Тема АЛГЕБРА

Тождественные преобразования

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Тождественные преобразования

Действия с числами, составление уравнений и формулы сокращённого умножения

Раскрываем скобочки, приводим к общему знаменателю

Закрываем скобочки, раскладываем на множители, идём с конца, вангуем

Телескопические ряды: группировка и свёртка слагаемых/множителей

Преобразования с целой и дробной частями

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 81#75970Максимум баллов за задание: 7

Натуральные числа $a,b,c$ таковы, что $a2+ b2 +c2 = (a− b)2+(b− c)2+ (c− a)2.$ Докажите, что $ab$ — точный квадрат.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое, что хочется сделать - раскрыть скобки и привести подобные, переместив всё в одну сторону) Получившееся выражение похоже на квадрат суммы/разности трёх выражений! Но чего-то не хватает…

Подсказка 2

Везде удвоенные произведения вычитаются, а надо, чтобы хотя бы одно шло с плюсом

Подсказка 3

Можно добавить и вычесть 4ab, тогда получится собрать (a+b-c)²! Что же получается?

Показать доказательство

Раскроем скобки и приведём подобные:

2 2 2 0 =a + b +c − 2ab − 2bc− 2ac

Заметим, что в правой части выражение, очень похожее на $(a+ b− c)2,$ но чтобы получить этот квадрат, надо добавить $4ab.$ Тогда равенство превратится в $4ab= (a+ b− c)2.$ Значит, $4ab$ — точный квадрат. Но тогда и $ab$ — точный квадрат, потому что $4$ — квадрат. Получили требуемое.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 82#89774Максимум баллов за задание: 7

Известно, что $x:y =19:17$ . Найдите $x+-y x− y$ .

Источники: ДВИ - 2023, вариант 237, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка

Если мы знаем отношение двух неизвестных, значит, можем ввести третью переменную, через которую будут выражаться x и y, и после этого можно будет подставить в искомое выражение и вычислить его

Показать ответ и решение

Из условия следует $x =19t,y =17t,$ тогда

x+-y 19t+17t 36t x− y = 19t− 17t = 2t = 18

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 83#89779Максимум баллов за задание: 7

Действительные числа $a,b,c$ удовлетворяют соотношению

abc =(a− 1)(b− 1)(c− 1).

Найдите наименьшее возможное значение выражения $a2+ b2+c2$ .

Источники: ДВИ - 2023, вариант 237, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте раскрыть скобки для выражения, данного в условии

Подсказка 2

А теперь стоит расписать a²+b²+c² так, чтобы можно было воспользоваться полученным в первом пункте (то есть чтобы появилось выражение вида ab+bc+ac) после чего попробуйте выделить полный квадрат!

Подсказка 3

После выделения полного квадрата мы сразу видим оценку снизу на интересующее нас выражение, а значит осталось привести пример!

Показать ответ и решение

В данном в условии соотношении раскроем скобки

abc= abc− ab− bc− ac+a +b+ c− 1.

ab+ bc+ac= a+ b+ c− 1.

Стало быть,

a2+b2+ c2 = (a+ b+ c)2− 2(ab+ bc+ac)=

= (a+b +c)2 − 2(a+ b+c− 1)=(a+ b+ c− 1)2+ 1≥1.

При этом равенство достигается при $a+b+ c= 1$ , например, при $a =b= 0$ и $c= 1$ . Нетрудно заметить, что при таких значениях $a,b,c$ равенство, данное в условии, имеет место. Стало быть, наименьшее значение выражения $a2+b2+ c2$ равно 1 .

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 84#90319Максимум баллов за задание: 7

Чему равна сумма выражений $√2023+-t2$ и $√999+t2$ , если их разность равна $8$ ?

Источники: ДВИ - 2023, вариант 238, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте вспомнить какую-нибудь формулу, которая связывает сумму и разность двух чисел

Подсказка 2

Давайте воспользуемся формулой а² - b² = (a-b)(a+b)! Отсюда мы без труда сможем найти искомую сумму

Показать ответ и решение

Обозначим $a= √2023+-t2, b= √999+-t2.$ По условию

a− b= 8

Рассмотрим $a2− b2$ :

a2− b2 =(∘2023+-t2)2− (∘999-+t2)2 = 2023+t2− 999 − t2 = 1024

Получили систему:

{ a− b =8 1024- a2 − b2 = 1024 =⇒ (a− b)(a +b)= 1024 =⇒ a+ b= 8 =128

Ответ: 128

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 85#91014Максимум баллов за задание: 7

Назовем целое число хорошим, если оно представляется в виде суммы двух квадратов целых чисел ( $5$ — хорошее, так как $5= 12 +22,$ а $3$ — нет). Докажите, что

(a) удвоенное хорошее число будет хорошим

(b) произведение двух хороших будет хорошим.

