Тема АЛГЕБРА

Тождественные преобразования

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Тождественные преобразования

Действия с числами, составление уравнений и формулы сокращённого умножения

Раскрываем скобочки, приводим к общему знаменателю

Закрываем скобочки, раскладываем на множители, идём с конца, вангуем

Телескопические ряды: группировка и свёртка слагаемых/множителей

Преобразования с целой и дробной частями

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 61#104977Максимум баллов за задание: 7

Докажите неравенство

2 5 8 999998 -1- 3 ⋅6 ⋅9⋅⋅⋅⋅999999 > 100

Показать доказательство

Обозначим левое произведение дробей за $A.$ Пусть

1 4 7 999997 B = 2 ⋅5 ⋅8...⋅ 999998

3 6 9 999999 C = 4 ⋅7 ⋅ 10-...1000000

Заметим, что

A ⋅B⋅C = --1---= -1-3 1000000 100

Поэтому, если мы докажем, что $A2 > B ⋅C$ мы решим задачу, так как $A3 > ABC = 11003.$ Для этого достаточно доказать, что для $k ≥2$ верно

--k2--> k−-1⋅ k-+1 (k +1)2 k k +2

Это равносильно

k4+ 2k3 >(k2− 1)(k2+2k+ 1) =⇒ 0> −1 − 2k

а это верно в нашем случае.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 62#129661Максимум баллов за задание: 7

Тройку положительных чисел $(a,b,c)$ назовём загадочной, если

∘-----1------ ∘ ----1------- ∘-----1------ a2+ a2c2 + 2ab+ b2+ b2a2 + 2bc+ c2+ c2b2 +2ca= 2(a +b+ c)

Докажите, что если тройка $(a,b,c)$ — загадочная, то тройка $(c,b,a)$ — тоже загадочная.

Источники: ВСОШ, ЗЭ, 2024, 11.2 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Рассмотрите условие загадочности. Попробуйте свести сложное равенство к более простому условию на a, b, c.

Подсказка 2

Проанализируйте первое подкоренное выражение: a² + 1/(a²c²) + 2ab. Заметьте: если бы 1/(a²c²) равнялось b², то получился бы полный квадрат. Что в этом случае можно сказать о загадочности тройки?

Подсказка 3

Если abc = 1, то b = 1/(ac) ⇒ b² = 1/(a²c²). Тогда, сворачивая полные квадраты в подкоренных выражениях, получаем загадочное равенство. Можно ли похожие преобразования провести в случаях неравенства?

Подсказка 4

Если abc < 1, то b < 1/(ac) ⇒ b² < 1/(a²c²). Можно ли и дальше проводить преобразования аналогично случаю для равенства, меняя "=" на знак неравенства?

Подсказка 5

Если abc > 1, то b > 1/(ac) ⇒ b² > 1/(a²c²). Получим: √(a² + 1/(a²c²) + 2ab) < √(a² + b² + 2ab) = a + b. Как это повлияет на всю сумму?

Подсказка 6

Загадочное равенство достигается только при abc = 1. Почему это доказывает, что (c, b, a) тоже загадочная тройка?

Показать доказательство

Покажем, что тройка $(a,b,c)$ — загадочная в том и только в том случае, когда $abc= 1,$ из этого немедленно последует требуемое в задаче.

Пусть $abc= 1,$ тогда $-1 b =ac$

∘-----1------ ∘---------- ∘ ------ a2+ a2c2-+2ab= a2+ b2+ 2ab= (a +b)2 =a +b,

ведь $a,b,c$ положительны. Аналогично

∘------------ ∘ ------------ b2+ -1--+2bc= b+c, c2+ -1-+ 2ca =c+ a, b2a2 c2b2

из этого следует, что тройка замечательная.

Предположим, что $abc< 1.$ Тогда $b2 <-1- a2c2$ и аналогично случаю для равенства, получаем неравенство:

∘ -----1------ ∘---------- a2+ a2c2 + 2ab> a2+ b2 +2ab= a+ b,

аналогично

∘------------ ∘ ------------ b2+ -122-+2bc> b+c, c2+ 212 + 2ca >c+ a. ba cb

Итого, в этом случае левая часть равенства из условия больше правой. Рассуждая аналогично, в случае $abc>1$ имеем, что правая часть больше левой, и только в случае $abc= 1$ достигается равенство, что и требовалось.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 63#134185Максимум баллов за задание: 7

Можно ли число 2024 представить в виде $a3+b2,$ где $a$ и $b$ — натуральные числа?

