Тема АЛГЕБРА

Тождественные преобразования

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Тождественные преобразования

Действия с числами, составление уравнений и формулы сокращённого умножения

Раскрываем скобочки, приводим к общему знаменателю

Закрываем скобочки, раскладываем на множители, идём с конца, вангуем

Телескопические ряды: группировка и свёртка слагаемых/множителей

Преобразования с целой и дробной частями

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 101#32984Максимум баллов за задание: 7

Найдите сумму

-22- -42 62- -1002-- 1⋅3 + 3⋅5 + 5⋅7 + ...+ 99 ⋅101

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нужно выделить целую часть в каждой дроби, для этого надо как-то поработать с знаменателями. Смотрите: 1*3 = 2²-1, а, например, 5*7=6²-1. Найдем ли мы такие знаменатели в числителях?

Подсказка 2

Да запросто: в каждой дроби числитель получился на единичку больше, чем знаменатель. Дробей, как четных чисел от единицы до сотни, ровно 100/2 = 50, значит, в нашем выражении выделяется целая часть 50, а также остаются дроби с числителями, равными 1. Теперь остается обработать только эти дроби.

Подсказка 3

Вернем знаменатели дробей к первоначальному виду и подумаем, как можно представить дробь вида 1/(k*(k+2)) через дроби со знаменателями k и k+2. Сначала, наверное, будет легче поработать с дробью 2/(k*(k+2)), а потом результат разделить на 2. Тогда и сработает телескоп :)

Показать ответ и решение

Для начала давайте в каждой дроби выделим целую часть:

----k2---- ----1----- (k − 1)(k+ 1) = 1(k− 1)(k+1).

Отдельно сложим целые части, получим 50. Осталось посчитать оставшиеся дроби. Заметим, что

--1-− --1- = ----2-----, k− 1 k+ 1 (k− 1)(k+ 1)

поэтому после умножения всех дробей на 2 их сумму можно представить как

1− 1+ 1 − 1 + 1− 1+ ...+ 1-−-1-= 1 −-1-= 100. 1 3 3 5 5 7 99 101 1 101 101

Тогда сумма исходных дробей равна

100 -50- 50 +101 :2 =50101.

Ответ:

$5100 101$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 102#32985Максимум баллов за задание: 7

Найдите значения выражения

∘ ∘ ∘ ∘ tg1 ⋅tg2 ⋅...⋅tg 88 ⋅tg89

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Правда ли, что tg(α)*ctg(α) = 1? Естественно, правда. Только, правда, пока что здесь не видно подобных связок. Но что, если начать группировать первый с последним, второй с предпоследним и тд?

Подсказка 2

Конечно, tg(89°)=ctg(1°), а tg(1°)*ctg(1°) = 1, ура, классно зателескопили! Правда, один момент мы не учли. Он в серединке всего этого выражения. Когда его учтем, тогда задача и будет решена.

Показать ответ и решение

Распишем как частное синуса и косинуса и применим формулу приведения
$∘ sin(90 − α)=cosα$ :

sin1∘⋅sin2∘⋅...⋅sin89∘ cos89∘⋅cos88∘⋅...⋅cos1∘ cos1∘⋅cos2∘⋅...⋅cos89∘-= cos1∘-⋅cos2∘⋅...⋅cos89∘-=1.

Ответ:

$1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 103#33907Максимум баллов за задание: 7

Найдите сумму

--3-- --5-- --7-- --9-- ---199-- 12⋅22 + 22⋅32 + 32⋅42 + 42⋅52 +...+992⋅1002.

Показать ответ и решение

Поскольку каждая дробь имеет вид $-2k+1--= (k+1+k)(k+1−-k)-= (k+1)2−k2= -1− --1-- k2⋅(k+1)2 k2⋅(k+1)2 k2⋅(k+1)2 k2 (k+1)2$ , то можно переписать выражение так:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 9999 12 − 22 + 22 − 32 + 32 − 42 + ...+ 992 − 1002-= 1− 10000 = 10000.

Ответ:

$0,9999$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 104#35238Максимум баллов за задание: 7

Найдите сумму

-1- -1- -1- --1--- 1⋅2 + 2⋅3 + 3⋅4 + ...+ 99 ⋅100

Показать ответ и решение

Рассмотрим каждую из дробей и представим в виде разности:

--1--- 1 --1- k(k+ 1) = k − k +1.