Показать доказательство

(a) Если $2 2 n= x +y ,$ то

2 2 2 2 2 2 2 2 2n= 2x +2y = (x +2xy+ y )+(x − 2xy+ y )=(x+ y) +(x− y)

Что и требовалось.

(b) Если $2 2 n= x1+y1$ и $2 2 m = x2+y2,$ то

mn = (x22+ y22)(x21+y21)= x21x22+x21y22 + y21x22+ y21y22 =(x21x22+y21y22)+(x21y22+y21x22)=

2 2 22 2 2 2 2 2 2 =(x1x2+2x1x2y1y2+ y1y2)+ (x1y2 − 2x1x2y1y2+ y1x2)= (x1x2 +y1y2) + (x1y2− y1x2)

Что и требовалось.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 86#92983Максимум баллов за задание: 7

Натуральные числа $a,b,c,d,k$ таковы, что

ab a2-− b2 k= cd = c2− d2

Докажите, что число $k$ — точный квадрат.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте для начала попробуем поработать с условием, в частности со вторым равенством. Хочется его как-нибудь преобразовать. Попробуйте это сделать.

Подсказка 2

Естественно хочется перемножить крест-накрест выражения, после чего раскрыть скобки и перенести всё в одну сторону. А нет ли там хорошего разложения на скобки?

Подсказка 3

Конечно, в итоге получаем, что (ac+bd)(bc-ad)=0. Отсюда сразу понятно, что bc=ad. Кажется нам это очень сильно помогает с вопросом задачи. Попробуйте теперь преобразовать первое равенство, и победа.

Показать доказательство

Заметим, что $k$ точный квадрат тогда и только тогда, когда $abcd$ точный квадрат. Действительно, из условия получаем

2 cd⋅k= ab ⇐ ⇒ (cd) ⋅k= abcd

Преобразуем теперь второе равенство из условия:

2 2 2 2 ab(c − d )= cd(a − b )

abc2− cda2− abd2 +cdb2 =0

ac(bc− ad)+ bd(bc− ad)= 0 ⇐⇒ (ac+ bd)(bc− ad)= 0

Так как числа у нас натуральные, то $bc=ad.$ Откуда $abcd= (bc)2.$ Получается, что $abcd$ точный квадрат, тогда и $k$ точный квадрат.

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 87#97661Максимум баллов за задание: 7

Уравнение $x4− 7x− 3= 0$ имеет ровно два действительных корня $a$ и $b,$ $a> b.$ Найдите значение выражения $a4−b4. a−b$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы знаем, что a и b - корни x⁴ - 7x - 3 = 0. Как можно переформулировать условие?

Подсказка 2

Это то же самое, что a⁴ - 7a - 3 = 0 и b⁴ - 7b - 3 = 0.

Подсказка 3

Рассмотрите разность этих двух выражений.

Показать ответ и решение

Так как число $a$ и $b$ является корнем уравнения $x4− 7x − 3 =0,$ то $a4− 7a− 3=0$ и $b4− 7b− 3 =0.$ Рассмотрим разность двух получившихся выражений:

(4 ) ( 4 ) a − 7a− 3 − b − 7b− 3 = 0

4 4 a − b− 7a+ 7b =0

a4− b4 = 7(a− b)

a4−-b4= 7 a− b

Мы смогли поделить обе части уравнения на $a− b,$ так как по условию числа $a$ и $b$ различны.

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 88#99218Максимум баллов за задание: 7

Найти

a12+-4096 64a6 ,

если

a 2 2 − a =5.

Источники: Газпром - 2023, 11.1 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В числителе нашей дроби стоит сумма, тогда давайте попробуем записать всю дробь в виде суммы дробей, поделив каждое слагаемое на знаменатель. Получим очень знакомое выражение! Причём оба слагаемых — квадраты. А что можно сделать, когда видишь сумму квадратов?

