Тема АЛГЕБРА

Тождественные преобразования

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Тождественные преобразования

Действия с числами, составление уравнений и формулы сокращённого умножения

Раскрываем скобочки, приводим к общему знаменателю

Закрываем скобочки, раскладываем на множители, идём с конца, вангуем

Телескопические ряды: группировка и свёртка слагаемых/множителей

Преобразования с целой и дробной частями

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 121#91393Максимум баллов за задание: 7

Вычислите

( -1-) (-2--) (2020) f 2020 + f 2020 + ...+ f 2020 ,

где

3 f(x)= x2+9x-− 2. x − x+ 2

Показать ответ и решение

Представим $f(x)$ в виде

-8x-− 4- 3 f(x)= x+ 1+ x2− x+ 2 = 2 + g(x)

где

( ) ( 1) g(x)= x− 1 + (8-x−)22--- 2 x − 12 + 74

Заметим, что $(1 ) (1 ) g 2 + x = −g 2 − x$ при любых $x.$ Следовательно,

( 1 ) (2019) ( 2 ) ( 2018) g 2020 =− g 2020 ,g 2020- = −g 2020- ( 1009) (1011) ..., g 2020- = −g 2020

поэтому

(-1--) (--2-) ( 2020) f 2020 + f 2020 + ...+ f 2020 = = 3 ⋅2020+ g(-1-)+ g( -2-) +...+ g( 2020) = 2 ( 20)20 ( 202)0 ( 20)20 =3030+g 1010- + g 2020 = 3030 +g 1 + g(1)= 2020 2020 2 =3030+0 + 5 = 3032,5 2

Ответ: 3032,5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 122#91402Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что

√ - 2016 √-- √----- ( 5− 2) = m − m − 1

для какого-то целого $m$ .

Показать доказательство

По биному Ньютона

√- 2016 √- ( 5− 2) =a 5 +b

где $a$ и $b$ — некоторые целые числа разных знаков. Далее можно заметить, что:

√- 2016 √- ( 5+ 2) =a 5 − b

Перемножим эти два равенства:

(√5 − 2)2016(√5 +2)2016 = (a√5-+b)(a√5 − b)

Или:

1= 5a2− b2

С другой стороны в соответствии с нашим обозначением можно записать:

(√ --- √--) (√5-− 2)2016 = ± 5a2− b2 = √m-− √m-−-1

Замечание Утверждение задачи может быть также доказано методом математической индукции по показателю степени.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 123#92023Максимум баллов за задание: 7

Известно, что одним из корней уравнения

2 2 2 x − 4a bx =4

является

x =(a2+ b2)2. 1

Найдите $a4− b4$ .

Показать ответ и решение

Подставляя $x= x 1$ в данное уравнение, получаем

(2 2)4 22 2 22 a + b − 4a b(a +b ) =4

(2 2)2(( 2 2)2 2 2) a + b a + b − 4a b = 4

( 2 2)2(2 2)2 4 42 a + b a − b =4,(a − b) = 4

Следовательно, $4 4 a − b = ±2.$

Ответ:

$±2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 124#92035Максимум баллов за задание: 7

В какую степень надо возвести корень $x 0$ уравнения $x11+ x7 +x3 = 1$ , чтобы получить число $x4+ x3− 1? 0 0$

Показать ответ и решение

Поскольку $1= x11+ x7+ x3 0 0 0$ , получаем

x4+ x3 − 1= x4+ x3− x11− x7− x3= 0 0 04( 0 70 3) 0 4(011 7 3 7 3) 15 = x0 1− x0− x0 = x0 x0 + x0+ x0− x0− x0 = x0

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 125#97655Максимум баллов за задание: 7

Числа $x$ и $y$ удовлетворяют равенству

-x-- --y--- x+ y + 2(x − y) = 1.

Найдите все возможные значения выражения

5x+-y, x− 2y

в ответ запишите их сумму.

Показать ответ и решение

Приведём дроби к общему знаменателю:

2x(x−-y)+y-(x+-y) 2(x− y)(x +y) = 1

2x2 − 2xy+ xy+y2 =2x2− 2y2

3y2− xy =0

y(3y− x)= 0

Получается, либо $y = 0,$ либо $3y− x= 0.$ Рассмотрим оба случая:

1) $y = 0.$ Тогда

5x-+y-= 5x= 5 x− 2y x

2) $3y− x= 0.$ То есть $x= 3y,$ откуда

5x+-y= 15y+y-= 16y= 16 x− 2y 3y− 2y y

Итак, сумма всех возможных значий искомого выражения равна $5+ 16 =21.$

Ответ: 21

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 126#99201Максимум баллов за задание: 7

Задана числовая последовательность:

1 -1-- x0 = n и xk = n− k (x0+x1+ ...+ xk−1),

где $k =1,2,...,n− 1.$ Найти

Sn = x0+ x1 +...+ xn−1,

если $n =2022.$

Источники: Газпром - 2022, 11.2 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте найти ответы для маленьких n. Сравните их с коэффициентами из условия.

Подсказка 2

Докажем по индукции, что ответ — 1/(n-k).

Подсказка 3

Для того, чтобы произвести шаг индукции, достаточно к предыдущей сумме добавить новое слагаемое, которое также выражается через эту сумму!

Показать ответ и решение

С помощью математической индукции докажем, что

1 x0+x1+ ...+ xk−1+ xk = n−-k.

Для $k= 0$ это равенство выполняется. Для $k =1$ :

x0+ x1 = 1 +-1- ⋅ 1=--1-. n n − 1 n n − 1

Предположим, что это равенство выполняется для всех $m ≤k,$ тогда оно должно выполняться и для $k+ 1.$ Проверим это:

(x0+x1+ ...+ xk)+xk+1 =--1- +xk+1 =--1- + ---1----(x0 +x1+ ...+ xk)= n − k n − k n− (k+ 1) =--1- + ------1------= ----1--- n − k (n − k − 1)(n − k) n − (k+ 1)

Значит, это равенство выполняется и для $k+ 1.$ Следовательно, наше предположение, что

-1-- x0+ x1+...+xk−1+ xk = n− k

верно. Тогда при $n= 2022$ и $k =n − 1 =2021:$

1 S2022 = x0+x1+ ...+ x2021 = 2022− 2021 = 1.

Ответ:

$1$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 127#125882Максимум баллов за задание: 7

Дан квадратный трёхчлен $P (x),$ не обязательно с целыми коэффициентами. Известно, что при некоторых целых $a$ и $b$ разность $P (a)− P(b)$ является квадратом натурального числа. Докажите, что существует более миллиона таких пар целых чисел $(c,d),$ что разность $P (c)− P (d)$ также является квадратом натурального числа.

Источники: Всеросс, РЭ, 2022, 9.3 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

P(x) — многочлен всего лишь второй степени. В таких случаях бывает очень полезно записать многочлен в общем виде, ведь тогда можно будет что-нибудь подставить и посмотреть наглядно, что происходит.

Подсказка 2:

Пусть P(x) = kx² + mx + n. При этом мы знаем, что P(a) − P(b) = s², где s ∈ ℕ. Подставим же в явном виде и попробуем преобразовать, вдруг что-то получиться? Не забывайте, что в преобразованиях часто бывают полезны формулы сокращённого умножения.

Подсказка 3:

Понятно, в каком направлении мы хотим преобразовывать, мы хотим разложить на скобки, ведь в терминах множителей работать с квадратами гораздо проще. Итого P(a) − P(b) = (a − b)(k(a + b) + m) = s². Теперь мы хотим научиться строить пары (c, d) с таким же свойством...

Подсказка 4:

Константа миллион взята с неба, поэтому пусть она не туманит наше сознание, будем доказывать, что таких пар бесконечно много. Предположим, что мы нашли такую пару (c, d). Пусть c + d = x(a + b) + y (деление с остатком). Подставим (c, d) в P(c) − P(d).

Подсказка 5:

Получаем (с − d)(kx(a + b) + m + ky) = t², где t ∈ ℕ. Можно ли адекватно понять, как изменились делители числа kx(a + b) + m + ky в сравнении с k(a + b) + m при нетривиальных значениях x и y?

Подсказка 6:

В общем виде уж точно нет! Поэтому нужно минимизировать влияние x и y на эту сумму. При каких x и y это "влияние" минимально или отсутствует вовсе?

Подсказка 7:

Разумеется, при (x, y) = (1, 0). То есть, для поиска адекватных пар (c, d) идея искать пары c + d = a + b очень даже полезна, ведь мы тогда знаем гораздо больше про то, как себя ведут множители (скобки). С суммой вроде бы определились, что же происходит с разностью?

