Квадратные трёхчлены → .03 Графики квадратных трёхчленов

Вычислим площадь лежащего на параболе, через абсциссы его вершин. Без ограничения общности можем считать, что абсциссы соответственно равны Пусть — проекции точек на ось Тогда площадь треугольника выражается через площади трапеций:

По формуле площади трапеции:

Аналогично:

Подставляя и преобразуя, получаем:

Для точек на той же параболе с абсциссами разности сохраняются: Следовательно, тогда

Положим Упорядочим абсциссы отмеченных точек по возрастанию:

Рассмотрим отрезков Если среди них найдутся 5 отрезков равной длины, то утверждение задачи верно.

Упорядочим эти 5 отрезков по возрастанию левых концов: Возьмём точки:

где — общая длина отрезков. Ранее доказано, что Все точки различны, так как

Предположим теперь, что среди отрезков нет пяти равной длины. Тогда для каждой длины имеется не более четырёх отрезков длины Тогда минимальная сумма длин всех отрезков не менее:

Но сумма длин всех отрезков равна Противоречие.

Следовательно, обязательно существуют пять отрезков равной длины, и по доказанному можно выбрать шесть точек с равными площадями треугольников.

Обозначим данные трёхчлены:

где и — координаты вершин парабол. Тогда а

Если то минимальное значение выражения

равняется нулю, откуда

Последнее противоречит тому, что

— положительное число. Таким образом, откуда

Аналогично, и

Теперь условие равенства разностей переписывается в виде Отсюда, поскольку и получаем то есть Значит, искомый угол равен

Пусть уравнение параболы Через точку проходит прямая Эта прямая будет касаться параболы в том случае, если она не параллельна оси параболы (т.е. ) и имеет с параболой единственную общую точку — то есть уравнение

должно иметь единственное решение относительно переменной

Уравнение квадратное — значит, для единственности решения нужно, чтобы дискриминант равнялся нулю.

Дискриминант этого уравнения равен

Он, в свою очередь, тоже образует квадратное уравнение, но для переменной

Угловые коэффициенты перпендикулярных прямых относятся так: Значит, если из одной точки получилось провести перпендикулярные касательные к параболе, то уравнение имеет такие корни , что а по теореме Виета это значит, что

То есть и провести перпендикулярные касательные к параболе получится только из точек, лежащих на прямой Точки лежат на одной прямой, и расстояние до этой прямой от точки известно из условия. Учитывая, что располагаться на прямой могут в разном порядке, мы получаем два возможных варианта ответа:

Первое решение.

Посмотрим при каких условиях окружность касается параболы. Пусть есть окружность радиуса с центром в точке , — точка касания окружности и параболы. Проведем касательную . Тогда .

Проведем через точку прямую, параллельную оси ( — точка пересечения прямой и оси ). Тогда . Значит, , но , так как — касательная в точке .

Значит, . Тогда по теореме Пифагора получаем, что .

Теперь рассмотрим случай с двумя окружностями

Пусть и . Тогда

Также знаем, что

Из (1) и (2) получаем

Второе решение.

Пусть — координаты центра первой окружности. Тогда — координаты центра второй окружности, где — искомый радиус.

Запишем систему уравнений для первой (1) и второй (2) окружности. Первое уравнение – пересечение окружности и параболы. Второе — условие касания

Получаем, что

Так как , то нам подходит только

Первое решение.

Площадь треугольника будет максимальной, когда высота из точки на основание будет максимальной длины. Это произойдет, когда касательная к параболе в точке будет параллельна

Координаты точек: . Тангенс наклона прямой, содержащей , равен Тангенс угла наклона касательной к графику в точке равен производной функции в этой точке, поэтому хотим найти такое, что

Итого, искомые координаты . Найдем длины сторон треугольника

Найдем площадь треугольника по формуле Герона:

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Разрежем треугольник вертикальным отрезком , тогда

Пусть уравнение прямой . Тогда . Этот трёхчлен достигает максимум посередине между корнями, которые, очевидно, равны и Значит, максимальная длина отрезка получится, если взять , и тогда

Квадратный трехчлен не имеет корней, следовательно, знакопостоянен. Кроме этого, Заключаем, что для любого действительно в частности,

Найдем длину отрезка, высекаемого параболой на прямой для заданного Абцисса точки пересечения графиков данных функций удовлетворяют уравнению то есть ордины данных точек равны, то есть расстояние между ними равно

Таким образом, парабола высекает на прямых три отрезка, длины которых равны соотвественно , Осталось заметить, что

следовательно, в силу обратной теоремы Пифагора, верно, что треугольник, длины сторон которого равны соотвественно является прямоугольным.