Подсказка 2

Выделить квадрат разности! Для этого нужно всего лишь прибавить и вычесть двойку. И теперь под скобками в этом выражении оказалась уже разность кубов. Проделываем схожие махинации, чтобы выделить куб разности и получаем известное нам из условия выражение.

Показать ответ и решение

a12+ 4096 a6 64 a6 64 --64a6---= 64 + a6 = 64 − 2+ a6 + 2= (a3 8)2 ( a3 a 2 8 ( a 2))2 = -8 −a3 +2 = 8-− 3⋅2 + 3⋅a − a3 +3 2 − a +2= (( )3 ( ))2 ( ) = a2 − 2a +3 a2 − 2a +2 = 53+ 3⋅52+ 2= 19602.

Ответ:

$19602$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 89#30977Максимум баллов за задание: 7

Два различных числа $x$ и $y$ (не обязательно целых) таковы, что

2 2 x − 2000x= y − 2000y

Найдите сумму чисел $x$ и $y.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что у нас есть квадрат х слева и квадрат у справа. Давайте поэтому перенесем квадраты в одну сторону, а 2000х и 2000у - в другую.

Подсказка 2

Тогда давайте разложим на множители обе части выражений, а затем вспомним, что х и у это различные числа и используем это.

Показать ответ и решение

В данном выражении квадраты $x2$ и $y2$ изначально находятся с разных сторон от равенства. Давайте перенесём их в одну часть и разложим по формуле разности квадратов, а остальное выражение соберём в правой части:

2 2 x − y = 2000x − 2000y

(x− y)(x+ y)=2000(x − y)

В последнем выражении мы получили разность $x− y$ как множитель с обеих сторон равенства. Сократим на этот общий множитель: он не равен 0 из условия, что числа $x$ и $y$ различны. Получим $x+ y = 2000,$ а именно эту сумму нас и просили найти.

Ответ:

$2000$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 90#30978Максимум баллов за задание: 7

Даны два ненулевых числа. Если к каждому из них прибавить единицу, а также из каждого из них вычесть единицу, то сумма обратных величин четырёх полученных чисел будет равна $0.$ Какое число может получиться, если из суммы исходных чисел вычесть сумму их обратных величин? Найдите все возможности.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Во-первых, запишите условия задачи через равенства (составьте их исходя из условий) - это уже половина нашего успеха. Нам нужно найти a+ b - 1/a − 1/b.

Подсказка 2

Запишем первое условие как равенство суммы четырех дробей нулю. Тогда мы можем привести дроби к общему знаменателю и рассмотреть получившийся числитель! Ведь как раз он и будет равняться нулю.

Подсказка 3

Аналогично мы можем преобразовать и a+ b - 1/a − 1/b, приведя к общему знаменателю! Попробуйте найти связь между получившимися двумя дробями (этой и из подсказки 2)

Показать ответ и решение

Пусть нам даны числа $a$ и $b.$ Перепишем условие через равенства. Нам дано:

--1- --1- --1- --1- a+ 1 + b+ 1 + a− 1 + b− 1 = 0

Нужно найти $1 1 a+ b− a − b.$

Заметим, что выражение $a+ b− 1a − 1b$ определено, так как числа $a$ и $b$ ненулевые. Теперь приведем все дроби к общему знаменателю. Значит

2 2 -1--+ -1--+ -1--+ -1--= -22a--+ -22b--= 2a(b-−2-1)+-22b(a-−-1)= 0 a+ 1 b+ 1 a− 1 b− 1 a − 1 b − 1 (a − 1)(b − 1)

Итак, знаменатель не равен нулю — $a$ и $b$ не равны $±1$ — а числитель $2a(b2− 1)+ 2b(a2− 1) =2(ab2+ a2b− a − b)= 2(a+ b)(ab− 1)= 0$ равен нулю. Теперь нам нужно посчитать, чему равно $a +b− 1a − 1b = a2b+aab2b−a−b,$ но это выражение равно нулю, так как числитель равен нулю.

Ответ:

$0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 91#30982Максимум баллов за задание: 7

В вершинах треугольника записано по натуральному числу, на каждой стороне — произведение чисел, записанных в её концах, а внутри треугольника — произведение чисел, записанных в его вершинах. Сумма всех семи чисел равна $1000.$ Какие числа записаны в вершинах треугольника?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Введите эти натуральные числа через переменные x, y, z. Попробуйте догадаться, во что тождественно можно преобразовать полученное из условия уравнение. Как будто чего-то не хватает...

Подсказка 2

Аааа, точно, нужно прибавить единичку к этой всей сумме, тогда все сведется к (x+1)(y+1)(z+1), а дальше сами :)

Показать ответ и решение

Обозначим числа в вершинах через $x,y$ и $z.$ Тогда на сторонах будут написаны числа $xy,yz$ и $zx,$ а внутри — $xyz.$ По условию,

x+ y+z +xy+ yz+ zx +xyz = 1000

Добавим к обеим частям по единице и разложим на скобки:

1+ x+ y+z +xy+ yz+ zx +xyz = (1+x)(1+y)(1 +z)= 1001

Так как числа $x,y,z$ — натуральные, то каждая скобка больше $1.$ Число $1001 =7⋅11⋅13,$ и так как $7,11,13$ — простые числа, других разложений в произведение трёх натуральных чисел, больших единицы, у числа $1001$ нет. Значит, скобки равны $7,11$ и $13$ в каком-то порядке, а числа $x,y$ и $z$ — $6,10$ и $12.$

Ответ:

$6$ , $10$ и $12$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 92#30984Максимум баллов за задание: 7

Пусть $a,b,c$ — ненулевые действительные числа такие, что

3 3 (ab+ bc+ca) = abc(a +b+ c)

Докажите, что числа $a,b,c$ в некотором порядке образуют геометрическую прогрессию.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Справа куб суммы, слева один из множителей это тоже куб суммы, раскрывать такое даже врагу не пожелаешь. Вот если бы можно было извлечь корень третьей степени из обеих частей равенства...может стоит как-нибудь красиво заменить a, b и c?

Подсказка 2

Сделайте такую замену: a = x³, b = y³, c = z³. Получите некоторое выражение через x, y, z. Оно раскладывается на множители, но как их увидеть. Надо вспомнить ради чего мы вообще делаем какие-то преобразования. В задаче просят показать, что a, b и c образуют в некотором порядке геометрическую прогрессию, а какое свойство у неё есть для трёх последовательных членов?..

Подсказка 3

Квадрат члена равен произведению предыдущего и последующего членов геометрической прогрессии! То есть хотим, чтобы выполнилось одно из равенств, вида a² - bc, но выполнение этого свойства можно проверить и для x, y, z. Попробуйте полученное выражения для x, y, z разложить на множители упомянутого вида.

Подсказка 4

Добавьте и вычтите квадрат произведения чисел x,y,z. Разложите на множители и получите выполнение желаемого свойства для членов геометрической прогрессии.

Показать доказательство

Первое решение.

При замене $3√- 3√- 3√- x= a,y = b,z = c$ получаем уравнение

3 3 33 3 3 3 33 ((xy) +(yz)+ (zx) ) =(xyz)(x +y + z )

3 3 3 3 3 3 (xy) +(yz) + (zx) = xyz(x + y +z )

x3y3− x4yz+ y3z3− xy4z+x3z3− xyz4 = 0

Добавим и вычтем квадрат произведения чисел $x,y,z.$ Затем после вынесения за скобки общих множителей получаем

(y2− xz)(x2− yz)(z2− xy)= 0

Для тройки $(x,y,z)$ в каком-то порядке выполняется характеристическое свойство геометрической прогрессии (для положительных это было бы условие, что одно из чисел равно среднему геометрическому двух других, но так как про знак чисел в условии задачи не сказано, то сразу так говорить будет неаккуратно).

Итак, числа $x,y,z$ образуют геометрическую прогрессию, в свою очередь то же можно сказать про их кубы — числа $a,b,c.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Нам дано однородное уравнение и сказано, что числа ненулевые, поэтому при домножении всех переменных $a,b,c$ на ненулевой коэффициент $1 t,$ то есть при замене $x= at,y = bt$ и $z = ct,$ уравнение будет иметь такой же вид:

(xy+ yz +zx)3 xyz(x+ y+ z)3 3 3 -----t6-----= -----t6------ ⇐ ⇒ (xy+ yz+ zx) = xyz(x+ y+ z)

Заметим, что теперь нам достаточно доказать, что числа $x,y,z$ образуют геометрическую прогрессию, потому что они все получены из исходных чисел умножением на ненулевой коэффициент.

