Тема АЛГЕБРА

Квадратные трёхчлены → .03 Графики квадратных трёхчленов

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Квадратные трёхчлены

Дискриминант и корни квадратных трёхчленов

Теорема Виета для квадратных трёхчленов

Графики квадратных трёхчленов

Квадратные трёхчлены с целыми коэффициентами

Теорема о промежуточном значении

Задачи на исследование квадратичной функции

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#90289Максимум баллов за задание: 7

На оси $Ox$ отметили точки $0,1,2,...,100$ и нарисовали графики $200$ различных квадратичных функций, каждый из которых проходит через две из отмеченных точек и касается прямой $y = −1.$ Для каждой пары графиков Олег написал на доске число, равное количеству общих точек этих графиков. После чего он сложил все $19900$ чисел, написанных на доске. Мог ли он получить число $39699?$

Источники: Всеросс., 2021, РЭ, 11.3(см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Почти всегда две параболы пересекаются в 2 точках. Но при каких условиях параболы имеют ровно одну точку пересечения?

Подсказка 2

Параболы имеют только одну точку пересечения, если у них первого многочлена совпадает со вторым ось симметрии или расстояние между корнями. Теперь попробуем оценить количество точек пересечения.

Подсказка 3

Оцените количество многочленов, имеющие общую ось симметрии, а также имеющие одинаковые расстояния между корнями. В первом случае просто посчитайте, сколько у вас может быть различных осей. Во втором же предположим, что x_i - количество многочленов с расстоянием между корнями, равным i.

Подсказка 4

Если у вас получилась оценка на 39699, то вспомним, что x_100 не более 1.

Показать ответ и решение

Каждому из наших $200$ многочленов соответствует две целых точки $a$ и $b$ на оси $Ox.$ Не умаляя общности будем считать, что $a< b.$ Назовем шириной многочлена $f$ натуральное число $b− a,$ а осью многочлена — $a+b- 2 .$

Пусть многочлен $f$ имеет ширину $w > 0$ и ось $c,$ тогда он записывается в виде $-4 2 f(x)= w2(x− c)− 1.$

Покажем, что графики двух разных многочленов такого вида имеют ровно две общих точки, когда у них разные ширины и оси. Если же у них совпадает ширина или ось, то у них ровно одна общая точка.

Действительно, $4- 2 -4 2 w21(x − c1) − 1= w22(x− c2) − 1$ равносильно $(x− c1)w2 = ±(x− c2)w1.$ Если $w1 ⁄= w2,$ то каждое из двух линейных уравнений имеет корни, и они совпадают только если $c1 =c2.$ Если же $w1 = w2,$ то $c1 ⁄=c2$ (трехчлены разные) и одно из двух линейных уравнений корней не имеет, а второе имеет.

Заметим, что ширина многочлена может принимать значение от 1 до 100, при этом найдется не более одного многочлена с шириной $100.$ Обозначим $xi$ количество многочленов с шириной $i.$ Оценим количество пар многочленов с одинаковой шириной:

100 100 ∑ xi(xi−-1)= ∑ (x2i −-4xi+4)+-3xi−-4= i=1 2 i=1 2

100 2 =∑ (xi− 2)-+ 3⋅200− 4-⋅100≥ 1+ 100 i=1 2 2

В последнем неравенстве мы воспользовались следующим соображением: так как сумма ста чисел $xi$ равна 200 и $x100 ⁄= 2,$ то найдется еще хотя бы одно $xi ⁄= 2,$ следовательно, $∑100 2 i=1(xi− 2) ≥ 2.$

Осью многочлена может быть любое целое или полуцелое число от $1 2$ до $1 992,$ таких чисел $199,$ следовательно, найдется как минимум одна пара многочленов с общей осью. Это будет ранее не учтенная пара, так как трехчлены с общими шириной и осью совпадают. Чтобы найти количество точек пересечения графиков надо из удвоенного количества пар многочленов вычесть количество пар с одинаковой шириной или осью. Таким образом, точек пересечения не более, чем $200⋅199 2⋅--2-- − 101− 1= 39698,$ что меньше, чем $39699.$

Ответ:

не мог

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#39066Максимум баллов за задание: 7

Параболы $y =x2+ ax+ b$ и $y =x2+ cx+ d$ пересекают ось $Ox$ в точке $(2022;0)$ . Докажите, что если точки их вторичного пересечения с осью $Ox$ расположены симметрично относительно начала координат, то и точки их пересечения с осью $Oy$ расположены симметрично относительно начала координат.

Источники: Школьный этап - 2020, Москва, 11.1

Показать доказательство

Пусть первая парабола вторично пересекает ось $Ox$ в точке $r$ , а вторая — в точке $− r$ . Тогда по теореме Виета $b=2022r$ , $d =− 2022r$ , то есть $b= −d$ . Но эти параболы пересекают ось $Oy$ в точках $(0;b)$ и $(0;d)$ , откуда и следует требуемое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#42126Максимум баллов за задание: 7

Парабола $y = 20x2 +19x$ и прямая $y = 20x +19$ пересекаются в двух точках. Верно ли, что график функции $y = 20x3+19x2$ проходит через эти же две точки?

