Тема АЛГЕБРА

Неравенства без логарифмов и тригонометрии

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Неравенства без логарифмов и тригонометрии

Сравнение чисел

Иррациональные неравенства (с радикалами)

Неравенства с модулем

Неравенства с модулями И корнями

Показательные неравенства

Использование монотонности в неравенствах без логарифмов и тригонометрии

Неравенства с целой и дробной частями

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 61#100249Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

|3 2 | |x − 2x + 2|≥ 2− 3x.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Ясно, что при x ≥ 2/3 неравенство верно, так как правая часть отрицательна, а слева у нас модуль. Имеет смысл рассматривать неравенство при x < 2/3. При этом ясно, что рассматривать случаи раскрытия модули не лучшая идея, потому что хороших корней у многочлена под модулем нет. А что тогда можно сделать?

Подсказка 2

Верно! Давайте возведем в квадрат неравенство и напишем разность квадратов! Что тогда получится?

Подсказка 3

Мы получили неравенство (x³ - 2x² + 3x)(x³ - 2x² - 3x + 4) ≥ 0. Если из левой скобки вынести x, то получится x(x² - 2x + 3), и, как нетрудно видеть, выражение в скобках положительно, и на него можно просто сократить. Остается x(x³ - 2x² - 3x + 4) ≥ 0. А что делать со второй скобкой?

Подсказка 4

Конечно! Сумма коэффициентов при степенях x равна 0, значит, x = 1 — корень многочлена! Дело остается за малым, нужно разложить вторую скобку на множители и дорешать неравенство!

Показать ответ и решение

Ясно, что рассматривать разные случаи раскрытия модуля — не вариант, потому что у многочлена нет красивых корней. Тогда попробуем возвести в квадрат и написать разность квадратов. Чтобы это преобразование стало равносильным, давайте поймём, что при $2 x > 3$ левая часть меньше $0$ и неравенство очевидно верно. При $2 x≤ 3$ она неотрицательна и мы можем возводить в квадрат:

3 2 3 2 (x − 2x + 3x)(x − 2x − 3x+ 4)≥0.

Посмотрим на первую скобку, она равна $x((x − 1)2+2)$ . Ясно, что $((x− 1)2+ 2)> 0$ , а значит это можно убрать из неравенства и от скобки остаётся только $x$ . Что касается второй скобки, внимательный читатель должен заметить, что $x =1$ — корень многочлена, а значит мы можем его разложить на множители так:

( 1− √17-)( 1+√17) (x− 1)(x2− x − 4)= (x− 1) x −-2-- x − --2---

Итак, неравенство примет вид

( 1-− √17) ( 1-+√17) x(x − 1) x − 2 x − 2 ≥ 0.

Заметим, что скобки $x− 1$ и $( √ -) x− 1+2-17-$ при $x≤ 23$ отрицательны, а их произведение положительно, то есть на него можно поделить:

( 1− √17) x x− --2--- ≥0.

Получаем, что

( -] 1-− √-17 [ 2] x∈ −∞; 2 ∪ 0;3 .

Осталось совместить с предыдущими ответами и написать ответ.

Ответ:

$( 1− √17-] −∞; --2--- ∪[0;+ ∞)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 62#99169Максимум баллов за задание: 7

Решить неравенство

|x-− 4|−-|x−-1| |x-− 3|+|x−-2| |x − 3|− |x− 2| < |x− 4|

Источники: Газпром - 2021, 11.5 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Слева какое-то страшное выражение и справа какое-то страшное… Не уж-то авторы задачи хотят, чтобы мы рассматривали пять вариантов, чему принадлежит наш х, а после этого пересекали каждый раз с нашим промежутком, а потом объединяли? Надо получше подумать. Знаменатели и числители попарно друг с другом удачно связаны. Это значит, что мы можем на что-то положительное домножить, чтобы у нас левая и правая части преобразовались. На что положительное здесь было бы удобно домножить, чтобы что-то могло свернуться по формулам и у чего-то убрался модуль?

