Тема АЛГЕБРА

Квадратные трёхчлены → .02 Теорема Виета для квадратных трёхчленов

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Квадратные трёхчлены

Дискриминант и корни квадратных трёхчленов

Теорема Виета для квадратных трёхчленов

Графики квадратных трёхчленов

Квадратные трёхчлены с целыми коэффициентами

Теорема о промежуточном значении

Задачи на исследование квадратичной функции

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#120557Максимум баллов за задание: 7

Пусть $x ,x 1 2$ — корни квадратного трехчлена $f(x)= x2− 2x− 1,$ а $x ,x 3 4$ — корни квадратного трехчлена $g(x)= x2 − 3x− 1.$ Найдите все возможные значения выражения $3 3 (g(x1)) f(x3)+ (g(x2))f (x4).$

Источники: Бельчонок - 2025, Вариант 1, 11.1(см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Чтобы найти выражение g(x₁), было бы хорошо выразить g через f! Аналогично и с g(x₂).

Подсказка 2

Итак, найти нам нужно -x₁³ x₃ - x₂³x₄. А в каких формулах встречается произведение корней?

Подсказка 3

Воспользуйтесь теоремой Виета, чтобы через формулы сокращенного умножения выразить нужную нам сумма!

Показать ответ и решение

Заметим, что $g(x)= f(x)− x.$ Так как $f(x )= f(x )= g(x )= g(x )= 0, 1 2 3 4$ легко получаем $g(x )=− x, 1 1$ $g(x )=− x, 2 2$ а также $f(x3)=x3,$ $f(x4)= x4.$

Поэтому исходное выражение

3 3 3 3 A =(g(x1))f(x3)+ (g(x2)) f(x4)= −x1x3− x2x4

Его несложно вычислить прямой подстановкой корней; однако, можно поступить иначе.

Пусть $B = −x3x − x3x . 1 4 23$ Заметим, что

x1x2 =x3x4 = −1

x + x = 2 1 2

x3+ x4 = 3

x31+x32 =(x1+ x2)3− 3x1x2(x1+x2)= 8+ 6= 14

x23+ x24 = (x3+ x4)2− 2x3x4 =9 +2 =11

x61+ x62 =(x31+ x32)2− 2x31x32 =196+ 2= 198

Далее,

3 3 A+ B =− (x1+ x2)(x3+ x4) =−14⋅3 =−42

6 6 3 3 2 2 AB = (x1+x2)x3x4 +x1x2(x3+ x4)=− 198− 11= −209

Поэтому $A$ и $B$ — корни квадратного уравнения $x2+42x− 209=0$ (обратная теорема Виета). Корни этого уравнения $− 21+5√26-$ и $− 21− 5√26.$

Осталось отметить, что если переобозначить, допустим, корни трёхчлена $f(x) :$ $x1$ через $x2,$ а $x2$ через $x1,$ то значения $A$ и $B$ поменяются местами. Это значит, что искомое значение выражения $A$ может принимать оба указанных выше значения.

Ответ:

$− 21± 5√26$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#125085Максимум баллов за задание: 7

Квадратный трёхчлен $f(x)= ax2+ bx+ c$ имеет два различных вещественных корня $x 1$ и $x . 2$ Известно, что $f(x + x)= 2025. 1 2$ Чему может равняться $c?$

Источники: Всеросс, РЭ, 2025, 10.1 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

При виде суммы корней вы сразу должны подумать о теореме Виета. Её же некоторым образом можно выразить через коэффициенты трёхчлена.

Подсказка 2:

Как насчёт того, чтобы подставить это выражение в трёхчлен, вдруг получится что-нибудь интересное?

Показать ответ и решение

Первое решение. По теореме Виета $x + x = − b. 1 2 a$ Значит,

( b) ( b)2 ( b) b2 b2 f(x1+ x2)= f −a = a⋅ − a + b⋅ −a +c = a-−-a +c= c.

Тогда из условия следует, что $c=2025.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. График $y = f(x)$ симметричен относительно прямой $x= x1+2x2$ — вертикальной прямой, проходящей через вершину параболы. Поэтому для любых двух значений $x= t1,$ $x = t2$ таких, что $t1+t22= x1+2x2,$ будет выполнено $f(t1)= f(t2).$ В частности, $f(x1+ x2)=f(0).$ Но $f(0) =c.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Третье решение. Подставим $x1+ x2$ в квадратный трехчлен:

f(x1+ x2)=a(x1+x2)2+ b(x1+ x2)+ c= ax2+2ax1x2+ax2+ bx1+bx2+ c 1 2

= (ax21+ bx1+c)+ (ax22+ bx2+c)+ 2ax1x2− c= f(x1)+f(x2)+(2ax1x2− c).