Источники: Муницип - 2020, Москва, 9.1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Можно заметить, что выражения очень похожи между собой...Попробуйте этим воспользоваться при нахождении точек пересечения)

Подсказка 2

Вспомните, что точки пересечения параболы и прямой - это корни уравнения, где с одной стороны - функция параболы, с другой - прямой.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Если парабола и прямая пересекаются в двух точках, то уравнение $2 20x + 19x =20x+ 19$ имеет два различных корня. Умножив обе его части на $x$ , получим уравнение $3 2 2 20x +19x = 20x +19x$ , которое имеет те же корни и ещё $x =0.$ Значит, график функции $3 2 y =20x + 19x$ проходит через обе точки пересечения прямой и параболы.

Второе решение.

Найдём точки пересечения параболы и прямой, решив систему уравнений: ${ 2 y = 20x +19x, . y =20x+ 19$ Получим точки $(1;39)$ и $( ) − 1290;0 .$ Подставив эти значения в уравнение $3 2 y = 20x +19x$ , получим верные равенства. Значит, график указанной функции проходит через эти точки.

Ответ: да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#108270Максимум баллов за задание: 7

Числовая характеристика $x$ некоторого теплоэнергетического процесса является корнем уравнения

3 x − 3x= t,

где $t$ — температура окружающей среды, измеряемая в градусах Цельсия. По некоторым технологическим соображениям корень должен быть единственным. При каких значениях $t$ уравнение имеет единственный корень $x0$ ? Оцените снизу абсолютную величину этого корня и покажите, что полученную оценку улучшить нельзя.

Источники: Надежда энергетики - 2020, 11.1 (см. www.energy-hope.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нарисуем график функции y = x³ - 3x. При каких t будет хотя бы две точки пересечения с прямой y = t?

Подсказка 2

Верно! При |t| ≤ 2. А вот при |t| > 2 уже будет только одна точка пересечения. Попробуем теперь оценить x. При t > 2 получается x³ - 3x > 2, а при t < -2 получается x³ - 3x < -2. А в каких простых случаях эти неравенства обращаются в равенства?

Подсказка 3

Верно! При x = 2 и x = -2 неравенства соответственно обращаются в равенства. А может ли тогда |x| быть между -2 и 2?

Показать ответ и решение

$PIC$

Нетрудно построить график функции $y = x3− 3x,$ заметив, что эта функция нечётная, обращается в $0$ ровно в трёх точках $√- x= 0,± 3;$ ( $1;−2$ ) является точкой минимума, а $(−1;2)$ является точкой максимума, функция неограниченно возрастает при $x> 1$ и неограниченно убывает при $x< −1.$ Таким образом, число корней равно

$3,$ если $|t|< 2,$

$2,$ если $|t|= 2,$

$1,$ если $|t|> 2.$

Единственный корень есть в точности при $|t|>2.$

Далее оценим абсолютную величину корня $x$ при $|t|> 2.$ Из графика видно, что $|x|> √3.$ Можно получить и более точную оценку, рассматривая неравенства $x3− 3x> 2$ при $t>2$ и $x3− 3x< −2$ при $t<− 2.$ Замечая, что $x3 = 2+ 3x$ при $x= 2,$ а также $x3 = −2 +3x$ при $x= −2,$ находим $|x|> 2.$

Замечание.

Допустимо также геометрическое решение, основанное на том наблюдении, что предельный (промежуточный) случай двух корней соответствует ситуации, когда одним из корней является точка экстремума.

Ответ:

Уравнение имеет единственный корень в точности при $|t|>2.$ Для этого корня точная оценка снизу: $|x|>2.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#108450Максимум баллов за задание: 7

Графики двух квадратичных функций, вершины которых имеют абсциссы $x,x 1 2$ и лежат на оси абсцисс, пересекаются в точках с абсциссами $x3,x4.$ На первом графике выбрали точку $M$ с абсциссой $x2,$ а на втором — точку $N$ с абсциссой $x1.$ Найдите абсциссу точки пересечения прямой $MN$ с осью абсцисс.

Источники: Изумруд - 2020, 11.2 (см. izumrud.urfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Учитывая, что трёхчлены касаются оси абсцисс, их уравнения имеют довольно простой вид. Приравняв их, можно найти связь между абсциссами вершин и точек пересечения.

Подсказка 2

Теперь осталось написать уравнение прямой MN и узнать абсциссу, при которой ордината зануляется.

Показать ответ и решение

Поскольку вершины графиков квадратичных функций лежат на оси абсцисс, то эти функции имеют вид

2 2 a(x− x1) и b(x− x2),

причём $a ⁄=0,b⁄= 0.$ Точки пересечения этих графиков найдём из уравнения

2 2 a(x − x1) = b(x − x2),

которое после преобразований примет вид

2 2 2 (a− b)x + (2bx2− 2ax1)x+ ax1− bx2 = 0.

