Тема АЛГЕБРА

Тождественные преобразования

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Тождественные преобразования

Действия с числами, составление уравнений и формулы сокращённого умножения

Раскрываем скобочки, приводим к общему знаменателю

Закрываем скобочки, раскладываем на множители, идём с конца, вангуем

Телескопические ряды: группировка и свёртка слагаемых/множителей

Преобразования с целой и дробной частями

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 141#71931Максимум баллов за задание: 7

Сумму

2 2 ⋅5 2 ⋅5 ⋅...⋅2015 3⋅6 +3-⋅6-⋅9 +...+3-⋅6-⋅...⋅2019

записали в виде десятичной дроби. Найдите первую цифру после запятой.

Источники: СпбОШ - 2020, задача 11.4(см. www.pdmi.ras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте представить каждое слагаемое в виде разности так, чтобы большинство членов взаимно уничтожались. Для этого достаточно посмотреть на последние множители числителя и знаменателя.

Подсказка 2

Итак, вы получили разность 2/3 и какой-то большой дроби. Эту дробь хочется оценить. Глобальная идея такая: попробуйте рассмотреть ещё какие-то дроби, похожие на неё и оцените её снизу и сверху произведениями этих дробей (которые должны быть равны чему-то более-менее простому, то есть большинство множителей должно сократиться).

Подсказка 3

Пусть дробь, которую нужно оценить, равна C, а четыре другие — A, B, D, E. Подберите их так, что A < B < C < D < E и ABC < C³ < CDE.

Показать ответ и решение

Для начала упростим данную сумму. Каждое слагаемое запишем в виде разности

2⋅5⋅...⋅(3k− 1) 3⋅6⋅9⋅...⋅(3k+-3) =

= 2⋅5⋅...⋅(3k−-1)⋅(3k+-3)− 2⋅5⋅...⋅(3k−-1)⋅(3k+-2)= 3⋅6⋅9⋅...⋅(3k +3) 3⋅6⋅9⋅...⋅(3k+3)

= 2⋅5⋅...⋅(3k-− 1)− 2⋅5⋅...⋅(3k− 1)⋅(3k-+2) 3⋅6⋅9⋅...⋅3k 3⋅6⋅9⋅...⋅(3k+ 3)

Тогда вся сумма телескопически сократится до разности крайних слагаемых

2 2⋅5⋅...⋅2018 3 − 3⋅6⋅...⋅2019

Решение 1.

Оценим вычитаемое. Заведем переменные

A = 1⋅3⋅6⋅...⋅2016, B = 1⋅4⋅7⋅...⋅2017 21⋅⋅54⋅⋅87⋅⋅......⋅⋅22001178 23⋅5⋅6⋅⋅89⋅⋅.....⋅.2⋅2001189 C = 3-⋅6-⋅9-⋅...⋅2019, D = 4⋅7⋅10⋅...⋅2020 4⋅7⋅10-⋅...⋅2020- E = 5⋅8⋅11 ⋅...⋅2022

Мы хотим оценить величину числа $C.$

Поскольку $a−1 -a- a <a+1$ при натуральных $a,$ выполняются неравенства $A < B < C <D < E,$ откуда

ABC <C3 < CDE

Подставив в эти неравенства формулы для наших чисел и сократив дроби, получим

-1-- 3 -2-- 2019 <C < 2022

Тогда

1 ∘--1- ∘--2- 1 15-< 3 2019-<C < 3 2022-< 6

и значит,

1 < 2− 2⋅5⋅...⋅2018-< 3 2 3 3⋅6⋅...⋅2019 5

Таким образом, первая цифра после запятой исходного числа равна $5.$

Решение 2.

