Тема АЛГЕБРА

Квадратные трёхчлены → .01 Дискриминант и корни квадратных трёхчленов

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Квадратные трёхчлены

Дискриминант и корни квадратных трёхчленов

Теорема Виета для квадратных трёхчленов

Графики квадратных трёхчленов

Квадратные трёхчлены с целыми коэффициентами

Теорема о промежуточном значении

Задачи на исследование квадратичной функции

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#105454Максимум баллов за задание: 7

Известно, что модули корней каждого из двух квадратных трёхчленов $x2+ ax +b$ и $x2+ cx +d$ меньше $10.$ Может ли трёхчлен $2 a+c b+d x + 2 x+ 2$ иметь корни, модули которых не меньше $10?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первый делом задумаемся, а как связан третий многочлен с первым и вторым?

Подсказка 2

Нас спрашивают про полусумму трёхчленов! Тогда мы можем оценивать его значения при помощи значений первого и второго многочлена.

Подсказка 3

Что происходит со значениями первых двух многочленов при |x|>=10?

Подсказка 4

Обратите внимание на то, что первые две параболы в условии — с ветвями вверх!

Показать ответ и решение

Раз корни $f(x)= x2+ax+ b$ и $g(x)= x2+ cx +d$ лежат на интервале $(−10;10)$ , то при $|x|≥ 10$ выполнено $f(x)> 0$ и $g(x)> 0.$ Но тогда

2 a +c b+ d f(x)+ g(x) h(x)=x +--2-x+ --2-= ----2----

также принимает положительные значения при $|x|≥ 10$ , поэтому если у $h(x)$ есть корни, то они лежат на $(−10;10)$ .

Ответ: нет

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#129692Максимум баллов за задание: 7

Пусть $a,$ $b,$ $c$ — различные числа, причем $c⁄= 0.$ Известно, что уравнения $x2+ax+ bc= 0$ и $x2+ bx+ ca =0$ имеют ровно один общий корень. Найдите все возможные значения суммы $a+ b+c.$

Показать ответ и решение

Пусть $x ,x 1 2$ — корни первого уравнения, а $x , 2$ $x 3$ — корни второго уравнения, где $x 2$ — их общий корень. Тогда уравнения можно записать в виде

(x− x1)(x − x2)= 0 и (x − x2)(x − x3)= 0.

Рассмотрим разность этих уравнений:

(x− x1)(x− x2)− (x− x2)(x − x3)= 0

(x− x )((x− x)− (x− x ))= 0 2 1 3

(x − x2)(x − x1− x+ x3)=0

(x − x2)(x3− x1)=0

А с другой стороны, вычтем уравнения в исходном виде:

(x2 +ax+ bc)− (x2+bx+ ac) =0

ax− bx +bc− ac =0

x(a− b)− c(a − b)= 0

(x− c)(a− b)= 0

Так как по условию у уравнений ровно один общий корень, значит, что общий корень уравнений равен $c.$ Значит, $x2 = c.$

Подставим $x =c$ в любое из уравнений, например, в первое:

c2 +ac+ bc =0

Вынесем $c$ за скобки:

c(c+ a+ b) =0

Так как по условию $c⁄= 0,$ то можно разделить обе части уравнения на $c,$ откуда получаем:

a+ b+c =0

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#84473Максимум баллов за задание: 7

Пусть $a$ , $b$ , $c$ — различные числа, причем $c⁄= 0$ . Докажите, что если уравнения $x2+ ax+bc= 0$ и $x2+bx+ ca= 0$ имеют ровно один общий корень, то другие корни этих уравнений удовлетворяют уравнению $2 x +cx+ ab= 0$ .

Показать доказательство

Пусть $x ,x 1 2$ — корни $x2+ax +bc= 0,$ а $x ,x 1 3$ — корни $x2 +bx+ ca.$ Подставим $x 1$ в уравнения, тогда, так как он общий, получится:

2 2 x1+ax1+ bc= x1 +bx1+ ca

$x2 1$ взаимно уничтожается, перебрасываем все слагаемые с $x 1$ влево, остальное — вправо и выносим общие множители, получается:

(a− b)x1 = (a− b)c

Так как $a$ и $b$ по условию различны, то $a − b⁄= 0,$ следовательно, можно поделить на $a− b,$ откуда получим, что $x1 = c.$ Тогда из теоремы Виета $x1x2 =bc$ и $x1x3 =ca.$ Так как $c⁄=0$ по условию, разделим на $c= x1$ каждое уравнение. Получаем, что $x2 = b$ и $x = a. 3$

Помимо этого, по теореме Виета: $x +x = −a, 1 2$ то есть $c= x = −a− x = −a− b= −(a+b). 1 2$ Но $− (x + x)= −(a+ b)=− c. 2 3$ Тогда по обратной теореме Виета $x 2$ и $x 3$ — корни $x2+ cx +ab= 0.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#96408Максимум баллов за задание: 7

Решить уравнения, выделив полный квадрат:

(a) $x2+ 4x− 5= 0.$

(b) $x2+ 5x+ 7= 0.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если мы хотим представить наш многочлен в виде (x + c)² + k (то есть выделить полный квадрат), то нам надо понять, чему равно c. Коэффициент перед х в таком выражении будет равен 2c, а значит 2c = 4, c = 2. Надо понять, какое k, если x^2 + 4x - 5 = 0. Сделайте это в пунктах (а) и (б). Что получается?

Подсказка 2

В первом k = -9, а во втором k = 3/4. Что нужно делать дальше? Перенести число в другую часть. Мы получили равенство вида (x - c)² = -k. Каким должно быть k, чтобы были решения и какие решения будут при нужных k?

Подсказка 3

Оно должно быть отрицательным, так как квадрат всегда неотрицателен. А значит, в пункте (б) решений просто нет. В первом пункте обратите внимание, что есть не только случай, когда x + 2 = 3!

Показать ответ и решение

a) Переносим свободный член на правую сторону:

2 x + 4x= 5.

Чтобы выделить полный квадрат, добавим и вычтем $(4)2 =4 2$ :

x2+ 4x+ 4= 5+4.

Теперь у нас есть:

(x+2)2 = 9.

x +2= ±3.

Таким образом, действительные корни уравнения:

x1 = 1, x2 = −5.

(b) Переносим свободный член на правую сторону:

x2+ 5x= −7.

Чтобы выделить полный квадрат, добавим и вычтем $(5)2 25- 2 = 4$ :

2 25 25 x + 5x+ 4-= −7+ -4 .

( )2 x + 5 = − 3. 2 4

Поскольку правая часть отрицательна, это указывает на то, что у уравнения нет действительных корней.

Ответ:

(a) -5; 1.

(b) корней нет.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#129179Максимум баллов за задание: 7

На доске написаны 8 различных квадратных трёхчленов; среди них нет двух, дающих в сумме нулевой многочлен. Оказалось, что если выбрать любые два трёхчлена $g1(x),g2(x)$ с доски, то оставшиеся 6 трёхчленов можно обозначить как $g3(x),$ $g4(x),$ …, $g8(x)$ так, что у всех четырех многочленов $g1(x)+ g2(x),$ $g3(x)+ g4(x),$ $g5(x)+ g6(x)$ и $g7(x)+g8(x)$ есть общий корень. Обязательно ли все трёхчлены на доске имеют общий корень?

Источники: ВСОШ, ЗЭ, 2024, 9.7 (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Построим пример 8 квадратных трёхчленов, удовлетворяющих условию задачи:

2 2 2 f1(x)= −x + 2; f2(x)= 3x − 2; f3(x)= −4x +3;

2 2 2 f4(x)=2x − 3; f5(x)= −4x + x+ 4; f6(x)= 4x +x− 4;

f (x) =− 5x2− x+ 5; f (x)= 5x2− x − 5. 7 8

Данные многочлены составлены так, чтобы их значения в точках $x =− 1,0,1$ соответствовали следующей таблице:


$x$	$f1(x)$	$f2(x)$	$f3(x)$	$f4(x)$	$f5(x)$	$f6(x)$	$f7(x)$	$f8(x)$

$−1$	1	1	$−1$	$−1$	$−1$	$−1$	1	1

0	2	$−2$	3	$−3$	4	$−4$	5	$− 5$

1	1	1	$−1$	$−1$	1	1	$−1$	$− 1$

У трёхчленов этого примера нет общего корня, его нет даже у $f1(x)$ и $f2(x).$ Осталось показать, что они удовлетворяют условию. Очевидно, никакие два из этих трёхчленов не дают в сумме ноль.

Пусть выбрана какая-то пара из этих квадратных трёхчленов. Если была выбрана пара $(f2k−1(x),f2k(x)),$ где $k= 1,$ $2,3,4,$ то все многочлены можно разбить на пары $(f1(x),f2(x));$ $(f3(x),f4(x));$ $(f5(x),f6(x));$ $(f7(x),f8(x)),$ каждая сумма этих пар имеет корень $0.$

В противном случае нетрудно убедиться, что значение суммы двух выбранных трёхчленов или в точке $x0 = −1,$ или в точке $x0 =1$ (а может быть, и в обеих сразу) равняется нулю. Выберем такое $x0.$ Оставшиеся многочлены в точке $x0$ принимают значения $−1$ и $1$ ровно по три раза, и их можно разбить на пары так, чтобы в $x0$ суммы всех четырёх пар равнялись нулю, то есть $x0$ было их общим корнем.