По теореме Виета, корни уравнения $x3,x4$ удовлетворяют равенству

2bx2−-2ax1 x3+ x4 = b− a .

Из условия следует, что координаты точек $M$ и $N$ равны $( 2) x2;a (x2− x1)$ и $( 2) x1;b(x1− x2)$ соответственно. Уравнение прямой $MN$ имеет вид:

2 x−-x1-= ----y− b(x1−-x2)----. x2− x1 a(x2 − x1)2− b(x1− x2)2

Обозначим абсциссу точки пересечения прямой $MN$ с осью абсцисс через $x0.$ При этом ордината этой точки равна нулю, то есть справедливо равенство

z0− x1 − b(x1− x2)2 x2− x1-= a(x2-− x1)2− b(x1−-x2)2,

и поскольку $x1 ⁄= x2$ (иначе бы графики пересекались в одной точке или совпадали), то последнее равенство равносильно равенству

-z0−-x1 =-−-b, x2 − x1 a − b

откуда

b(x2−-x1)+-(b− a)x1 bx2− ax1 x3+x4- x0 = b− a = b− a = 2 .

Ответ:

$x3+x4 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#109924Максимум баллов за задание: 7

График квадратного трёхчлена касается графика его производной. Докажите, что у трёхчлена нет корней.

Источники: ИТМО - 2020, 11.2 (см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть наш квадратный трёхчлен равен ax²+bx+c. Тогда чему равна его производная?

Подсказка 2

Верно, 2ax+b. Графики параболы и прямой касаются, значит, имеют одну общую точку. Как можно это записать в виде уравнения?

Подсказка 3

Это значит, что уравнение ax²+bx+c = 2ax+b имеет единственное решение. Более того, это квадратное уравнение, то есть мы можем сказать, чему равен его дискриминант!

Подсказка 4

Верно, его дискриминант равен нулю. Теперь мы можем сделать вывод о том, какой знак у дискриминанта исходного квадратного трёхчлена.

Показать доказательство

Касание графиков означает, что разность многочлена и производной имеет единственный корень. Пусть трёхчлен равен $ax2+ bx+ c,$ тогда производная — это $2ax+ b.$

Их разность равна $2 ax + (b− 2a)x+ (c− b).$ Её дискриминант должен быть равен $0,$ то есть $2 (b− 2a)− 4a(c− b)= 0,$ откуда $2 2 b − 4ac =− 4a < 0,$ то есть у трёхчлена нет корней.

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#75450Максимум баллов за задание: 7

График квадратичной функции $y = ax2 +c$ пересекает оси координат в вершинах правильного треугольника. Чему равно $ac$ ?

Источники: Муницип - 2019, 10-11 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте сначала разберемся со знаками. Очевидно, что ac < 0, так как если больше, то парабола лежит целиком выше оси OX или целиком ниже, а значит точек пересечений с ней не имеет. Значит и a/c < 0. Теперь разберемся что такое точки пересечения с каждой из осей. С осью OX точки пересечения это…

Подсказка 2

Это корни нашего уравнения! А с OY - значение в нуле(по модулю). Но ведь и корни и значение в нуле мы знаем не так ли? А еще знаем, что расстояние между корнями равно значению в 0. Что это может дать?

Подсказка 3

Ну понятно, что это может дать. Находим расстояние между корнями, значение в нуле, откуда расстояние между точкой пересечения OY и одной из точек пересечения OX. В итоге находим значение ac = -3.

Показать ответ и решение

Одно из пересечений с осью абсцисс обозначим за $X$ , пересечение с осью ординат обозначим за $Y$ , $O$ — начало координат. Тогда $∘ -c- OX = −a$ , $OY = |c|$ . По теореме Пифагора $∘ -2--c XY = c − a$ . $∘ ∠OXY = 60$ , а значит $2OX = XY$ , то есть $∘ --c ∘-2--c 2 −a = c − a$ , откуда $-c 2 − 3⋅a = c$ . Если $c= 0$ , то график бы не пересекал оси координат в вершинах треугольника, тогда сократим на $c$ и получим $ac= −3$ .

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#88873Максимум баллов за задание: 7

Дана линейная функция $f(x)$ . Известно, что расстояние между точками пересечения графиков $y = x2$ и $y = f(x)$ равно $√10,$ а расстояние между точками пересечения графиков $2 y = x − 1$ и $y = f(x)+ 1$ равно $√-- 42.$ Найдите расстояние между точками пересечения графиков функций $2 y = x + 1$ и $y = f(x)+ 3.$

Показать ответ и решение

Так как расстояние между точками пересечения графиков $y = x2− 1$ и $y =f(x)+ 1$ равно $√42,$ то расстояние между точками пересечения графиков функций $(2 ) y = x − 1 +2$ и $y =(f(x)+ 1)+2$ такое же и равно $√ -- 42,$ потому что от прибавления одинаковой константы (2) к обеим функциям расстояние между их графиками не поменяется.

