Тема АЛГЕБРА

Неравенства без логарифмов и тригонометрии

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Неравенства без логарифмов и тригонометрии

Сравнение чисел

Иррациональные неравенства (с радикалами)

Неравенства с модулем

Неравенства с модулями И корнями

Показательные неравенства

Использование монотонности в неравенствах без логарифмов и тригонометрии

Неравенства с целой и дробной частями

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#77199Максимум баллов за задание: 7

Сравните числа:

10 10 (10!) и (10 )!

Напомним, что через $n!$ обозначается произведение $1⋅2⋅3 ⋅...⋅n$ .

Показать ответ и решение

Левая часть это $10!$ десять раз. А правая часть это:

10 10 10 10 10 10 (10 )!= 10 ⋅(10 − 1)⋅(10 − 2)⋅(10 − 3)⋅...(10 − 9)⋅...⋅1

Тогда сравним $1010 − 9 и 10!$ .

9 10 10!= 1⋅2⋅3⋅...⋅10< 10⋅10⋅10⋅...⋅10= 10 < 10 − 9.

(Заменили каждый множитель $10!$ на $10$ )

Тогда можно сказать, что правая часть больше левой.

Ответ:

$(10!)10 <(1010)!$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#31028Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

( |2x−1| )(∘ ----------- ) 2 − 1 4⋅2−|2x−1|− 3− 1 ≥ 0

Показать ответ и решение

Поскольку $|2x− 1|≥0$ , то $2|2x−1| ≥1 =⇒ 2|2x−1|− 1≥ 0$ , при этом равенство достигается только при $x= 1 2$ . Аналогично $−|2x−1| 4⋅2 − 3 ≤1$ , равенство также достигается при $1 x= 2$ , однако тогда вторая скобка неположительна, откуда произведение будет неотрицательным только при $1 x= 2$ . ОДЗ учтена, поскольку подкоренное выражение при этом значении равно $1$ .

Ответ:

$1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#31036Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

2x− 1x2 2−2x √3-x2 5 3 <5 ⋅( 5) + 24.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Точно надо делать замену, непонятно, что делать со всеми этими степенями. Наша цель - получить после замены уравнение, которое мы умеем решать, например - квадратное.

Подсказка 2

Замена t = 5^(2x - 1/3x^2) нам поможет! Почему она? Мы нашли максимальное пересечение по слагаемым с х у пятерки в левой части и пятерки в правой, чтобы все х в степени ушли!

Показать ответ и решение

2x− 1x2 2−2x+1x2 5 3 < 5 3 + 24.

Пусть $t =52x− 13x2 > 0$ . Тогда $t< 25+ 24 t$ . Значит $t2− 24t− 25= (t− 25)(t+1)< 0$ . Значит $t=52x− 13x2 < 25$ . Отсюда $2x − 1x2 <2 3$ или $x2 − 6x+ 6> 0$ . Тогда либо $x> 3+√3-$ , либо $x< 3− √3$ .

Ответ:

$(−∞;3 − √3)∪ (3 +√3;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#31038Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

x √x+x 1+√x 4 ≤ 3⋅2 +4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Придется делать замену, ведь так уравнение ни на что хорошее не походит. Наша цель - привести это к квадратному или линейному уравнению! Для этого сначала преобразовываем уравнение - 4 в степени было бы удобно для начала привести к 2 в степени, а затем уже выискивать замену.

Подсказка 2

Адекватная замена пока не находится. Зато есть общая часть во всех слагаемых - давайте на нее сократим, зачем ее таскать с собой. Делим на 2^(√x + x)! В оставшейся части уже ищем подходящую замену и побеждаем!

Показать ответ и решение

2x √x+x 2+2√x 2 ≤ 3⋅2 +2

Разделим все на $2√x+x$ .

2x−√x ≤ 3+ 4⋅2√x−x

Заменим $√- t=2x− x :$

t≤ 3+ 4 t

t2− 3t− 4 =(t− 4)(t+ 1)≤ 0

−1≤ t≤4

После обратной замены получаем

√- −1≤ 2x− x ≤ 4= 22

√ - x − x≤ 2

√- √ - √- x− x− 2= ( x− 2)( x+ 1)≤0

√- −1≤ x ≤2

0≤ x≤ 4

Ответ:

$[0;4]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#35301Максимум баллов за задание: 7

Что больше: $19!$ или $1019$ ?

Показать ответ и решение

Разобьём множители в левой части на пары: $1$ и $19$ , $2$ и $18$ , и т.д. В общем виде: $10− k$ и $10+k$ . Сравним: $2 2 2 (10− k)(10 +k)= 10 − k < 10$ . Таким образом, произведение в каждой паре меньше $2 10$ , значит, правая часть будет больше.