Ответ:

нет, не обязательно

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#134187Максимум баллов за задание: 7

Сколько существует таких приведённых квадратных трёхчленов $f(x)=x2+ px+ q$ с целыми коэффициентами, что $f(f(1000))=0?$

Источники: Высшая проба - 2024, 10.2 (см. olymp.hse.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте проанализировать условие f(f(1000)) = 0.

Подсказка 2

Пусть a = f(1000). Что о нем можно сказать?

Подсказка 3

a — это корень многочлена f(x). Обозначьте второй корень за b.

Подсказка 4

Тогда f(x) = (x - a)(x - b). Попробуйте найти p.

Подсказка 5

p = -(a + b). Что можно сказать о b?

Подсказка 6

Так как a и p — целые, то и b — целое.

Подсказка 7

Попробуйте расписать a через равенство f(1000).

Подсказка 8

а = (1000 - a)(1000 - b). Чему тогда равно b?

Подсказка 9

b = 1000 - a/(1000 - a).

Подсказка 10

Поскольку b — целое, то и разность 1000 - a/(1000 - a) должна быть целой.

Подсказка 11

Попробуйте воспользоваться сравнением по модулю.

Показать ответ и решение

Пусть $a =f(1000),$ из условия следует, что $a$ — корень многочлена $f(x).$ Обозначим, второй корень за $b,$ тогда верно

f(x)= (x− a)(x− b)

Заметим, что $p= −(a+ b),$ при этом $a$ и $p$ — целые, тогда и $b$ — целое.

С другой стороны, распишем число $a$

a= f(1000)= (1000− a)(1000− b)

b= 1000 −---a--- 1000− a

Число $b$ целое тогда и только тогда, когда $--a-- 1000−a$ — целое. Таким образом задача свелась к такой: сколько существует целых $a,$ таких что $-a--- 1000−a$ — целое.

Посчитаем число таких $a.$ Хотим $a$ кратно $1000 − a.$ Заметим, что $1000≡ a(mod 1000− a),$ поэтому $1000$ делится на $1000 − a.$ Откуда следует, что $1000− a$ — целый делитель $1000.$

Число целых делителей $3 3 1000= 2 ⋅5 ,$ равно $2 ⋅4⋅4 =32.$

Ответ: 32

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#131888Максимум баллов за задание: 7

Даны два приведённых квадратных трёхчлена $f(x)$ и $g(x);$ известно, что трёхчлены $f(x)$ , $g(x)$ и $f(x)+g(x)$ имеют по два корня. Оказалось, что разность корней трёхчлена $f(x)$ равна разности корней трёхчлена $g(x).$ Докажите, что разность корней трёхчлена $f(x)+g(x)$ не больше этих разностей. (В каждой разности из большего корня вычитается меньший.)

Источники: ВСОШ, ЗЭ, 2023, 9.1 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Любой приведённый квадратный трёхчлен с двумя корнями можно записать в виде (x – p)² – q² для некоторых p, q. Чему равна разность его корней и наименьшее значение в этих терминах?

Подсказка 2:

Разность равна 2q, а наименьшее значение –q². Чтобы сделать такие же рассуждения с f(x) + g(x), стоит рассмотреть трёхчлен (f(x) + g(x)) / 2. Он приведённый и имеет те же корни, что и f(x) + g(x).

Подсказка 3:

Попробуйте сначала оценить минимальное значение (f(x) + g(x)) / 2, а потом перейти к разности корней.

Показать доказательство

Первое решение. Заметим, что разность корней приведённого квадратного трёхчлена $x2 +bx+ c$ равна корню из его дискриминанта, то есть $√-2--- b − 4c.$

Пусть два данных трёхчлена — это

2 f(x)=x + b1x+c1

2 g(x)= x + b2x+ c2.

Согласно условию, у них общий дискриминант

D= b2− 4c = b2− 4c . 1 1 2 2

Вместо суммы трёхчленов удобно рассмотреть их полусумму — она тоже является приведённым квадратным трёхчленом. Квадрат разности его корней (то есть дискриминант) равен:

(b1+-b2)2 b21-+b22 (b1−-b2 )2 2 − 2(c1 +c2)= 2 − 2(c1+ c2)− 2 .

