Тема АЛГЕБРА

Неравенства без логарифмов и тригонометрии

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Неравенства без логарифмов и тригонометрии

Сравнение чисел

Иррациональные неравенства (с радикалами)

Неравенства с модулем

Неравенства с модулями И корнями

Показательные неравенства

Использование монотонности в неравенствах без логарифмов и тригонометрии

Неравенства с целой и дробной частями

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#88257Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

√16−-x2 -3−-x--≤ 1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первым делом в выражении с корнями и дробями стоит найти ОДЗ. А что делать дальше? У нас есть дробь, знак числителя которой нам известен... Может, попробуем обратить внимание на знак всего выражения?

Подсказка 2

Конечно, когда знаменатель отрицательный, то и всё наше выражение будет неположительным, а значит, точно не больше единицы. Остаётся рассмотреть случаи с положительным знаменателем. Как мы тогда можем преобразовать наше неравенство?

Подсказка 3

Верно, если знаменатель положителен, то можно домножить на него обе части неравенства и затем возвести в квадрат! Теперь нам нужно только аккуратно посчитать и пересечь обе серии решений с ОДЗ

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x∈ [−4;3)∪(3;4].$

Если $3− x < 0$ , то неравенство верно. Пересекая с ОДЗ, получаем, что $x∈ (3;4]$ являются решениями. При $3 − x >0$ обе части неравенства неотрицательные, поэтому имеем

2 2 16− x ≤(3− x)

2 2x − 6x− 7≥ 0

( 3−-√23] [3+-√23 ) x∈ − ∞; 2 ∪ 2 ;+∞

Пересекая с ОДЗ, получаем

[ √ -] x∈ − 4;3-−--23 2

Объединяя две серии, получаем ответ.

Ответ:

$[ 3 − √23] − 4;--2-- ∪(3;4]$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#88259Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

∘ ---1- 7x − 1 5 1− x > -x---

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем преобразовать дроби: правую часть привести к общему знаменателю, а из левой выделить целую часть. Может быть, мы теперь увидим похожие конструкции справа и слева?

Подсказка 2

И справа, и слева образовалось выражение sqrt((x-1)/x), и больше нет ничего, зависящего от x. Давайте же обозначим это выражение за новую переменную t!

Подсказка 3

Получим простое квадратное неравенство от t. Решим его, а далее останется аккуратно перейти к старой переменной!

Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство:

∘ x-− 1 x− 1 5 --x- > -x--+ 6

Введем замену:

∘ ----- t= x−-1 x

Тогда неравенство сведется к

5t> t2+ 6

t2− 5t+ 6< 0

(t− 2)(t− 3)< 0

Решением будут $t∈ (2;3).$ Сделаем обратную замену.

∘----- { −3x−1 2< x−-1< 3 ⇐⇒ 4< x−-1< 9 ⇐⇒ --x--> 0 x x −8xx−1< 0

Применим метод интервалов для первого неравенства системы:

$PIC$

То есть решение первого неравенства $x ∈(− 13;0).$

Для второго неравенства:

$PIC$

Его решением будет $x∈(−∞; − 18)∪ (0;+∞ ).$

Тогда общее решение:

x∈(− 1;− 1) 3 8

Ответ:

$x ∈(− 1;− 1) 3 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#88273Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

x 2x+1- 2x+7 2x−1 9 − 2 2 <2 2 − 3

Показать доказательство

Разделим левую и правую части на $2x$ ( $2x > 0,$ поэтому знак неравенства сохранится). Получаем:

9x 1 7 32x−1- 2x − 22 <22 − 2x

9x 32x−1 7 1 2x +--2x--< 22 + 22

x 2x √- √- 9x + 1 ⋅ 3x-< 8 2+ 2 2 3 2

( ) 1+ 1 9x < 9√2- 3 2x

√ - 9x < 27-2 2x 4

(9)x ( 9)32 2 < 2

Поскольку $( ) f(x)= 92 x$ — возрастающая функция (т.к. $92 > 1$ ), то решением неравенства $f(x)< f(32)$ будет:

x < 3 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#88770Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

2|x − 4|+|3x+ 5|≥ 16.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как во всех подобных неравенствах, нужно начать с нахождения нулей подмодульных выражений. Какие они?