Источники: Высшая проба - 2024, 10.1 (см. olymp.hse.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сумма квадрата и куба... Может, стоит попробовать выделить какие-то "удобные" слагаемые из 2024?

Подсказка 2

Какие "приятные" кубы Вы знаете?

Подсказка 3

Попробуйте взять 10³.

Показать ответ и решение

Заметим, что

10 3 5 2 3 2024 =1024+ 1000= 2 +10 = (2) + 10

Ответ: Да, можно

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 64#136035Максимум баллов за задание: 7

Пусть $A = 44 ...44$ — натуральное число, записанное $2n$ четвёрками, и $B = 88...88$ — натуральное число, записанное $n$ восьмерками, где $n$ — произвольное натуральное число. Докажите, что число $A− B$ является точным квадратом натурального числа.

Источники: Всесиб - 2024, 10.3 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так, разность каких-то больших чисел должна быть равна квадрату какого-то неизвестного числа... А что это за число? Вероятно, оно имеет какой-то общий вид для всех n.

Подсказка 2

Попробуйте рассмотреть искомую разность для маленьких n. Квадрат каких чисел получается?

Подсказка 3

Получается, что при n=1 A-B=6², при n=2 A-B=66². Хм, это совпадение, что получились квадраты чисел, состоящих из шестерок?

Подсказка 4

Попробуем доказать, что наша разность — это квадрат числа, состоящего из n шестёрок. Для этого надо как-нибудь преобразовать A-B...

Подсказка 5

На самом деле, и A, и B делятся на число 44...44, содержащее n четверок. Вынесите это число за скобку, останется только аккуратно сгруппировать множители!

Показать доказательство

Лемма.

1◟.. ◝.◜1 ◞= 1◟. ◝..◜1 ◞⋅1◟00◝..◜.01◞ 2n n n+1

Доказательство.

( ) 1◟-..◝◜.1◞⋅1◟00.◝.◜.01◞= 1◟. ◝.◜.1 ◞⋅(10◟0.◝.◜.00◞+1) = n n+1 n n+1

= 1◟. ◝.◜n.1 ◞0◟-..◝◜n.0◞+1◟..◝◜n.1◞=1◟-..◝2n.◜1 ◞

Заметим, что

A =4...4 =4 ⋅1...1= 4⋅1...1⋅100...01 ◟2◝◜n ◞ ◟ ◝◜2n ◞ ◟◝n◜◞ ◟ ◝n+◜1 ◞

При этом

B = 8◟⋅ ◝⋅◜⋅8 ◞ =2⋅4⋅1◟..◝◜.1◞ n n

Исходя из этого, преобразуем данную разность:

A− B =4◟⋅⋅◝◜⋅4◞− 8◟⋅⋅◝◜⋅8◞=4 ⋅1◟-..◝◜.1◞⋅1◟00.◝.◜.01◞−2 ⋅4 ⋅1◟-..◝◜.1◞= 2n n n n+1 n

( ) = 4⋅1◟.. ◝.◜1 ◞⋅(1◟00..◝◜.01◞−2) =4 ⋅1◟..◝◜.1◞⋅9◟..◝◜.9◞= n n+1 n n

2 2 2 = 4⋅1◟.. ◝n.◜1 ◞⋅9⋅1◟..◝◜n.1◞=6 ⋅1◟..◝◜n.1◞ =6◟..◝◜n.6◞

Итак, получается,

2 A− B =6◟..◝◜n.6◞

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 65#41771Максимум баллов за задание: 7

Вычислите сумму

1- 2- 2022 2! + 3! +...+ 2023!

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В таком виде посчитать сумму тяжеловато. Давайте представим каждое слагаемое как разность двух чисел, чтобы получить телескопическую сумму. Слагаемые имеют вид n/(n+1)!.
Как получить разность двух дробей? (Например, можно прибавить и вычесть что-то в числителе)

Подсказка 2

n / (n+1)! можно представить, как разность 1/n! - 1/(n+1)!. Получилась телескопическая сумма, которую легко посчитать. Каким же будет ответ на задачу?