Так как $x1$ и $x2$ —– корни, то $f(x1)=f(x2)=0,$ а по теореме Виета $x1x2 = ca,$ получаем, что $f(x1+ x2)= f(x1)+ f(x2)+ (2ax1x2− c)= 0+ 0+ 2c− c= c.$

Ответ:

2025.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#125179Максимум баллов за задание: 7

Даны три функции

f(x)= (x +a )(x2+b x+ 6) , 1 1 ( 2 1 ) f2(x)= (x +a2)(x +b2x+ 8), f3(x)= (x +a3) x2+b3x+ 12

(здесь $a1,b1,a2,b2,a3,b3$ — положительные числа).

Для каждого действительного $x$ выполняется условие $f1(x)=f2(x) =f3(x).$ Найдите значение суммы $a1+ b1+a2+ b2+ a3 +b3.$

Источники: Ломоносов - 2025, 11.5 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Из того, что функции тождественные, можем получить определённые выводы. Посмотрим на первый множитель в каждой из функций. Какие корни в совокупности получаются из них?

Подсказка 2

Получаем, что у каждого из выражений корни -a₁, -a₂, -a₃. При этом, так как это максимально возможное число корней у многочленов третьей степени, то это единственные корни в каждом из выражений (причём они различны, подумайте, почему). Теперь хотим использовать теорему Виета со знанием этой информации в контексте вторых множителей.

Подсказка 3

Отсюда уже довольно просто находятся сначала а₁, а₂, а₃, а потом и b₁, b₂, b₃. Если столкнулись с проблемами на этапе применения теоремы Виета, то просто перемножьте все результаты, которые вы оттуда получили, и найдите сначала х₁ * х₂ * х₃.

Показать ответ и решение

Так как значения в каждой точке у функций совпадают, то $f =f = f . 1 2 3$ Тогда уравнение $f(x)= 0 1$ имеет отрицательные корни $x1 = −a1, x2 = −a2, x3 = −a3,$ и это три разных корня, так как если бы линейные множители в двух тождественно равных функциях были бы одинаковыми, то совпадали бы и квадратичные множители, а по условию задачи это не так.

Поэтому из теоремы Виета для каждого из квадратичных множителей следует:

x2 ⋅x3 =6, x1⋅x3 = 8, x1⋅x2 = 12

Перемножим три равенства, получим, что $(x x x)2 = (6⋅4)2, 1 2 3$ тогда из отрицательности корней следует, что $x xx = −24. 12 3$ Поэтому

−24 −24 −-24 x1 = 6 =−4, x2 = 8 = −3, x3 = 12 = −2.

Тогда $a1 =4, a2 = 3, a3 = 2,$ а по теореме Виета ищутся $b1 =3 +2= 5, b2 = 4+ 2= 6, b3 =4 +3= 7.$

Тогда ответ: $a1+ a2+ a3+b1+ b2 +b3 = 4+ 3+2 +5+ 6+ 7= 27.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#126187Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a,$ при которых корни уравнения $x2 − (a2− a)x +a− 5= 0$ являются пятым и шестым членами некоторой непостоянной арифметической прогрессии, а корни уравнения $2 (3 2) 4 2 6 4x − a − a x+ 2a +2a − a − 4 =0$ являются третьим и восьмым членами этой прогрессии.

Источники: Физтех - 2025, 10.5 ( см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть дана арифметическая прогрессия xₙ с разностью d. Выразите её пятый, шестой, третий и восьмой члены.

Подсказка 2

Заметьте, что сумма пятого и шестого совпадает с суммой третьего и восьмого.

Подсказка 3

Вспомните теорему Виета.

Подсказка 4

У Вас получится несколько возможных значений a. Найдите при каждом a пятый, шестой, третий и восьмой члены прогрессии и оцените через них d.

Показать ответ и решение

Пусть дана арифметическая прогрессия $x n$ с разностью $d,$ тогда ее пятый член — $x + 4d, 1$ шестой член — $x + 5d, 1$ третий член — $x1+ 2d,$ восьмой член — $x1 +7d.$ Заметим, что сумма пятого и шестого совпадает с суммой третьего и восьмого.

Пятый и шестой члены прогрессии — корни первого уравнения, третий и восьмой — корни второго уравнения, тогда можем вычислить их суммы по теореме Виета:

a3− a2 a2− a= --4---

14a(a− 1)(a− 4)= 0

a ∈{0;1;4}

Если $a= 0,$ то корнями первого уравнения являются числа $√- ± 5,$ а второго — $± 1.$ Тогда $√- |d|= |x6− x5|= 2 5$ и $5|d|= |x8− x3|=2,$ но это невозможно, следовательно, $a= 0$ не подходит.