Подсказка 2

Верно! Для x-4 это 4, а для 3x+5 это -5/3. Теперь нужно отметить их на координатной прямой. Самое время посмотреть, как при переходе через нули меняются знаки подмодульных выражений!

Подсказка 3

Два нуля подмодульных выражений разбивают координатную прямую на 3 промежутка. Для промежутка (- ∞; -5/3] оба выражений отрицательны, так как при x < 4 выражение x-4 отрицательно, и при x ≤ -5/3 выражение 3x+5 отрицательно. Значит, модули раскрываем со знаком минус! Какое тогда получается неравенство?

Подсказка 4

Верно! Получается -2x + 8 - 3x - 5 ≥ 16. Остается его решить и разобрать другие случаи аналогичным образом!

Показать ответ и решение

Для начала отметим нули подмодульных выражений:

x− 4= 0 при x= 4,

5 3x+ 5=0 при x= − 3,

Теперь найдём решения неравенства на каждом из промежутков:

1) $5 x∈(−∞; −3].$ Тогда:

{ x− 4≤ 0; 3x+ 5≤ 0;

Неравенство с раскрытыми модулями будет выглядеть следующим образом:

− 2x+8 − 3x− 5≥ 16

−13≥ 5x

13 x ≤− 5-

x ≤− 2,6

Так как $− 53 ≥− 2,6$ , на рассматриваемом промежутке решениями неравенства являются $x∈ (− ∞;−2,6].$

2) $x∈(− 53;4].$ Тогда:

{ x− 4≤ 0; 3x+ 5≥ 0;

Неравенство с раскрытыми модулями будет выглядеть следующим образом:

− 2x+8 +3x+ 5≥ 16

x≥ 3

Значит, на рассматриваемом промежутке решениями неравенства являются $x∈ [3;4].$

3) $x∈(4;+∞).$ Тогда:

{ x− 4≥ 0; 3x+ 5≥ 0;

Неравенство с раскрытыми модулями будет выглядеть следующим образом:

2x− 8+ 3x +5 ≥16

5x≥ 19

x≥ 19 5

x≥ 3,8

Значит, на рассматриваемом промежутке решениями неравенства являются $x∈ (4;+∞ ).$

Таким образом, решениями неравенства являются

$x∈(−∞; −2,6]∪[3;+∞ ).$

Ответ:

$(−∞;− 2,6]∪[3;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#88771Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

|2 | | 2 | |x +2x|− |2− x|<|x − x|

Показать ответ и решение

Для начала отметим нули подмодульных выражений:

2 x + 2x= 0 при x = 0,x= −2,

2− x= 0 при x= 2,

x2− x= 0 при x= 0,x =1,

Теперь найдём решения неравенства на каждом из промежутков:

1) $x∈(−∞; −2].$ Тогда:

( |{ x2+2x ≥0; | 2− x ≥0; ( x2− x ≥0;

Неравенство с раскрытыми модулями будет выглядеть следующим образом:

x2 +2x− 2+ x< x2− x

4x< 2

1 x < 2

На рассматриваемом промежутке решениями неравенства являются $x∈ (−∞;−2].$

2) $x∈(−2;0].$ Тогда:

( 2 |{ x +2x ≤0; |( 2−2 x ≥0; x − x ≥0;

Неравенство с раскрытыми модулями будет выглядеть следующим образом:

−x2− 2x− 2+x <x2− x

−2 <2x2

Полученное неравенство верно всегда, так как квадрат — число неотрицательное.

Значит, на рассматриваемом промежутке решениями неравенства являются $x∈ (− 2;0].$

3) $x∈(0;1].$ Тогда:

( x2+2x ≥0; |{ |( 2−2 x ≥0; x − x ≤0;

Неравенство с раскрытыми модулями будет выглядеть следующим образом:

2 2 x + 2x − 2+ x< −x + x

2x2+ 2x− 2< 0

Делим обе части на 2:

x2+ x− 1< 0

Получаем $x ∈(−1−√5;−1+√5). 2 2$

Теперь нам нужно найти решения неравенства с учётом рассматриваемого промежутка:

$−1−√5 2$ - число отрицательное (<0), а значит, левой границей будет 0,

$√- 5< 3,$ а значит в числителе дроби $−1+√5 2$ будет число, меньшее 2. Тогда вся дробь будет <1, что означает, что правой границей решений будет число $−1+√5 2 .$

Значит, на рассматриваемом промежутке решениями неравенства являются $−1+√5 x∈ (0; 2 ).$

4) $x∈(1;2].$ Тогда:

( 2 |{ x +2x ≥0; |( 2−2 x ≥0; x − x ≥0;

Заметим, что тогда неравенство с раскрытыми модулями будет таким же, как и на промежутке (1):

2 2 x +2x− 2+ x< x − x

4x< 2

1 x < 2

Значит, на рассматриваемом промежутке нет решений (так как $x> 1$ ).

5) $x∈(2;+∞).$ Тогда:

( |{ x2+2x ≥0; |( 2− x ≤0; x2− x ≥0;

Неравенство с раскрытыми модулями будет выглядеть следующим образом:

x2 +2x+ 2− x< x2− x

2x <− 2

Значит, на рассматриваемом промежутке нет решений (так как $x> 2$ ).

Таким образом, решениями неравенства являются $−1+√5 x∈ (− ∞;--2--).$

Ответ:

$(−∞; −1+√5) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#88772Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

|2 | |x − 3x+ 1|<x − 2

Показать ответ и решение

Заметим, что если $x − 2 ≤0,x≤ 2,$ решений нет, так как модуль не может быть строго меньше неположительного числа.

Иначе $x≥ 2$ . Раскроем знак модуля, составим двойное неравенство:

2 2− x <x − 3x+ 1< x− 2

{ x2− 3x +1> 2− x; x2− 3x +1< x− 2;

{ x2− 2x− 1> 0; x2− 4x+ 3< 0;

{ √- √- x∈ (−∞; 1− 2)∪(1+ 2;+ ∞); x∈ (1;3);

Тогда, с учётом ограничения $x> 2$ получаем:

{ √- x ∈(1+ 2;+∞ ); x ∈(2;3);

Таким образом, решениями неравенства являются $√- x∈ (1+ 2;3).$

Ответ:

$(1+ √2;3)$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#88773Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

|x-− 5|−-|x+-4| |x-− 2|+|x+-1| |x − 2|− |x+ 1| < |x+4|

Показать ответ и решение

Для начала рассмотрим дробь:

|x-− 2|+|x+-1| |x+ 4|

Так как знаменатель не может быть равен 0, $x⁄= −4$ . Тогда знаменатель положителен. Так как в числителе сумма различных модулей, числитель всегда положителен. Значит, вся дробь:

|x−-2|+-|x-+1|> 0 |x+ 4|

Тогда мы можем домножить обе части на $|x+ 4|$ и поделить на $(|x− 2|+ |x +1|):$

---(|x−-5|−-|x+4|)⋅|x+-4|---< 1 (|x− 2|− |x+ 1|)(|x− 2|+|x+ 1|)

Заметим, что $2 2 |a| = a.$ Тогда перемножим скобочки и получим следующее неравенство:

(|x − 5|⋅|x+ 4|)− (x+4)2 ---(x−-2)2−-(x+-1)2---< 1

Воспользуемся свойством $|a|⋅|b|= |ab|$ , а также разложим в знаменателе разность квадратов:

2 --(|x−-5||x+4|)− (x+-4)-< 1 (x− 2− x− 1)(x− 2+x +1)

Теперь раскроем скобочки $(x+4)2$ и вычтем 1 из обеих частей:

(|x−-5||x+-4|)− x2-− 8x−-16+6x-− 3 (−3)(2x− 1) <0

Домножим обе части на (-3):

(|x − 5||x+ 4|)− x2− 2x− 19 ---------2x− 1--------> 0

Знаменатель $⁄= 0$ , значит, $x ⁄= 12.$

Теперь рассмотрим, как раскрывается модуль в выражении $|x− 5||x+ 4|:$

При $x∈ (−∞;− 4)∪ [5;+∞ ):(x− 5)(x+ 4)≥ 0.$

При $x∈ [− 4;5]:(x − 5)(x +4)≤ 0.$

(Помним про ограничения $x⁄= −4$ и $x⁄= 12)$ )

1) При $x∈ (−∞;−4)∪ [5;+∞ )$ модуль раскрывается следющим образом:

x2−-x−-20− x2−-2x−-19> 0, 2x − 1

−-3x− 39 >0, 2x − 1

-x+13 < 0. x − 0,5

По методу интервалов решением неравенства являются $x∈(−13;0,5).$

С учётом рассматриваемого промежутка получим, что решением неравенства являются $x∈ (− 13;−4).$

2) При $x∈ (−4;5)$ модуль раскрывается следющим образом:

−x2+x +20− x2− 2x − 19 --------2x-− 1-------->0,

2 −2x-−-x+-1> 0, 2x − 1

(2x−-1)(x+-1)< 0. 2x − 1

Можем поделить на $2x− 1⁄= 0$ , получим, что $x+ 1$ <0, значит, $x <− 1.$

С учётом рассматриваемого промежутка получим, что решением неравенства являются $x∈ (− 4;−1).$

Таким образом, решениями неравенства являются $x∈ (− 15;−4)∪(−4;−1).$

Ответ:

$(−15;− 4)∪(−4;− 1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#88774Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

|x+ 1|+ |x +2|> 2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Модули не такие сложные — раскрываем их! Тогда нам нужно рассмотреть несколько промежутков. Какие?

Подсказка 2

x <= -2, -2 < x <= -1 и -1 < x. В каждом из промежутков решаем линейное уравнение и получаем ответ!

Показать ответ и решение

Рассмотрим 3 случая раскрытия модулей:

1) $x≤ −2,$ тогда

− (x +1)− (x +2)> 2

−2x> 5

x< − 5 2

Видно, что все эти значения подходят под условия этого случая.

2) $− 2 <x ≤− 1,$ тогда

− (x +1)+ (x +2)> 2

1> 2

Значит, данный случай не подходит.

3) $− 1 <x,$ тогда

(x+ 1)+ (x+ 2)> 2

2x >− 1

1 x> −2

Видно, что все эти значения подходят под условия этого случая.

В итоге ответ — $( 5) ( 1 ) −∞; −2 ∪ − 2;+∞$

Ответ:

$(−∞;− 5)∪ (− 1;+ ∞) 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#88775Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

|2 | 2 |x + x− 2|+|x+ 4|≤ x + 2x +6

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Модули не такие сложные — раскрываем их! Тогда нам нужно рассмотреть несколько промежутков. Какие?

Подсказка 2

Для разбора случаев найдем промежутки знакопостоянства x^2 + x - 2. Но не забываем про знак x + 4. В каждом из промежутков решаем уравнение и получаем ответ!

Показать ответ и решение

2 |(x+ 2)(x− 1)|+|x+ 4|≤ x + 2x+ 6

Рассмотрим 3 случая раскрытия модулей:

1) $x≤ −4,$ тогда

2 (x+2)(x − 1)− (x +4)≤ x + 2x +6

x2− 6≤ x2+2x+ 6

2x≥ −12

x≥ −6

Пересекая с условием данного случая, получаем $x ∈[−6;− 4].$

2) $x∈(−4;−2]∪(1;+ ∞),$ тогда

(x+2)(x − 1)+ (x +4)≤ x2+ 2x +6

x2+ 2x+ 2≤ x2 +2x+ 6

2≤ 6

Получили верное неравенство, значит, нам подходят все значения, удовлетворяющие условию данного случая.

3) $− 2 <x ≤1,$ тогда

2 − (x+ 2)(x− 1)+(x+ 4)≤x +2x+ 6

− x2+6 ≤x2+ 2x+ 6

2x2+2x ≥0

x(x+ 1)≥ 0

x∈ (−∞;−1]∪[0;+ ∞)

Пересекая с условием данного случая, получаем $x ∈(−2;−1]∪ [0;1].$

Объединив все полученные значение, получим итоговый ответ — $x ∈[− 6;− 1]∪ [0;+∞).$

Ответ:

$[−6;− 1]∪ [0;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#88776Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

|3 − |x− 2||≤1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В каком случае модуль не больше некоторого числа A?

Подсказка 2

Модуль не больше некоторого числа A, когда подмодульное выражение лежит между числами -A и А. Запишем это! Что делать с x - 2?

Подсказка 3

Рассмотрим, когда 4 >= |x - 2| >= 2. Когда модуль числа не меньше некоторого числа В?

Подсказка 4

Модуль числа не меньше некоторого числа В, когда число или не больше -В, или не меньше В. Осталось лишь аккуратно записать и решить систему!