Подсказка 8:

Осознайте, что если с + d = a + b, то с = a + z, d = b − z для z ∈ ℕ. Тогда c − d = a − b + 2z. Подставим эти значения в P(c) − P(d).

Подсказка 9:

P(c) − P(d) = (a − b + 2z)(k(a + b) + m). Снова поделим с остатком a − b + 2z = v(a − b) + u. То есть хотим, чтоб (v(a − b) + u + 2z)(k(a + b) + m) было квадратом. Что тогда мы хотим сделать с u?

Подсказка 10:

Конечно, мы хотим снова занулить константу, чтоб уменьшить "влияние". То есть теперь хотим брать такие z, что c − d = v(a − b) (очевидно, это возможно, осознайте самостоятельно). Теперь хотим, чтоб v(a − b)(k(a + b) + m) было квадратом, при этом знаем, что (a − b)(k(a + b) + m) = s². Чем тогда должно быть v?

Подсказка 11:

Разумеется, квадратом. То есть хотим сделать так, что для g ∈ ℕ: a − b + 2z = (a − b)g², то есть (a − b)(g² − 1) = 2z. Кажется, осталось совсем немного) Сделайте последний шаг и осознайте, что победа за Вами. Успехов!

Показать доказательство

Пусть $P(x)= kx2+mx + n.$ По условию, $P(a)− P (b)= s2,$ где $s∈ ℕ.$ Запишем разность:

2 P (a)− P(b)= (a− b)(k(a+ b)+m )=s .

Рассмотрим пары $(c,d)$ такие, что $c+ d= a+ b$ и

2 c− d= (2n +1) (a− b), n∈ ℤ

Тогда:

c = (a+-b)+(2n+-1)2(a− b), 2

(a+-b)− (2n+-1)2(a−-b) d = 2 .

Подставим $c$ и $d$ в $P(c)− P(d):$

P(c)− P(d)=(c− d)(k(c+ d)+m )=

(2n+ 1)2(a − b)(k(a+ b)+ m)= (2n+ 1)2s2.

Это выражение является квадратом натурального числа $(2n+ 1)s.$

Для целочисленности $c$ и $d$ требуется, чтобы числители в выражениях для $c$ и $d$ делились на 2. Поскольку $2 (2n+1) (a − b)$ имеет ту же чётность, что и $a− b,$ а $a+ b$ фиксировано, условие выполняется для всех целых $n.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 128#30989Максимум баллов за задание: 7

Найдите все действительные числа $a,$ для которых существуют три различных действительных числа $x,y,z,$ таких что

1 1 1 a= x+ y = y+ z =z+ x

Источники: Всесиб-2021, 11.3 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Тройное равенство вида a = f = g = h это на самом деле система a = f, f = g, g = h

Подсказка 2

У нас слишком много переменных. Давайте х, z выразим через a и y. Используем, что x = a - 1/y и z = a - 1/x.

Подсказка 3

А после этого вспоминаем, что a = y + 1/z. Подставляем сюда наше выражение на z - мы получили соотношение на a и y только. Попробуйте для удобства разложить его на множители.

Подсказка 4

Один из случаев невозможен в силу различности x,y,z. В другом случае должно получиться а=±1. Теперь осталось проверить различность решений при этих параметрах. Используйте выражения из предыдущих наработок (просто подставьте туда а=1, а=-1), и всё получится!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Из условия $1 1 x + y = y+ z$ получаем

y− z x − y =-zy--

Аналогично (в силу цикличности равенств) $y− z = z−zxx ,z− x= x−xyy .$

После перемножения полученных трёх равенств имеем

(x− y)(y− z)(z− x)= (x−-y)(y−-z)(2z−-x) (xyz)

С учётом того, что числа различные, получаем после сокращения на $(x− y)(y− z)(z− x)⁄= 0:$

(xyz)2 = 1 ⇐ ⇒ xyz = ±1

Из условия $a =x + 1y = y+ 1z$ получаем

a⋅a= (x + 1)⋅(y+ 1)= 1+ xy+ x+ 1-= 1+ x(y + 1+ -1-) y z z yz z xyz

a2− 1= x(a ±1)

Аналогично (в силу цикличности равенств) $a2 − 1= y(a±1),a2 − 1 =z(a± 1).$

После перемножения полученных трёх равенств имеем

(a2− 1)3 =±1 ⋅(a± 1)3

Этому равенству не могут удовлетворять значения $a,$ отличные от $± 1,$ поэтому других решений у задачи быть не может. Осталось проверить, подходят ли $a= 1,a= −1.$

При $a= 1$ существует удовлетворяющая условиям задачи тройка $1 (2,2,−1),$ а при $a =− 1$ можно взять $1 (−2,−2,1).$ Поэтому оба найденных значения параметра идут в ответ.