Показать ответ и решение

Как в задаче такого сорта на телескопические суммы, попробуем разложить каждое слагаемое на разность двух дробей:

--n--- n-+1−-1 -1 ---1-- (n+ 1)! = (n +1)! =n! − (n+ 1)!

Получены разности дробей, зависящих от соседних индексов, откуда сумма немедленно сворачивается как труба телескопа:

1-−-1+ 1-− 1-+...+--1- −--1- = 1− -1-- 1! 2! 2! 3! 2022! 2023! 2023!

Ответ:

$1−--1- 2023!$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 66#49784Максимум баллов за задание: 7

Найдите сумму

∑n 1 arctgk2+-k+-1 k=0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим сумму, а значит, нам надо представить наши выражения как разность, чтобы почти всё сократилось. Давайте рассмотрим дробь в общем виде. Её знаменатель можно записать как k(k+1) + 1, а числитель (k+1) - k. Где вы могли видеть похожее выражение в формулах по тригонометрии?

Показать ответ и решение

Из известного тождества $tg(x− y)= tgx−-tgy- 1+tgxtgy$ следует формула $arctgx− arctg y = arctg( x−y-). 1+xy$ Тогда для любого $k$ справедливо:

1 ( (k +1)− k ) arctg(1+-k+-k2)=arctg 1+-k⋅(k+-1) = arctg(k +1)− arctg(k)

Поэтому сумма из условия равна

(arctg1− arctg0)+ (arctg2− arctg1)+...+(arctg(n+ 1)− arctgn)= arctg(n +1)

Ответ:

$arctg(n+ 1)$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 67#58009Максимум баллов за задание: 7

Вычислите

[∘ ---√----- ∘ ---√----] 45+ 2022− 45 − 2022 ,

где $[t]$ — это целая часть числа $t$ (т.е. наибольшее целое число, не превосходящее $t$ ).

Источники: Ломоносов-2023, 11.1 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обозначим наше выражение внутри скобок за t. Тут какие-то страшные корни, давайте избавимся от них с помощью возведения t в квадрат!

Подсказка 2

t² = 90 - 2√3. Стоит вспомнить, что 1 < √3 < 2, и, получив из этого оценку на t², легко найти целую часть от t!

Показать ответ и решение

Обозначим

∘----√---- ∘----√---- t= 45+ 2022− 45− 2022.

Чтобы не возиться с корнями, попробуем оценить квадрат этого выражения, тем более он довольно симпатичный:

2 √ ---- ∘ ---√-----∘ ---√----- √ ---- t = 45+ 2022− 2⋅ 45 + 2022⋅ 45 − 2022+ 45− 2022=

∘--2----- √ - = 90− 2 45 − 2022= 90− 2 3

Из очевидного $1< √3< 2$ получаем $90− 4< t2 < 90− 2$ . Откуда, конечно, $92 = 81< t2 < 100= 102,$ так что целая часть числа $t$ равна $9.$ Здесь, однако, важно сказать, что $t> 0$ , иначе наше решение не исключало бы, что целая часть могла быть равна $− 10$ . Но в силу $45+√2022> 45− √2022-$ следует очевидность (которую всё же надо упомянуть!) неравенства $t> 0.$

Ответ:

$9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 68#58026Максимум баллов за задание: 7

Даны два числа (не обязательно целые), не равные $0.$ Если каждое из них увеличить на единицу, их произведение увеличится вдвое. А во сколько раз увеличится их произведение, если каждое из исходных чисел возвести в квадрат и затем уменьшить на единицу?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Запишем наше условие в виде уравнений. Получится (a+1)(b+1)=2ab. Если записать то, что мы хотим найти, то получится (a^2-1)(b^2-1). Как теперь это преобразовать?

Подсказка 2

Да, можно разложить в разность квадратов и получить (a-1)(b-1)(a+1)(b+1). Отлично, произведение последних двух скобок известно, осталось как-то найти произведение первых двух скобок....