Оценим с двух сторон выражение

( )( ) ( ) C = 2⋅5⋅8⋅...⋅2018-= 1− 1 1 − 1 ... 1− --1- (∗) 3⋅6⋅9⋅...⋅2019 3 6 2019

Для этого заметим, что

k − 1 1 ( 1 )3 1 k --k- =1 −k < 1− 3k < 1− k+-1 = k-+1 (∗∗)

Действительно,

( ) 1− -1 3 =1− 1 + 1--−--1- 3k k 3k2 27k3

поэтому левое неравенство очевидно. Для проверки правого достаточно установить, что

-12-− -13-= 9k-− 13-<--1---= 1 −--1- 3k 27k 27k k(k+ 1) k k +1

последнее сразу видно после умножения на $27k3$ и раскрытия скобок.

Неравенства $(∗∗)$ позволяют оценить произведение $(∗)$ сверху и снизу. Действительно,

(( 1 )( 1) ( 1) ( -1-))3 1 2 3 673 -1- 1 −3 1− 6 1− 9 ... 1− 2019 < 2 ⋅3 ⋅4 ⋅...⋅674 = 674

поэтому

C <-3√1--< √31--= 1< 1 674 512 8 6

Аналогично

(( 1) ( 1)( -1) ( -1--))3 1 2 3 672- 1-- 1− 6 1− 9 1 −12 ... 1− 2019 > 2 ⋅3 ⋅4 ⋅...⋅673 = 673

Поэтому

C > 2 ⋅3√1-> 2 ⋅3√1--= 2 ⋅ 1=-2 >-1 3 673 3 729 3 9 27 15

Итак, $1-<C < 1 15 6$ и, значит, $1= 2− 1< 2 − C < 2− 1-= 3. 2 3 6 3 3 15 5$

Ответ:

первая цифра после запятой равна $5$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 142#78811Максимум баллов за задание: 7

Сумма дробных частей нескольких положительных чисел равна целой части их произведения. Докажите, что дробная часть суммы этих чисел равна произведению их целых частей. Напомним, что целая часть $[x]$ числа $x$ — это наибольшее целое число, не превосходящее $x$ (например $[1,3]= 1$ ), а дробная часть ${x}$ числа $x$ задается формулой ${x}= x− [x].$

Источники: Олимпиада Эйлера, 2020, ЗЭ, 5 задача(см. old.mccme.ru)

Показать доказательство

Если дробная часть числа равна целому числу, то это $0.$ Значит, надо доказать, что сумма наших чисел — целое число и произведение их целых частей равно $0.$ Первое очевидно, так как по условию сумма дробных частей наших чисел — целое число. Допустим, второе неверно. Тогда у всех наших чисел $x1,...,xn$ целые части не меньше $1,$ и мы имеем

x1⋅...⋅xn = ([x1]+{x1})...([xn]+ {xn})≥

≥ [x1]⋅...⋅[xn]+ {x1}[x2]...⋅[xn]+ ...+ [x1][x2]⋅...⋅{xn}+ ...≥ 1+ {x1}+ ...+ {xn}

откуда $x1⋅...⋅xn ≥ 1+ [x1⋅...⋅xn],$ что невозможно.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 143#83209Максимум баллов за задание: 7

Найдите количество пар натуральных чисел $a$ и $b$ , не превосходящих 100 000, удовлетворяющих равенству

a3−-b b2−-a2 a3+ b = b2+ a2

Источники: КМО - 2020, первая задача второго дня для 8-9 классов, автор Белов Д.А. (cmo.adygmath.ru)

Показать ответ и решение

Преобразуем данное выражение, домножив дроби на произведение знаменателей:

32 5 3 2 3 2 5 3 2 ab + a − b− a b= ab − a +b − ab

После приведения подобных и сокращения на 2 получаем

a5 = b3

Так как преобразования равносильны (знаменатели исходных дробей при натуральных числах ненулевые), то достаточно найти количество пар натуральных $a$ и $b$ , для которых $a5 = b3$ . При таком условии $b$ является пятой степенью, а число $a$ точным кубом.

Пятых степеней до 100000 всего 10 штук, и каждой будет соответствовать куб, не превосходящий 100000. Значит, подходящих пар всего 10 штук.