Ответ:

$√42$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#105455Максимум баллов за задание: 7

Дана линейная функция $f(x).$ Известно, что расстояние между точками пересечения графиков $y = x2+ 1$ и $y = f(x)$ равно $3√2,$ а расстояние между точками пересечения графиков $2 y =x$ и $y = f(x)− 2$ равно $√ -- 10.$ Найдите расстояние между точками пересечения графиков функций $2 y = x$ и $y = f(x).$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте нашу линейную функцию запишем как ax + b. Как найти её точки пересечения с указанными параболами?

Подсказка 2

По сути, точки пересечения — это решения у x² + 1 = ax + b. А помним ли мы, как быстро найти расстояние между абсциссами решений квадратного уравнения?)

Подсказка 3

Расстояние между корнями квадратного уравнения равно корню из дискриминанта! Тогда мы сможем записать систему уравнений на расстояния из условия и найти a² и b ;)

Подсказка 4

Здорово, a² = 1, b = 3. Осталось лишь найти нужное расстояние, используя уже знакомые нам инструменты :)

Показать ответ и решение

Пусть $f(x)= ax +b$ . Тогда абсциссы точек пересечения графиков в первом случае определяются из уравнения $x2+1 =ax +b$ , а во втором случае — из уравнения $2 x = ax +b− 2.$

Рассмотрим первый случай подробнее. Уравнение имеет вид $2 x − ax+ 1− b=0$ , откуда

a ±√a2+-4b−-4 ∘ -------- x1,2 =------2------; |x2− x1|= a2+ 4b− 4

Так как точки пересечения графиков лежат на прямой с угловым коэффициентом $a$ , то расстояние между точками в $√ ----- a2 +1$ раз больше, чем $|x2− x1|$ . Значит, расстояние между точками равно корню из соответствующего дискриминанта, то есть

∘ ---------------- (a2+ 1)(a2+ 4b− 4)

Аналогично находим, что во втором случае расстояние между точками равно $∘ ---------------- (a2+ 1)(a2+ 4b− 8)$ . Из условия получаем систему уравнений

{ ( )( ) a(2+ 1)a(2+ 4b− 4) =9⋅2, a2+ 1 a2+ 4b− 8 =10,

10(a2+4b− 4)= 18(a2+4b− 8)

2 2 5(a + 4b − 4)= 9(a + 4b− 4)− 36

2 a + 4b − 4= 9

a2+1 =2

b=3

Найдём искомое расстояние. Абсциссы точек пересечения определяются уравнением $2 x − ax − b= 0$ , для него $√-2---- √----- |x2− x1|= a + 4b= 1+ 12$ , а расстояние между самими точками пересечения есть $√-2--- √-- √- |x2 − x1| a + 1= 13⋅ 2.$

Ответ:

$√26$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#31280Максимум баллов за задание: 7

Графики двух квадратных трёхчленов пересекаются в точках $A$ и $B$ . Через вершину $O$ первого из них проведены прямые $OA$ и $OB$ , которые пересекают второй график в точках $C$ и $D$ . Докажите, что прямая $CD$ параллельна оси абсцисс.

Источники: КМО - 2018, вторая задача второго дня для 10-11 классов, автор Антропов А.В. (cmo.adygmath.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пупупу… А что мы вообще знаем в задаче? Нам известно только то, что графики двух квадратных трёхчленов пересекаются в двух точках. А можно ли как-то схитрить, чтобы точно знать в каких значениях пересекаются два графика?

Подсказка 2

Да, мы можем перенести и сжать всю картинку так, чтобы один из графиков имел вид: y= x² и его вершина совпала с началом координат! Это удобно сделать с первым графиком, поскольку нам известна его вершина. Какое уравнение будет иметь в таком случае второй график(если первый и второй график пересекаются в точках A и B)? И как мы можем записать условие на то, что прямая пересекается с параболой?

Подсказка 3

Верно, парабола задается как: y = x² + k(x-a)(x-b), а прямая y = ax. Тогда было был очень хорошо приравнять эти функции, потому что их графики пересекаются! Можем ли мы найти корни этого уравнения?

Подсказка 4

Да, мы можем найти корни! А что поменяется, если мы будем рассматривать другую точку пересечения параболы и прямой?

Показать доказательство

Обозначим график первого из квадратных трехчленов через $G 1$ , а график второго — $G 2$ . Для начала перенесём всю картинку таким образом, чтобы точка $O$ совпала с началом координат. Рассмотрим такое сжатие всей картинки к оси абсцисс, чтобы $G1$ совпал с графиком функции $2 y =x$ . Пусть точка $A$ имеет координаты $2 (a,a )$ , точка $B$ — координаты $2 (b,b)$ . Заметим, что разность квадратных трёхчленов, задающих графики $G1$ и $G2$ , есть квадратный трёхчлен, который обращается в ноль в точках $a$ и $b$ . Из этого следует, что график $G2$ задаётся уравнением $2 y = x + k(x − a)(x − b)$ для некоторого действительного $k ⁄∈{0,− 1}.$

Прямая $OA$ задаётся уравнением $y = ax$ , поэтому точка $C$ может быть найдена как решение системы $y = ax$ , $2 y = x +k(x− a)(x− b)$ . Приравнивая правые части, получаем уравнение $2 x + k(x − a)(x − b)= ax$ . Одно из решений этого уравнения $x = a$ , поэтому второе по теореме Виета равняется $kb 1+k-$ ; подставляя это выражение в первое уравнение, получаем $kab y = 1+k$ . Заметим, что последнее выражение симметрично относительно $a$ и $b$ , поэтому если мы проделаем все те же действия для точек $B$ и $D$ , мы получим тот же самый $y$ . Но тогда ординаты точек $C$ и $D$ равны, откуда и следует, что прямая $CD$ параллельна оси абсцисс.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание. Утверждение задачи является предельным случаем следующего более общего факта (который можно назвать параболическим аналогом леммы Фусса).

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть две параболы $G1$ и $G2$ (с параллельными осями) пересекаются в точках $A$ и $B$ . Пусть прямая, проходящая через $A$ , пересекает вторично $Gi$ в точке $Ai$ ( $i=1,2$ ), а прямая, проходящая через $B$ , пересекает вторично $Gi$ в точке $Bi$ . Тогда $A1B1 ∥A2B2$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#38128Максимум баллов за задание: 7

Даны две линейные функции $f(x)$ и $g(x)$ такие, что графики $y =f(x)$ и $y = g(x)$ — параллельные прямые, не параллельные осям координат. Известно, что график функции $2 y = (f(x))$ касается графика функции $y =11g(x).$ Найдите все значения $A$ такие, что график функции $2 y =(g(x))$ касается графика функции $y = Af(x).$

Источники: Физтех-2018, 11.2 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем пока просто записывать условие последовательно. Т.к. прямые параллельны, то коэффициент при х у них одинаков(например, k). Осталось записать условие на касание указанных функций(какое оно?), и понять, какие условия необходимы для касания требуемых функций.

Подсказка 2

Чтобы записать касание двух функций, достаточно их приравнять и потребовать единственное решение получившегося уравнения!

Подсказка 3

Если произошло касание, то уравнение (f(x))^2 = 11g(x) имеет ровно одно решение, а т.к. оно является квадратным, то его дискриминант равен нулю. Запишем это условие и сделаем выводы о свободных коэффициентах функций g(x) и f(x). Далее запишем условие на касание требуемых функций: (g(x))^2 = A*f(x) должно иметь нулевой дискриминант. Сделав несколько алгебраических преобразований и используя то, что мы узнали про свободные коэффициенты из первого касания, находим, при каких А дискриминант всё-таки нулевой!

Показать ответ и решение

Пусть $f(x)=kx +a,g(x)= kx+ b$ . В силу условие на касание графиков у уравнения $k2x2+2kax+ a2 = 11kx+ 11b$ должен быть нулевой дискриминант, то есть

2 2 2 2 2 2 (2ka− 11k)− 4k(a − 11b)= 0 ⇐⇒ −44ka+ 121k +44kb =0

Из условия $k ⁄= 0$ , то есть $4(b− a)+ 11=0$ .

Теперь запишем второе условие $k2x2 +2kbx+ b2 = kAx +aA$ , условие на дискриминант

2 2 2 2 2 2 2 (2kb− Ak) − 4k (b − aA)= −4k bA + A k +4k aA= 0

Если $A= 0$ , то квадрат касается прямой $y =0$ , что нам подходит, иначе $− 4b+A + 4a = 0 ⇐ ⇒ A = 4(b− a)= −11$ . Поскольку условие на дискриминант равносильно условию задачи, то мы нашли все подходящие $A$ .

Ответ:

$0,−11$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#78977Максимум баллов за задание: 7

На координатной плоскости построены графики линейной и квадратичной функций:

$PIC$

Уравнение линейной функции имеет вид $y =cx+ 2c$ для некоторого числа $c$ . Используя тот же параметр $c$ , запишите уравнение квадратичной функции.

Источники: Муницип - 2018, Московская область, 9.2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание на график, какие точки пересечения парабола имеет с осями?

Подсказка 2

Чтобы определить точки пересечения, заметим, что парабола и прямая пересекают оси в одних и тех же точках, тогда, подставляя x = 0 и y = 0 в уравнение прямой, вы получите точки пересечения осей параболой.

Подсказка 3

Ветви параболы направлены вверх, а вершина находится в точке (-2; 0), тогда как будет записано уравнение параболы?