Подсказка 3

Раскройте скобки в изначальном условии и попробуйте его привести к равенству со скобками (a-1)(b-1)

Показать ответ и решение

Обозначим данные числа через $a$ и $b.$ По условию

(a+ 1)(b+ 1)= ab+ a+ b+ 1= 2ab

Приведя в последнем равенстве подобные члены, получаем

ab− a− b− 1= 0

Тогда

(a− 1)(b− 1)= ab− a− b+ 1= (ab − a − b − 1)+ 2= 0 +2 = 2 ( 2 )(2 ) a − 1 b− 1 = (a− 1)(b− 1)(a + 1)(b+ 1)= 2⋅2ab= 4ab

Ответ:

в $4$ раза

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 69#62509Максимум баллов за задание: 7

Какие значения может принимать выражение $x2+ x x +x2 1 1 2 2$ , где $x 1$ и $x 2$ — несовпадающие между собой корни уравнения $3 x − 2015x+ 2016 =0?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем подставить корни x₁ и x₂ в наше уравнение, что можно получить из такой подстановки?

Подсказка 2

Да, при их подстановке уравнение равно нулю, поэтому мы можем выразить разность кубов x₁ и x₂, то есть x₁³ - x₂³. А что мы получим у правой части?

Подсказка 3

Да, в правой части мы можем вынести за скобки 2015. Тогда, вспомним формулу разности кубов! Чему равно выражение, которое нас просят найти?

Показать ответ и решение

Первое решение.

Так как $3 x1− 2015x1+ 2016= 0$ и $3 x2− 2015x2+ 2016= 0$ , то $3 3 x1− x2 =2015⋅(x1 − x2)$ . Значит, $2 2 x1+x1x2+ x2 = 2015$ (делим на $x1− x2 ⁄= 0$ ).

Второе решение.

По теореме Виета (которая не гарантирует существование вещественных корней, но по условию уже сказали про существование двух из них, откуда следует и существование третьего, ведь кубический многочлен может иметь только один или три вещественных корня): $x1+ x2+ x3 =0,x1x2x3 =− 2016$ . Поэтому

2016 x21+ x1x2+x22 =(x1+ x2)2− x1x2 =(−x3)2 +-x3-= x33+2016 2015x3 = --x3---= --x3- = 2015.

Ответ:

2015

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 70#67572Максимум баллов за задание: 7

Сумма трёх чисел равна $a,$ сумма обратных к этим числам равна $2a.$ Оказалось, что по этим данным можно однозначно найти сумму кубов чисел. Чему равно $1- a2?$

Показать ответ и решение

Обозначим эти числа $x,y,z.$ По условию

{ x+y +z =a xy+yz+zx xyz = 2a

Так как

3 3 3 3 ( 2 2 2 2 2 2 ) (x+ y+ z)= x + y +z + 3 x y+x z+ yx +y z+ zx +z y + 6xyz =

3 3 3 =x + y + z +3((x+ y+z)(xy +yz+ zx)− 3xyz)+6xyz =

=x3+ y3+ z3 +3⋅a⋅2a⋅xyz− 3xyz,

то сумма кубов чисел $x,y,z$ равна

a3− 3xyz(2a2− 1)

и является фиксированным числом, не зависящим от $x,y,z$ только при $2a2− 1= 0,$ откуда

a12 = 2

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 71#67573Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что если действительные числа $a,b,c$ удовлетворяют условию

1 1 1 1 a +-b + c = a+-b+-c,

то для любого нечётного числа $n$ верно

1n + 1n +-1n =---1---n. a b c (a+ b+ c)

Показать доказательство

Первое решение.

Приведем левую дробь к общему знаменателю:

1 1 1 bc+ ac +ab a + b + c =--abc---

Теперь по правилу пропорции имеем равенство:

(a +b+ c)(bc +ac+ ab)= abc

Раскрываем в левой части скобки, получаем:

abc+a2c+ a2b+ b2c +abc+b2a+ c2b+ c2a +abc= abc

В левой и правой части $abc$ взаимно уничтожится, тогду получится уравнение:

2 2 2 2 2 2 ac+ a b+b c+b a+ cb+ ca +2abc= 0

Заметим, что левая часть равна $(a+b)(b+ c)(a+ c).$ Тогда получаем равенство

(a+b)(b+ c)(a+ c) =0

Из которого напрямую следует, что сумма каких-то двух из наших чисел равна нулю.