Если $a= 1,$ то корнями первого уравнения являются числа $± 2,$ а корнями второго — $± 1. 2$ Тогда $|d|= |x6− x5|= 4$ и $5|d|= |x8− x3|=1,$ следовательно, $a= 1$ не подходит.

Если $a= 4,$ то корнями первого уравнения являются числа $6± √37,$ а корнями второго — $6± 5√37.$ Эти числа являются членами арифметической прогрессии с $x5 = 6− √37$ и $d= 2√37,$ поэтому $a= 4$ подходит.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#129311Максимум баллов за задание: 7

Вовочке задали на дом квадратное уравнение. «Учитель сказал, что оно имеет два целых корня, а у меня получается, что корней нет» — пожаловался он. Его папа-математик, посмотрев на уравнение, сказал: «Ты, наверное, неправильно списал с доски один из коэффициентов. Если это так, то я знаю правильный вариант задания, причем он единственный».

Докажите, что, если папа прав, то свободный член уравнения Вовочка записал верно.

Источники: КФУ - 2025, 10.3 (см. malun.kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Запишите квадратное уравнение в общем виде. Как можно переформулировать условие задачи?

Подсказка 2

Пусть Вовочка записал уравнение ax² + bx + c = 0. Попробуйте пойти от противного.

Подсказка 3

Предположим, что уравнение ax² + bx + c = 0 не имеет решений, и существует единственное c₁, такое, что ax² + bx + c₁ = 0 имеет 2 решения. Тогда мы должны прийти к противоречию, поскольку если папа прав, то Вовочка записал свободный член верно.

Подсказка 4

Воспользуйтесь теоремой Виета.

Подсказка 5

Докажите, что c₁ — не единственный свободный коэффициент, при замене на который уравнение будет иметь 2 решения.

Подсказка 6

Также надо доказать, что ситуация, описанная папой, возможна. Для этого достаточно привести пример.

Показать доказательство

Пусть Вовочка записал уравнение в виде

2 ax +bx+ c= 0

и оно не имеет корней. Предположим, что можно заменить свободный член так, чтобы у уравнения появились два целых корня. Пусть верное задание имеет вид

ax2+ bx +c = 0 1

корни его обозначим $x1,x2.$ По теореме Виета

b=− a(x1+ x2), c1 = ax1x2

То есть $n= x1+x2 =− ba$ — целое число. Сохраняя эту сумму, можно менять корни и, соответственно, их произведение. То есть в качестве $c1$ можно рассмотреть числа 0, $a⋅1⋅(n− 1),$ $a ⋅2 ⋅(n− 2)$ и т.д. Итак, в этом случае исправление не единственное.

Например, пусть Вовочка решал уравнение

1x2+ x+ 1=0 2

Здесь $n =− 2.$ Значит, «восстановленное» уравнение может иметь вид

1x2+x +0 =0, 2

1x2 +x− 3 =0, 2 2

1 2 2x + x− 4=0

Папа не смог бы сказать, которое из них было задано на дом.

Мы показали следующий факт: если можно исправить уравнение за счёт свободного члена, то это исправление не единственное. Вообще говоря, надо ещё показать, что ситуация, описанная папой, возможна. Например, рассмотрим уравнение

3x2+x +2 =0

Если не менять первый коэффициент, то новое уравнение имеет вид

2 3x + b1x+c1 = 0,

где либо $b1 = 1,$ либо $c1 = 2.$ Но тогда числа $b13-=− (x1+ x2)$ и $c13-=x1x2$ не могут быть оба целыми. Значит, уравнение нельзя исправить за счет второго или третьего коэффициента, так как ни один из них не делится на 3. Попробуем найти «правильный» коэффициент $a.$ Ясно, что он должен быть делителем как 1, так и 2, то есть подходят только $a =1$ и $a =− 1.$

Уравнение

2 x + x+ 2= 0

не имеет решений, а уравнение

−x2+ x+ 2=0

имеет целые корни $x =− 1$ и $x =2.$ Именно оно и будет единственным возможным исправлением исходного уравнения.