Подсказка 2

Нам надо домножить на обратную к правой части дробь. Почему она положительна? Мы знаем, что x ≠ 4, при этом, и модуль и сумма модулей тогда строго больше 0. После домножения получили справа 1, а слева только один модуль во всей дроби! А если у нас остался только один модуль, то мы можем конкретно для него уже рассмотреть всего лишь два случая знака, и для каждого случая решить очевидное неравенство методом интервалов. Значит, идейно мы всё сделали, осталось только реализовать нашу идею!

Показать ответ и решение

При ограничениях $x⁄= 4$ и $x ⁄= 2,5$ умножим обе части неравенства на положительную величину $--|x−4|--. |x−3|+|x−2|$ Получим равносильное неравенство

(x− 4)2 − |(x − 1)(x − 4)| ---(x−-3)2−-(x-− 2)2- <1.

Выполним преобразования:

2 | 2 | x--− 8x+-16−|x-−-5x-+4|− 1< 0⇔ 2 | 2 |−2x+ 5 2 |2 | ⇔ x-−-8x+-16−|x-−-5x-+4|+-2x-− 5 <0 ⇔ x-−-6x+11−-|x-− 5x+-4|> 0. −2x+ 5 2x− 5

1) Пусть $x2 − 5x+ 4≥ 0$ , тогда $x ∈(−∞;1]∪(4;+∞).$ Неравенство примет вид

x2−-6x+-11− x2+-5x−-4 −x+-7 2x− 5 > 0⇔ 2x− 5 > 0⇔ 2,5 <x < 7.

То есть, $x∈ (2,5;7).$ Учитывая, что $x ∈(−∞; 1]∪ (4;+∞ ),$ получим $x ∈(4;7).$

2) Пусть $2 x − 5x+ 4< 0,$ тогда $x ∈(1;4).$ Неравенство примет вид

x2−-6x+-11+x2−-5x+-4 2x2−-11x+15 (x−-3)(2x-− 5) 2x− 5 > 0⇔ 2x − 5 >0 ⇔ 2x− 5 > 0⇔ x > 3.

то есть $x ∈(3;+ ∞).$ Учитывая, что $x ∈(1;4)$ , получим $x∈ (3;4).$ Таким образом, решением исходного неравенства является множество $x∈ (3;4)∪(4;7).$

Ответ:

$(3;4)∪ (4;7)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 63#34753Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

(∘ -3-------- ) |3 | x − 10x+ 7+ 1 ⋅|x − 18x +28|≤ 0.

Источники: Физтех-2020, 10.3, (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Корень из чего-то и модуль из чего-то всегда неотрицательны, но нас просят найти иксы, при которых левая часть неположительная —> явный намёк на оценку! Строго оцените левую часть – когда возможно, чтобы она была <0 или хотя бы =0?

Подсказка 2

Левая часть может максимум обнулиться! И обнулить её может лишь модуль, так что осталось решить кубическое уравнение (у которого, к слову, нетрудно отгадать корень). Получается, задачка решена?

Подсказка 3

Не забываем про ОДЗ! Подкоренное выражение должно быть неотрицательно! Да, проверять наши корни непосредственной подстановкой не очень приятно, но попробуйте вычесть из подкоренного выражения заведомо неотрицательное выражение, чтобы избавиться от неприятного x^3. Немножко счёта, и задачка убита!

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x3− 10x+ 7≥ 0$ .

На ОДЗ корень неотрицателен, так что первая скобка положительна. Вторая неотрицательна, поэтому неравенство достигается только в случае, если вторая скобка равна нулю, то есть

3 2 √-- x − 18x +28= 0 ⇐⇒ (x− 2)(x +2x− 14) =0 ⇐ ⇒ x =2 или x= −1± 15

Осталось проверить, что найденные значения входят в ОДЗ неравенства. Раз уж при найденных $x$ выражение под модулем равно $0$ , то вычтем его из выражения под корнем, в итоге требуется $8x − 21≥ 0$ . Для $1 − √15$ и $2$ это неверно, проверим третий корень:

√-- √-- 8⋅(−1+ 15)≥21 ⇐⇒ 8 15≥ 29 ⇐⇒ 960= 64⋅15≥ 931

Получаем единственное решение.

Ответ:

$− 1+ √15$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 64#48745Максимум баллов за задание: 7

Что больше: число $3∘5√13-+18− 3∘5-√13−-18-$ или наибольший корень уравнения $x2+$ $2020x− 6069 =0$ ?

Источники: ПВГ-2020

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы можем просто найти второе число! Например, по теореме Виета можно найти наибольший корень этого квадратного уравнения.

Подсказка 2

Давайте обозначим первый страшный корень за а, а второй за б. Тогда заметим, что мы можем найти аб и а³-б³! А нам как раз надо найти а-б, а мы можем попробовать найти (а-б)³!

Подсказка 3

Если обозначить а-б за х, то мы можем получить кубическое уравнение, которое у вас получится решить и сравнить два числа!

Показать ответ и решение

Наибольший корень уравнения $x2+ 2020x− 6069= 0$ равен $3$ ( $− 2023+3 =− 2020,−2023⋅3= −6069 =⇒$ по обратной теореме Виета числа $3$ и $− 2023$ являются корнями уравнения $2 x +2020x − 6069= 0).$

Обозначим $∘3-√------ 3∘ -√------ a = 5 13+ 18,b= 5 13− 18.$

Отметим, что $3 3 3∘--√--2----2 3√------- a − b = 18− (−18)=36,a⋅b= (5 13) − 18 = 325− 324 =1.$ Тогда имеем:

(a− b)3 = a3− 3a2b+ 3ab2− b3 = (a3− b3)− 3ab(a− b)=36− 3(a − b)

Получается, что число $a− b$ является одним из корней уравнения

3 t = 36− 3t

которое равносильно

t3− 3t2+ 3t2− 9t+12t− 36 =0 ⇐ ⇒ (t− 3)(t2+ 3t+12)= 0

Так как $t2+3t+ 12= 0$ не имеет действительных корней, то единственным корнем уравнения является $t= 3.$

В итоге $a− b=3.$

Ответ:

ничего, эти числа равны

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 65#51861Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

4 2 2 2x + x − 4x− 3x |x− 2|+ 4≥ 0

Источники: Физтех-2020, 10.4, (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Неравенства часто решаются разложением на скобки, попробуйте найти то, от чего можно оттолкнуться, чтобы разложить на скобки.

Подсказка 2

Получаем разложение на скобки (|x-2|-x²)(|x-2|-2x²)≥0. Теперь надо избавиться от модулей.

Подсказка 3

Домножим на сопряжённое, осталось решить школьное неравенство:)

Показать ответ и решение

Перепишем неравенство

2 2 4 (x− 2)− 3x |x− 2|+2x ≥ 0

Заметим, что мы получили квадратный трёхчлен от $|x− 2|$ . У него можно попробовать угадать корни, а можно пойти честно через дискриминант

4 4 4 3x2±-x2 2 2 D= 9x − 8x =x ⇐⇒ x1,2 = 2 = {x;2x }

Получаем разложение на скобки

(|x− 2|− x2)(|x− 2|− 2x2)≥ 0

Домножим неравенство на произведение скобок $(|x− 2|+ x2)(|x − 2|+ 2x2)> 0$ , получим

2 4 2 4 ((x− 2) − x )((x− 2)− 4x )≥0

(x− 2 − x2)(x− 2+ x2)(x− 2− 2x2)(x − 2+ 2x2) ≥0

(x2 − x +2)(x2+ x− 2)(2x2− x +2)(2x2+ x− 2) ≥0

Заметим, что для первой скобки $D = 1− 8< 0$ и для третьей $D = 1− 16 <0$ , откуда неравенство можно переписать в виде

[ √-- √-- ] (x2 +x − 2)(2x2+ x− 2)≥ 0 ⇐⇒ x∈ (−∞,−2]∪ − 1+--17,-17−-1 ∪ [1,+∞) 4 4

Ответ:

$(−∞;− 2]∪ [− 1+√17;√17−1]∪ [1;+∞ ) 4 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 66#109921Максимум баллов за задание: 7

Пусть $n$ — натуральное число. Докажите, что дробная часть числа $√4n2+-n$ меньше $1. 4$ (Дробная часть числа равна разности самого числа и его целой части. Целая часть числа — это наибольшее целое число, не превосходящее данного числа.)