Второе решение.

Сначала постараемся избавиться от трёх неизвестных в одном выражении:

2 a =x + 1=⇒ x= a− 1 = ay− 1, z = a− 1= a−-y--= a-y−-y− a y y y x ay− 1 ay− 1

Наконец:

a= y+ 1= y+ --ay− 1--⇐⇒ a3y− ay− a2 =a2y2− y2 − ay+ ay− 1 z a2y− y − a

Получаем:

(a2− 1)(y2− ay+ 1)= 0

Тогда либо $a2 =1,$ либо $a= y+ 1y.$ Последнее невозможно, ведь по условию $a= x+ 1y$ и получаем $x= y$ — противоречие с условием.

Осталось проверить $a= ±1.$

Зафиксируем $y,$ тогда из ранее полученного

x = ay− 1 y

z = a2y−-y−-a=-−-a- ay− 1 ay− 1

1 1 a =y +z = y− y + a

Все три условия выполнены и можно предъявить конкретную тройку $(x,y,z),$ но нами получен общий вид $ay− 1 −a (-y-,y,ay−1)$ в зависимости от $y$ при учёте $a =±1.$

Осталось проверить, что в тройке нет совпадающих чисел различность.

Допустим, что $x= y.$ Тогда

x = ax− 1 x

x2− ax +1 =0

D =a2− 4= −3 <0

То есть такого быть не может. Остальные два равенства $y =z$ и $x =z$ проверяются (что они невозможны) аналогично.

Ответ:

{ $− 1$ ; $1$ }

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 129#42114Максимум баллов за задание: 7

Известно, что

1- 2- --3-- 3a + 3b = a+ 2b.

Докажите, что $a= b$ .

Источники: Муниципальный этап, 9 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Умножьте все выражение на знаменатели, и приведите подобные слагаемые. Что в конце выйдет?

Подсказка 2

Должно выйти a² + b² - 2ab = 0, если еще сократить на какое-то число. А на какое выражение это похоже?)

Показать доказательство

Преобразуем данное равенство, умножив обе его части на $3ab(a+ 2b)$ . Получим: $b(a+ 2b)+ 2a(a +2b)= 9ab.$ После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых равенство примет вид: $2 2 2b + 2a − 4ab= 0.$ Следовательно, $2 2(a − b) =0$ , откуда $a =b$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 130#42117Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что неравенство $2a4+ 2b4 ≥ ab(a +b)2$ выполняется для любых чисел $a$ и $b$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте раскроем скобки в правом выражении и посмотрим на неравенство. В нем везде степени 4. Хочется воспользоваться известными неравенствами...

Подсказка 2

Умножьте обе части на 4, вдруг можно разбить как-то слагаемые в левой части так, чтобы легко было применить пару неравенств о среднем арифметическом и среднем геометрическом?)

Подсказка 3

Попробуйте представить левую часть в виде (a⁴+b⁴+b⁴+b⁴) + (b⁴+a⁴+a⁴+a⁴) + 4(a⁴+b⁴) :)

Показать доказательство

Первое решение.

2a4+ 2b4− a3b− ab3− 2a2b2 = a4+ b4 − 2a2b2 +a4− a3b +b4− b3 = (2 2)2 ( 3 3) ( 2 2)2 2( 2 2) = a − b + a − b (a− b)= a − b +(a− b) a + ab +b ≥0

так как все слагаемые неотрицательны. Из неравенства следует доказываемое утверждение.

Второе решение.

По неравенству о средних

(a4+ b4+ b4+b4)+ (b4+ a4+a4+ a4)+4(a4 +b4)≥4ab3+ 4b3a+ 8a2b2

4 4 3 22 3 8(a + b)≥ 4ab +8a b+ 4ab

4 4 2 2 2(a + b)≥ ab(a + 2ab +b )

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 131#42261Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что $x2+ y2 <z2$ , если $x2+y2+ xy+ yz+ zx <0$ .