Замечание. Без условия целочисленности корней утверждение задачи также будет верным. Однако без этого ограничения неверным будет высказывание папы, так что из него может следовать что угодно.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#131803Максимум баллов за задание: 7

Прямая пересекает график функции $y = x2$ в точках с абсциссами $x 1$ и $x , 2$ а ось абсцисс — в точке с абсциссой $x . 3$ Докажите, что $-1 1- 1- x1 + x2 = x3.$

Источники: Окружная олимпиада (Москва) - 2011, 10.2

Показать доказательство

Первое решение.

Уравнение прямой, проходящей через точку $(x3,0),$ можно записать в виде:

y =k(x− x3).

Точки пересечения с параболой $y = x2$ удовлетворяют уравнению:

2 x = k(x− x3)

x2− kx+kx = 0 3

По теореме Виета для этого квадратного уравнения:

{ x1+x2 =k x1x2 =kx3

Тогда:

1-+ 1-= x1+-x2= -k- =-1 x1 x2 x1x2 kx3 x3

Что и требовалось доказать.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Рассмотрим точки $A(x3,0),$ $B1(x1,0),$ $B2(x2,0),$ $C1(x1,x2), 1$ $C2(x2,x2). 2$

$PIC$

Из подобия треугольников $AB C 1 1$ и $AB C 2 2$ получаем соотношение:

B1C1 B2C2 AB1 = AB2

2 2 --x1--= --x2-- x1− x3 x2− x3

x21(x2− x3)= x22(x1− x3)

x1x2(x1− x2)=x3(x21− x22)

Так как $x1 ⁄= x2$ , сокращаем на $(x1− x2)$ :

x1x2 = x3(x1+ x2)

1 1 1 x1 + x2-= x3

Что и требовалось доказать.

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#134494Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнения, не вычисляя дискриминант:

(a) $x2− 6x+ 8= 0;$

(b) $3x2+ 134x − 137= 0;$

Показать ответ и решение

(a) По теореме Виета:

{ x + x =6 x1x 2=8 12

Подбираем числа, удовлетворяющие условиям: $x1 = 2,$ $x2 = 4.$ По обратной теореме Виета они являются корнями.

(б) Заметим, что $3+134− 137 =0,$ тогда один из корней $x1 = 1.$ По теореме Виета:

137- x1x2 = − 3

137 x2 =− -3-

{ x1+ x2 = 28 x1x2 = 75

Подбираем числа, удовлетворяющие условиям: $x1 = 3,$ $x2 = 25.$

Ответ:

(a) $x = 2, 1$ $x =4 2$

(б) $x1 = 1,$ $137 x2 = − 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#134496Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях параметра $a$ отношение корней квадратного уравнения $x2+ax+ a+ 2= 0$ равно двум?

Показать ответ и решение

2 x + ax +(a+ 2)=0

Обозначим корни уравнения за $p$ и $2p.$ Тогда по теореме Виета:

{ p+ 2p= −a p⋅2p= a+ 2

2p2+ 3p− 2= 0

Можно угадать один корень: $p1 = −2.$ Тогда по теореме Виета:

−2⋅p2 = − 2 2

p2 = 1 2

Случай $p= −2,$

a= 6

Случай $1 p= 2,$

a= − 3 2

Ответ:

$6,− 3 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#139261Максимум баллов за задание: 7

Чему должен быть равен коэффициент $b$ квадратного трехчлена $2x2+ bx+ 5,$ чтобы сумма квадратов корней равнялась 4?

Показать ответ и решение

Пусть корни $u$ и $w,$ тогда из теоремы Виета

(| -b |{ u+ w= −2 ||( 5 uw= 2

Теперь заметим, что

2 2 2 (u+ w) − 2uw = u +w = 4

Получили уравнение

b2 25 − 5= 4

b2 =9 ⋅25

b= 15

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#85147Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a,$ при которых у уравнения

2 2 x − (2a +1)x+ a + 2= 0

существуют ровно два различных корня, которые отличаются ровно в два раза.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Одно из условий можем сразу назвать: корни точно должны быть! А если один из них равен t, то чему будут равны второй корень, сумма корней, произведение корней?

Подсказка 2

Все это можем легко найти! Наверняка Вы уже догадались, какую теорему можем применить :)

Подсказка 3

Чтобы найти подходящие значения параметра, можем избавиться от переменной t с помощью двух уравнений (выражаем из одного и подставляем во второе!). Найдите решения полученного уравнения и проверяйте, подходят ли они под поставленное в самом начале условие.