При этом мы можем взять такое $t,$ чтобы $xyz = abc⋅t3$ было равно $1$ (надо взять $∘ --- t= 3 1abc-$ ).

Получаем уравнение $(xy+ yz+zx)3 = (x +y +z)3,$ откуда сразу $xy+yz+ xz = x+ y+ z,$ то есть

(x+y +z)− (xy+ yz+ zx) =0

Левая часть уравнения очень похожа на $(x− 1)(y− 1)(z− 1)$ и отличается от этого выражения на $xyz − 1,$ при этом мы сами обеспечили замену так, чтобы выражение $xyz− 1$ было равно нулю, так что можем добавить его в левую часть и получить уравнение: $(x− 1)(y− 1)(z− 1)= 0.$ Отсюда, не умаляя общности, $x= 1,$ и при подстановке в уравнение $xy+ yz+ xz =x +y +z$ получаем $zy = 1.$ Итак, число $x$ равно среднему геометрическому из чисел $y$ и $z,$ так что числа $x,y,z$ являются членами геометрической прогрессии.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 93#30990Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что если имеет место равенство

2 2 2 2 2 2 (y − z) +(z− x) +(x− y) = (y+ z− 2x) +(z+ x− 2y) + (x +y − 2z)

то $x= y = z.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Аккуратно раскройте скобки) Какого вида выражение у вас вышло?

Подсказка 2

Если вышло что-то вида 2*a = 6*a, то всё хорошо) Когда вообще может быть такое равенство?

Подсказка 3

Только когда это a равно нулю) Осталось вспомнить, что левая часть в изначальном выражении тоже ноль только в этом случае, отсюда уже выводится утверждение задачи

Показать доказательство

Раскроем скобки в равенстве из условия:

2 2 2 2 2 2 2(x +y + z − xy− zy− xz)= 6(x + y +z − xy− zy − xz)

2 2 2 x + y +z − xy− zy − xz = 0

Осталось выделить полные квадраты (для этого домножим выражение на $2$ ):

(x− y)2 +(z− y)2+ (z − x)2 = 0

Левая часть всегда неотрицательна может быть равна нулю только при $x− y = 0,z − y =0,z− x= 0.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 94#30991Максимум баллов за задание: 7

Про различные вещественные числа $a$ и $b$ известно, что

a b b +a = a + b.

Найдите $1 1 a + b$ .

Показать ответ и решение

Преобразуем исходное выражение:

a b a b ( a+-b) b + a= a + b⇐⇒ a − b+ b − a = 0⇐⇒ (a− b) 1+ ab = 0

Сократим на $a− b⁄=0$ ( $a⁄= b$ по условию), откуда $a+abb= 1a + 1b = −1$ .

Ответ:

$− 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 95#30992Максимум баллов за задание: 7

Известно, что $a2+ b= b2+ c= c2+a.$ Какие значения может принимать выражение

(2 2) ( 2 2) (2 2) a a − b +b b − c + c c− a ?

Показать ответ и решение

Двойное равенство трёх выражений из условия проще переписать в терминах трёх равенств по два выражения:

(| a2− b2 = c− b { b2 − c2 = a− c |( 2 2 c − a = b− a

Подставим всё это в иискомое по условию задачи и получим:

2 2 2 2 2 2 a(a − b)+ b(b − c)+ c(c − a)= ac− ab+ ba− bc+ cb− ac= 0.

Ответ:

$0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 96#30993Максимум баллов за задание: 7

Каждое из $2020$ положительных чисел равно сумме квадратов остальных $2019$ чисел. Найдите все эти числа.