Значит, он не больше, чем

2 2 b1+-b2− 2(c1+ c2)= D-+ D-= D. 2 2 2

Отсюда и следует, что разность корней полусуммы не больше, чем $√D,-$ то есть разность корней каждого из данных трёхчленов.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Заметим, что любой приведённый квадратный трёхчлен с двумя корнями имеет вид

(x − p)2− q2

при $q ≥ 0.$ При этом разность его корней равна $2q,$ а его наименьшее значение равно $− q2.$

Теперь условие означает, что два данных трёхчлена имеют равные наименьшие значения $− q2.$ Наименьшее значение их полусуммы, очевидно, не меньше $− q2$ (оно является полусуммой каких-то значений исходных трёхчленов), то есть оно равно $− r2$ при $0≤ r≤ q.$ Поэтому и разность корней полусуммы, то есть $2r,$ не превосходит $2q.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#31044Максимум баллов за задание: 7

Ненулевые числа $a$ и $b$ таковы, что уравнение $a(x− a)2 +b(x− b)2 = 0$ имеет единственное решение. Докажите, что $|a|= |b|$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте раскрыть скобки и привести подобные! Какое условие должно выполняться, чтобы полученное уравнение имело единственное решение?

Подсказка 2

Верно, дискриминант должен быть равен нулю! Попробуйте разложить дискриминант на множители и посмотрите внимательно на условие задачи!

Показать доказательство

Пусть не так. Тогда $a+ b⁄= 0$ и перед нами квадратное уравнение:

2 2 2 3 3 (a+ b)x − 2x(a + b)+ (a +b )= 0

Его дискриминант равен

2 2 2 3 3 2 2 3 3 4(a + b) − 4(a+ b)(a +b )= 8a b − 4ab − 4a b=

= 4ab(2ab− a2− b2)=− 4ab(a− b)2

Дискриминант должен быть равен 0 и $a$ и $b$ ненулевые, значит $a =b$ (?!)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#125882Максимум баллов за задание: 7

Дан квадратный трёхчлен $P (x),$ не обязательно с целыми коэффициентами. Известно, что при некоторых целых $a$ и $b$ разность $P (a)− P(b)$ является квадратом натурального числа. Докажите, что существует более миллиона таких пар целых чисел $(c,d),$ что разность $P (c)− P (d)$ также является квадратом натурального числа.

Источники: Всеросс, РЭ, 2022, 9.3 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

P(x) — многочлен всего лишь второй степени. В таких случаях бывает очень полезно записать многочлен в общем виде, ведь тогда можно будет что-нибудь подставить и посмотреть наглядно, что происходит.

Подсказка 2:

Пусть P(x) = kx² + mx + n. При этом мы знаем, что P(a) − P(b) = s², где s ∈ ℕ. Подставим же в явном виде и попробуем преобразовать, вдруг что-то получиться? Не забывайте, что в преобразованиях часто бывают полезны формулы сокращённого умножения.

Подсказка 3:

Понятно, в каком направлении мы хотим преобразовывать, мы хотим разложить на скобки, ведь в терминах множителей работать с квадратами гораздо проще. Итого P(a) − P(b) = (a − b)(k(a + b) + m) = s². Теперь мы хотим научиться строить пары (c, d) с таким же свойством...

Подсказка 4:

Константа миллион взята с неба, поэтому пусть она не туманит наше сознание, будем доказывать, что таких пар бесконечно много. Предположим, что мы нашли такую пару (c, d). Пусть c + d = x(a + b) + y (деление с остатком). Подставим (c, d) в P(c) − P(d).

Подсказка 5:

Получаем (с − d)(kx(a + b) + m + ky) = t², где t ∈ ℕ. Можно ли адекватно понять, как изменились делители числа kx(a + b) + m + ky в сравнении с k(a + b) + m при нетривиальных значениях x и y?

Подсказка 6:

В общем виде уж точно нет! Поэтому нужно минимизировать влияние x и y на эту сумму. При каких x и y это "влияние" минимально или отсутствует вовсе?

Подсказка 7:

Разумеется, при (x, y) = (1, 0). То есть, для поиска адекватных пар (c, d) идея искать пары c + d = a + b очень даже полезна, ведь мы тогда знаем гораздо больше про то, как себя ведут множители (скобки). С суммой вроде бы определились, что же происходит с разностью?

Подсказка 8:

Осознайте, что если с + d = a + b, то с = a + z, d = b − z для z ∈ ℕ. Тогда c − d = a − b + 2z. Подставим эти значения в P(c) − P(d).

Подсказка 9:

P(c) − P(d) = (a − b + 2z)(k(a + b) + m). Снова поделим с остатком a − b + 2z = v(a − b) + u. То есть хотим, чтоб (v(a − b) + u + 2z)(k(a + b) + m) было квадратом. Что тогда мы хотим сделать с u?

Подсказка 10:

Конечно, мы хотим снова занулить константу, чтоб уменьшить "влияние". То есть теперь хотим брать такие z, что c − d = v(a − b) (очевидно, это возможно, осознайте самостоятельно). Теперь хотим, чтоб v(a − b)(k(a + b) + m) было квадратом, при этом знаем, что (a − b)(k(a + b) + m) = s². Чем тогда должно быть v?