Источники: Муницип - 2021, 11 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На что похожа наша сумма из условия? На полный квадрат (x + y + z)^2. Правда z^2 не хватает, из-за чего нет симметрии. Но ведь мы можем написать что-то в духе z^2 - z^2 и раскидать эти зетки по разные стороны от знака. К тому же, если мы как-то хотим работать с полным квадратом суммы переменных, нам надо умножить все это на два, потому что перед всеми попарными произведениями должен стоять коэффициент 2.

Подсказка 2

После всех этих операций, у нас получится выражение (x + y +z)^2 + x^2 + y^2 - z^2 < 0. А вот и наше выражение вылезло. Что теперь можно сказать, чтобы получить требуемую оценку на x^2 + y^2?

Подсказка 3

Верно, нужно перенести квадрат в правую часть и поскольку это квадрат, сказать, что наше выражение x^2 + y^2 - z^2 < -(x + y + z)^2 <= 0. Откуда и получаемое требуемое в задаче.

Показать доказательство

Умножим обе части неравенства $x2+y2+ xy+ yz+zx <0$ на 2 и выполним преобразования: $2 2 2 2 2 2 2 2 2x +2y + 2(xy+ yz+ zx)= x + y +z + 2(xy +yz+ zx)+x + y − z$ $2 2 2 2 = (x+y +z) + x +y − z < 0.$ Тогда $2 2 2 2 x + y − z < −(x+ y+ z) ≤ 0.$ Следовательно, $2 x +$ $2 2 y − z < 0$ и $2 2 2 x +y < z .$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 132#47043Максимум баллов за задание: 7

Число

1 0 −1 −2 −2021 x =2 + 2 + 2 +2 + ...+ 2

Найдите значение выражения

∘2x-+-4√2x-− 4-+∘2x-−-4√2x-− 4.

Источники: Ломоносов-2021, 11.2 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое, что не нравится в этой задаче, — это то, чему равен x. С такой суммой нельзя нормально работать, надо её как-то посчитать. Попробуйте выделить в ней знакомую нам сумму геометрической прогрессии, которую можно посчитать по формуле.

Подсказка 2

Конкретно, вынесите 2⁻²⁰²¹. Теперь обратим внимание на само выражение. Такое количество корней — это неприятно, выделить полные квадраты в них не получается. Как тогда уменьшить число корней?

Подсказка 3

Ну конечно, надо возвести это выражение в квадрат. Тогда останется всего один корень, который тоже можно убрать! При записи ответа надо только не забыть, что искомое выражение неотрицательно

Показать ответ и решение

Число

−2021 ( 2022) − 2021 22023−-1 −2021 x= 2 ⋅1 +...+ 2 = 2 ⋅ 2− 1 = 4− 2

Обозначим

∘ ----√------ ∘-----√----- a = 2x+ 4 2x− 4,b= 2x− 4 2x− 4

Найдём

∘ ------------ (a+ b)2 = a2+ b2 +2ab= 4x+2 ⋅ 4x2− 16(2x− 4)=

∘ ---------- = 4x +4⋅ x2− 8x +16= 4x+ 4|x− 4|

= 4⋅(4− 2−2021)+4 ⋅2−2021 =16

Откуда сразу же $a+ b=4$ (очевидно, что при $a≥0,b≥ 0$ сумма не может быть равна $− 4).$

Ответ:

$4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 133#79773Максимум баллов за задание: 7

Доказать, что число

2 2 2 (2020⋅2021) + (2020⋅2021⋅(2020⋅2021+ 1)) +(2020 ⋅2021+ 1)

является квадратом некоторого натурального числа.

Решение получить алгебраически, не привлекая вычислительных средств (калькулятора).

Источники: САММАТ - 2021, 11.4 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Кажется, что нам бросают песок в глаза. Нам незачем таскать за собой произведение 2020*2021, поэтому стоит заменить его на a.

Подсказка 2

Теперь надо работать с a²+(a(a+1))²+(a+1)². Давайте раскроем крайние квадраты: (a(a+1))²+2a²+2a+1.

Подсказка 3

Хммм... А ведь 2a²+2a=2a(a+1). Воспользуйтесь формулой квадрата суммы и радуйтесь жизни!