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 144#89287Максимум баллов за задание: 7

Для различных положительных действительных чисел $a,b$ справедливо равенство

---a---- ---b--- a3+ a+ 1 = b3+b+ 1

Найдите значение выражения

13− a2b− b2a -2+-a2b+-b2a-

Источники: Бельчонок - 2020, 11 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Логично задаться целью узнать, чему равно (a^2)b+(b^2)a, ведь тогда посчитается искомое выражение. Что вообще можно сделать с равенством, которое дано?

Подсказка 2

Верно, знаменатели нам не полезны, поэтому домножим на них. Дальше логично перенести всё в одну часть и разложить на скобки.

Подсказка 3

Получаем (b-a)((a^2)b+(b^2)a-1)=0. a и b по условию не равны, следовательно нулю равна вторая скобка, цель достигнута, осталось посчитать ответ.

Показать ответ и решение

Из условия имеем:

---a---- ---b--- a3+ a+ 1 = b3+b+ 1

ab3+ ab+ a= a3b+ ab+b

3 3 ab − a b+ a− b =0

(b− a)(a2b+ ab2− 1)= 0

Так как по условию $a⁄= b,$ то

a2b+ b2a =1.

В результате имеем:

13− a2b− ab2 13− 1 -2+-a2b+-ab2-= -2+1-= 4

Ответ:

$4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 145#102482Максимум баллов за задание: 7

Представить число 2020 в виде суммы кубов пяти целых чисел. Доказать, что любое целое число можно представить в виде суммы кубов пяти целых чисел.

Источники: Росатом - 2020, 11.5 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем найти явную формулу для разложения числа. Чтобы было удобно, можно попробовать выражать слагаемые через некоторое число n. Какие тогда можно сложить кубы, чтобы результат получится "красивым" (многое в сумме сократилось)?

Подсказка 2

Попробуйте сложить кубы чисел, которые по модулю отличаются друг от друга на не более, чем 2. Тогда, если аккуратно раскрыть результат по формулам сокращенного умножения, многое сократится.

Подсказка 3

Что получится, если сложить кубы чисел, по модулю равных (n+1) и n? Какой вывод из этого можно сделать и как быть с остальными числами?

Подсказка 4

Отлично, мы пришли к тому, что числа вида 6n можно выразить в виде суммы четырёх кубов! Осталось лишь аккуратно придумать, как "добрать" отстаток по модулю 6 у остальных чисел при помощи кубов и выразить 2020 по придуманным формулам!

Показать доказательство

Заметим, что для любого $n∈ Z$

3 3 3 3 (n+ 1) +(n− 1)+ (−n) +(−n) = 6n

т.е. любое целое число вида $a= 6n$ можно представить в виде суммы кубов четырех, а значит, с учетом нуля, и пяти целых чисел. Числа вида $a =6n± 1$ могут быть представлены в форме

3 3 3 3 3 a= (n +1) + (n − 1) +(−n) + (− n)+ (±1)

Числа вида $a= 6n +2 =6(n− 1)+8$ представляются суммой пяти кубов:

3 3 3 3 3 a =n + (n− 2) + (−n+ 1)+ (−n+ 1)+ 2

Для чисел вида $a= 6n− 2=6(n+ 1)− 8$ справедливо представление:

a= (n+ 2)3+ n3+ (− n− 1)3+ (− n− 1)3+ (− 2)3

Наконец, для $a= 6n+ 3= 6(n − 4)+ 27$ справедливо представление:

a= (n − 3)3+(n− 5)3+(−n +4)3+(−n +4)3+(3)3

Представление числа $a= 2020 =337⋅6− 2$ может быть получено по формуле (3) для $n= 337$ :

2020= (339)3+ 3373 +(−338)3+ (−338)3+ (− 2)3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 146#105071Максимум баллов за задание: 7

Найти значение выражения $A,$ если

(----1--- ----1--- ----1---) A= 19,19⋅ 1919⋅1920 +1920⋅1921 +...+2018⋅2019 .