Подсказка 11:

Разумеется, квадратом. То есть хотим сделать так, что для g ∈ ℕ: a − b + 2z = (a − b)g², то есть (a − b)(g² − 1) = 2z. Кажется, осталось совсем немного) Сделайте последний шаг и осознайте, что победа за Вами. Успехов!

Показать доказательство

Пусть $P(x)= kx2+mx + n.$ По условию, $P(a)− P (b)= s2,$ где $s∈ ℕ.$ Запишем разность:

2 P (a)− P(b)= (a− b)(k(a+ b)+m )=s .

Рассмотрим пары $(c,d)$ такие, что $c+ d= a+ b$ и

2 c− d= (2n +1) (a− b), n∈ ℤ

Тогда:

c = (a+-b)+(2n+-1)2(a− b), 2

(a+-b)− (2n+-1)2(a−-b) d = 2 .

Подставим $c$ и $d$ в $P(c)− P(d):$

P(c)− P(d)=(c− d)(k(c+ d)+m )=

(2n+ 1)2(a − b)(k(a+ b)+ m)= (2n+ 1)2s2.

Это выражение является квадратом натурального числа $(2n+ 1)s.$

Для целочисленности $c$ и $d$ требуется, чтобы числители в выражениях для $c$ и $d$ делились на 2. Поскольку $2 (2n+1) (a − b)$ имеет ту же чётность, что и $a− b,$ а $a+ b$ фиксировано, условие выполняется для всех целых $n.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#140563Максимум баллов за задание: 7

Ненулевые числа $x$ и $y$ удовлетворяют неравенствам $x2 − x >y2$ и $y2 − y > x2.$ Какой знак может иметь произведение $xy$ ?

Источники: ВСОШ, РЭ, 2021, 9.2 (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Первое решение. Сложив неравенства из условия, получим, что $− x− y > 0.$ Перемножив неравенства из условия (это можно делать, поскольку их правые части неотрицательны), получим, что $xy(1 − x − y)> 0.$ Выражение в скобках положительно, поэтому произведение $xy$ также положительно.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Очевидно, что ни одно из чисел $x$ и $y$ не может равняться нулю. Предположим, что одно из них (для определенности $x$ ) положительно. Тогда из первого неравенства в условии получаем

x2 > x2− x > y2 ≥0

и, значит, $x >|y|.$ Следовательно, по второму неравенству из условия

2 2 2 2 y + x> y +|y|≥y − y > x ,

поэтому $y2 > x2− x,$ что противоречит первому неравенству. Таким образом, наше предположение неверно и среди чисел $x$ и $y$ нет положительных. А значит, они оба отрицательны и $xy > 0.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Третье решение. Рассмотрим квадратный трехчлен $f(t)=t2− t− y2.$ Его корни равны

1 ∘-----2 1 ∘-----2 t1 = 2(1+ 1 +4y )>0 и t2 = 2(1− 1+ 4y)< 0,

причем

∘1+-4y2 t1 > ---2---> |y|.

Предположим, что $x≥ 0.$ Тогда $f(x)> 0$ и, значит, $x > t1.$ Следовательно,

y2− y− x2 < y2− y − t21 = y2− y − (t1 +y2)= −t1− y <− |y|− y ≤0.

Но это противоречит второму неравенству из условия. Следовательно, $x< 0.$ Аналогично доказывается, что $y < 0$ и, значит, $xy > 0.$

Ответ:

Оно положительно

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#42263Максимум баллов за задание: 7

Рассмотрим множество квадратных трёхчленов вида $x2+ 2mx +n2$ , где $m$ и $n$ различные натуральные числа от $1$ до $100.$ Каких больше квадратных трёхчленов — тех, что имеют корни, или тех, которые не имеют корней?

Источники: Муницип - 2020, Ханты-Мансийский автономный округ, 9.1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Понятно, что сразу хочется рассмотреть дискриминант) он будет равен 4m² - 4n². Может тут есть какая-то симметрия?

Подсказка 2

Вспомните, что m и n - различные числа, и если есть трехчлен x² + 2mx + n², то есть и x² + 2nx + m²)

Показать ответ и решение

Из условия на коэффициенты следует, что рассматриваемых квадратных трёхчленов конечное число. Разобьём это множество квадратных трехчленов на пары: $2 2 x + 2mx+ n$ и $2 2 x +2nx+ m .$ Эти трехчлены имеют дискриминанты $2 2 m − n$ и $2 2 n − m .$ Поскольку $m$ и $n$ различные числа, в каждой паре один из трёхчленов имеет корни, другой не имеет корней. Таким образом, этих трёхчленов поровну.