Показать ответ и решение

Данное уравнение квадратное при всех значениях параметра. Пусть $t$ и $2t$ — два его различных корня. Тогда дискриминант уравнения положителен и выполнена теорема Виета:

( 7 (| 2 2 ||||a > 4 ||{D = (2a+ 1) − 4(a + 2)> 0 ||{ 2a + 1 |t+ 2t= 2a+ 1 ⇔ |t= --3-- ||(t⋅2t= a2+ 2 |||| 2 |(t2 = a-+-2 2

Из второго и третьего уравнений системы получаем

a2− 8a+ 16= 0 ⇒ a= 4

Найденное $a$ удовлетворяет условию $D > 0.$

Тогда при $a= 4$ получаем уравнение $x2− 9x+ 18= 0$ с корнями $x1 = 3,x2 = 6,$ отличающимися в два раза.

Ответ:

$a = 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Недостаточно обоснованные переходы	3

Все равенства для выполнения условия задания составлены верно, но в решении есть ошибка или оно не завершено	2

Определено, что уравнение квадратное и найдено при каких $a$ оно имеет решение	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#85154Максимум баллов за задание: 7

При каких $a$ сумма квадратов корней уравнения $x2− ax+ a− 2= 0$ минимальна?

Показать ответ и решение

Квадратное уравнение имеет решение при неотрицательном значении дискриминанта:

x2+ax+ a− 2= 0; 2 D= a − 4(a− 2); D= a2− 4a+8 =(a− 2)2+ 4> 0.

$D> 0,$ следовательно, уравнение имеет два корня для любого значения $a.$ По теореме Виета:

x1+ x2 = a; x1⋅x2 = a− 2.

Для суммы квадратов корней получим:

S = x21+x22 =(x1+ x2)2− 2x1 ⋅x2; S = a2− 2(a− 2) =a2− 2a+ 4=(a− 1)2 +3.

Наименьшее значение для этой суммы получим при $a= 1.$

Ответ: 1

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#97390Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнения, не вычисляя дискриминант:

(a) $5x2− 121x+ 116= 0;$

(b) $x2− 22x+ 120= 0;$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы можем воспользоваться теоремой Виета, чтобы решать квадратные уравнения, не вычисляя дискриминант. Но для пунктов (а) и (с) это будет не очень просто, так как там сумма и произведение корней — не целые. Тогда для этих пунктов попробуем просто руками поискать какое-нибудь решение!

Подсказка 2

Попробуйте подставить 1 и -1 в уравнения в пунктах (а) и (с). Что получится?

Подсказка 3

Верно, 1 — корень уравнения из пункта (а), -1 — из пункта (с). А после того, как мы нашли один корень, второй легко найти с помощью той же теоремы Виета.

Показать ответ и решение

(a) Заметим, что $x= 1$ является корнем данного уравнения, так как $5 − 121+ 116= 0.$ Так как по теореме Виета произведение корней равно $116 5 ,$ то второй корень уравнения равен $116- 116- 5 :1= 5 .$

(b) Заметим, что $− (12+10)= −22$ и $12⋅10 =120.$ Тогда по обратной теореме Виета числа 12 и 10 являются корнями данного уравнения.

(c) Число $− 1$ является корнем данного уравнения, так как $3− 78+ 75 =0.$ По теореме Виета произведение корней равно $75 3-,$ откуда второй корень равен $75 − -3 .$

Ответ:

(a) $1,$ $116- 5$

(b) $12,$ $10$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#97393Максимум баллов за задание: 7

Найдите числа $p$ и $q,$ если известно, что они являются корнями уравнения $x2+px+ q = 0.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы видим, что корни приведенного квадратного уравнения равны его коэффициентам. А какая теорема связывает корни трёхчлена с его коэффициентами?

Подсказка 2

Верно, теорема Виета! Распишите её для нашего уравнения и решите получившуюся систему:)

Показать ответ и решение

По теореме Виета:

{ p =− (p +q) q =pq

( ⌊ { p =0 { q =− 2p |{ q[ = −2p || q =0 q(p− 1)=0 ⇐⇒ |( q = 0 ⇐⇒ ||⌈ { p =1 p= 1 q =− 2

Итак, либо $p =0$ и $q = 0,$ либо $p= 1$ и $q = −2.$

Ответ:

$(0,0),(1,−2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#97394Максимум баллов за задание: 7

Пусть $x 1$ и $x 2$ — корни уравнения $2x2 − 7x− 3= 0.$ Не решая это уравнение, составьте другое квадратное уравнение, корнями которого являются числа $x1− 2$ и $x2− 2.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какая теорема помогает нам сделать какие-то выводы о корнях квадратного уравнения, не решая его?