Показать ответ и решение

Преобразуем данное неравенство

{ 3− |x − 2|≤ 1 3− |x − 2|≥ −1

{ |x− 2|≥ 2 |x− 2|≤ 4

( [ ||| x− 2 ≥2 |||{ x− 2 ≤− 2 | ||||| x− 2≤4 ( x− 2≥− 4

(| [ x≥ 4 ||||| x≤ 0 { |||| x≤ 6 ||( x≥ −2

({ x ∈(−∞;0]∪[4;+ ∞) ( x ∈[−2;6]

x ∈[−2;0]∪[4;6]

Ответ:

$[−2;0]∪ [4;6]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#88777Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

-1--- --1-- |x− 1| > |x +1|

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумаем, а какими являются обе части неравенства. Что можно сделать, чтобы избавиться от модулей?

Подсказка 2

Раз и левая, и правая части данного неравенства неотрицательны, значит, возведение в квадрат будет равносильным преобразованием. Осталось лишь решить неравенства на знаменатели) Не забываем про ОДЗ!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Раз и левая, и правая части данного неравенства неотрицательны, значит, возведение в квадрат будет равносильным преобразованием.

1 1 (x−-1)2 > (x-+1)2

Т.к. знаменатели неотрицательны, то можем умножать на них без изменения знака с учётом, что они ненулевые.

( |{ (x+ 1)2 > (x− 1)2 | x +1⁄= 0 ( x − 1⁄= 0

( 2 2 |{ x +2x +1> x − 2x+ 1 |( x⁄= −1 x⁄= 1

(| 4x >0 { x⁄= −1 |( x⁄= 1

(|{ x> 0 x⁄= −1 |( x⁄= 1

x ∈(0;1)∪ (1;+∞ )

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Рассмотрим 3 случая раскрытия модулей:

1) $x< −1$ , тогда

---1---> --1---- −(x− 1) −(x+ 1) − x− 1> −x+ 1 − 1> 1

Получилось неверное неравенство, значит, в данном случае нет подходящих значений.

2) $− 1 <x < 1$ , тогда

---1---> -1-- −(x− 1) x+ 1 x+ 1> −x+ 1 2x> 0 x> 0

Учтя условия этого случая, получаем, что подходящие значения — $(0;1)$ .

3) $x> 1$ , тогда

--1- > -1-- x − 1 x+ 1 x+ 1> x− 1 1> −1

Получилось верное неравенство, значит, подходят все значения, удовлетворяющие условию случая. Объединив все случаи, получим итоговый ответ.

Ответ:

$(0;1)∪ (1;+∞ )$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#88778Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

| 2 2| ||x +3x− 8|− x |≥ 8− x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Модуль внутри другого модуля начинать раскрывать, кажется, не лучшая идея. А вот избавиться от модуля возведением в квадрат было бы удобно. Но чтобы переход был равносильным, обе части должны быть ≥ 0. Какие тогда два случая получаем?

Подсказка 2

Первый случай, если x > 8, то неравенство имеет вид «модуль не меньше отрицательного числа»: такое мы умеем решать.

Второй случай. После возведения получаем два квадрата. Можно начать раскрывать скобки и получить страшное выражение с х в 4 степени и модулем с х во 2 степени, а можно расписать разность квадратов и рассмотреть два более красивых случая(каких?)

Подсказка 3

Произведение ≥ 0, тогда либо оба множителя ≥ 0, либо оба ≤ 0. Тогда в обоих случаях получаем систему из двух неравенств, которые можно несложно решить обычным раскрытием модуля. Самое сложное — аккуратно выписать все системы и совокупности и ничего не перепутать!

Показать ответ и решение

Заметим, что левая часть неравенства всегда $≥ 0.$ Тогда, если правая часть $≤ 0,$ неравенство верно. Значит, при $8− x ≤0,$ то есть $x ≥8$ неравенство верно.

В ином случае, возведём обе части в квадрат (так как обе части неравенства $≥ 0)$ и распишем разность квадратов:

2 22 2 (|x + 3x− 8|− x )≥ (8− x)

Значит,

2 2 2 2 (|x + 3x− 8|− x − 8+x)(|x + 3x− 8|− x +8 − x)≥ 0

Тогда, либо обе скобочки $≥ 0,$ либо обе $≤ 0.$

Рассмотрим случай, когда обе скобочки $≥ 0.$

{ |x2+3x − 8|≥ x2 − x+ 8;(1) |x2+3x − 8|≥ x2 +x− 8;(2)

Решим неравенства (1) и (2) отдельно:

2 2 (1):|x + 3x− 8|≥ x − x+ 8

Снова возведём в квадрат (так как обе части неравенства $≥0)$ и распишем разность квадратов:

(x2+ 3x− 8)2 ≥ (x2 − x +8)2

(x2+ 3x − 8− x2+ x− 8)(x2+3x− 8+ x2− x+8)≥ 0

(4x − 16)(2x2+ 2x) ≥0

8x(x− 4)(x+1)≥ 0

8x(x− 4)(x+1)≥ 0

x ∈[− 1;0]∪[4;+ ∞)

Значит, так как в неравенстве нет ограничений на $2 2 x,|x + 3x − 8|≤ x − x +8$ при ”остальных” $x$ , не считая точек-нулей: $x ∈(−∞;− 1]∪ [0;4].$

(2):|x2+ 3x− 8|≥ x2+ x− 8

[ 2 2 2 x +23x − 8 ≥x + x2− 8,если x + 32x− 8 ≥0 −(x +3x − 8)≥ x +x − 8,если x +3x− 8< 0

[ 2x ≥0,если x2+3x − 8≥ 0 2x2 +4x− 16≥ 0,если x2+ 3x − 8< 0

√-- √-- [ x ≥0,если x∈ (− ∞,−3−2-41]∪[−3+2-41,+∞ ) 2(x+ 4)(x− 2)≥0,если x∈(−3−√241,−3+2√41)

[ √-- √-- x≥ 0,если x∈ (−∞,−-3−24√1]∪[−3√+2-41,+ ∞) 0≥ x≥ −4,если x ∈(−3−2-41,−3+2-41)

Значит, $x∈ [−4;+∞ ).$

Так как в неравенстве нет ограничений на $x,|x2+ 3x− 8|≥ x2+ x− 8$ при ”остальных” $x$ , не считая точек-нулей: $x ∈(−∞;− 4].$

Таким образом, нам надо найти совокупность двух сиcтем:

[ { { x∈ [−1;0]∪[4;+∞ ) x ∈(−∞;− 1]∪ [0;4] x∈ [−4;+∞ ) x ∈(−∞;− 4]

[ x ∈[−1;0]∪ [4;+∞ ) x ∈(−∞; −4]

Ответ:

$(−∞;− 4]∪ [− 1;0]∪[4;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#88875Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

∘-3− 4x √5-+-4x- 5+4x-+ 2√3-−-4x-− 2-≥0

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

(| 3− 4x ≥0 { 5+4x >0 |( √----- 3− 4x⁄= 1

(| x ≤ 3 { x >−45 |( x ⁄= 14 2

x∈ (− 5,1)∪(1,3]. 4 2 2 4

Введем замену $a= √3-− 4x,b= √5+-4x.$ Неравенство имеет вид

a --b-- b +2a− 2 ≥0

a ≥ --b-. b 2− 2a

Если $2− 2a >0$ , то исходное неравенство эквивалентно

2a− 2a2 ≥ b2.

Заметим, что $b2+a2 =8$ , следовательно, $b2 =8 − a2$ . Наконец, неравенство имеет вид

2a− 2a2 ≥8 − a2

a2− 2a +8 ≤0

Что неверно, при всеx $a$ , поскольку дискриминант данного квадратного трехчлена отрицателен, а его старший коэффициент положителен.

Если $2− 2a <0$ , то неравенство верно, поскольку левая часть отрицательна, а правая — положительна. Следовательно, решению удовлетворяют все $x$ , удовлетворяющее ОДЗ и неравенству $a >1$ , $√ ----- 3− 4x >1$ , $3− 4x> 1$ , то есть $1 x< 2$ . Пересекая с ОДЗ, имеем

x∈ (− 5,1). 4 2

Ответ:

$(− 5;1) 4 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#88911Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

[x]⋅{x} <x − 1

Показать ответ и решение

Так как $x− 1= [x− 1]+{x− 1}= [x]− 1+{x},$ то неравенство равносильно

[x]⋅{x}< [x]+ {x}− 1

([x]⋅{x}− [x])− ({x}− 1)< 0

([x]− 1)({x}− 1)< 0

Заметим, что ${x}∈ [0;1),$ следовательно, всегда ${x}− 1 <0.$ Значит, можем поделить на эту скобку с изменением знака

[x]− 1 >0

x≥ 2

Ответ:

$[2;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#100245Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

|x+3|−-2 x+ 2 ≥ 2.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сначала стоит перенести двойку из правой части и привести все к одному знаменателю. Что тогда получится?

Подсказка 2

Верно! Получится (|x + 3| - 2x - 6)/(x + 2) ≥ 0. А что теперь произойдет, если раскрыть модуль?

Подсказка 3

Точно! С каким бы знаком ни раскрывался модуль, в итоге получится (x + 3)/(x + 2) ≤ 0. А как решаются такие неравенства?

Показать ответ и решение

Перенесём двойку и приведём к общему знаменателю:

|x+-3|−-2x−-6 x+ 2 ≥ 0.

Давайте заметим, что при раскрытии модуля как с положительным, так и с отрицательным знаками неравенство тождественными преобразованиями сводится к одинаковому неравенству:

xx++-32 ≤ 0.

Значит, модуль можно смело убрать и решать полученное неравенство. Решаем методом интервалов и получаем ответ $x ∈[−3;− 2)$ .

Ответ:

$[−3;− 2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#100246Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

||x− 5|− 3|≥ 2.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В таком виде неравенство решать неравенство не очень удобно! Если переобозначить t = |x - 5| и решить неравенство с t, а потом вернуться к прежней переменной, то будет гораздо проще! Что тогда получится?

Подсказка 2

Конечно! Получится неравенство |t - 3| ≥ 2, из которого t ≥ 5 или t ≤ 1. Что получится, если теперь вернуться обратно к x?

Показать ответ и решение

Давайте для упрощения заменим $|x− 5|$ на $t$ . Неравенство примет вид $|t− 3|≥ 2$ . Если возвести неравенство в квадрат и написать разность квадратов, становится ясно, что оно равносильно неравенству

(t− 5)(t− 1)≥ 0

t∈(−∞; 1]∪ [5;+∞ )

Подставляя $|x − 5|$ вместо $t$ , получаем простые неравенства с модулями. Осталось их решить и записать ответ.

Ответ:

$(−∞;0]∪ [4;6]∪ [10;+ ∞)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#100247Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

| 2 | |x − 2x − 8|< 3x− 3.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что если в подмодульном выражении прибавить и вычесть 1, то выделится полный квадрат! А как теперь можно упростить неравенство?

Подсказка 2

Верно! Если справа вынести 3 за скобки, получится 3(x-1), а под модулем у нас (x-1)², тогда можно сделать замену t = x-1! Какое тогда получится неравенство?

Подсказка 3

Точно! |t² - 9| < 3t. Если t ≤ 0, то решений, конечно, нет! Тогда t > 0 и можно смело, учитывая это, возвести все неравенство в квадрат! Что тогда получается?

Подсказка 4

Остается биквадратное неравенство t⁴ - 27t² + 81 < 0! Остается решить его и вернуться к x!

Показать ответ и решение

Давайте запишем неравенство в виде

| 2 | |(x− 1) − 9|<3(x− 1).

Теперь видно, что оно напрашивается на замену $t= x− 1$ . Теперь оно примет вид

2 |t − 9|< 3t.

Очевидно, что $t≥0$ , иначе решений быть не может. Теперь, чтобы не мучиться с разными случаями раскрытия модуля, давайте возведём неравенство в квадрат и получим стандартное квадратичное неравенство относительно $t2$ . Это преобразование равносильно, потому что обе части неравенства неотрицательны.

4 2 t − 27t +81< 0

Получаем решение

√ - √- 27− 9-5< t2 < 27-+9-5- 2 2

Учитывая, что $t≥ 0$ , получаем, что

( √ - √ - ) t∈ 3--5− 3;3-5+3 2 2

Чтобы получить решения по $x$ , достаточно прибавить к обеим границам интервала по $1$ .

Ответ:

$(3√5− 1 3√5+ 5) ---2--;--2---$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#64371Максимум баллов за задание: 7

Какое из чисел $55 21$ и $95 28$ ближе к $3?$

Показать ответ и решение

Расстояние между двумя числами это модуль их разности.

||55 || 8- ||21 − 3||= 21

|| || ||95− 3||= 11 28 28

-8 ? 11 21 28

8⋅28= 224< 11⋅21= 231

Значит, $55 21$ ближе.

