Тождественные преобразования

Умножим первое равенство на и получим, что . Заменим в левой части на , так как они по условию равны, и после этого получим: . По условию, , тогда можем поделить на него обе части равенства и получим, что . Но тогда в первом равенстве из условия сделаем замену на в левой части, и замену на в правой части, получая требуемое: .

Сначала сократим дроби

Затем представим каждую дробь через её дополнение до целого числа

, откуда

Пусть - числа на доске.

Сумма чисел у профессора Odd равна

Сумма чисел у профессора Even равна

По условию

Попробуем доказать, что

Из каждой скобки мы выбираем число из нашего набора или и перемножаем, а результат - слагаемое после раскрытия скобок. Если выбрано нечетное количество чисел из набора, то нечетное число раз выбрана так как всего у нас 10 скобок. Таким образом, все слагаемые, в произведении которых нечетное количество чисел из набора, имеют знак минус после раскрытия скобок.

Аналогичным рассуждением получаем, что все слагаемые с произведением четного количества чисел с доски имеют знак плюс, в том числе и слагаемое 1, которое получается выбором из каждой скобки.

Тогда получается, что наша сумма равна Но по условию это выражение равно нулю. Тогда верно равенство

откуда следует, что на доске написано число

Из первого равенства Из последнего откуда Из второго откуда

Пусть  — произведение дробей с чётными знаменателями, не кратными  — произведение дробей с нечётными знаменателями, кратными  — со знаменателями, кратными  — со знаменателями, взаимно простыми с (если дробей какого-то вида нет, соответствующее произведение положим равным

При переворачивании дробей с чётными знаменателями, а также со знаменателями, кратными соответствующие произведения заменяются на обратные. Поэтому Поделив второе равенство на первое, получим откуда Искомое отношение равно

Сумма квадратов любых 7 чисел равна 7. Отсюда следует, что все эти квадраты равны 1. Все эти числа равны .

Сумма 11 положительна, значит, количество не превосходит 5.

Если все будут равны 1, то сумма равна 2017 и на 9 не делится.

Если поменять знак у одной единицы, то сумма уменьшится на 2. Сделав так 5 раз, получим 2007, которое делится на 9.

Давайте обозначим Тогда сравнение примет вид:

Запишем его так:

Домножим и поделим правую часть на сопряженное, а также разложим числитель на множители:

Поскольку на можно поделить:

Ясно, что числитель у дроби справа меньше а знаменатель — больше, потому что Значит, дробь меньше Таким образом, выражение слева больше.

Сначала напишем равенство суммы первых двух слагаемых третьему, и преобразуем его.

Так как по условию то на можно сократить. Получаем

Подставив в самую верхнюю строчку вычислений, получим, что сумма первых двух дробей равна и третья дробь тоже равна Значит, сумма трёх дробей равна

Приведём к общему знаменателю в скобках, получим

Предположим, что числа попарно различны.

Рассмотрим первую часть равенства:

Переносим все слагаемые влево и группируем:

Выносим за скобки:

Тогда один из множителей или равен 0. Но, по предположению, все числа попарно различны, поэтому Тогда

Аналогичным образом из равенства получаем равенство откуда аналогичными рассуждениями приходим к выводу о том, что

Получилось, что хотя, по предположению, числа попарно различны - противоречие.

Тогда получаем, что какие-то два числа из равны.

Пусть трёхчлены имеют вид:

где — различные свободные члены. Поскольку — корень выполняется:

Рассмотрим выражение

Тогда исходная сумма преобразуется:

где Тогда:

Таким образом, сумма всегда равна нулю, независимо от выбора корней

Первое решение.

Воспользуемся тождеством

Тогда по условию нам надо посчитать

где

По условию так что для любого выполнено Появляется идея: разбить слагаемые-косинусы на пары по аргументам потому что сумма косинусов у каждой такой пары равна нулю.

В сумме количество слагаемых . Если нечётно, то все слагаемые разбиваются на пары с нулевой суммой за счёт сказанного выше. Если чётно, то паре не найдётся слагаемому , но оно равно нулю.

В итоге для любого так что ответ

Второе решение.

Заметим, что

Если нечетно, разобьем все слагаемые, кроме , на пары, что сумма чисел в паре равна 1 . Отсюда разбитые на пары слагаемые дают сумму , а . Если же четно, то без пары остаются и , и . И в том, и в другом случае полная сумма равна

Первое решение.

Подберём таким образом, чтобы выполнялось равенства Тогда Следовательно,

Второе решение.

Найдём значение выражения Для этого достаточно найти значение его квадрата, а потом извлечь корень. Но квадрат этого выражения равен

Подставим вместо преобразуем и получим выражение

Следовательно, откуда и находим ответ.

Решение №1

Из условия следует, что — ненулевые числа. Из данных равенств получаем

Подставляя это в первую скобку, получаем

Аналогично со второй и третьей скобкой. В итоге данное выражение преобразуется в

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Решение №2

Домножим числитель и знаменатель на и получим

Из условия получаем, что Подставляя это в последнее выражение, получаем

Пусть даны числа . Тогда

Перемножим все эти неравенства и получится

Тогда

Пусть написанные на доске числа —

Тогда по условию задачи имеем следующее тождество:

Раскрываем скобки и в левой части группируем отдельно квадраты и удвоенные числа, получаем следующее уравнение:

Суммы квадратов в левой и правой частях взаимно уничтожаются.

Откуда получаем:

В задаче необходимо найти изменение суммы квадратов после прибавления к каждому числу, то есть значение выражения:

Раскроем скобки и сгруппируем отдельно квадраты и учетверенные попарные произведения:

Сумма квадратов взаимноуничтожится, а сумму чисел мы знаем. Подставляем в полученное выражение:

Числа натуральные и больше 1. Число 165 раскладывается ровно на 3 простых множителя, поэтому являются числами 3, 5 и 11 в каком-то порядке, являются числами 2, 4 и 10 в каком-то порядке и .

При слагаемых будет — чётное количество, поэтому их можно разбить на пар вида , посмотрим на сумму в такой паре

Отсюда сумма и (количество пар).

Первое решение.

Обозначим Видно, что Тогда надо понять, почему число

является полным квадратом. Утроенное произведение разнесём в три скобки, а удвоенные произведения — по двум соседним скобкам:

Получилось явно выделить полный квадрат.

Второе решение.

Просто раскроем скобки и получим

Теперь надо понять, квадратом какого числа это может быть.

Заметим, что каждый одночлен является либо квадратом , либо произведением каких-то двух чисел из этого набора. Отсюда вытекает вывод, что это должен быть квадрат , в чём нетрудно убедиться сравнением коэффициентов в одночленах. Действительно, при возведении этого выражения в квадрат полезут только упомянутые ранее квадраты и попарные произведения, которые нам и требуются.

Замечание.

Если число всё ещё кажется взявшимся из ниоткуда, то на помощь приходит симметрия. Поскольку выражение из условия симметрично относительно любой перестановки переменных, то и сам квадрат должен быть таким же. Отсюда, например, угадав набор слагаемых , можно угадать знаки перед ними: знаки не могут быть разными для и или для и , ведь это испортило бы симметрию!