Показать ответ и решение

Условие намекает на то, что все числа одинаковые. Действительно, если какие-то два числа с индексами $n,k$ ( $1≤ n< k≤ 2020$ ) не равны, то вычтем одно из другого и получим

2 2 2 2 2 2 ak = a1+ ⋅⋅⋅+ a2020− ak an = a1+⋅⋅⋅+a2020− an =⇒

2 2 ak − an =an − ak ⇐ ⇒ (ak− an)(1+ ak+ an)=0 =⇒ ak = an

Значит, все числа одинаковые. Обозначим $a1 =a2 =⋅⋅⋅=a2020 =a$ . По условию

a = a2+ ⋅⋅⋅+ a2 =⇒ a= 2019a2 1 2 2020

Пользуемся тем, что числа положительные и получаем $a = 20119.$

Ответ:

все равны $-1- 2019$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 97#30994Максимум баллов за задание: 7

Даны три числа. Если их все увеличить на $1,$ то их произведение тоже увеличится на $1.$ Если все исходные числа увеличить на $2,$ то их произведение тоже увеличится на $2.$ А на сколько увеличится произведение, если все исходные числа увеличить на $3?$

Показать ответ и решение

Пусть исходные числа это $a,b$ и $c$ , тогда:

(| (a+ 1)(b+ 1)(c+1)= abc+1 { (a+ 2)(b+ 2)(c+2)= abc+2 |( (a+ 3)(b+ 3)(c+3)= abc+x

(| a+b +c+ ab+bc+ ac=0 { 4(a+ b+ c)+ 2(ac+ bc+ab)+6 =0 |( 9(a+ b+ c)+ 3(ab+ bc+ac)+27= x

Из первых двух уравнений можно заключить

a+ b+c =− 3,ab+ bc+ ac= 3,

тогда из последнего

x= 27+9⋅(−3)+ 3⋅3= 9

Ответ:

$9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 98#30995Максимум баллов за задание: 7

Для каждого натурального $n ≥2$ вычислите сумму

1 1 1 -1- -1- ---1---- ----1--- 1 + 2 + ...+ n + 1⋅2 +1 ⋅3 +...+ (n − 1)⋅n + ...+ 1⋅2⋅...⋅n.

(В знаменателях стоят все возможные произведения нескольких из чисел $1$ , $2$ , …, $n$ . Произведение одного числа равно самому этому числу.)

Показать ответ и решение

Рассмотрим произведение скобок

( 1) ( 1) ( 1) S = 1+ 1 1+ 2 ... 1+ n

Можно заметить, что при их раскрытии получится сумма прозведений по всем подмножествам (включая пустое - произведение по нему будем считать равным 1) множества ${ } 11,12 ...1n$ - для получения каждого множества достаточно взять его элементы из скобок, где они стоят, а из остальных скобок единицы.

Значит, чтобы получить из $S$ искомую сумму, надо вычесть 1, тогда искомая сумма равна:

S− 1= 2⋅ 3 ⋅ 4...n-+1 − 1 = n+1-− 1 =n 1 2 3 n 1

Ответ:

$n$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 99#31005Максимум баллов за задание: 7

Числа $a,b,c$ и $d$ таковы, что

a +b= c+ d⁄= 0,ac= bd

Докажите, что

a+ c= b+d

Показать доказательство

Из первого уравнения $a= c+ d− b$ , подставим в равенство произведений:

2 c(c+ d− b)=bd⇐ ⇒ c +cd− bc +bd= 0⇐⇒ (c− b)(c+d)= 0

Поскольку $c+ d⁄= 0$ из условия, то $b= c$ , посмотрим ещё раз на первое равенство и то, что требуется доказать – достаточно поменять равные по доказанному $b$ и $c$ местами, откуда сразу следует требуемое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 100#32983Максимум баллов за задание: 7

Найдите значение выражения

( 1)( 1) ( -1) ( -1-) 1− 4 1 −9 1− 16 ... 1− 1002

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В знаменателях встречается 4, 9, 16 и тд. Полные квадраты. Это намек на то, чтобы в этих скобках применить разности квадратов.

Подсказка 2

Отлично, вот мы их записали. Возьмем - и посчитаем скобки: тогда получатся дроби вида 1/2, 2/3, 3/4 и тд, а также будут дроби вида 3/2, 4/3 и тд. Будто суммы каким-то образом создают дроби, которые являются обратными к дробям, которые создаются разностями. Воспользуемся этим.

Показать ответ и решение

Воспользуемся формулой разности квадратов, получим

( 1)( 1)( 1) ( 1) ( -1-)( -1-) 1− 2 1+ 2 1 −3 1+ 3 ... 1− 100 1+ 100

Сгруппируем суммы и разности в скобках отдельно:

= 1⋅ 2 ... 99-⋅ 3⋅ 4...101=-1-⋅ 101= 101 2 3 100 2 3 100 100 2 200

Ответ:

$101 200$

Следующая подтема