Пусть вершины квадрата и лежат на первой параболе, а вершины и — на второй. У этих парабол одинаковые коэффициенты при . Значит, вторую параболу можно получить из первой параллельным переносом на некоторый вектор. Заметим, что этим вектором является вектор . При этом переносе вершина первой параболы переходит в вершину второй. Значит, имеет координаты . То есть квадрат длины стороны квадрата равен

Это и есть площадь квадрата. Минимум достигается в вершине .

Вычтем из обоих трехчленов линейную функцию, график которой проходит через точки и Обозначим полученные трехчлены соответственно и (где у старший коэффициент равен а у он равен ). Пусть абсциссы точек и равны соответственно и Тогда и касательные в точках и к графику трехчлена пересекаются на графике В самом деле, вычитание линейной функции сохраняет условия касания прямой и параболы в точке с заданной абсциссой, а также пересечения двух прямых и параболы в одной точке.

Обозначим через Поскольку график трехчлена симметричен относительно прямой поэтому касательные к этому графику в точках и пересекаются на оси симметрии. Пусть также точка пересечения касательных имеет координаты а вершина параболы-графика имеет координаты

Поскольку старший коэффициент трехчлена равен имеет место равенство или поскольку график есть парабола , перенесенная параллельно так, чтобы вершина попала в По этой же причине угловые коэффициенты касательных в точках и есть значит, Таким образом, если перенести параболы-графики и так, чтобы их вершины попали в то ординаты точек с абсциссой на этих параболах будут соответственно и из чего следует, что старший коэффициент у в раза больше, чем у

Так как то корнями многочлена являются корни трехчленов и Ясно, что любое число может быть корнем только одного из них.

Пусть — искомая ордината вершины. Предположим, что Будем считать, что старший коэффициент в положителен (иначе заменим на при этом заменится на Предположим, что тогда и при всех значит, корни многочлена являются корнями а их не больше двух. Если же то трехчлены и имеют по два корня, значит, имеет хотя бы корня. Оба случая невозможны; значит,

Пусть квадраты «нанизаны» на ось координатной плоскости. Рассмотрим -ый по счету квадрат и обозначим через его правую вершину. Тогда несложно понять, что координаты этой вершины выражаются через число следующим образом:

Из первого равенства выражаем и, подставляя во второе, получаем, что что нам и требовалось.

Пусть параболы проходят через точку Тогда откуда Вершина каждой из данных парабол имеет координаты:

Значит, то есть вершины парабол лежат на параболе

Обозначим координаты точек: Корни первого трёхчлена равны и корни второго равны и Ордината точки равна свободному члену первого трёхчлена, то есть Аналогично, ордината точки равна Поэтому отношения катетов и прямоугольных треугольников и равны следовательно, они подобны.

Парабола пересекает оси координат в точках и и — корни соответствующего уравнения). Рассмотрим точки и Поскольку то точки лежат на одной окружности. Значит, все окружности, удовлетворяющие условию, проходят через точку

Предположим, что трёхчлен не имеет корней. Тогда не умаляя общности допустим, что Из условия понимаем, что либо либо Рассмотрим каждый из случаев. В первом мы тогда получаем, что откуда выходит, что у первого трёхчлена нет корней( Аналогично во втором случае — откуда второй трёхчлен не имеет корней. В обоих случаях получаем противоречие с условием задачи. Значит, имеет корни.

Пусть — одна из рассматриваемых трапеций, и Пусть точки и имеют координаты и Легко получить уравнение прямой

что после сокращения на превращается в

Но равно произведению половин оснований трапеции. Отсюда Следовательно, прямая проходит через фиксированную точку

Пусть — одна из рассматриваемых трапеций, и Пусть точки и имеют координаты и Легко получить уравнение прямой

что после сокращения на превращается в

Но равно произведению половин оснований трапеции. Отсюда Следовательно, прямая проходит через фиксированную точку

Для каждого числа написанного на доске, произведение и суммы шести оставшихся равно

Квадратичная функция принимает все значения, кроме максимального, два раза — а именно, в точках и Значит, если при то

Таким образом, каждое число встречается в тетради не более двух раз. Значит, так как в тетради всего четыре различных числа, три из них встречаются по два раза, и ещё одно — один раз. Таким образом, шесть из семи чисел на доске разбиваются на пары так, что сумма чисел каждой пары равна Значит, сумма этих шести чисел равна тогда седьмое число равно

Параболы, являющиеся графиками этих функций, пересекаются в точке , потому что равенство верно для любых , удовлетворяющих условию

Достаточно расположить эти параболы на плоскости так, чтобы они пересекались в четырёх точках. Эти четыре точки взять в качестве и одновременно Одинаковые четырёхугольники являются равными.