Теперь заметим, что у соседних дробей есть общие слагаемые, которые мы можем взаимно уничтожить:

( ) ( ) ( ) ( ) 1 − 1 + 1− 1 + 1− 1 +...+ 1-− 1-- = 1 2 2 3 3 4 99 100

= 1− -1-= -99- 1 100 100

Ответ: 99/100

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 105#35239Максимум баллов за задание: 7

Вычислите разность сумм

2 2 2 2 (1⋅3+3 ⋅5 +5⋅7+ ...+ 99⋅101)− (1 + 3 +5 + ...+ 99)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала, хорошо бы "переделать" эту задачу из подсчёта разности в подсчёт суммы. Как это можно сделать?

Подсказка 2

Верно, можно разбить числа из двух скобок на пары понятным образом(первое с первым, второе со вторым и т.д.). Теперь же попробуйте понять, как они взаимосвязаны между собой. Не будет ли лучше понять, что происходит с такими группами чисел в общем виде?

Подсказка 3

Верно, если записать в общем виде, то слагаемые превращаются в k(k+2) - k² = 2k. Значит, у нас просто получается сумма 2 + 6 + 10 + ... + 198, которую уже не сложно посчитать самостоятельно. Победа!

Показать ответ и решение

Сгруппируем разности по парам: $k ⋅(k+ 2)− k2 = 2k$ . В отличие от первого примера, здесь разности меняются. Чтобы посчитать их сумму, вынесем двойку и получим

2⋅(1+ 3+ 5+...+99)= 2⋅100⋅25= 5000,

где сумму с многоточием мы посчитали, разбив слагаемые на пары вида $k$ и $100− k$ .

Полезно отметить, что мы в частном случае вывели формулу

2 1+ 3+ 5+ ...+(2n− 1)=n ,

что верно при любом $n$ .

Ответ: 5000

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 106#35240Максимум баллов за задание: 7

Чему равно $(1+ 1)(1 + 1)(1 + 1) ...(1+-1-)? 2 3 4 100$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Надеюсь первое, что пришло вам в голову это привести дроби к общему знаменателю в каждой скобке, а не раскрывать скобки в выражении. Попробуйте это проделать, кажется там получается что-то очень хорошее!

Подсказка 2

После приведения к общему знаменателю видим, что у нас почти все числа одинаковые во всём выражении, поэтому они сократятся. Осталось только понять, что остаётся, и победа!

Показать ответ и решение

В каждой скобке приведём сумму к одной дроби. Получим

3 4 5 101 101 2 ⋅3 ⋅4 ⋅...⋅100 = 2

где при последнем переходе мы сокращаем числитель текущей дроби со знаменателем следующей. Не сокращаются только первый знаменатель и последний числитель. $101 -2-= 50,5.$

Ответ:

$50,5$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 107#35241Максимум баллов за задание: 7

Найдите сумму

-1- -1- --1- --1--- 1⋅4 + 4⋅7 + 7⋅10 + ...+ 97⋅100

Показать ответ и решение

Попробуем представить дробь вида $---1-- k(k+ 3)$ через разность:

1 -1-- ---3-- k − k+ 3 = k(k+ 3).

Получается, что точно такого же представления нет, в числителе появляется лишняя тройка. Но ведь эта тройка появится во всех дробях: она там появилась как разность между сомножителями знаменателя, то есть $k$ и $k +3$ . Поэтому мы можем домножить исходную сумму на 3 и уже после этого представить каждую дробь как разность

1 − 1+ 1− 1+ 1 −-1 +...+-1 −-1- = 1− -1-= 99. 1 4 4 7 7 10 97 100 1 100 100

Осталось учесть, что мы посчитали утроенную сумму. Значит, исходная сумма равна $-33-. 100$

Ответ: 33/100

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 108#35453Максимум баллов за задание: 7

Петя перемножил три подряд идущих натуральных числа, а к результату прибавил среднее число. Докажите, что получился куб какого-то натуральное числа.

Показать доказательство

Обозначим наши числа через $a− 1,a,a+1.$ Тогда Петя получил число $(a− 1)a(a +1)+ a= a3 − a+ a= a3.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 109#35456Максимум баллов за задание: 7

Сумма четырех целых чисел равна $0.$ Числа расставили по кругу и каждое умножили на сумму двух его соседей. Докажите, что сумма этих четырех произведений, умноженная на $− 1,$ равна удвоенному квадрату целого числа.

Показать доказательство

Обозначим наши числа через $x,y,z,t,$ и пусть они стоят по кругу именно в таком порядке.Обозначим через $s =x +z = −(t+ y).$ Тогда наша сумма равна

2 x(y+t)+ z(y+ t)+y(x+ z)+ t(x+ z)= 2(x+ z)(y+ t) =− 2s

То есть, если умножить нашу сумму на $− 1,$ то получится удвоенный квадрат целого числа.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 110#35460Максимум баллов за задание: 7

Числа $a$ и $b$ представимы в виде суммы двух квадратов целых чисел. Докажите, что их произведение тоже представимо в виде суммы квадратов двух целых чисел.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сначала введем переменные - x,y,z,t. Пусть при этом (x^2+y^2) и (z^2+t^2) - наши числа a и b. Попробуйте написать произведение и раскрыть скобки. Там будет сумма четырех квадратов. А если мы хотим сказать, что это сумма двух квадратов, то как можно преобразовать получившееся выражение?

Подсказка 2

Действительно, можно попытаться свернуть какие-то тройки слагаемых из нашего выражения в полный квадрат. Но вот незадача - у нас всего 4 слагаемых, а нужно 6. Может быть, тогда что-то добавить и вычесть? А что? Вот у нас как будто бы квадраты уже есть, не хватает только попарных произведений. А как тогда сгруппировать наши квадраты, чтобы попарные произведения были по модулю одинаковыми(по модулю, поскольку одно попарное произведение должно браться с минусом, а другое с плюсом, чтобы они взаимно уничтожились)?

Подсказка 3

Верно, нужно сгруппировать (xz)^2 и (yt)^2 , (xt)^2 и (zy)^2. А значит, нужно добавить и вычесть 2xyzt, свернуть в полные квадраты и получить требуемое.

Показать доказательство

Пусть $a =x2+ y2,b= z2+ t2$ . Тогда

2 2 2 2 ab= (x +y )(z + t)=

2 2 2 2 2 2 2 2 = x z + yt − 2xyzt+x t + yz + 2xyzt=

= (xz− yt)2+(xt+yz)2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 111#64520Максимум баллов за задание: 7

Найдите в явном виде целое число, заданное выражением

√-- (---2---- ---2---) 11⋅ √11-− √7-+ √11+ √7

Источники: ДВИ - 2022, вариант 222, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Иррациональные знаменатели нам точно не нужны. Подумайте, как мы можем от этой иррациональности избавиться и посмотрите внимательно на оба знаменателя при этом :)

Подсказка 2

Если перед Вами все еще сумма двух дробей – самое время это исправить и преобразовать их к единой дроби. А заодно можем раскрыть все скобки и привести подобные, ведь пока не видно каких-то других преобразований. А нужны ли они или уже можем все посчитать?

Показать ответ и решение

Приведём выражения к общему знаменателю и воспользуемся формулой разности квадратов $a2− b2 = (a− b)(a +b)$

√-- 2⋅(√11− √7)+2 ⋅(√11+ √7) √11-⋅4√11- 11⋅---(√11−-√7)(√11+-√7)---= ----4--- = 11

Ответ: 11

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 112#64522Максимум баллов за задание: 7

Найдите в явном виде натуральное число, заданное выражением $(2√2-)2∕3+ ( 27√-)2∕3− 13. 27 2 2 18$

Источники: ДВИ - 2022, вариант 225, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка

Вспомним свойства степеней и представим числа внутри дробей, чтобы избавиться от дробей в степенях! Тогда выражения приятно преобразуется и мы получим натуральное число.

Показать ответ и решение

Воспользуемся тем, что $2√2-= (√2)3,27 =33$ , тогда выражение примет вид

(√2)2∕3⋅3 32∕3⋅3 13 2 9 13 4+81− 13 72 -32∕3⋅3- +(√2)2∕3⋅3 − 18-= 9 + 2 − 18 =--18---= 18 = 4

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 113#67504Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $f(x)= √3⋅g(x)$ для

f(x) =sinx +sin 3x +sin 5x +...+sin2021x; g(x)= cosx +cos3x+cos5x+ ...+cos2021x

Источники: Росатом-22, 10.2 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нужно как-то сжать эти выражения, то есть применить телескопическое суммирование. Для этого будет в самый раз умножить и левую, и правую часть уравнения на sin(x) (подумайте, может ли он вообще быть равен нулю), а затем применить формулы произведения синусов и синуса с косинусом.

Подсказка 2

Да, получится уравнение вида 1 - cos(2x) + cos(2x) - cos(4x) ... + cos(2020x) - cos(2022x) = √3 * sin(2022x). Телескоп сработал -> остается перенести синус с косинусом в одну часть, единичку - в другую, а затем вспомнить формулу вспомогательного угла - ведь коэффициенты 1 и √3 так и намекают на это :)

Показать ответ и решение

Такие тригонометрические телескопические суммы сворачиваются домножением и делением на $sinx$ (при этом нужно сказать, что синус ненулевой, потому что числа вида $x= πn,n ∈ℤ$ решениями уравнения не являются). После домножения получим вот что:

sinx⋅sinx+ sinx⋅sin 3x +...+ sinx ⋅sin2021x=

√- = 3(sinx⋅cosx+ sinx⋅cos3x+ ...sinx ⋅cos2021x)

Применим формулы произведения синусов

cos0x−-cos2x+-cos2x-− cos4x-+...+cos2020x−-cos2022x-= 2

√-sin2x+-sin4x−-sin2x+-...+-sin2022x-− sin-2020x = 3 2

Слагаемые удачно взаимноуничтожаются и остаётся

1− cos2022x= √3sin 2022x

√ - --3sin2022x + 1cos2022x= 1 2 2 2

( ) sin 2022x + π = 1 6 2

Откуда $x= πn-,n∈ ℤ 1011$ или $x = -π-+ -πk-,k∈ ℤ 3033 1011$ . Осталось учесть условие $sinx ⁄=0,$ так что $n ⁄=1011m,m ∈ℤ.$

Ответ:

$-πn , π + πk-, n⁄= 1011m, k,n,m ∈ ℤ 10113033 1011$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 114#70163Максимум баллов за задание: 7

Произведение положительных чисел $a$ и $b$ равно 1. Известно, что

(3a+ 2b)(3b+ 2a)= 295.

Найдите $a +b$ .

Источники: ВСОШ - 2022, школьный этап, 9 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно как-то применить то, что ab = 1, заметим, что если раскрыть скобки, то будет сколько-то слагаемых с ab, может стоит попробовать так сделать?

Подсказка 2

Наступил коварный момент, все ab пропали и осталось только a² + b² = 47. Давайте попробуем вспомнить, где встречались сумма квадратов и ab?

Подсказка 3

Правильно в формуле квадрата суммы! Но нам не хватает слева 2ab, не забывайте, что мы всегда можем что-то добавить и сразу же убавить, или, что то же самое, прибавить с двух сторон уравнения равные величины. То что мы на верном пути нам так же подсказывает, что слева и справа получился полный квадрат, обратите внимание, что числа a,b - положительные!

Показать ответ и решение

Раскроем скобки

2 2 13ab+6b + 6a =295

Так как $ab= 1$

2 2 6b+ 6a = 282

a2+ b2 =47

Добавим к обеим частям равенства $2 =2ab$

a2+2ab+ b2 =49

(a +b)2 = 49

a+b =±7

И так как $a$ и $b$ положительные, получаем ответ.

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 115#70487Максимум баллов за задание: 7

Какое из чисел больше:

--3-- --5-- --87--- --89--- A= (1⋅2)2 + (2⋅3)2 + ...+ (43⋅44)2 + (44⋅45)2

или

∘6---√-- 3∘ √---- B = --4−-2-3√⋅---3+-1? 32

Источники: Ломоносов-2022, 11.1 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

«Какой олимпиадник не любит длинных телескопов…». Действительно, то, что написано выше, это ведь очень похоже на стандартный телескоп с разложением на дроби вида 1/n - 1/(n+1) = 1/n(n+1). Как тогда преобразовать наше равенство выше к дробям вида k/(n^2*(n+1)^2)?

Подсказка 2

Верно, это по сути две дроби, у которых разность между знаменателями равна 2n + 1. Значит, 1/n^2 - 1/(n+1)^2 = (2n+1)/(n^2*(n+1)^2). Заметим теперь, что это ровно дроби нашего вида. Чему тогда равна наша сумма-телескоп?

Подсказка 3

Верно, она равна 1/1^2 - 1/45^2 = 2024/2025. Значит, получили сумму в явном виде. Теперь посмотрим на дробь. Кажется, преобразовать можно только первое подкошенное выражение, так как все остальное выглядит слишком атомарно. При этом, у нас все, кроме первого корня имеет степень 1/3, а корено - степень 1/6. Значит, нам хотелось бы преобразовать подкоренное выражение в квадрат некоего числа, чтобы извлечь корень и занести все числа под кубический корень. Попробуйте преобразовать первый корень.

Подсказка 4

Верно, он преобразовывается в квадрат числа (sqrt(3) - 1). А значит, после нехитрых преобразований, получаем, что дробь равна 1. При этом, сумма наша равна 2024/2025. Ответ получен!

Показать ответ и решение

Так как

--2n+-1-- 1- ---1-- (n(n +1))2 = n2 − (n+ 1)2

Находим $A$

( ) ( ) ( ) ( ) A = 12 − 12 + -12 −-12 +...+ -12 −-12 + 12-−-12 = 12-− 12-= 1 2 2 3 43 44 44 45 1 45

= 452-− 1-= 2024 452 2025

Найдём $B$

6∘----√- ∘3√---- 6∘-√-----2 3∘√---- 3√---- B =--4−-2-33√⋅---3+-1 = -(-3−-1)3√-⋅---3+1-= -3√3− 1-=1 2 2 2

Получаем, что $A <B.$

Ответ: B

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 116#74657Максимум баллов за задание: 7

Найдите целую часть числа

---1--- ---1--- -----1---- √1 +√2-+ √3+ √4 +⋅⋅⋅+√623-+√624

Источники: Бельчонок-2022, 11.5 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Гораздо удобнее работать с целочисленными знаменателями-> что нужно сделать, чтобы они стали именно такими? Попробуем оценить число А другим число так, чтобы нам было удобно оценивать их разность двумя способами. Тогда мы сможем прийти к оценке числа А!
----—

Подсказка 2

Рассмотрим число В такое, что оно получено из А циклическим сдвигом корней в знаменателях в А(т.е. в числе В первое слагаемое равно 1/(sqrt(2)+sqrt(3)). Как можно выразить В через А и как оценить их разность?

Подсказка 3

А+В=24(почему?). Теперь мы можем оценить их разность, группируя соответствующие слагаемые.

Подсказка 4

Их разность меньше 1, а сумма равна 24. Осталось ли ль сделать соответствующие выводы)

Показать ответ и решение

Обозначим

--1---- ---1--- ----1----- A = √1+ √2 +√3-+ √4 + ⋅⋅⋅+ √623+ √624

Возьмём число

B = √--1√--+ √-1-√-+ ⋅⋅⋅+ √---1-√--- 2+ 3 4+ 5 624+ 625

Число слагаемых одинаково, каждое слагаемое в $A$ больше соответствующего слагаемого в $B,$ поэтому $A > B.$ Избавимся от иррациональности в знаменателях:

A= √2-− √1-+√4 − √3+ ⋅⋅⋅+ √624− √623

B =√3-− √2-+ √5− √4+ ⋅⋅⋅+ √625− √624

Очевидно, $√ --- √- A+ B = 625 − 1 =24.$ Оценим $A − B.$

( ) ( A− B =√--1-√-− √--1-√-− √--1√-- − ⋅⋅⋅− √---1-√---− 1+ 2 2+ 3 3 + 4 622+ 623

− √---1-√---)− √---1-√---< √--1√--< 1 623+ 624 624+ 625 1+ 2

Подставим $B = 24 − A :$

A− 24+ A< 1,

отсюда $A < 12,5.$ Но $A > B,$ значит, $A >12.$ Следовательно, целая часть числа $A$ равна 12.