Показать доказательство

Обозначим $2020 ⋅2021= a,$ тогда число из условия равно

2 2 2 2 2 2 2 a +(a(a +1))+ (a+ 1) = a + a(a +2a+ 1)+ a +2a+ 1=

4 3 2 2 2 2 2 (a +2a + a)+ (2a + 2a)+1 =(a + a) + 2(a + a)+1 =

(a2+ a+ 1)2

и является квадратом.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 134#80264Максимум баллов за задание: 7

Найдите

f(1)+ f(2)+ f(3)+ ...+ f(13),

если

3 2 f(n)= 4n − 6n + 4n+ 13.

Источники: Ломоносов - 2021, 11.1 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какое-то у нас слишком массивное выражение для f(n), может, попробуем его немного упростить? У нас есть последовательно идущие коэффициенты 4, 6, 4 - на что это нам намекает?

Подсказка 2

Конечно, эти же коэффициенты встречаются при разложении разности четвёртой степени. Теперь нужно только аккуратно выделить такую четвёртую степень в выражении для f(n) и вычесть лишнее. Смотрите, теперь при подстановке f(n) в изначальную сумму многое сокращается, и остаются только несложные вычисления

Показать ответ и решение

Попробуем сгруппировать $4n3− 6n2+4n +13.$ Заметим, что у нас есть последовательно идущие коэффициенты $4, 6, 4,$ тогда попробуем собрать многочлены $4$ степени. Получаем

3 2 4 4 f(n) =4n − 6n +4n +13= n − (n − 1) +14

Посчитаем искомое выражение:

4 4 4 4 4 4 f(1)+ f(2)+ f(3)+ ...+ f(13)= 1 +2 + ...+ 13 − (0 +1 + ...+ 12)+ 14⋅13 =

134+14⋅13= 28743

Ответ: 28743

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 135#94265Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

( 4 ) √3-- ∘3--- ∘3--- 3∘ ------ x + x+ 1( 80 − 0,01)= 2( 5,12+ 0,03375)

Источники: БИБН - 2021, 11.1 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Понятно, что решать в лоб данное уравнение, сначала поделив на константу, равную второй скобке, как-то очень грустно (оно даже не биквадратное). Впрочем, если вы знаете метод Феррари, то можно сойти с ума, но сделать. Но лучше посмотрим на числа. Не просто же так, наверное, дали ровно такие числа. Может быть это какие-то хорошие числа. Вот 5,12 - это по сути 8³, но разделённое на 100. Подождите, но ведь 80 это…

Подсказка 2

80 это 20³ разделенное на 100. Что тогда нужно сделать, чтобы привести все константы к нормальному виду, если они тут так красиво подобраны?

Подсказка 3

Надо домножить всё уравнение на кубический корень из 100, ведь тогда получится, что 19 сократится в обеих частях и выйдет очень даже решаемое уравнение четвёртой степени. Победа!

Показать ответ и решение

Умножим обе части уравнения на $√3100-:$

( 4 ) 3√---- 3√- 3√ --- 3∘ ---- x +x +1 ( 8000− 1)= 2( 512+ 3,375)

( 4 ) 19⋅ x +x +1 = 2(8 +1,5)

4 x + x+ 1= 1

x (x3+ 1)= 0

Таким образом, $x1 = 0,x2 = −1$ .

Ответ: -1; 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 136#99153Максимум баллов за задание: 7

Доказать неравенство:

1- 1- 1- -1--- 12 + 22 + 32 + ...+ 20212 < 2.

Источники: Газпром - 2021, 11.1 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам хотелось бы как-то красиво "собрать" сумму и по возможности что-то сократить. Как можно оценить квадраты, чтобы знаменатели стали более похожими друг на друга?

Подсказка 2

Квадрат числа больше, чем произведение его на число, меньшее на единицу.

Подсказка 3

Нам хочется, чтобы многие дроби сократились. Для этого нам нужно представить наше выражение в виде разностей и сумм. Попробуем тогда выразить в виде разности выражения вида 1/(x(x+1)).

Подсказка 4

1/(x(x+1)) = 1/x - 1/(x+1). Смотрите, теперь в нашем выражении многое сокращается ;)

Показать доказательство

Перепишем неравенство в виде

1- 1- -1--- 22 + 32 +...20212 <1.

Справедливо неравенство

1 1 1 1 1 1 1 22 + 32 +...20212 < 1⋅2 +2-⋅3 + 3⋅4 + ...2020-⋅2021

Так как

-1-+ -1- +-1- +...+ ---1----= 1⋅2 2⋅3 3 ⋅4 2020⋅2021

( ) ( ) ( ) ( ) = 1− 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ...+ -1--− -1-- = 2 2 3 3 4 2020 2021

= 1− -1--= 2020, 2021 2021

то

1-+ 1-+ ...--1--< 2020-<1. 22 32 20212 2021

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 137#101417Максимум баллов за задание: 7

Найдите наибольшее натуральное число $n,$ для которого верно неравенство

(3 3 3) 1 + 2 + ⋅⋅⋅+n − 106(1+ 2+ ⋅⋅⋅+n)+ 105≤ 0

Источники: ШВБ - 2021, 11 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Из условия становится понятно, что нам пригодится формула суммы кубов;) Если Вы её забыли — не беда, можно выразить её по индукции или через сумму четвёртых степеней. Но для этого нам понадобится, например, формула суммы последовательных квадратов.

Подсказка 2

После того, как мы выразим обе суммы в виде дробей, можно будет заметить, что у них есть общий множитель, а справа стоит 0. Это нам намекает на то, что нужно попытаться разложить левое выражение на множители! Осталось лишь разобрать знаки скобочек и записать новое неравенство на x ;)

Показать ответ и решение

Вычислим сумму $12 +22+ ⋅⋅⋅+ n2 :$

∑n n∑ ( ) 13+23+ ⋅⋅⋅+ n3+ (n +1)3 = 1+ (1+k)3 = 1+ 1+ 3k+ 3k2+ k3 = k=1 k=1

3(n-+1)n ∑n 2 ∑n 3 = 1+ n+ 2 + 3k=1k +k=1k

Заметим, что сумма кубов до $n$ вся сокращается, и остаётся только $(n +1)3.$ Отсюда выразим сумму квадратов.

3∑n k2 = (n+ 1)3− 1− n− 3(n+-1)n k=1 2

n ∑ k2 = n(n-+1)(2n-+1) k=1 6

Теперь проделаем аналогичные преобразования для вычисления суммы $3 3 3 1 +2 + ⋅⋅⋅+ n :$

n+∑1k4 =1+ ∑n (1+ k)4 = 1+∑n (1+ 4k +6k2+ 4k3 +k4)= k=1 k=1 k=1

n n n = 1+ n+ 4(n-+1)n+ 6∑ k2+ 4∑ k3 +∑ k4 2 k=1 k=1 k=1

n∑ 4 k3 = (n+ 1)4− 1− n− 4(n-+1)n− n(n+ 1)(2n +1)= k=1 2

( 3 2 ) = (n+ 1) (n+ 1) − 1− 2n − 2n − n

∑n 3 n2(n +1)2 k = ---4---- k=1

Все эти формулы, конечно, желательно и так помнить, но если забыли, то можно будет вывести так или по индукции. Тогда возвращаясь к неравенству

(13+ 23+⋅⋅⋅+n3)− 106(1+ 2+⋅⋅⋅n)+ 105≤ 0⇔

n2(n+-1)2-− 106n(n+-1)-+105≤ 0 4 2

( n(n-+1)- )( n(n-+1)- ) 2 − 1 2 − 105 ≤ 0

n2 +n − 210≤ 0

(n+ 15)(n− 14)≤ 0

Отсюда получаем, что наибольшее натуральное значение, при котором верно равенство, равно $14.$

Ответ:

$n =14$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 138#48745Максимум баллов за задание: 7

Что больше: число $3∘5√13-+18− 3∘5-√13−-18-$ или наибольший корень уравнения $x2+$ $2020x− 6069 =0$ ?

Источники: ПВГ-2020

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы можем просто найти второе число! Например, по теореме Виета можно найти наибольший корень этого квадратного уравнения.

Подсказка 2

Давайте обозначим первый страшный корень за а, а второй за б. Тогда заметим, что мы можем найти аб и а³-б³! А нам как раз надо найти а-б, а мы можем попробовать найти (а-б)³!

Подсказка 3

Если обозначить а-б за х, то мы можем получить кубическое уравнение, которое у вас получится решить и сравнить два числа!

Показать ответ и решение

Наибольший корень уравнения $x2+ 2020x− 6069= 0$ равен $3$ ( $− 2023+3 =− 2020,−2023⋅3= −6069 =⇒$ по обратной теореме Виета числа $3$ и $− 2023$ являются корнями уравнения $2 x +2020x − 6069= 0).$

Обозначим $∘3-√------ 3∘ -√------ a = 5 13+ 18,b= 5 13− 18.$

Отметим, что $3 3 3∘--√--2----2 3√------- a − b = 18− (−18)=36,a⋅b= (5 13) − 18 = 325− 324 =1.$ Тогда имеем:

(a− b)3 = a3− 3a2b+ 3ab2− b3 = (a3− b3)− 3ab(a− b)=36− 3(a − b)

Получается, что число $a− b$ является одним из корней уравнения

3 t = 36− 3t

которое равносильно

t3− 3t2+ 3t2− 9t+12t− 36 =0 ⇐ ⇒ (t− 3)(t2+ 3t+12)= 0

Так как $t2+3t+ 12= 0$ не имеет действительных корней, то единственным корнем уравнения является $t= 3.$

В итоге $a− b=3.$

Ответ:

ничего, эти числа равны

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 139#64519Максимум баллов за задание: 7

Известно, что

--x- 1−-x -1 f(x)= 1+ x + x −24

Найдите $(3) f 5.$

Источники: ДВИ - 2020, вариант 201, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомните, как мы вычисляем значение функции при конкретном значении переменной и найдите ответ!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Подставим и упростим полученное выражение, приведя к общему знаменателю

3∕5 1− 3∕5 1 3 2 1 9+ 16 − 1 24 f(3∕5)= 1+3∕5 +--3∕5--− 24 = 8 + 3 − 24-=--24----= 24-= 1

Второе решение.

Преобразуем функцию

2 -x--+ 1− x-− 1-= x-+-(1-− x)(1+-x)− 1-= 1+x x 24 (1+x)x 24

x2+-1− x2 1- --1--- -1 = (1+ x)x − 24 = (1 +x)x − 24

Подставим $x =3∕5$ :

1 1 25 1 3∕5-⋅8∕5 − 24 = 24-− 24-= 1

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 140#65465Максимум баллов за задание: 7

Для всех неотрицательных значений вещественной переменной $x$ функции $f(x)$ выполняется условие

-----43---- f(x+ 1)+1= f(x)+(x+ 1)(x+ 2)

Вычислите $101 f(2020)$ , если $f(0)= 2020$ .

Источники: ШВБ-2020, (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В равенстве из условия можно выразить f(x+1) через f(x). Кажется, это намекает на какую-то рекурсию, попробуем выразить f(x) через f(x-1) и т.д. Заметна ли какая-то закономерность?

Подсказка 2

Да, на самом деле для натурального n можно выразить f(n) через f(0) = 2020, получится равенство f(n) = 2020 - n + 43(1/(1×2) + 1/(2×3) + ... + 1/(n×(n+1))). Подумайте, как можно свернуть сумму дробей в скобках.

Подсказка 3

Попробуйте каждую дробь из суммы расписать как разность двух дробей так, чтобы при суммировании почти все члены сокращались.

Подсказка 4

1/(k(k+1)) = 1/k - 1/(k+1), тогда все члены сокращаются, кроме первого и последнего, получаем f(n) = 2020 - n + 43(1 - 1/(n+1)). Что можно применить, чтобы доказать эту формулу для любого натурального n?

Подсказка 5

Конечно же, индукцию! База легко проверяется, переход также несложно доказывается. Остаётся посчитать f(2020) :)

Показать ответ и решение

Докажем по индукции, что

-1-- f(n)= 2020− n +43(1− n+ 1)

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

База очевидна:

f(0)= 2020− 0 +43(1 − 1)= 2020

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Переход несложно доказать:

43 ( 1 ) 43 f(n+ 1)=− 1+f(n)+ (n-+1)(n-+2)-=2020− n +43 1− n+1- − 1+ (n-+1)(n-+2) =

( ) ( ) 2020− (n+ 1)+ 43 1+ -----1-----− --n-+2---- = 2020− (n +1)+ 43 1− ---1---- (n+ 1)(n+ 2) (n +1)(n +2 (n+ 1)+ 1

_____________________________________________________________________________________

Таким образом, по доказанной формуле

f(2020)= 2020− 2020+ 43(1−--1---)= 2020= 101⋅20- 2020+ 1 47 47

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание. Вот как прийти к решению: