Тема АЛГЕБРА

Квадратные трёхчлены → .03 Графики квадратных трёхчленов

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Квадратные трёхчлены

Дискриминант и корни квадратных трёхчленов

Теорема Виета для квадратных трёхчленов

Графики квадратных трёхчленов

Квадратные трёхчлены с целыми коэффициентами

Теорема о промежуточном значении

Задачи на исследование квадратичной функции

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#38127Максимум баллов за задание: 7

Один из двух приведённых квадратных трёхчленов имеет два корня, меньших тысячи, другой — два корня, больших тысячи. Может ли сумма этих трёхчленов иметь один корень, меньший тысячи, а другой — больший тысячи?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем понять какую-то информацию из графиков трёхчленов и последовательного анализа условия. Нам тут всё дали не просто так. Если у нас приведённые квадратные трёхчлены, то что можно сказать о их графиках и их сумме?

Подсказка 2

Верно, значит, ветви парабол направлены вверх, причём всех трёх, так как старшие коэффициенты равны 1 и 2. Теперь попробуем использовать второе условие про корни. Что вы можете сказать про значение трёхчленов в точке 1000? Попробуйте подставить и узнать.

Подсказка 3

Ага, получаем, что изначальные трёхчлены в 1000 положительны. Понятно, что тогда и их сумма в точке 1000 положительна. Но разве, когда корни должны быть по разные стороны от 1000, такое может быть?

Показать ответ и решение

Первое решение.

По условию трёхчлены приведённые, так что их старшие коэффициенты положительны (равны единичке у обоих), то же можно сказать и для их суммы. Посмотрим на графики двух данных в условии трёхчленов: это параболы с ветвями вверх, которые при $x =1000$ имеют положительные значения. Их сумма также даёт параболу с ветвями вверх и положительным значением в точке $x = 1000$ . Поэтому корни находятся так же по одну сторону, ведь иначе (когда $x= 1000$ находится между корнями) значение суммы при $x = 1000$ было бы отрицательным.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Параллельно перенесём графики данных трёхчленов на $1000$ влево. Это эквивалентно замене в условии задачи $1000$ на $0.$ Получим приведённые трёхчлены: $x2+ p1x +q1$ с отрицательными корнями и $x2+ p2x +q2$ с положительными корнями. По теореме Виета $q1 > 0$ и $q2 > 0.$ Сумма этих трёхчленов равна $2x2+ (p1+p2)x+(q1+ q2)$ , где $q1 +q2 > 0,$ поэтому её корни одного знака.

Ответ:

нет

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#75452Максимум баллов за задание: 7

На оси $Ox$ произвольно расположены различные точки $X ,...,X 1 n$ , $n ≥3$ . Построены все параболы, задаваемые приведенными квадратными трехчленами и пересекающие ось $Ox$ в данных точках (и не пересекающие ось в других точках). Пусть $y =f1,...,y =fm$ — функции, задающие эти параболы. Докажите, что парабола $y = f1+ ...+ fm$ пересекает ось $Ox$ в двух точках.

Источники: Всеросс., 2002, РЭ, 10.5(см. math.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если нам даны точки на оси, то мы знаем корни каждой параболы. Как тогда будет выглядеть уравнение параболы в общем случае?

Подсказка 2

Мы можем легко по теореме Виета составить уравнение параболы по её корням. Всего у нас n(n-1)/2 различных пар иксов. Тогда как будет выглядеть сумма всех возможных функция, задающих параболы, проходящие через данные точки?

Подсказка 3

Сумма всех таких функций равна x² * n(n-1)/2 - (n-1)(x₁ + x₂ +…+ xₙ) * x + (x₁x₂ + … + xₙ₋₁xₙ) Каким образом мы можем доказать, что данная функция будет иметь два пересечения с осью Ox?

Подсказка 4

Если докажем, что дискриминант больше нуля, то докажем, что функция пересекает ось Ox в двух точках.

Показать доказательство

Понятно, что приведённый трёхчлен, проходящий через $x,x i j$ , имеет вид $x2− (x +x )x+ xx i j ij$ . Тогда их сумма равна

n(n−-1) 2 2 ⋅x − (n− 1)(x1+ x2+...+xn)x+ (x1x2+ ...+ xixj + ...+ xn− 1xn)

Старший коэффициент равен количеству трёхчленов, которые имеют корни в указанных точках. Покажем, что дискриминант положителен:

D= (n− 1)2(x1+...+xn)2− 2n(n− 1)(x1x2+...+xn−1xn)

Достаточно доказать, что:

(n − 1)(x1 +...+ xn)2− 2n(x1x2+ ...+ xn−1xn)>0

После раскрытия скобочек и привидения подобных получим:

2 2 (n− 1)(x1+ ...+ xn)− 2(x1x2+ ...+ xn−1xn)=

= (x1 − x2)2+...+(xi− xj)2+...+(xn− xn−1)2 > 0

Последнее неравенство верно, так как переменные различны.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#79220Максимум баллов за задание: 7

Внутри параболы $y = x2$ расположены несовпадающие окружности $ω ,ω ,ω ,... 1 2 3$ так, что при каждом $n >1$ окружность $ω n$ касается ветвей параболы и внешним образом окружности $ωn−1.$ Найдите радиус окружности $ω1998,$ если известно, что диаметр $ω1$ равен $1$ и она касается параболы в ее вершине.