Подсказка 4

Уравнение параболы выглядит следующим образом: y = a(x+2)². Подставив точку пересечения параболы с осью Oy, мы сможем выразить a через c.

Показать ответ и решение

Найдем координаты точек пересечения графика линейной функции с осями координат: $(0;2c)$ и $(− 2;0).$

$PIC$

График квадратичной функции (парабола) касается оси $OX$ в точке $(−2;0),$ следовательно, её уравнение имеет вид $2 y =a(x+ 2) .$

Так как парабола проходит через точку $(0;2c),$ то, подставляя $x= 0,y = 2c$ в полученное уравнение, имеем $2 2c= a⋅2 ,$ откуда $a =0,5c.$

Таким образом, искомое уравнение: $y = 0,5c(x +2)2.$

Ответ:

$y =0,5c(x+ 2)2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#88688Максимум баллов за задание: 7

Даны две линейные функции $f(x)$ и $g(x)$ такие, что графики $y =f(x)$ и $y = g(x)$ — параллельные прямые, не параллельные осям координат. Найдите наименьшее значение функции $2 (g(x)) +2f(x),$ если наименьшее значение функции $2 (f(x))+ 2g(x)$ равно $5.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте сначала разберёмся, что это за линейные функции такие, у которых графики параллельны?

Подсказка 2

Если графики линейных функций параллельны, значит, их угловые коэффициенты равны. Пусть f(x) = ax + b, g(x) = ax + c. А что за функции будут (f(x))² + 2g(x) и (g(x))² + 2f(x)? Как найти их наименьшее значение?

Подсказка 3

После подстановки мы получим квадратичные функции, графиками которых являются параболы с ветвями вверх. Значит, их наименьшее значение будет в вершине.

Подсказка 4

Ордината вершины (f(x))² + 2g(x) это -2b - 1 + 2c, а у второй функции -2с - 1 + 2b. Давайте запишем систему: -2b – 1 + 2c = 5 и -2c – 1 + 2b = m. Из этой системы найдите m - это и есть искомое минимальное значение функции (g(x))² + 2f(x)

Показать ответ и решение

Пусть $f(x)= ax +b,g(x)= ax+ c$ , где $a ⁄=0$ . Рассмотрим $h(x)= (f(x))2+ 2g(x)$ . Раскрывая скобки, получаем

2 22 2 h(x)= (ax+ b) +2(ax +c)= a x +2a(b+1)x+ b+ 2c

График $y = h(x)$ — это парабола с ветвями вверх, минимальное значение принимается в вершине. Абсциссой вершины является $x =− b+1 B a$ ; ордината вершины равна $h(x )= −2b− 1+ 2c B$ .

Аналогично получаем, что минимальное значение выражения $(g(x))2+2f(x)$ равно $− 2c− 1+ 2b$ . Заметим, что сумма этих двух минимальных значений равна -2, следовательно, если одно из этих минимальных значений равно 5, то второе равно $− 2− 5= −7.$

Ответ: -7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#38129Максимум баллов за задание: 7

Графики двух квадратных трёхчленов пересекаются в двух точках. В обеих точках касательные к графикам перпендикулярны. Верно ли, что оси симметрии графиков совпадают?

Источники: Турнир городов - 2017, весенний тур, базовый вариант, 11.5

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала надо бы рассмотреть какую-нибудь параболу. Далеко ходить не будем, возьмём просто y = x². Ну и проведём касательную в точке А, отличной от вершины параболы. Всегда ли можно построить в таком случае перпендикулярную касательную?

Подсказка 2

Оказывается, что из непрерывности и неограниченности производной следует, что действительно найдётся перпендикулярная касательная. Попробуйте это осознать! Пусть это будет касательная в точке B. Теперь мы хотим построить ещё одну параболу, которая будет пересекаться с нашей в этих двух точках касания, да при этом ещё должно соблюдаться условие на перпендикулярность касательных в этих точках... Постойте, может, нам поможет какое-нибудь известное и красивое преобразование, связанное с серединой отрезка AB!

Подсказка 3

Ну конечно же, центральная симметрия относительно середины AB! Попробуйте понять, что произойдёт с касательными в точках A и B для новой параболы, получится ли нужная нам перпендикулярность. Если да, то останется понять, как соотносятся абсциссы вершин этих парабол, ведь через них проходят оси симметрии!

Показать ответ и решение

Первое решение.

$PIC$

Рассмотрим $y = x2$ . Проведём касательную в любой точке $A$ , кроме вершины. В силу непрерывности (и на самом деле неограниченности) производной найдётся касательная в другой точке $B$ , перпендикулярная нашей. Затем отразим всю параболу относительно середины $X$ отрезка $AB$ . Точки пересечения поменяются местами, касательная в точке $A$ к исходной параболе перейдёт в параллельную касательную в точке $B$ к новой параболе, а касательная в точке $B$ к исходной параболе перейдёт в параллельную касательную в точке $A$ к новой параболе. Так что к новой параболе касательные останутся перпендикулярны. При этом абсцисса вершины новой параболы будет равна удвоенной абсциссе точки $X$ , а не нулю, так что оси симметрии у парабол не совпадают.