Подсказка 2

Да, теорема Виета! Распишите теорему Виета для данного квадратного уравнения и для искомого:)

Показать ответ и решение

По теореме Виета $x + x = 7= 3,5 1 2 2$ и $x ⋅x = − 3 = −1,5. 1 2 2$ Пусть числа $x − 2 1$ и $x − 2 2$ являются корнями квадратного уравнения $2 x + px+ q = 0.$ Тогда по теореме Виета:

p= − ((x1− 2)+ (x2 − 2))=− (x1+x2)+ 4= −3,5+ 4= 0,5

q =(x1− 2)(x2− 2) =x1⋅x2− 2x1− 2x2+ 4= x1⋅x2− 2(x1+ x2)+ 4= −1,5 − 2⋅3,5+4 =− 4,5

Итак, искомое уравнение $x2+ 0,5⋅x− 4,5= 0.$

Ответ:

$2x2+ x− 9= 0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#97395Максимум баллов за задание: 7

Не вычисляя корней уравнения $3x2+ 8x− 1=0,$ найдите $x x3 +x x3. 12 2 1$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Можем разложить требуемое значение на множители!

Подсказка 2

Раз нельзя напрямую считать корни, то осталось только выразить через теорему Виета получившееся разложение!

Показать ответ и решение

По теореме Виета $x + x = − 8 1 2 3$ и $x ⋅x = − 1. 1 2 3$ Заметим, что

( 8)2 ( 1) 70 x21+ x22 =(x1+ x2)2− 2x1x2 = − 3 − 2 − 3 = -9

Распишем искомое выражение:

x1x32+x2x31 = x1x2(x21+ x22)= − 1 ⋅ 70-= − 70 3 9 27

Ответ:

$− 70 27$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#134211Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

3 3 2 2 x|y|−-y|x|+-2xy |x + y − 19|+|x y+xy + 6|+ xy = 0

Источники: Ломоносов - 2024, 10.3 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Дробь явно выбивается среди модулей, начнем с нее! Может ли значение дроби быть отрицательным? Чтобы это выяснить, поделим числитель на знаменатель.

Подсказка 2

Получилось, что сумма трех неотрицательных чисел равна нулю. Когда это возможно?

Подсказка 3

Когда все три слагаемых одновременно равны 0. Из дробной части мы узнаем знаки для x и y, для модулей получаем систему с уравнениями третьей степени. Решать напрямую эти уравнения сложно, и все одночлены третьей степени...

Подсказка 4

Выразим (x+y)³ через то, что у нас уже есть, и выделим (x+y) во втором уравнении. Теперь мы явно можем найти (x+y) и упростить второе уравнение.

Подсказка 5

Получили систему уравнений: x + y = 1; xy = -6. Это же теорема Виета для уравнения квадратного трехчлена!

Показать ответ и решение

Изучим

x|y|− |x|y-+2xy |y| |x| xy = y − x + 2

Заметим, что это выражение не отрицательное, так как первое и второе слагаемое могут равнятся только $1$ или $− 1.$

Получили, что сумма трёх неотрицательных чисел равняется нулю, значит, все числа равны нулю, при этом последнее слагаемое равно нулю, при $x >0,$ $y <0.$

Осталось понять, когда первые два слагаемых равны нули, то есть решить систему уравнений

{ x3+ y3 = 19 x2y+ xy2 = −6

Заметим, что $x3+ y3+3(x2y +xy2)= (x +y)3,$ поэтому

{ 3 (x+ y) =1 xy(x+ y)=− 6

Во второй строчке вынесли за скобку $xy,$ теперь видно

{ x+ y = 1 xy = −6

Это теорема Виета записанная для уравнения $t2− t− 6 =0,$ поэтому $x$ и $y$ это различные корни этого уравнения. Значит, подходят такие пары $(3,− 2)$ или $(−2,3),$ однако вспоминая, что $x >0,$ $y <0,$ остаётся только $(3,−2).$

Ответ:

$(3,− 2)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#135351Максимум баллов за задание: 7

Найдите все пары $(m,n)$ натуральных чисел, для которых одно из чисел $A =m2 + 2mn + n2− 9m − 9n$ и $B = m2n +mn2 − 3mn$ равно $2 13p,$ а другое равно $2 75q,$ где $p$ и $q$ — простые числа.

Источники: Физтех - 2024, 10.3 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте разложить на множители число A.

Подсказка 2

A = (m + n)(m + n - 9). Какие есть свойства у числа A?

Подсказка 3

Заметьте, что оно является четным! Предположим, что A = 75q². Что можно сказать о q?

Подсказка 4

Оно простое и четное, следовательно, равно 2! Возможно ли это?

Подсказка 5

Как еще можно перекомбинировать слагаемые в равенстве A = m² + 2mn + n² - 9m - 9n?