Источники: Газпром - 2020, 11.1 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Работать с такой длинной суммой неудобно. Давайте подумаем, как можно преобразовать дроби так, чтобы многое из скобки сократилось ;)

Подсказка 2

Попробуйте представить каждую дробь в виде разности, чтобы получилась так называемая, "телескопическая сумма ". Тогда многое сократится и останутся лишь дроби со знаменателем 1919 и 2019.

Подсказка 3

1/(n(n+1)) = 1/n - 1/(n+1)

Показать ответ и решение

Так как

1 n +1− n 1 1 n(n-+1) =-n(n-+1) = n − n+-1,

то

( ) A = 19,19 ⋅ ---1----+ ---1----+ ...+ ---1---- = 1919⋅1920 1920 ⋅1921 2018 ⋅2019

= 19,19⋅(-1--− -1--+--1-− -1--...+ -1--− -1-) = 1919 1920 1920 1921 2018 2019

( 1 1 ) 2019− 1919 1919⋅100 1 = 19,19⋅ 1919 − 2019 = 19,19⋅1919⋅2019-= 100⋅1919⋅2019-= 2019.

Ответ:

$--1- 2019$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 147#30987Максимум баллов за задание: 7

При каком наименьшем натуральном $k$ выражение

2017⋅2018⋅2019⋅2020 +k

является квадратом натурального числа?

Источники: ОММО-2019, номер 3, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что это задача на оценку + пример. В этой задаче пока непонятно, как делать оценку и двигаться в сторону нужного k. Давайте попробуем для начала поискать подходящее k и попробуем какие-то маленькие k перебрать.

Подсказка 2

Для k = 1 попробуем доказать, что оно подходит. Для этого нам потребуется разложить имеющееся выражение как квадрат некоторого числа. Чтобы вам не приходилось оперировать огромными произведениями, давайте для удобства заменим 2017 на n.

Подсказка 3

Тогда нам осталось разложить на множители:
n(n+ 1)(n +2)(n +3)+ 1. В случае успеха нам даже не придется делать никакую оценку (Почему?)

Показать ответ и решение

Достаточно показать, что для $k =1$ условие выполнено, поскольку это наименьшее натуральное число. Действительно, обозначим $n =2017,$ тогда

2 2 n(n+ 1)(n +2)(n +3)+ 1= (n + 3n)(n + 3n+2)+ 1=

2 2 2 2 2 = (n +3n) + 2(n + 3n)+1= (n + 3n +1)

Ответ:

$1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 148#80458Максимум баллов за задание: 7

Про последовательность ${a } n$ известно, что $a =1,5 1$ и $a = -1-- n n2− 1$ при $n ∈ℕ,n> 1$ . Существуют ли такие значения $n$ , что сумма первых $n$ членов этой последовательности отличается от 2,25 меньше, чем на 0,01? Если да, то найдите наименьшее из них.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Преобразуйте формулу для aₙ.

Подсказка 2

Можно расписать дробь через разность квадратов. Вычислите сумму первых n членов.

Подсказка 3

Члены последовательности увеличиваются или уменьшаются?

Показать ответ и решение

Общая формула членов последовательности (кроме первого) может быть записана так $(n≥ 2)$ :

--1-- 1( -1-- --1-) an = n2− 1 = 2 n− 1 − n+ 1

В результате сумма первых $n$ членов последовательности, кроме первого, принимает вид:

[( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1− 1 + 1− 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 2 3( 2 4 ) 3 ( 5 4) 6( 5 7 )] + ...+ n-1− 3 −n-1− 1 + n−12 − 1n + n−11 − n-1+1

После сокращений для суммы $n$ первых членов последовательности можно записать:

[ ] ( ) Sn = 1,5+ 1 1+ 1 −-1−-1-- = 2,25− 1 1+ --1- 2 2 n n+ 1 2 n n+ 1

Пусть $f(n)= 1(-1+ -1-) 2 n n+1$ . Тогда поскольку $f(n)$ убывает и

1( 1-- -1-) 1(-1- -1-) -1- f(100)= 2 100 +101 < 2 100 + 100 =100 1( 1- 1-) 1( 1-- -1-) 1-- f(99)= 2 99 + 100 > 2 100 +100 = 100

искомое значение $n$ равно $100.$

Ответ:

да, $n= 100$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 149#82703Максимум баллов за задание: 7

Про вещественные числа $a,b$ и $c$ известно, что

abc+a+ b+ c= 10 и ab+ bc+ac= 9

Для каких чисел $x$ можно утверждать, что хотя бы одно из чисел $a,b,c$ равно $x?$ (Найдите все такие числа $x$ и докажите, что других нет.)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Имея системы уравнений, стоит сначала уравнения попробовать складывать и вычитать, может получится что-то красивое.

Подсказка 2

Если мы нашли уже какое-то значение x, то можем его подставить вместо какой-либо из переменных и поискать оставшиеся.

Подсказка 3

Если из первого уравнения вычесть второе, то получим выражение (a-1)(b-1)(c-1) = 0, как отсюда найти возможный x?

Показать ответ и решение

Из условия имеем систему

{ abc +a+ b+ c= 10 ab+bc+ ac= 9

Из первого уравнения системы вычтем второе, получится

abc+ a+ b+c− ab− bc− ac= 1

Заметим, что

(a− 1)(b− 1)(c− 1)= abc +a+ b+ c− ab− bc− ac− 1

Тогда полученное выше уравнение эквивалентно

(a − 1)(b− 1)(c− 1)=0

Таким образом, хотя бы одно из чисел $a,b,c$ равно $1.$ Значит, $x= 1$ нам подходит. Докажем, что это значение $x$ единственно. Предположим, что существует некоторое $x⁄= 1$ такое, что хотя бы одно чисел $a,b,c$ равно $x.$

Для начала подставим, например, $a= 1$ и получим

{ bc+ 1+ b+c= 10 b+ bc+c =9

В системе у нас два одинаковых уравнения, поэтому можно оставить только одно:

bc+ b+ c= 9

Подбором находим два решения этого уравнения. Например, $b=2,$ $c= 7 3$ и $b= 1,$ $c= 4.$ По предположению в разных парах $(b,c)$ должно быть повторяющееся число. Но его нет, поэтому получено противоречие.

Таким образом, для $x⁄= 1$ нельзя утверждать, что хотя бы одно из чисел равно $x.$

Ответ:

только для $x= 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 150#92340Максимум баллов за задание: 7

Найдите целую часть числа $a+ 9, b$ где $a$ и $b$ — соответственно целая и дробная части числа $∘76-− 42√3.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

С корнем нам будет неудобно работать, можно ли от него избавиться?

Подсказка 2

Попробуйте с помощью ФСУ получить квадрат под корнем.

Подсказка 3

Оцените получившееся выражение двумя целыми числами.

Показать ответ и решение

∘------√- ∘ ----√--2 √- √- 76− 42 3= (7− 3 3) = |7− 3 3|=7 − 3 3

Значит, $a= [7− 3√3]$ и $b= {7− 3√3}$ . Так как $5 <3√3 <6$ , то $a= 1$ и $b =7− 3√3− [7− 3√3]= 6− 3√3$ .

Найдём

9 9 3 9 +3√3 √3 a+ b = 1+ 6−-3√3 = 1+ 3−-√3 =1 +-9− 3 = 2.5+-2-

Так как $√- 0.5 < -3< 1 2$ , то $[ ] a+ 9 = 3 b$ .

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 151#30988Максимум баллов за задание: 7

Вычислите значение выражения

(34+4)(74+ 4)(114+ 4)...(20154 +4)(20194+ 4) -(14+4)(54-+4)(94-+4)...(20134+-4)(20174+-4)-.

Источники: Курчатов-2018, 9.3 (см. olimpiadakurchatov.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно провести какие-то преобразования с дробью, ибо пока она никак не сокращается. Подумаем, что бы мы могли преобразовать. Давайте попробуем выражение n⁴ + 4 разложить на множители. Тогда мы сможет посокращать получившиеся множители в числителе и знаменателе, и получить более красивую дробь.

Подсказка 2

Итак, значение n⁴+ 4 , воспользуемся тем, что
n⁴ + 4= (n² + 2)² − 4n². И попробуем преобразовать это выражение, а затем и наши скобки.

Показать ответ и решение

Посчитаем сначала значение $n4+ 4$ :

4 2 2 2 2 2 2 2 n + 4= (n + 2) − 4n = (n +2 − 2n)(n + 2+ 2n)=((n− 1) + 1)((n +1) + 1)

Подставим это вместо каждой такой скобки в дробь, получим:

(22-+1)(42+-1)(62+-1)...(20202+-1) 2 (02 +1)(22+ 1)(42+ 1)...(20182+ 1) = 2020 + 1.

Ответ:

$4080401$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 152#41758Максимум баллов за задание: 7

Сумму $1+ 1+ 1+ ⋅⋅⋅+ -1-, 2 3 p−1$ где $p$ – нечётное простое число, представили в виде несократимой обыкновенной дроби. Докажите, что числитель этой дроби делится на число $p$ без остатка.

Источники: Муницип - 2018, Свердловская область, 11.2 (см. tasks.olimpiada.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Зачастую, в таких задачах, с некоторыми суммами и/или последовательностями объектов, нужно разбивать числа на пары и смотреть на объекты из пары, так как нередко, по отдельности про числа ничего не скажешь, но вот при разбитии на пары появляется ряд свойств. Попробуйте разбить числа на пары и посмотреть на сумму в каждой.

Подсказка 2

Разобьем на пары 1/t и 1/(p - t). Их сумма будет равна p/t(p - t). Вынесем р из каждой такой суммы и получится, что наша сумма равна p * (…). Получается, мы решили задачу?

Подсказка 3

Нет, не совсем. Осталось понять, почему ничто из знаменателя не может сократить р. Ну это просто, ведь каждый множитель меньше р, а значит, взаимнопрост с ним(не забываем, что р - просто число). А вот теперь - мы точно решили задачу.

Показать доказательство

Всего слагаемых здесь $p− 1,$ из условия следует, что это чётное число. Тогда мы можем разбить слагаемые на пары: первое — с последним, второе — с предпоследним и т. д. Получим $p−1- 2$ сумм вида

1 1 p t +p-− t =t(p− t)

В итоге сумма из условия равна

p∑−21 1 p t(p−-t) t=1

и кратна $p,$ ведь после приведения суммы дробей к общему знаменателю в знаменателе получится

p∏−21 t(p− t)= (p− 1)! t=1

Поскольку $p$ простое, знаменатель $(p − 1)!$ не содержит множителя $p.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 153#42925Максимум баллов за задание: 7

Про число $x$ известно, что оно является решением уравнения $x4− 2x3+ 1= 0$ . Какие значения может принимать величина $x3− x2 − x$ ? В ответ внесите возможные значения через пробел в порядке возрастания.

Источники: Муницип - 2018, 11 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем разложить исходный многочлен. Какой корень легко угадывается, чтобы потом поделить на него многочлен?

Подсказка 2

У нас получилось что произведение равно 0. Разберем каждый случай и получим ответ для x^3 - x^2 - x.

Показать ответ и решение

Заметим, что $x4− 2x3+ 1= (x − 1)(x3− x2− x− 1)$ , если $x= 1$ , то $x3− x2− x =− 1$ , иначе из второй скобки $x3− x2− x= 1$ .

Ответ: -1 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 154#47065Максимум баллов за задание: 7

Для функции $f(x) =− -x2-- 1+ x2$ найдите сумму

( -1-) (-1--) (1) f 2018 + f 2017 + ...+ f 2 + f(1)+ f(2)+ ...+f(2017)+ f(2018).

Источники: ПВГ-2018, 11.4 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Попробуем сгруппировать слагаемые, каким образом это можно было бы сделать?

Подсказка 2!

Попробуйте сгруппировать f(x) + f(1/x) и посмотреть, что получится в их сумме!

Показать ответ и решение

Пусть $n ∈ℕ$ , тогда

( 1) n2 -12 n2 1 f(n)+ f n = − 1+n2-− 1n+-1-= −n2+-1 − n2+-1 =−1 n2

Отсюда вся сумма равна

S = (−1)⋅2017+ f(1)= − 4035 2

Ответ:

$− 4035 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 155#75156Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

-----1------- ------1------ --------1-------- √x+-2+ √x+-3 + √x-+3-+√x-+4-+...+ √x+-2017+ √x-+2018 = 42

Источники: ПВГ 2018

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое, чего хочется при виде такого выражения, это как минимум избавиться от таких знаменателей. Каким самим простым приёмом это можно сделать?

Подсказка 2

Понятно, что от корней в знаменателе ничего хорошего не будет. То есть нужно, чтобы оба корня возвели в квадрат. Какой способ "легально" позволяет это сделать?

Подсказка 3

Да, конечно, нужно умножить на сопряженное число числитель и знаменатель. Тогда в знаменателе вовсе получится единица, а далее вся сумма хорошо сократится, и останется уравнение для корней, которое уже несложно решить. Можно два раза возвести в квадрат, либо же проделать снова умножение на сопряженное и воспользоваться монотонностью. Победа!

Показать ответ и решение

Избавимся от иррациональности в знаменателе каждого из слагаемых, домножив каждое из них на соответственное сопряжённое. Получим:

√x+-3− √x+-2 √x-+4− √x-+3 √x-+-2018− √x-+2017 (x-+3)−-(x+-2) + (x+-4)−-(x+-3)-+...+-(x+-2018)−-(x+2017)

Заметим, что в знаменателе в каждом слагаемом стоит $1,$ а большинство слагаемых в числителях входят с чередующимися знаками плюс и минус. Тогда после приведения подобных слагаемых в левой части наше уравнение превратится в:

√x-+-2018− √x+-2= 42

Снова домножим на сопряжённое к левой части, получим:

√------- √ ---- (x +2018)− (x+ 2)=2016= 42( x +2018+ x+ 2)

√------- √---- 48= x +2018+ x+ 2

В правой части находится монотонная функция, а значит она пересекает горизонтальную прямую $y = 48$ не более, чем в одной точке, заметим, что $x =7$ подходит, а, значит, и является единственным решением.

Ответ:

$7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 156#82685Максимум баллов за задание: 7

Целые числа $a$ , $b$ , $c$ и натуральное число $n$ таковы, что

a+ b+c =1

a2+b2+ c2 = 2n +1

Докажите, что $a3+ b2 − a2− b3$ делится на $n$ .

Источники: Олимпиада Эйлера, 2018, ЗЭ, 5 задача(см. old.mccme.ru)

Показать доказательство

Заметим, что в выражении $a3+ b2− a2− b3$ нет переменной $c.$ Попробуем от неё избавиться и в исходных условиях. Для этого из $a+ b+ c= 1$ выразим $c= 1− a− b.$ Теперь подставим полученное во второе условие:

2 2 2 a + b +(1− a− b) = 2n+ 1

Раскрываем скобки и получаем:

2 2 2 2 a + b+ 1+ a +b − 2a− 2b+ 2ab= 2n +1

Приводим подобные слагаемые и после делим уравнение на 2:

a2+b2− a− b+ab= n

Вернёмся к выражению $a3+ b2− a2− b3.$ В нём группируем кубы и квадраты, пользуемся формулами сокращенного умножения:

(a3 − b3)+(b2− a2)= (a − b)(a2+ ab+b2)+(b− a)(b+ a)

Вынесем $a− b$ из обеих скобок:

2 2 (a− b)(a +ab+ b − a − b)

Выше мы уже нашли, что вторая скобка равна $n,$ тогда получаем

2 2 (a− b)(a +ab+ b − a − b)= n(a − b)

$a− b$ — целое число, поэтому $n(a− b)$ делится на $n.$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 157#90859Максимум баллов за задание: 7

Какое из чисел больше:

┌│ --∘--∘----------- │∘ ∘ -√----- ◟-17-13--17◝◜--13-17...◞ 2018 знаковкорня

или $3∘13 17 17?$

Показать ответ и решение

┌│ -∘---∘----------- ∘---------------------- │∘ ∘--√---- 4 2 4∘--2---4√--2----- ◟-17-13-1◝7◜-13-17..◞.=◟-17-⋅13-17◝⋅◜13-17-⋅13...◞= 2018знаковкорня 1007знаков корня

∘---------------- ∘ ------------- ∘----------- ∘--- 41007(172 ⋅13)1+4+...+41006 = 41007 (172⋅13)410073−1< 41007(172⋅13)410307= (172⋅13)13 = 17313 17

Ответ:

$173∘ 13 17$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 158#97441Максимум баллов за задание: 7

Определите знак числа

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A = 1 − 2 −3 + 4 + 5 − 6 −7 +⋅⋅⋅+2012 + 2013 − 2014-− 2015 + 2016

Знаки расставлены так: «+» перед первой дробью, затем идут два «-» и два «+» по очереди. Перед последней дробью стоит «+».

Источники: Миссия выполнима 2018

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вычислять напрямую всю сумму слишком долго. Стоит разбить ее на маленькие группы.

Подсказка 2

Разобьем все числа на группы по 4 числа, идущие в нашей последовательности подряд. Если у всех таких групп знак один, то итоговая сумма будет с тем же знаком.

Подсказка 3

Для доказательства для всех групп достаточно доказать в общем виде.

Показать ответ и решение

Разобьём все числа на группы по четыре числа:

( 1 1 1 1 ) 4k+-1 − 4k+2-− 4k+3-+ 4k-+4

Сумма чисел в каждой группе положительная:

( ) --1--− --1--− --1--+ --1-- > 0⇔ 1 1 4k+ 11 4k+ 21 4k+ 3 4k+1 4 1 ⇔ 4k-+1-−4k+-2 > 4k-+3-−4k-+4 ⇔ (4k-+1)(4k+-2) > (4k-+3)(4k+-4)

Следовательно, и число $A$ положительное.

Ответ:

$A > 0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 159#97665Максимум баллов за задание: 7

Пусть $a2+ b2 =c2+ d2 = 1$ и $ac +bd= 0$ для некоторых действительных чисел $a,b,c,d.$ Найдите все возможные значения выражения $ab+ cd.$

В ответ запишите все возможные значения выражения через пробел, если их нет, введите « $−$ ».

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Кажется, речь идет о какой-то симметрии... Попробуйте выразить ab+cd через выражения из условия

Подсказка 2

ab+cd=ab*1+cd*1=...

Подсказка 3

ab+cd=(bc+ad)(bd+ac). Докажите это.

Показать ответ и решение

Воспользуемся тем, что $a2 +b2 = c2 +d2 = 1,$ и распишем искомое выражение следующим образом:

( 2 2) (2 2) ab+ cd =ab⋅1+ cd ⋅1 =ab c +d + cda + b =

2 2 2 2 = abc + abd + a cd+ b cd =ac⋅bc+ad⋅bd+ ac⋅ad +bc⋅bd =

= ac(bc+ad)+ bd (ad+ bc)= (bc+ ad)(bd+ ac)

По условию $bd+ac= 0,$ получается:

ab+cd= (bc +ad)(bd+ ac) =0

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 160#98455Максимум баллов за задание: 7

Положительные числа $a,b$ и $c$ удовлетворяют условию $a+ bc= (a+ c)(a+b).$ Докажите, что они также удовлетворяют условию $b+ ac= (a+ b)(b+ c).$

Показать доказательство

Раскроем скобки в выражении из условия, получим после вычитания из обеих частей $bc$ равенство $a= a2 +ac+ ab.$ Разделим на $a⁄= 0,$ получим $1= a+ b+ c.$ Домножим это равенство на $2 b:b= b +ab+ bc.$ Добавив к обеим частям по $ac$ и сгруппировав, придем к доказываемому равенству $b+ ac= (a+ b)(b+ c).$

Следующая подтема