Тогда для некоторого $p ∈{a,b,c}$ верно $(a +b+ c)n =pn$ и $1an-+ 1bn-+ 1cn-= 1pn.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Рассмотрим многочлен, корнями которого являются данные числа

P (x)= (x− a)(x− b)(x − c)

Пусть при раскрытии скобок мы получаем

P (x)= x3+ px2 +qx+ r

Тогда по теореме Виета

( |{ a +b+ c= −p |( ab+ bc+ca= q abc= −r

Из условия после приведения к общему знаменателю получаем

(a +b+ c)(ab+bc+ ca)= abc

то есть

−pq = −r

Тогда $P (x)$ можно представить в виде

x3+ px2 +qx+ pq = x2(x+ p)+q(x+ p) =(x2+ q)(x+p)

Так как мы знаем про наличие трёх корней $a,b,c,$ то $q < 0$ и $2 x +q =(x− t)(x+ t),$ где $√ --- t= −q.$ Не умаляя общности, $a =t,b=− t,c= −p.$

В итоге $b= −a,$ поэтому требуемое верно с учётом того, что $n$ — нечётное число:

1 1 1 1 1 1 1 an +bn + cn-= tn-− tn-+ (−-p)n-= −pn

---1----- ---1----- --1-- 1- (a+ b+ c)n = (t− t− p)n = (−p)n = − pn

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 72#67767Максимум баллов за задание: 7

Различные действительные числа $x,y,z$ таковы, что среди трёх чисел

---x+-y--- ---y+-z-- --z-+x---- x2+ xy+ y2 , y2+ yz+z2, z2+zx+ x2

какие-то два равны. Верно ли, что все эти три числа равны?

Источники: УТЮМ - 2016 и Высшая проба - 2023, 11.2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Эти знаменатели подозрительно напоминают разложение разности кубов... Может, у каждой дроби умножить числитель и знаменатель на что-то и получить заветную разность?

Подсказка 2

Так и сделаем: числитель и знаменатель первой дроби умножим на x-y, второй на y-z, третьей на z-x и получим в числителях разность квадратов, а в знаменателях разность кубов. Но кажется, что это нам пока не сильно помогло...

Подсказка 3

Если уж какие-то два числа равны, то давайте приравняем первую и третью дроби (не умоляя общности) и посмотрим, что получится. (Похоже, что без работы ручками нам не обойтись...)

Подсказка 4

Перемножив крест-накрест и раскрыв скобки мы видим какой-то ужас. Хотя, если приглядеться, полученное равенство будет симметрично относительно переменных x и y. На какую мысль это наводит?

Подсказка 5

А мысль то проста: произвести все операции в обратном порядке, поменяв при этом местами переменные x и y, и получить равенство второй и третьей дроби!

Показать ответ и решение

В данных выражениях умножим числители и знаменатели на $x− y,y− z,$ $z− x$ соответственно (согласно условию, эти разности ненулевые). Получим те же числа в другом виде:

x2− y2 y2− z2 z2− x2 x3− y3, y3−-z3, z3− x3

Без ограничения общности будем считать, что первое и третье числа равны. Тогда

2 2 2 2 x3−-y3-= z3− x3-⇔ x − y z − x

x2z3− x5− y2z3+ y2x3 = z2x3− z2y3− x5+ x2y3 ⇔

x3y2+ y3z2+ z3x2 = x3z2+ y3x2 +z3y2

Это симметричное равенство, поэтому теперь можно просто поменять местами две переменные (например, $x$ и $y)$ и проделать те же переходы в обратном порядке, получив равенство третьего и второго чисел:

x3y2+ y3z2+ z3x2 = x3z2+ y3x2 +z3y2 ⇔

x2z3 − x2y3− z5+ z2y3 = z2x3− z5− y2x3+ y2z3 ⇔

x2− z2 z2− y2 x3−-z3-= z3− y3-⇔

2 2 2 2 z3− x3-= y3− z3 z − x y − z

Деления при этом корректны, так как выражения-делители уже фигурировали ранее в знаменателях, и мы знаем, что они не равны нулю.

Ответ: верно

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 73#68076Максимум баллов за задание: 7

Найти все целые решения уравнения

√---- √- (√ - )2022 n+ 1− n = 2− 1

Источники: Росатом-2023, 11.3, Москва (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте сначала обратим внимание на данные нам числа. Что в них можно увидеть особенного? Что если записать числа в левой части без корня?

Подсказка 2

Верно, без корней они дают разницу единицу, так как отличаются на 1. Но ведь мы можем это сделать, нужно только умножить число на сопряжённое и разделить, чтобы ничего не поменялось. Тогда какое выражение с точки зрения функции у нас получилось? Сколько решений имеет это уравнение?