Подсказка 6

Получите квадратное уравнение относительно m + n.

Подсказка 7

Остается только рассмотреть случай A = 13p², провести аналогичные действия и получить систему уравнений для m и n.

Показать ответ и решение

Число $A$ представимо в виде

A= (m +n)(m + n− 9)

Так как множители имеют разную чётность, $A$ — чётное число. Рассмотрим два случая.

Если $A= 75q2,$ то так как $A$ чётное, $q$ также должно быть чётным. Кроме того, $q$ — простое число, следовательно, $q = 2.$ Отсюда получаем:

2 (m +n) − 9(m + n)− 300= 0

Это уравнение является квадратным относительно $m + n$ и не имеет натуральных корней. Значит, первый случай невозможен.

Следовательно, $A= 13p2,$ и тогда по условию $B = 75q2.$ Рассуждая аналогично, получаем, что $p =2.$ Тогда получаем уравнение:

2 (m + n)− 9(m + n)− 52= 0,

откуда $m + n= −4$ или $m+ n= 13.$ Подходит только $m + n= 13,$ так как числа $m$ и $n$ положительны.

Перейдём ко второму равенству:

mn (m + n)− 3mn = 75q2

Так как $m + n= 13,$ оно упрощается и принимает вид:

2mn = 15q2

Отсюда $q$ — чётное число, поэтому $q = 2.$ Итак, числа $m$ и $n$ удовлетворяют системе:

{ m +n =13 mn = 30

Её решениями являются пары чисел $(3;10)$ и $(10;3).$

Ответ: (3; 10) и (10; 3)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#136478Максимум баллов за задание: 7

Найти наименьшее значение числа $b,$ при котором уравнение $x2+ ax+ a+ b$ имеет два решения вида $sinα$ и $cosα$ для некоторого $[3π ] α ∈ 2 ;2π .$

Источники: Росатом - 2024, 10.4 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что может нам помочь, когда речь заходит о корнях квадратного уравнения?

Подсказка 2

Примените теорему Виета, предположив, что уравнение действительно имеет решения sinα и cosα.

Подсказка 3

Было бы очень удобно получить какое-то другое равенство, связывающее a, b, sinα и cosα.

Подсказка 4

Если до сих пор ничего не придумали, примените основное тригонометрическое тождество и слегка преобразуйте его, чтобы можно было подставить равенства из теоремы Виета.

Подсказка 5

Осталось только выразить b и минимизировать полученное выражение любым удобным способом.

Показать ответ и решение

Предположим, что у квадратного уравнение корни $sinα$ и $cosα.$ Применим теорему Виета

{ sinαcosα= a+ b sinα+ cosα =− a

Используем основное тригонометрическое тождество

1= sin2α+ cos2α =(sinα +cosα)2− 2cosαsinα =a2− 2a− 2b

Выразим отсюда $b$

b= (a-− 1)2− 2 2

Так, как $(a− 1)2 ≥0,$ то $b ≥−1.$ Причем $b=− 1$ достигается только при $a =1.$ Заметим, что при $b= −1$ и $a= 1,$ корни $− 1= sin 3π 2$ и $0= cos3π. 2$

Ответ:

$− 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#139331Максимум баллов за задание: 7

Рассмотрим всевозможные квадратные трехчлены вида $x2+ax+ b,$ где $a$ и $b$ — натуральные числа, не превосходящие некоторого натурального числа $N.$ Докажите, что количество пар таких трехчленов, имеющих общий корень, не превосходит $2 N .$

Источники: СПбОШ - 2024, 10.4 (см. pdmi.ras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не совсем ясно, с чего начать. Давайте для начала попробуем доказать, что для двух произвольных трехчленов, соответствующих условию, общий корень — целое число.

Подсказка 2

Первый шаг к тому, что корень является целым, — его рациональность. Подумайте, есть ли какой-то способ представить корень в виде частного.

Подсказка 3

Если всё ещё ничего не приходит в голову, припомните факт о том, что общий корень так же будет корнем разности трехчленов.

Подсказка 4

Рациональность есть, чтобы доказать, что корень целый, обратите внимание, что коэффициент при старшем члене многочлена — 1.

Подсказка 5

Теперь имеем, что общий корень двух трехчленов — целое число, едем дальше. Теперь было бы очень сподручно как-то оценить количество пар сверху.

Подсказка 6

Сравните общий корень и N, пользуясь фактом, что наш корень — делитель свободного члена.

Подсказка 7

Обозначим общий корень буквой k, где k принимает все значения от 1 до N. Тогда при фиксированном k, сколько значений может принимать коэффициент a? Постройте оценку количества пар сверху и расширьте её на все k от 1 до N.