Ответ:

$55 21$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#67556Максимум баллов за задание: 7

Существует ли целое $n > 1$ , удовлетворяющее неравенству

[√---- √----] [√ ----] n − 2+ 2 n+ 2 < 9n+ 6?

(Здесь $[x]$ обозначает целую часть числа $x$ , то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$ .)

Источники: Тургор-2023, 11.2 (см. www.turgor.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первая мысль, которая возникает при виде этого неравенства, — это избавиться от целых частей, с ними неудобно работать. В конце концов, тут есть корни, если бы можно было в исходном неравенстве убрать целые части, то дальше можно и в квадрат возводить спокойно. Что ж, можно попытаться доказать, что целые части действительно можно убрать...

Подсказка 2

Для этого примените неравенства, возникающие из определения целой части числа. Что ж, дальше попробуем пользоваться возведением в квадрат. И... в итоге получается тривиальное неравенство, не содержащее n :( Что это может значить? Вероятно, надо как-то ещё преобразовать исходное неравенство, чтобы такой способ сработал. Если и пытаться это делать, то для правой части, она выглядит получше. Не поможет ли возведение её в квадрат?

Подсказка 3

Хм, можно оценить, что квадрат правой части (к слову, целой) не больше, чем 9n + 6. Подумаем, а когда в таком неравенстве достигается равенство?

Подсказка 4

Вообще, при равенстве получится, что квадрат целого числа даёт остаток 6 по модулю 9. Стоп, а такое вообще возможно?

Подсказка 5

Нет, квадраты чисел по модулю 9 не дают остаток 6! Более того, остаток 5 они тоже не дают, а вот остаток 4 уже может получиться. А тогда можно оценить правую часть более строго!

Подсказка 6

Действительно, получается, что квадрат правой части на самом деле не больше, чем 9n + 4, давайте преобразуем исходное неравенство, а дальше опять будем возводить в квадрат, остаётся надеяться, что в результате получится более содержательное неравенство

Показать ответ и решение

Предположим целое $n> 1$ удовлетворяет этому неравенству. Имеем

[√----]2 9n+ 6 ≤ 9n+ 6,

Но квадрат целого числа не может давать ни остаток 6, ни остаток 5 от деления на 9, значит,

[√-----]2 9n+ 6 ≤9n+ 4

[√-----] [√ ----] 9n+ 6 ≤ 9n +4

Тогда исходное неравенство влечёт неравенство

√n-− 2+ 2√n-+2< √9n-+4

Возводя в квадрат и приводя подобные слагаемые, получаем, что

∘ ----- 4 n2− 4< 4n− 2

1 n2− 4< n2− n+ 4

n <4,25

Однако, прямая проверка показывает, что при $n∈ {2,3,4}$ исходное неравенство не выполняется — противоречие.

Ответ: нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#67699Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

∘ --------2- √---- 15− 2x − x + x − 3> 2x− 7

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Квадратные корни — это нехорошо... Возводить в квадрат тут не вариант, так как, во-первых, ничего не сократится, и появятся ещё корни. А во-вторых, при возведении в квадрат обе части должны быть положительными, то есть нужно будет рассматривать дополнительные случаи. Но у нас есть корень с квадратным трёхчленом. Что напрашивается сделать с ним в первую очередь?

Подсказка 2

Верно, давайте разложим его на множители. А дальше ещё раз обратим внимание на выражение под корнями. Видим, что под одним корнем у нас 3-x, а под другим x-3. А что вообще хорошо бы сделать, когда в выражении участвуют корни?

Подсказка 3

Точно, давайте запишем ограничение на них, ведь они должны быть больше нуля. Что же у нас получается? В одном случае x≥3, а в другом x≤3. Но тогда решение найдено, победа!

Показать ответ и решение

Выпишем условия ОДЗ

{ 15− 2x − x2 ≥0 x− 3≥ 0

{ (3− x)(x+ 5)≥ 0 x≥ 3

{ −5 ≤x ≤3 x≥ 3

x= 3

Получаем единственное возможное решение. После подстановки убеждаемся, что оно подходит.

Ответ: 3

Следующая подтема