Второе решение.

Приведём ещё один конкретный пример: $f(x)= 1(x2 +6x− 25) 8$ и $g(x)= 1(25+ 6x− x2) 8$ . Оси парабол $x= ±3$ различны, а пересекаются они в точках $x= ±5$ . Возьмём производные $f′(x)= 1(x+ 3),g′(x)= 1(−x +3) 4 4$ . Подставляя $5$ и $− 5$ , получаем произведения тангенсов углов наклона касательных в точках пересечения $1 ⋅8 ⋅ 1⋅(− 2) =− 1 4 4$ . То есть касательные действительно перпендикулярны в обеих точках при несовпадающих осях.

Ответ:

нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#75451Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что на графике любого квадратного трёхчлена со старшим коэффициентом 1, имеющего ровно один корень, найдётся такая точка $(p,q)$ , что трёхчлен $2 x + px +q$ также имеет ровно один корень.

Источники: Турнир городов - 2017, весенний тур, базовый вариант, 9.2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что можно сказать про трехчлен, который имеет ровно 1 корень и старший коэффициент = 1? В каком виде его можно записать?

Подсказка 2

Верно, его можно записать в виде (х - а)^2. Поймем тогда как нам подобрать точку, чтобы коэффициент p был равен некоторому 2t, а q = (2t - a)^2 = t^2, к примеру? На самом деле, понятно, что любой квадратный трехчлен, который представляется в виде (x - k)^2 можно привести к виду (x + t)^2.

Подсказка 3

Либо пытаясь найти красивые решения системы выше, либо просто перебирая коэффициенты при t (ведь t как-то должно выражаться через а) можно увидеть, что t = a подходит (то есть и лежит на параболе, и подходит под условие задачи). Доказали.

Показать доказательство

Любой такой трёхчлен имеет вид $(x − a)2$ . Заметим, что точка $(2a,a2)$ подходит.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#75453Максимум баллов за задание: 7

График $y = x+b√x +c$ , где $c> 0$ , имеет с осью ординат общую точку $C$ , а ось абсцисс пересекает в точках $X 1$ и $X 2$ . Обозначим через $O$ начало координат. Докажите, что

∘ ∠CX1O +∠CX2O = 90

Источники: Олимпиада Эйлера, 2017, ЗЭ, 2 задача(см. old.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте изобразим точки пересечения на координатной плоскости. C > 0 по условию, а X₁ и X₂ будут больше нуля, потому что x ≥ 0 из ограничения квадратного корня. Тогда оба треугольника CX₁O и CX₂O будут расположены в первой четверти и будут прямоугольными. Тогда как мы можем переписать условие ∠CX₁O + ∠CX₂O = 90° по-другому?

Подсказка 2

∠CX₂O = 90° - ∠X₂CO. Значит, условие мы можем переписать как ∠CX₁O = ∠X₂CO. Что мы можем сказать про треугольники CX₁O и CX₂O?

Подсказка 3

Треугольники CX₁O и CX₂O должны быть подобными. Из подобия следует, что OC² = OX₁ * OX₂. Как это можно доказать?

Подсказка 4

Для начала выразим OC, OX₁ и OX₂ через что-то общее. Наша функция является квадратным трехчленом при замене √x = t, пусть изначальная функция пересекает Ox в точках x₁ и x₂. Тогда корни относительно t это √x₁ и √x₂. Чему тогда будет равно OC, OX₁ и OX₂?

Показать доказательство

Пусть корни равны $x ,x 1 2$ . Очевидно, что они положительны. Для наглядности изобразим точки из условия на графике:

$PIC$

Заметим, что равенство $∠CX1O +CX2O =90∘$ равносильно равенству $∠OCX1 = ∠CX2O$ , а оно в свою очередь равносильно подобию $ΔOCX1$ и $ΔOCX2$ . Наконец, оно равносильно равенству $OC2 = OX1 ⋅OX2$ , которое мы будем доказывать. Заметим, что данная функция является квадратным трёхчленом относительно $√x$ и имеет корни $√x1$ и $√x2-$ , а значит по теореме Виета $OC = c= √x1x2$ . Также понятно, что $OX1 = x1$ , $OX2 = x2$ . Тогда при подстановке в равенство $OC2 =OX1 ⋅OX2$ получим $x1x2 = x1x2.$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#88684Максимум баллов за задание: 7

Две параболы с различными вершинами являются графиками квадратных трёхчленов со старшими коэффициентами $p$ и $q.$ Известно, что вершина каждой из парабол лежит на другой параболе. Чему может быть равно $p +q?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте для начала запишем уравнения наших парабол (удобнее записать их именно через вершины), как нам использовать информацию о том, что вершина каждой из парабол лежит на другой параболе?

Подсказка 2

Конечно же, просто составить систему уравнений! Если вершина первой параболы находится в точке (а₁;b₁), а вершина второй в точке (а₂;b₂), то мы получаем систему из уравнений b₂ = p(а₁ - a₂)² + b₁ и b₁ = q(a₂ - а₁)² + b₂! Остается лишь найти отсюда связь между р и q). Замечание: на самом деле мы можем совместить начало координат с вершиной одной из парабол, тогда неизвестных станет на две меньше

Подсказка 3

Нетрудно заметить, что коэффициенты перед р и q в наших уравнениях совпадают, если мы сложим уравнения, то b₁ и b₂ сократятся, а из полученного равенства легко можно будет найти искомую сумму (однако не забудьте предварительно рассмотреть случай равенства а₁ = a₂!)

Показать ответ и решение

Первое решение. Без ограничений общности можно считать, что вершина первой параболы — точка $(0,0)$ . Пусть вершина второй — $(a,b).$ Тогда уравнения парабол имеют вид: $2 y =px$ и $y = q(x−$ $2 a) +b,$ причём $2 b= pa$ и $2 0= qa + b$ . Отсюда $2 (p+ q)a = 0$ . Если $a =0$ , то и $b= 0$ , но вершины парабол различны, поэтому $p+ q = 0.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Пусть $A$ и $B$ — вершины парабол. Рассмотрим третью параболу, симметричную первой относительно середины отрезка $AB$ . Она имеет вершину $B$ и содержит точку $A$ . Поскольку парабола однозначно определяется своей вершиной и ешё одной точкой, третья парабола совпадает со второй. Значит, старшие коэффициенты исходных парабол отличаются только знаком.

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#88685Максимум баллов за задание: 7

На координатной плоскости изображены графики функций $y =x2 +bx+ c$ и $y =x2 +cx+ b$ .

$PIC$

Найдите значения $b$ и $c$ . В ответе запишите уравнения каждой из функций.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы знаем один из корней трехчлена. Очень хочется найти и второй, ведь тогда мы сможем найти и b, и c. Подумайте, как это можно сделать, пользуясь графиком?

Подсказка 2

Заметьте, что второй корень трехчлена лежит именно в точке пересечения двух графиков. Как переписать условие пересечения двух графиках в виде уравнения?

Подсказка 3

Если графики пересекаются, значит, значения функций в этой точке равны, следовательно, мы можем приравнять функции, задающие графики парабол.

Подсказка 4

Получаем уравнение x² + bx + c = x² + cx + b, отсюда получаем, что (b - c)x = b - c. Далее мы можем получить x = 1, разделив на (b - c), но сделать мы можем это только при условии, что b - c не равно нулю. Докажите, почему b - c не может быть равно нулю!

Показать ответ и решение

Абцисса точки пересечения графиков функций удовлетворяет уравнению

2 2 x + bx+ c= x +cx+ b

(b− c)x= (b− c)

В силу того, что графики функций не совпадают, заключаем $b⁄=c,$ то есть $x= 1$ — общий корень двух трехчленов. Без ограничений общности можем считать, что именно многочлен $x2+ bx+ c$ имеет корень $− 3.$ Таким образом, $x2+ bx+ c=(x+ 3)(x− 1),$ то есть $b= 2,c=− 3.$

Ответ:

$x2+ 2x− 3,x2− 3x+ 2$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#88682Максимум баллов за задание: 7

На рисунке изображен график функции $y = x2+ ax +b.$

$PIC$

Известно, что прямая $AB$ перпендикулярна прямой $y = x.$ Найдите длину отрезка $OC.$

Источники: Окружная олимпиада (Москва) - 2013, 9.2

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как $y(0)= b,$ то $B(0,b).$ Из условия задачи следует, что точки $A$ и $B$ симетричны относительно прямой $y =x.$ Следовательно, $A(b,0).$ Таким образом, число $b$ и искомая длина $c$ отрезка $OC$ являются корнями квадратного уравненния $x2+ ax+ b= 0.$ По теореме Виета $bc= b.$ Так как $b⁄= 0,$ то $c= 1.$

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#125884Максимум баллов за задание: 7

Приведённые квадратные трёхчлены $f(x)$ и $g(x)$ таковы, что уравнения $f(g(x))= 0$ и $g(f(x))= 0$ не имеют вещественных корней. Докажите, что хотя бы одно из уравнений $f(f(x))= 0$ и $g(g(x))= 0$ тоже не имеет вещественных корней.

Источники: Всеросс, ЗЭ, 2007, 9.1 (см. olympiads.mccme.ru)

Показать доказательство

Поскольку трёхчлены приведённые, их графики — параболы с ветвями, направленными вверх. Они принимают все значения от минимального до $+∞.$ Обозначим корни $f(x)$ как $α,β,$ а корни $g(x)$ как $γ,δ.$ Если какой-то из них не имеет корней, то утверждение задачи очевидно.