Подсказка 3

Ага, слева у нас получилась убывающая функция, а справа константа. Откуда это уравнение имеет не более одного решения. Давайте попробуем составить систему из двух уравнений. Что тогда у нас получится?

Подсказка 4

Верно, аналогичными преобразованиями с сопряжёнными числами, получим второй уравнение, а дальше большое страшное n. Осталось понять, почему оно целое. А нельзя ли просто раскрыть скобки по биному Ньютона и посмотреть, что получится? Попробуйте это сделать, и задача решена!

Показать ответ и решение

Заметим, что левая часть уравнения имеет смысл при $n ≥0$ Выполним преобразование в левой части:

√---- √- (√n-+1-− √n-)(√n-+1+ √n) 1 n+ 1− n = ------√n+-1+-√n-------= √n+-1+-√n-

Следовательно, $√---- - n+ 1− √n$ монотонно убывает с ростом $n$ , а значит, рассматриваемое уравнение имеет не более одного решения. Учитывая, что $( )( ) √2 − 1 √2 +1 =1$ , имеем равносильное исходному уравнение $( ) √n-+-1+√n-= √2+ 1 2022$ . Тогда получим

( { √n+-1− √n =(√2− 1)2022 √- √- 2022 √- 2022 ( √n+-1+ √n =(√2+ 1)2022 ⇒ 2 n =( 2 +1) − (2 − 1) ⇒

( (√2-+1)2022− (√2-− 1)2022)2 ⇒ n= ---------2-----------

Покажем, что найденное число является целым (натуральным). Имеем по биному Ньютона

( √- √- )2 (20∑22 k 20∑22 k)2 ( 2+ 1)2022− ( 2− 1)2022 = Ck202222 − (−1)kCk202222 = k=0 k=0

( √- 10∑10 )2 = 2 2 C220k+212 2k , k=0

отсюда

( √- 2022 √ - 2022)2 (√ -10∑10 )2 (10∑10 )2 n= (-2-+1)---−-(-2− 1)-- = 2 C22k02+21 2k =2 C22k02+21 2k ∈ℤ 2 k=0 k=0

Ответ:

$1 ((√ )2022 (√- )2022)2 4 2+ 1 − 2− 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 74#68246Максимум баллов за задание: 7

Четыре подряд идущих числа перемножили и прибавили $1.$ Докажите, что получился точный квадрат.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вот мы обозначили первое число за n и записали выражение n(n+1)(n+2)(n+3). Если мы хотим как-то его преобразовать для того, чтобы доказать, что это квадрат, то сначала было бы удобно разложить его на две какие-то скобки, где часть, зависящая от n, повторяется (тогда можно было бы сделать замену, относительно которой нашей выражение являлось бы квадратным трехчленом и про которое уже легче говорить и доказывать "квадратность"). То есть эти выражения отличаются на константу. Тогда в силу того, что у нас степень многочлена четвертая, эти скобки должны иметь вторую степень. Как тогда разложить правильно?

Подсказка 2

Если мы хотим сгруппировать наши скобки на два квадратных трехчлена, то n^2 там будет повторяться и так. Остаётся, чтобы повторялось слагаемое с n. Путём перебора (или через теорему Виета) мы можем понять, что надо группировать по таким парам: n(n+3) и (n+1)(n+2). Тогда квадратные трехчлены будут n²+3n и n²+3n+2. Осталось сделать замену, добавить к этому единицу (из условия), и задача будет решена!

Показать доказательство

Обозначим эти числа через $x,x+ 1,x+ 2$ и $x+ 3.$ Выражение имеет вид $x(x +1)(x +2)(x+ 3)+ 1.$ Перемножим первую скобку с четвёртой, вторую — с третьей: $2 2 (x + 3x +2)(x + 3x)+1.$ Заменим $2 x + 3x$ на $t$ и преобразуем выражение:

2 (t+ 2)t+ 1= t +2t+ 1=

2 2 2 =(t+ 1) = (x +3x+ 1)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 75#68640Максимум баллов за задание: 7

Простые числа $p,q$ и $r$ таковы, что

2 2 2 p< q,p +q =r,p +q = r − 116

Найдите $p,q$ и $r.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Есть условие на сумму p+q, есть условие на сумму их квадратов, что хочется сразу сделать?

Подсказка 2

Возвести в квадрат p+q! Тогда будет нетрудно выразить 2pq, получившиеся в квадрате суммы. Каким условием мы еще не пользовались?

Подсказка 3

Простотой p и q! 2pq = 116 = 4 * 29. Остается лишь разобрать пару случаев)

Показать ответ и решение

Возведём первое равенство в квадрат:

2 2 2 p +2pq+ q = r

Далее вычтем из полученного второе исходное равенство:

2 2pq =116= 2 ⋅29

Значит, учитывая, что $p< q,$ получаем:

p= 2,q = 29⇒ r= p+ q = 31

Ответ:

$p =2,q = 29,r= 31$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 76#69825Максимум баллов за задание: 7

Пусть $a$ и $b$ — натуральные числа, такие что несократимая дробь представима в виде суммы

a 1 1 1 -1- 1-- b = 1− 2 +3 − 4 + ...− 118 + 119

Докажите, что число $a$ делится на 179.

Источники: САММАТ-2023, 11.6 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Считать знакопеременную сумму явно не нужно. Заметим, что с минусами у нас стоят дроби с чётным знаменателем. Что стоит добавить и одновременно вычесть из суммы, чтобы все минусы ушли?

Подсказка 2

Будем вычитать и добавлять те дроби, в которых есть минус. Например, -1/2 = 1/2 - 2 * (1/2) = 1/2 - 1, -1/4 = 1/4 - 2*(1/4) = 1/4 - 1/2, -1/6 = 1/6 - 1/3 и так далее. Какая в итоге получится сумма?

Подсказка 3

Конечно, все слагаемые вплоть до 1/59 взаимоуничтожаются, и остаётся сумма от 1/60 до 1/119. Вновь посчитать её явно не выйдет, поэтому воспользуемся приемом - разобьём все дроби(их 60 штук) на пары. Как это будет сделать удобнее всего?

Подсказка 4

Будем брать первое с начала и первое с конца, второе с начала и второе с конца, и т.д. Тогда сумма в каждой паре будет иметь вид 1/(59+k) + 1/(120-k), что равно 179/(59+k)(120-k). Почему в результате сокращения и приведения к общему знаменателю знаменатель всегда будет оставаться кратным 179?

Показать доказательство

a 1 1 1 -1- -1- b =1− 2 + 3 − 4 + ...− 118 + 119 =

1 1 1 1 1 ( 1 1 1 ) = 1+ 2 + 3 + 4 + ...+ 118-+ 119-− 2 2 + 4 + ...+ 118 =

( ) = 1+ 1+ 1 + 1+ ...+ 1--+-1- − 1+ 1+ ...+ 1- = 2 3 4 118 119 1 2 59

1- 1- 1- -1- 1-- = 60 + 61 + 62 + ...+ 118 + 119

В сумме 60 слагаемых, разбиваем их на пары

--1--+ --1---= -----179------ 59+ k 120 − k (59+ k)(120− k)

для любого $k$ от 1 до 30.

a = ---179⋅30---- b 60 ⋅61⋅...⋅119

Так как 179 простое, то получившаяся дробь после сокращения все равно будет иметь в числителе множитель 179 , а значит утверждение доказано.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 77#71150Максимум баллов за задание: 7

Существуют ли вещественные числа $x,y,z,$ разность никакой пары из которых не равна нулю таких, что

4 3 4 3 43 4 3 4 3 43 x y +y z + zx = y x + zy + xz ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Такс, по условию разность никакой пары не равна нулю! Попробуйте разложить многочлен на множители, причем три из них — это попарные разности чисел.

Подсказка 2

Опять же, по условию разность никаких скобок не равна нулю, поэтому нулю равна оставшаяся скобка! А эта скобка раскладывается в сумму квадратов попарных сумм произведений двух чисел, деленную на два! Тогда, если эта скобка равна нулю и при этом она содержит только не отрицательные числа, то чему равно каждое слагаемое?

Подсказка 3

Да, каждое слагаемое равно нулю! То есть, все попарные произведения чисел равны нулю. Что тогда можно сказать про разности чисел x, y, z?