Ответ: поровну

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#96415Максимум баллов за задание: 7

У уравнений

2 2 x + 2019ax+ b= 0 и x +2019bx+ a= 0

есть один общий корень. Чему может быть равен этот корень, если известно, что $a⁄= b$ ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обозначим общий корень за r. Что будет, если его подставить?

Подсказка 2

2019r(a-b) = (a-b). Как отсюда можно найти r?

Показать ответ и решение

Пусть общий корень данных уравнений равен $r.$ Тогда

2 2 r +2019ar +b= 0= r + 2019br+a

Отсюда получаем, что

2019r(a− b)= a− b

Поскольку $a⁄= b,$ из этого следует, что

r= --1- 2019

Ответ:

$--1- 2019$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#71901Максимум баллов за задание: 7

Известно, что квадратный трёхчлен

2 (b+c)x +(a+ c)x+ (a+ b)

не имеет корней. Докажите, что $4ac− b2 ≤ 3a(a +b+ c).$

Источники: СпбОШ - 2018, задача 11.4(см. www.pdmi.ras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если красота не очевидна, то есть смысл попробовать конструкцию просто преобразовать: пораскрывать скобочки или наоборот поискать красивые разложения имеющихся выражений и т.п. Тем более, степень тут всего лишь вторая – не такие уж страшные выражения! Что мы можем извлечь из условия об отсутствии корней у квадратного трёхчлена?

Подсказка 2

Нет корней – значит мы имеем неравенство на дискриминант. А теперь внимательно посмотрим на имеющееся и искомое неравенства: возможно, в них есть что-то общее, что позволяет перейти от искомого неравенства к равносильному?

Подсказка 3

Поработайте с новым неравенством, удаётся ли красиво разложить его, выделяя полные квадраты? Осталось лишь применить неравенство о средних и задача побеждена!

Показать доказательство

Обозначим через $P (x)$ квадратный трёхчлен из условия задачи:

2 P(x)= (b+ c)x + (a+c)x+ (a+ b).

Если одновременно поменять знаки у всех коэффициентов трёхчлена $P(x),$ то у него по-прежнему не будет корней, а требуемое неравенство не изменится. Поэтому можно считать, что $b+c> 0$ и $P(x)> 0$ при всех $x.$

Решение 1.

Поскольку $P(x)$ не имеет корней, его дискриминант отрицателен:

2 (a +c) − 4(a+ b)(b+c)< 0.

После деления на $4$ и приведения подобных получим неравенство

2 a2 c2 ac b + ab> 4 + 4 − 2 − bc. (∗)

Нам требуется доказать, что $2 4ac− b ≥3a(a+ b+c),$ или, что то же самое, $2 2 6a + 6ab+ 2b ≤2ac.$ Заменим в этом неравенстве $2 b + ab$ на правую часть неравенства (*), тем самым уменьшив левую часть. Останется доказать неравенство

2 2 a2 c2 ac 6a + 5ab+ b + 4-+ 4-− 2-− bc≥ 2ac.

После приведения подобных оно примет вид

( )2 ( )2 ( ) 5a + 5ab+b2+ c2= 5a+ b + c2≥ 5a+ b c, 2 4 2 4 2

и теперь оно очевидно в силу неравенства о средних.

Решение 2.

Положим

u= b+c,v = c+a,w =a +b.

Тогда $1(v+ w − u),b= 1(u− v+ w),c = 1(u+ v− w). 2 2 2$ По условию квадратный трёхчлен $ux2+vx+ w$ не имеет корней. Тогда его дискриминант $v2− 4uw$ отрицателен, значит, $4uw> v2.$ Перепишем в новых обозначениях неравенство, которое нужно доказать:

2 0≤ 3a(a+ b+c)− 4ac+ b =

v-+w-− u u+-v+-w v+-w-− u u+-v−-w (u-− v+-w )2 =3 2 ⋅ 2 − 4 2 ⋅ 2 + 2 =

2 2 = u-+-2vw+-4w-−-3uw-−-uv 2

Это равносильно неравенству $(u− 2w)2+ uw ≥v(u− 2w),$ и в таком виде оно очевидно, поскольку

(u− 2w)2 +uw > (u− 2w)2+ v2≥ 2(u− 2w)v= v(u− 2w ). 4 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#75441Максимум баллов за задание: 7

Существуют ли такие попарно различные числа $a,b$ и $c$ , что число $a$ является корнем квадратного трёхчлена $x2− 2bx+ c2$ , число $b$ является корнем квадратного трёхчлена $2 2 x − 2cx+ a$ , а число $c$ является корнем квадратного трёхчлена $2 2 x − 2ax +b$ ?

Источники: Муницип - 2018, Москва, 10.2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Ну раз нам сказали, что a, b, c - корни, то мы знаем, что при постановки их в соответствующие квадратные трёхчлены мы получим нули, а это может быть очень полезно.

Подсказка 2

Теперь наша задачка превратилась в задачу про a, b, c, а именно: может ли система из полученных уравнений иметь решение, где a, b, c были бы попарно различны. А мы знаем, что в системах полезно складывать и вычитать уравнения, чтобы получать некоторые следствия, можем ли мы что-то тут придумать?

Подсказка 3

Попробуйте сложить все 3 уравнения и преобразовать полученное выражение в более хороший вид, откуда сразу будет видно противоречие.

Показать ответ и решение

Предположим, что существуют, тогда справедливы равенства $a2− 2ba+ c2 = 0$ , $b2− 2cb+ a2 = 0$ , $c2 − 2ac+ b2 =0$ . Сложим эти равенства и получим

2 2 2 2 2 2 2a +2b +2c − 2ab− 2ac− 2bc= (a − c) +(a− b) + (b− c) =0

Теперь видно, что равенство возможно лишь при $a= b= c$ , а это противоречит условию.

Ответ: нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#90318Максимум баллов за задание: 7

Разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения $x2+ ax− 6= 0$ равна 5. Найдите все возможные значения $a$ .

Источники: ДВИ - 2016, вариант 1, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка

Запишите в явном виде выражение для разности корней и найдите с помощью него дискриминант, теперь остается лишь найти значения а, при которых достигается данное значение дискриминанта

Показать ответ и решение

Из условия получаем

√-- |x1 − x2|=| D |=5 =⇒ D =25

Запишем дискриминант

2 2 2 D =a − 4⋅(−6)= a +24= 25 =⇒ a = 1

a= ±1

Ответ:

$a =±1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#96417Максимум баллов за задание: 7

Даны два уравнения $ax2+ bx +c= 0$ и $cx2+bx+ a= 0,$ в которых все коэффициенты ненулевые. Оказалось, что они имеют общий корень. Обязательно ли $a= c?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обозначим общий корень за t. Тогда трёхчлены в этой точке принимают одинаковое значение. Каким тогда равенством связаны t, a, c?

Подсказка 2

(a-c)(t^2 - 1) = 0. Обязательно ли тогда первая скобка должна обнуляться?

Показать ответ и решение

Пусть $x =t$ — общий корень, то есть $at2+ bt+ c= 0$ и $ct2+ bt+ a= 0$ . Тогда

2 2 −bt= at+ c= ct+ a

at2− ct2 = a− c

(a− c)(t2− 1)= 0

Если $a⁄= c$ , то $t=±1$ . Тогда коэффициенты удовлетворяют соотношению $a± b+ c= 0$ . Нетрудно подобрать такую тройку, в которой $a ⁄=c$ .

Например, уравнения $x2− 3x+ 2= 0$ и $2x2− 3x+ 1= 0$ имеют общий корень $x= 1$ .

Ответ: нет

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#125883Максимум баллов за задание: 7

Даны квадратные трёхчлены $f(x), 1$ $f (x), 2$ …, $f (x) 100$ с одинаковыми коэффициентами при $x2,$ одинаковыми коэффициентами при $x,$ но различными свободными членами; у каждого из них есть по два корня. У каждого трёхчлена $fi(x)$ выбрали один корень и обозначили его через $xi.$ Какие значения может принимать сумма

f2(x1)+ f3(x2)+...+f100 (x99)+f1(x100)?

Источники: Всеросс, РЭ, 2016, 10.1 (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Пусть трёхчлены имеют вид:

2 fi(x)=ax + bx+ ci,

где $ci$ — различные свободные члены. Поскольку $xi$ — корень $fi(x),$ выполняется:

2 2 axi +bxi+ ci = 0 =⇒ axi + bxi = −ci.

Рассмотрим выражение $fj(xi) :$

f(x )=ax2+ bx+ c = −c +c . j i i i j i j

Тогда исходная сумма преобразуется:

1∑00 1∑00 k=1fk+1(xk)= k=1(ck+1− ck),

где $c101 =c1.$ Тогда:

(c2− c1)+ (c3 − c2)+...+ (c1 − c100)= 0.

Таким образом, сумма всегда равна нулю, независимо от выбора корней $xi.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#75442Максимум баллов за задание: 7

Числа $a$ и $b$ таковы, что каждый из двух квадратных трёхчленов $x2+ ax+b$ и $x2+ bx+a$ имеет по два различных корня, а произведение этих трёхчленов имеет ровно три различных корня. Найдите все возможные значения суммы этих трёх корней.

Источники: Всеросс., 2015, ЗЭ, 9.1(см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомним теорему Безу или то, что ax²+bx+c = a(x-x₁)(x-x₂), x₁, x₂ - корни квадратного трёхчлена. А в таком виде уже очевидно, как произведение исходных 2-ух квадратных трёхчленов может иметь 3 различных корня.