Ответ: 12

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 117#74948Максимум баллов за задание: 7

Дана арифметическая прогрессия $a = 25,a ,a,...,a = 2025. 1 2 3 2022$ Вычислите

----1--- ----1--- -----1------- √a1+ √a2 +√a2-+√a3-+ ⋅⋅⋅+ √a2021+ √a2022

Источники: САММАТ-2022, 11.4 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Все числа прогрессии можем найти, но подставлять их в знаменатель и возиться с кучей корней.. врагу не пожелаешь. И вообще корни в знаменателе это очень неприятно, как бы это исправить? Вместо этого можно провернуть трюк с избавлением от иррациональности в знаменателях - всё-таки с корнями в числителях лучше работается, чем с корнями в знаменателях

Подсказка 2

Ага, можно просто домножить числитель и знаменатель на сопряжённые! И при этом у нас же прогрессия была, тогда мы знаем знаменатели! И всё красиво сокращается

Показать ответ и решение

Найдем разность прогрессии

2025−-25 2000 d = 2022 − 1 = 2021

Домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение, получим

1 1 1 √a--+√a--+ √a-+-√a-+ ⋅⋅⋅+ √a---+-√a----= 1 2 2 3 2021 2022

√-- √-- √ -- √ -- √---- √---- = -a1−--a2 +--a2−--a3+ ⋅⋅⋅+ -a2021−--a2022-= d d d

√a2022−-√a1- (45−-5)2021 2021- = d = 2000 = 50 = 40,42

Ответ:

$40,42$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 118#75221Максимум баллов за задание: 7

Для вещественного числа $x$ выполнено равенство

--x−-4--- --2x-− 4-- --x−-2--- -3 x2 − 5x+ 1 + 2x2− 5x+1 + x2− 3x+ 1 =x

Найдите сумму возможных значений выражения

1 1 1 x2−-5x+-1 + 2x2− 5x-+1-+x2−-3x+-1

Показать ответ и решение

Домножим обе части условия на $x$ , получим

-x2−-4x-- --2x2− 4x- -x2−-2x-- x2− 5x +1 +2x2− 5x+ 1 + x2− 3x +1 = 3

Выделим в каждой дроби “целую часть”:

( x − 1 ) ( x− 1 ) ( x− 1 ) 1+ x2−-5x+1- + 1+ 2x2− 5x+-1 + 1 +x2-− 3x+-1 =3

( ) (x − 1)----1----+ ----1-----+ ---1----- =0 x2 − 5x+ 1 2x2− 5x +1 x2 − 3x+ 1

Таким образом, либо $x= 1,$ либо значение второй скобки равно $0.$ При $x= 1$ условие выполнено, а значение искомого выражения равно $− 11. 6$ Если обнуляется значение второй скобки, то и искомое выражение равно $0.$ При этом не важно, существуют ли такие $x$ : в любом случае к искомой сумме добавляется $0.$ Значит, сумма всех возможных значений выражения равна $11 − 6 .$

Ответ:

$− 11 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 119#80966Максимум баллов за задание: 7

Целые числа $x,y$ и $z$ таковы, что

2 2 2 (x− y) +(y− z)+ (z− x) = xyz

Докажите, что $x3+ y3+z3$ делится на $x +y+ z+ 6.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Если раскрыть скобки в равенстве из условия, то становится видно, что там фигурируют только сумма квадратов переменных, сумма их попарных произведений и их произведение. Есть одно тождество, которое связывает сумму кубов и все вышеперечисленные величины.

Подсказка 2:

Попробуйте разложить x³ + y³ + z³ - 3xyz на скобки.

Подсказка 3:

Если не получается, давайте рассмотрим это выражение как многочлен относительно x и заметим, что он имеет корень x = - y - z. Это значит, что можно выделить скобку x + y + z.

Подсказка 4:

Итак, а теперь попробуйте в равенстве из условия выразить сумму попарных произведений через остальные слагаемые и подставить в тождество. Не возникнет ли там нужная делимость?

Показать доказательство

Равенство из условия равносильно