Подсказка 8

В полученной оценке имеем сумму обратных квадратов. Припомните общеизвестный факт об оценке суммы обратных квадратов и приведите доказательство.

Подсказка 9

Воспользуйтесь сравнением с телескопической суммой.

Подсказка 10

Если Вы из прошлой подсказки ничего не поняли из-за страшных слов, то на самом деле всё просто. Сравните сумму 1/k² c 1/(k(k-1)).

Подсказка 11

Если всё ещё чувствуете затруднения, представьте каждый член суммы, с которой сравниваем, как разность, чтобы лишние члены схлопнулись.

Показать доказательство

Любой общий корень $x 0$ трёхчленов $x2+a x+ b 1 1$ и $x2 +a x+ b 2 2$ также является корнем их разности:

(a1− a2)x+ (b1− b2)= 0

Отсюда следует, что $x0$ — рациональное число. Но у квадратных трёхчленов со старшим коэффициентом $1$ все рациональные корни автоматически являются целыми. Итак, любой общий корень $x0$ двух таких трёхчленов — целое число. К тому же, видно, $x0 <0$ и $|x|≤ N, 0$ так как $x 0$ является делителем свободного члена.

Оценим количество пар трёхчленов, имеющих общий корень $− k,$ где $k∈ {1,2,...,N}.$ При заданном $k$ коэффициент $a$ такого трёхчлена однозначно задаётся коэффициентом $b,$ который может принимать не более $N- k$ значений, поскольку он должен делиться на $k.$ Таким образом, количество таких пар не больше чем:

1 N (N ) N2 2 ⋅k- k-− 1 < 2k2

Складывая такие оценки по всем $k$ от $1$ до $N,$ получаем, что общее число пар не превосходит:

N2( 1-+ 1-+ ⋅⋅⋅+ 1-) = N2-N∑ 1- 2 12 22 N2 2 k=1 k2

Как известно, сумма обратных квадратов меньше $2.$

Докажем оценку:

N∑ 1 N∑ 1 1 1 1 k2 < 1+ (k−-1)k = 1+ 1⋅2 + 2⋅3 + ⋅⋅⋅+ (N-− 1)N k=1 k=2

Это телескопическая сумма:

1+ (1 − 1)+ (1 − 1) + ⋅⋅⋅+(--1--− 1) = 1+1 −-1 =2− -1< 2 1 2 2 3 N − 1 N N N

Следовательно, общее число пар можно оценить:

2∑N 2 N-- 12 < N-⋅2= N2 2 k=1k 2

Таким образом, оцениваемое количество пар меньше $2 N .$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#31156Максимум баллов за задание: 7

Найдите числа $p$ и $q,$ если известно, что они являются корнями уравнения $x2+px+ q = 0.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если так вышло, что p и q - корни уравнения, то что что можно сделать с ними, чтобы получить некоторые уравнения на них?

Подсказка 2

Верно, подставить вместо х. Тогда при подстановке, выйдет, что вот этот квадратный трехчлен будет равен 0. И мы получим систему, в которой две переменные и два уравнения. Значит, сможем ее решить.

Подсказка 3

Если подставить q, то выходит, что q(q+p+1)=0. Остается рассмотреть два случая, подставить во второе уравнение значения q и сделать обратную проверку, так как в теории могло быть так, что p=q, но уравнение которое получается при таких значениях имеет два различных корня.

Показать ответ и решение

Рассмотрим два случая: $p= q$ и $p⁄= q$ .

Если $p= q$ , то должно выполняться $2 2 p + p +p= p(2p +1)= 0$ .

Значит, либо $p= q = 0$ , либо $1 p =q =− 2.$ В первом случае наше уравнение выглядит как $2 x =0$ и подходит. А во втором случае уравнение $2 1 1 x − 2x− 2$ имеет корни $1 {1;−2}$ и не подходит.

Если $p⁄= q$ , то у нас должно быть два различных корня квадратного уравнения, значит, должна быть выполнена теорема Виета:

p+ q = −p pq = q.

Из второго равенства следует, что либо $q =0$ и тогда из первого $p =−p =0$ , либо $p =1$ и тогда из первого $q = −p− p= −2$ . Случай $p =q =0$ мы уже проверяли, а в другом случае наше уравнение выглядит как $2 x + x− 2= (x+ 2)(x− 1)$ и тоже подходит.

Ответ:

$(p= 0;q =0)$ или $(p =1;q = −2)$

Предыдущая подтема

Следующая подтема