Подсказка 2

Верно, у них должен быть общий корень. Вспомним такой факт, что если P₁(x₀) = 0 и P₂(x₀) = 0, то и c*P₁(x₀) + d*P₂(x₀) = c*0 + d*0 = 0 для всех c, d и кв. трёхчленов P₁(x), P₂(x). Может быть, у нас получится найти такие c, d, которые дадут нам дополнительную информацию про общий корень?

Подсказка 3

Полезно взять c = 1, d = -1, потому как тогда уйдёт x².

Подсказка 4

Ура, мы поняли, что они имеют общий корень: 1, а не пора ли применять Виета?)

Подсказка 5

Из Виета мы поняли, что первый трёхчлен имеет корень b, а второй: a. Получается, что нам нужно найти 1 + a + b, а оно уж очень похоже на x² + ax + b, что нам остаётся сделать, чтобы решить задачу?

Показать ответ и решение

Если каждый трёхчлен имеет два различных корня, а их произведение — три различных, то эти трёхчлены имеют ровно один общий корень. Значит, его имеет их разность $(a− b)x− (a − b)$ . Отметим, что $a ⁄=b$ иначе трёхчлены совпадут, равно как и их оба корня. Таким образом, их общий корень равен $1$ . При подстановке в оба трёхчлена получим $a+ b+ 1= 0$ . Также по теореме Виета понятно, что первый трёхчлен имеет корень $b$ , а второй — $a$ , тогда искомая сумма равна $a+ b+ 1= 0$ .

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#84470Максимум баллов за задание: 7

Про коэффициенты $a$ , $b$ , $c$ и $d$ двух квадратных трехчленов $x2+ bx+ c$ и $x2+ ax+ d$ известно, что $0< a< b<c <d$ . Могут ли эти трехчлены иметь общий корень?

Источники: Муницип - 2015, Москва, 9.2

Показать ответ и решение

Поскольку коэффициенты обоих трёхчленов положительны, то их корни (если они есть) отрицательны.

Общий корень $x0$ этих трёхчленов является корнем их разности, то есть

x0(b− a)= d− c

Из условия следует, что $d− c> 0$ и $b− a >0,$ то есть $x0 = d−c> 0. b−a$ Противоречие.

Замечание.

Условие положительности коэффициентов существенно. Например, трёхчлены: $x2− 4x+ 3$ и $x2 − 5x+ 4$ имеют общий корень $x =1,$ при этом $− 5 <− 4< 3< 4.$

Ответ: нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#81383Максимум баллов за задание: 7

В множестве ${1,2,3,...,2014}$ выбрали подмножество $A.$ Оказалось, что никакой квадратный трехчлен, все три коэффициента которого принадлежат $A,$ не имеет действительных корней. Какое наибольшее число элементов могло быть в $A?$

Источники: Турнир городов - 2014, 11.1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть p, q ∈ A. Попробуйте рассмотреть какой-нибудь многочлен, который даст нам информацию на p и q, учитывая, что он не должен иметь действительных корней.

Подсказка 2

Давайте рассмотрим многочлен px² + qx + p. Что можно сказать про p и q?

Подсказка 3

Верно, p и q отличаются меньше, чем в два раза, иначе дискриминант неотрицательный. Попробуйте доказать, что если любые два элемента множества отличаются меньше, чем в два раза, то оно удовлетворяет условию про действительные корни.

Подсказка 4

Для этого попробуйте написать, чему максимум может быть равен дискриминант через M и m, где M и m — максимальный и минимальный элемент этого множества.

Подсказка 5

Максимальный дискриминант равен M² - 4m², а это меньше 0. Какое количество элементов максимум может быть в множестве, которое удовлетворяет условию, что любые два его элемента отличаются меньше чем в два раза, и оно является подмножеством множества {1, 2 ..., 2014}.

Подсказка 6

Правильно, 1007! Осталось привести пример.

Показать ответ и решение

Если $p,q ∈ A$ и $2p≤ q,$ то дискриминант трехчлена $px2 +qx+ p$ неотрицательный, значит, у него есть корни. Таким образом, множество $A$ не содержит чисел, отличающихся хотя бы вдвое.

Покажем, что если в $A$ отношение любых двух чисел меньше $2,$ то все трехчлены с коэффициентами из $A$ не имеют корней. Пусть $M$ — наибольшее из чисел в $A,$ а $m$ — наименьшее. Тогда дискриминант трехчлена с коэффициентами из $A$ не больше $2 2 M − 4m < 0.$

Очевидно, что максимальное подмножество ${1,...,2014},$ в котором отношение любых двух чисел меньше $2,$ имеет мощность $1007.$ Подходит, например, ${1008,...,2014}.$

Ответ:

$1007$

Следующая подтема