Показать ответ и решение

Условие намекает нам, что нужно вынести попарные разности, сделаем это, получим

2 2 22 2 2 2 2 2 (x− y)(y− z)(z − x)(x y + zx + y z +x yz+ yxz+ z xy)= 0

Итак, если какая-то из первых трёх скобок равна нулю, то числа нам не подходят, а когда же равна нулю последняя скобка? Выделим в ней полные квадраты

2 2 2 2 22 2 2 2 (xy+-yz)2 (xz+-xy)2 (xz+-yz)2 x y +z x + yz + x yz+y xz+ zxy = 2 + 2 + 2 ≥ 0

Равенство же достигается только в случае $xy = −yz,xz = −xy,xz = −yz$ . Чтобы все три равенства были выполнены, нужно $xy = yz =xz =0$ , откуда хотя бы какие-то две переменные принимают нулевые значения. Значит, таких $x,y,z$ не существует.

Ответ: нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 78#75158Максимум баллов за задание: 7

Вычислите сумму

∑n k (k+-1)! k=0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Запишем сначала сумму в привычном нам виде для наглядности. Наша главная цель, чтобы в результате каких-то преобразований и суммирования почти все слагаемые сократились. Подумайте, как бы хорошо было представить каждую дробь в виде разности дробей.

Подсказка 2

Понятно, что скорее всего удобно представить разность со знаменателями вида k! и (k+1)!, потому что тогда слагаемые как раз нужным образом сократятся. Теперь попробуйте угадать или посчитать методом неопределённых коэффициентов числители дробей.

Подсказка 3

Ага, в итоге, у вас получатся разности вида 1/k! - 1/(k+1)!. Теперь осталось только сократить слагаемые и получить ответ. Победа!

Показать ответ и решение

Раскроем нашу сумму:

0- 1- 2- --n--- 1! + 2! + 3! + ...+ (n+ 1)!

Заметим, что:

--k---= 1-− --1--- (k+1)! k! (k +1)!

Тогда мы можем представить каждое наше слагаемое как разность:

(1-− 1) + (1-− 1) +( 1-−-1)+ ...+ (-1− ---1--) 0! 1! 1! 2! 2! 3! n! (n+ 1)!

Тогда в нашей сумме уничтожатся все слагаемые, кроме первого и последнего, в итоге получим:

1 1 1 0! − (n+-1)! = 1− (n+-1)!

Ответ:

$1−---1-- (n+ 1)!$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 79#75220Максимум баллов за задание: 7

Для различных ненулевых вещественных чисел $a,b,c$ выполнено

1 1 1 a +b = b+ c = c+ a

Докажите, что $|abc|=1.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание, что равенства связывают каждую переменную с обратной величиной следующей. Если выразить разности между переменными через эти обратные величины, что общего можно заметить в получившихся выражениях?

Подсказка 2

Попробуйте перемножить все три разности a-b, b-c, c-a. Что теперь можно заметить интересного?

Показать доказательство

Имеет место равенство

b−-c c−-a a−-b a − b= bc ,b− c= ca ,c− a= ab

следовательно,

(b− c)(c− a)(a− b) (a− b)(b− c)(c− a)=-----(abc)2------

Наконец, сократив обе части равенства на $(a− b)(b− c)(c− a)⁄= 0,$ получим $(abc)2 =1,$ откуда явно следует требуемое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 80#75968Максимум баллов за задание: 7

Число $n$ представимо в виде суммы квадратов трёх натуральных чисел, делящихся на $3.$ Докажите, что оно представимо в виде суммы квадратов трёх натуральных чисел, не делящихся на $3.$

Показать доказательство

Пусть $n$ представимо в виде суммы квадратов чисел $3a,3b$ и $3c,$ то есть $n =9a2+ 9b2+ 9c2.$ Попробуем в явном виде получить нужное нам представление.

Заметим, что $2 2 2 n= (a+ 2b− 2c)+ (c+2b− 2a) + (b+ 2a+ 2c) .$ Как придумать такое представление? После недолгих попыток станет ясно, что в виде суммы квадратов двух слагаемых представить не получится, значит надо представлять в виде суммы квадратов трёх слагаемых. Далее удобно разбить $2 9a$ на $2 2 2 a ,4a ,4a$ (с другими аналогично) и распихать их по квадратам, при этом подобрав знаки так, чтобы попарные произведения при раскрытии квадратов посокращались.

Далее необходимо перебрать все варианты остатков $a,b$ и $c$ при делении на $3.$ Если все они делятся на $3,$ то $n$ кратно $81,$ противоречие. Все остальные варианты легко перебираются вручную.

Следующая подтема