Ответ: 10^19 больше

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 46#35302Максимум баллов за задание: 7

Что больше: $9992$ или $1013$ ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Числа 999 и 101 не очень удобно возводить в степень. Можно ли оценить их как-то числами, которые легко возвести в степень?

Подсказка 2

Число 999 меньше 1000. А 1000 легко возводится в квадрат! Можно ли похожую оценку привести для числа 101?

Показать ответ и решение

В данном случае очень удобно сравнить оба числа с миллионом. Выполнены неравенства

2 2 3 3 999 < 1000 = 100 < 101,

поэтому правая часть больше.

Ответ: Второе выражение больше

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 47#35303Максимум баллов за задание: 7

Что больше: $100!$ или $9999$ ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В выражении 100! почти все сомножители меньше 99, причем значащих сомножителей (больших 1) там ровно 99. Попробуем тогда попытаться доказать, что 100! меньше.

Подсказка 2

Верно! Как уже было отмечено, почти все сомножители меньше 99, так что неравенство почти доказано. Однако сомножитель 100 мешает. Возможно, если объединить его с каким-то другим сомножителем a в выражении 100! получится доказать, что 100a достаточно мало?

Подсказка 3

Верно! Очевидно, что 2×100 < 99×99. Как теперь доказать неравенство?

Показать ответ и решение

Заметим, что $100⋅2 <99⋅99$ . Тогда

99 100!=2 ⋅99⋅3⋅4⋅...⋅98< 99 .

Ответ:

Второе число больше

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 48#35305Максимум баллов за задание: 7

Сравните числа $10000015$ и $99 9996$ .

Показать ответ и решение

Заметим, что

5 5 30 6 6 1000001 >1000000 = 10 = 100000 > 99999 .

Ответ:

$10000015 > 999996$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 49#35306Максимум баллов за задание: 7

Сравните числа $(202)!$ и $(20!)2$ .

Подсказки к задаче

Подсказка

В выражении (20!)² всего 40 сомножителей, а в произведении (20²)! целых 400 сомножителей, причем многие из них очень большие. Можно ли выбрать из (20²)! несколько больших сомножителей и доказать, что оно больше?

Показать ответ и решение

2 2 2 (20 )!=400!>1 ⋅2...⋅40 >(1⋅2...20) =(20!).

Ответ: Первое число больше

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 50#35307Максимум баллов за задание: 7

Если к числу 100 применить 99 раз операцию “факториал”, то получится число A. Если к числу 99 применить 100 раз операцию “факториал”, то получится число B. Какое из этих двух чисел больше?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В задаче к числам 99 и 100 операция "факториал" применяется разное количество раз. А можно ли вместо этих чисел рассмотреть какие-то другие так, чтобы операцию факториал к ним можно было применить одинаковое число раз?

Подсказка 2

Верно! Вместо 99 можно рассмотреть 99! и применить к нему операцию 99 раз. Какое тогда из чисел больше?

Показать ответ и решение

Заметим, что $99!> 100$ . Применив к обеим частям неравенства 99 раз операцию “факториал”, получаем требуемое неравенство.

Ответ: Число В больше

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 51#39886Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство:

√−x2+-7x−-6 |x2−-6x+-5|−-|x2-− 2x−-3| ≤0

Показать ответ и решение

Если числитель равен нулю $x2 − 7x+ 6= 0 ⇐⇒ x= 1 или x =6$ , то неравенство верно в случае необращения в ноль знаменателя. При $x =1$ знаменатель равен $0− 4$ , а при $x =6$ равен $5− 21$ , так что оба этих значения подходят.

Если числитель не равен нулю, то неравенство равносильно системе

{ 2 x2− 7x+ 6≤ 0;2 |x − 6x+5|< |x − 2x− 3|.

Во втором неравенстве обе части неотрицательны, поэтому возведение в квадрат будет равносильным преобразованием. Получим $(x2− 6x +5)2 < (x2− 2x− 3)2 ⇐⇒ (4x − 8)(2x2− 8x+ 2)> 0$ . После применения метода интервалов в итоге имеем систему:

{ x∈ [1,6]; x∈ (2− √3,2)∪(2+ √3,+ ∞).

Откуда $x∈[1,2)∪ (2 +√3,6]$ . Не забудем учесть решения $x = 1$ и $x =6$ .

Ответ:

$[1;2)∪(2+ √3;6]$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 52#43618Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

∘ -2--- ∘ --2---------3 x − 1≤ 5x − 1− 4x− x

Показать ответ и решение

Обе части неравенства неотрицательны, так что можем возвести в квадрат, учитывая ОДЗ на неотрицательность каждого подкоренного выражения:

∘ ----- ∘ ------------- x2− 1≤ 5x2− 1− 4x− x3

2 2 3 0 ≤x − 1≤ 5x − 1 − 4x− x

{ (x+ 1)(x− 1)≥0, x(x− 2)2 ≤ 0

x∈(−∞; −1]∪{2}

Ответ:

$(−∞;− 1]∪ {2}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 53#47234Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

x2 ||36 − 1|− 2|≥3

Показать ответ и решение

Поскольку $x2 ≥ 0$ , то $36x2 ≥ 1$ , потому внутреннее подмодульное выражение всегда неотрицательно и модуль можно убрать. Получаем

x2 x2 x2 2 1 1 |36 − 3|≥ 3 ⇐⇒ 0≤ 36 ≥6 ⇐⇒ 36 ≥6 ⇐ ⇒ x ≥ 2 ⇐ ⇒ |x|≥ √2-

Ответ:

$(−∞,− √1]∪[√1,+∞ ) 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 54#64521Максимум баллов за задание: 7

Определите, какое из двух чисел больше: $∘3-+2√2 +∘3-−-2√2-$ или $3.$

Источники: ДВИ - 2022, вариант 223, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как можно сравнивать между собой положительные числа? Как мы можем избавиться от некоторых корней?

Подсказка 2

Можно просто сравнить квадраты данных чисел!

Показать ответ и решение

∘ ---√-- ∘ ----√- a= 3+ 2 2+ 3− 2 2> 0

2 √ - ∘ ----√- ∘ ---√-- √- ∘ 2----√-2- a = 3+2 2+2 ⋅ 3+ 2 2⋅ 3− 2 2 +3− 2 2= 6+ 2⋅ 3 − (2 2) =8

Поскольку $a> 0$ , то $a= √8 <3 =√9-$ .

Ответ: второе

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 55#64523Максимум баллов за задание: 7

Определите, какое из двух чисел больше: $√315$ или $9√14.$

Источники: ДВИ - 2022, вариант 226, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка

Заметим, что 9 можно представить как √3 в некоторой целой степени, после этого мы сможем перейти к сравнению показателей) А чтобы сравнить получившиеся показатели степени, удобно будет просто сравнить их квадраты

Показать ответ и решение

Чтобы сравнить было проще, сделаем одинаковыми основания, используя $9= √34$ , тогда нам требуется сравнить $√315$ и $√34⋅√14-$ , или, что то же самое, $15$ и $√-- 4⋅ 14$ . Достаточно возвести равенство в квадрат, тогда $2 2 15 = 225> 4 ⋅14 =224$ , откуда первое число больше.

Ответ: первое

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 56#64524Максимум баллов за задание: 7

Определите, какое из двух чисел больше: $√3+ √7+ √21$ или $9.$

Источники: ДВИ - 2022, вариант 227, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка

Корней очень много, поэтому от них надо избавляться путем возведения в квадрат!

Показать ответ и решение

Покажем, что второе число больше. Перепишем неравенство в виде

√- √- √-- √- √- √- √- √ - √ - √- 3+ 7+ 21< 9⇐ ⇒ 7+ 21< 9− 3⇐ ⇒ 7(1 + 3) < 3(3 3− 1)

Далее возведём в квадрат

√-2 √- 2 √ - √ - 7(1+ 3) <3(3 3− 1) ⇐ ⇒ 7+ 14 3+21< 81− 18 3+3 ⇐⇒

⇐ ⇒ 32√3-< 56⇐⇒ 4√3 <7 ⇐⇒ 48< 49

Последний переход также был возведением в квадрат. Таким образом, неравенство доказано.

Ответ: второе

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 57#91543Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

x2 +4x+ 4 √x2+-8x+-16 -2x+-12--≤ 1− ---x-+4----

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x⁄= −4, − 6$

√x2+-8x+16- |x+ 4| 1− ---x+-4----=1 −-x+-4

Значит, если $x +4 ≥0$ , то

√---------- x2+-4x-+4-= (x-+2)2≤ 1− -x2+-8x+-16-= 0 2x+ 12 2(x+ 6) x+ 4

Так как $(x+ 2)2 ≥ 0$ и $x+ 6≥ 2$ , то это возможно только, если $x= −2$ .

Значит, если $x +4 <0$ , то

x2+ 4x +4 (x +2)2 √x2+-8x+-16- -2x+-12--= 2(x+-6) ≤ 1−---x+-4----= 2

√-- √-- x2−-20= (x−--20)(x+--20≤ 0 2x+ 12 2(x+6)

Число $x− √20< x+ 4< 0$ всегда. Значит, $x∈ [−√20,−4)∪ (−∞, −6)$ .

Ответ:

$(−∞;− 6)∪[− √20;− 4)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 58#92084Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

∘x2(10−-x2) ----x------≤2x+ 5.

Показать ответ и решение

Сразу заметим, что $x =0$ нам не подходит, а также что $|x|≤ √10$ . Разберем несколько случаев:

Если $x > 0$ , то неравенство переписывается, как
$∘------ 10− x2 ≤ 2x+5$
Обе части неравенства неотрицательны, поэтому если верно это неравенство, то верно и неравенство, полученное из данного возведением в квадрат, но новое неравенство верно для всех положительных чисел. С учетом того, что $|x|≤ √10$ , получаем $(0,√10]$ .
Если $− 2.5≤x < 0$ , то правая часть исходного неравенства неотрицательна, а левая - не положительна, поэтому неравенство верно.
Если же $x< −2.5$ , то обе части неравенства не положительны, поэтому с учетом того, что $|x|≤ √10$ , можно возвести неравенство в квадрат, сменив знак на противоположный
$2 2 √-- 10− x ≥4x + 20x +25,x ∈[− 10,− 2.5) x2+ 4x +3 ≤0$
Откуда $x ∈[−3,− 1]∩[−√10,− 2.5) =[−3,− 2.5).$

Итого наш ответ — объединение всех случаев, то есть $[−3;0)∪ (0;√10].$

Ответ:

$[−3;0)∪ (0;√10]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 59#92993Максимум баллов за задание: 7

Сравните числа $100-⋅ 102-⋅...⋅ 1020-⋅ 1022- 101 103 1021 1023$ и $5. 16$

Источники: ПВГ - 2022

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем как-то телескопировать произведение в левой части неравенства. Для этого умножим его на число B = 101/102 × 103/104 × ... × 1023/1024. Пусть левая часть неравенства равна A. Можно ли сравнить A и B?

Подсказка 2

Конечно, n/(n+1) < (n+1)/(n+2), поэтому A < B! Теперь, зная число AB, можно ли доказать неравенство?

Показать доказательство

Заметим, что $-n-< n+1. n+1 n+2$ Поэтому

100 102 1020- 1022 A = 101 × 103 × ...× 1021 × 1023 <

101 103 1021 1023 < 102 × 104 × ...× 1022-× 1024-=B

Перемножив и сократив дроби, получим $( ) A ×B = 1100204 =22556 = 5162.$ С другой стороны, поскольку $A <B,$ то $( ) A2 < A× B = 516-2.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 60#100248Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

((x−-5)2-+4 ) |x− 5| − 4 (|x − 4|+ |x− 6|− 2)≤ 0.

Источники: Физтех 2022, 15.1 (olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем сначала привести выражение в скобках к общему знаменателю. Что можно заметить хорошего в получившемся числителе?

Подсказка 2

Верно! Так как a² = |a|², то в числителе получается полный квадрат! (|x-5|²-2)/|x-5|. Тогда мы видим, что знаменатель этой дроби почти не играет роли в неравенстве: он всегда неотрицателен! Его можно убрать, запомнив, что x ≠ 5! А что делать с оставшимся неравенством?

Подсказка 3

Конечно! Числитель преобразованной дроби тоже является полным квадратом и почти не влияет. Его можно убрать, запомнив, что зануляющие его x нам подходят, если не равны 5! Остается простое неравенство с модулями. Как его решать?

Показать ответ и решение

Давайте поработаем с первой скобкой:

(x-− 5)2+4 (x-− 5)2− 4|x−-5|+-4 |x− 5| − 4 = |x− 5| =

2 2 = |x−-5|−-4|x−-5|+4-= (|x−-5|−-2)- |x − 5| |x− 5|

Во-первых, очевидно, что модуль в знаменателе никак на неравенство не влияет. Можно его убрать, но запомнить, что $x⁄= 5$ . Числитель является полным квадратом, а значит тоже не влияет. Разве что, нам будут интересны значения, которые этот квадрат зануляют, а это $x =3,x= 7$ , отправляем их в ответ и забываем про первую скобку.

Осталось неравенство $|x− 4|+ |x − 6|≤ 2$ . Его мы решим просто рассмотрением трёх случаев раскрытия модулей:

x∈(−∞; 4),x∈ [4;6] и x∈ (6;+∞ )

Откуда получаем $x∈ [4;6]$ . Учитывая ответы и ограничения из прошлых рассуждений, запишем окончательный ответ.

Ответ:

$[4;5)∪(5;6]∪ {3;7}$

Следующая подтема