Источники: Всеросс., 1998, ЗЭ, 11.5(см. math.ru)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Посмотрим, при каких условиях окружность касается параболы. Пусть есть окружность радиуса $R1$ с центром в точке $A,$ а $B$ — точка касания окружности и параболы. Проведем касательную $BE.$ Тогда $∘ ∠ABE = 90$

$PIC$

Проведём через точку $B$ прямую, параллельную оси $Ox$ $(C$ — точка пересечения прямой и оси $Oy).$

Тогда $∠CBA +∠EBC1 = 90∘.$

Получаем, что $tg∠EBC1 = ctg∠ABC,$ но $tg∠EBC1 = 2x1$ , так как $EB$ — касательная $y = x2$ в точке $x1.$

Значит,

CB-=2x1 =⇒ AC = 1 AC 2

Тогда по теореме Пифагора получаем, что

2 2 1 R1 = x1+ 4

Теперь рассмотрим случай с двумя окружностями.

$PIC$

Пусть $CB =x1$ и $C1B1 = x2.$ Тогда

2 2 ( 2 1) ( 2 1) 2 2 R2− R1 = x2+ 4 − x1+ 4 = x2− x1 (1)

Также знаем, что

R2+ R1 = CC1 =x22− x21 (1)

Из $(1)$ и $(2)$ получаем, что $R2− R1 = 1$ .

То есть мы поняли, что если есть две окружности радиуса $R2$ и $R1$ соответственно, которые касаются параболы и друг друга, то их радиусы отличаются на $1$ .

Тогда получается, если $1 Rw1 = D∕2= 2,$ то

1 1 Rw2 = 1+ 2,...,Rw1998 = 1998− 1+ 2 = 1997,5

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Пусть $rn$ — радиус $n$ -й окружности, $Sn = r1+r2+ ...+ rn.$ Тогда уравнение $(n +1)$ -й окружности имеет вид:

x2+ (y− (2Sn+ rn+1))2 = r2n+1 (1)

Условие касания означает то, что уравнение $(1)$ имеет один корень, тогда его дискриминат $D = (2rn+1− 1)2− 8Sn$ равен нулю, то есть $√--- rn+1 =-8Sn-+1 2$ (так как $rn+1 >0).$ Отсюда

3 5 r2 = 2,r3 = 2

Покажем по индукции, что $1 rn+1 = n+ 2.$ База уже есть, докажем переход.

∘ -1----------1-- rk+1 =--8(2-+...+-(k−-2))+-1= 2

∘ -(k(k+-1)--k-)- 1 1 1 = 2 ---2-- −2 + 2 = k+ 2 =(k+ 1)− 2

Тогда получается, что

rw =1998− 1= 1997,5 1998 2

Ответ:

$1997,5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#98826Максимум баллов за задание: 7

Нижняя из нарисованных окружностей касается параболы $y = x2$ в вершине, наибольшая из таких и находится строго внутри неё. Каждая следующая окружность касается предыдущей окружности и параболы симметрично.

(a) Докажите, что радиус $n$ -ной окружности $1 rn = n− 2.$

(b) Докажите, что ординаты точек касания $n$ -ой окружности и параболы $yn = (n − 1)n.$

$PIC$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первый пункт стоит доказывать по индукции. Предположите, что вы уже знаете радиусы n первых окружностей. Напишите уравнение (n+1)-ой. Учтите условия касания и сможете найти связь (n+1)-го радиуса с предыдущими.

Подсказка 2

Пользуясь предыдущим пунктом, напишите уравнение n-й окружности. Определитесь с координатами центра. Чтобы найти точки касания с параболой, нужно приравнять в уравнении окружности y к x².

Показать доказательство

(a) Пусть $rn$ — радиус $n$ -й окружности, $Sn = r1+r2+ ...+ rn.$ Тогда уравнение $(n +1)$ -й окружности имеет вид:

2 2 2 x + (y− (2Sn+ rn+1)) = rn+1 (1)

Условие касания означает то, что уравнение $(1)$ имеет один корень, тогда его дискриминат $D = (2r − 1)2− 8S n+1 n$ равен нулю, то есть $√8Sn +1 rn+1 =---2---$ (так как $rn+1 >0).$ Отсюда

3 5 r2 = 2,r3 = 2

$rn =n − 12$ покажем по индукции. База уже есть, переход:

∘ --------------- 8(12 +...+ (k− 12))+ 1 rk+1 =---------2---------=

∘ -(----------)- = 2 k(k+-1) − k + 1= k+ 1 =(k+ 1)− 1 2 2 2 2 2

(b) Найдём теперь ординату точки касания окружности с ветвями параболы. Поймём, где будет центр окружности по оси ординат. Понятно, что мы должны посчитать диаметры всех $n − 1$ окружностей и радиус $n$ -ой: