8 =0 =⇒ x= 8

Ответ:

$1;8$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 57#99235Максимум баллов за задание: 7

Вычислить:

√ ----6∘----√--------- ∘ √------- ∘ √------- 2023( 2027 2024 +6073+ 2024+ 1)⋅ 2024− 1.

Источники: Газпром - 2024, 11.1 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы видим почти везде похожие числа, как будто построенные вокруг 2024 (всё-таки олимпиада проводилась в 2024 году). Понятно, что корень из 2023 почти нереально преобразовывать, используя как-то правую скобку. Значит, надо преобразовать сначала правую скобку, независимо от корня слева. Аналогичные рассуждения приводят нас к тому, что нам надо сначала преобразовать корень шестой степени, а значит, сначала подкоренное выражение. Как же это сделать?

Подсказка 2

6073 похоже на 2024, умноженное на 3, но только увеличенное на 1. А 2027 на что похоже? На 2024 + 3. Давайте тогда разложим на такую сумму, чтобы у нас были только маленькие числа и 2024 и посмотрим, на что это похоже. 2024 корня из 2024, 3 * 2024, 3 корня из 2024 и 1. Что это?

Подсказка 3

Это куб суммы корня из 2024 и 1. Доведите преобразование до конца, извлеките корень, а потом сверните по формуле разности квадратов и получите ответ!

Показать ответ и решение

Выделим куб суммы в подкоренном выражении первого слагаемого скобки:

2027√2024-+6073= 2024√2024+3√2024+ 6072+ 1= √ ----3 √ ---- 2 √ ---2 3 √---- 3 = ( 2024) +3 2024⋅1 + 3⋅( 2024) ⋅1 +1 = ( 2024 +1).

Тогда:

√ ---( 6∘-√-------- ∘√-------)∘ √------- √ ---- ∘ √-------∘ √------- 2023 ( 2024+1)3+ 2024+ 1 2024 − 1= 2023(2 ⋅ 2024+ 1) 2024 − 1= √---- ∘-√--------√------- √---√ ------- =2 2023⋅ ( 2024+ 1)( 2024 − 1)= 2 2023 2024− 1= 4046.

Ответ:

$4046$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 58#100676Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения

[n ] [n ] [n] √- 1 + 2 +...+ n +[ n]

является чётным.

Источники: Индийская национальная олимпиада

Показать доказательство

Заметим, что выражение $[n] k$ равняется количеству чисел, которые не превосходят $n$ и делятся на $k.$ Воспользуемся фактом, что если число не является точным квадратом, то оно имеет чётное количество делителей, а если число является точным квадратом, то оно имеет нечётное число делителей. Тогда рассмотрим выражение

[n] [n] [n] 1 + 2 + ...+ n

Из утверждений выше получаем, что каждое число, не превосходящее $n,$ будет учтено в нём столько раз сколько у него делителей. Значит, каждый не точный квадрат будет учтён чётное число раз, а каждый точный квадрат — нечётное число. Но заметим, что число точных квадратов, не превосходящих $n,$ равно $√- [n].$ Тогда в выражении