Источники: Звезда - 2020, 11.2 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не очень понятно, как работать с дробной частью, хорошо бы найти целую часть числа.

Подсказка 2

У нас значение под корнем, попробуем найти два последовательных числа, квадраты которых "зажимают" наше число с двух сторон.

Подсказка 3

Ура, у нас есть целая часть, тогда сможем выразить дробную часть. Надо оценить её сверху.

Показать доказательство

Легко проверить, что

∘ ------ 2n < 4n2+n < 2n +1.

Поэтому $2n$ — целая часть данного числа, а $√4n2+-n− 2n$ — его дробная часть. Оценим сверху эту разность:

∘ --2--- -----n----- --n--- 1 4n + n− 2n = √4n2+-n+ 2n < 2n+ 2n = 4.

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 67#110244Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

||3x2+8x − 3||+||3x4+ 2x3− 10x2+30x− 9|| -----------|x−-2|−-2x−-1---------- ≤0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрите внимательно на нашу дробь: что можно сказать про знак её числителя?

Подсказка 2

Верно, он неотрицателен. А когда дробь с неотрицательным числителем является неположительной?

Подсказка 3

Да, либо когда её числитель равен нулю, либо когда знаменатель отрицателен. Осталось только разобрать два этих случая. Не забудьте про ОДЗ!

Показать ответ и решение

Для начала распишем ОДЗ:

⌊ ({ x< 2 || 1 ( ) ( ) |x− 2|− 2x− 1⁄= 0⇔ || ({ x⁄= 3 ⇔ x∈ −∞; 1 ∪ 1;+∞ |⌈ x≥ 2 3 3 x⁄= 3

Числитель дроби неотрицателен, так как является суммой двух модулей. Тогда, для того, чтобы дробь была не положительной, нужно, чтобы либо знаменатель был не положительным, либо числитель был равен нулю. Поэтому, с учетом ОДЗ, получим совокупность:

[ | ||x|− 2|− 2x− 1< 0 | |3x2+ 8x− 3|+ |3x4+ 2x3− 10x2+ 30x − 9|= 0

Решим первое неравенство:

⌊ { | x − 2≥ 0 [ ||| { x− 2− 2x− 1 <0 ⇔ 1 x≥ 2 ⇒ x> 1 ⌈ x − 2< 0 3 <x <2 3 x+ 2− 2x− 1 <0

Теперь решим уравнение из рассматриваемой совокупности. Оно имеет решение тогда и только тогда, когда каждый модуль равен 0 :

{ 3x2+ 8x − 3= 0 3x4 +2x3− 10x2+ 30x− 9=0

Решим первое уравнение:

√------ x= −8±--64+-36⇒ x = −3, x = 1 6 1 2 3

Подставляя $x 1$ и $x 2$ во второе уравнение системы, видим, что они являются его корнями:

4 3 3(−3) +2(−3) − 90− 90− 9= 189− 189= 0

(1)4 ( 1)3 10 1 1 3 3 +2 3 − 9 + 1= 9 − 9 =0

Но $x2 = 13$ не ответ по ОДЗ, а $x1 =− 3$ является решением системы, а, значит, и решением исходного неравенства.

Таким образом, $( ) x∈ {−3}∪ 1;+ ∞ . 3$

Ответ:

${− 3} ∪(1;+∞ ) 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 68#48739Максимум баллов за задание: 7

Что больше:

23 41- 71- 1 или 93 + 165 + 143?

Источники: ОММО-2019, номер 1, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Конечно, можно привести правую часть неравенства к общему знаменателю, но нужно ли… Можем ли мы как-то оценить каждое слагаемое справа по отдельности?

Подсказка 2

Давайте попробуем как-то оценить сумма справа! Например, заметим, что 93 это почти 92 (23*4), 165 почти 164 (41*4), а 143 почти 142 (71*2). Попробуйте применить это знание на практике!

Подсказка 3

23/93 < 1/4; 41/165 < 1/4; 71/143 < 1/2. Что можно сказать про сумму?

Показать ответ и решение

Первое решение.

Можно, конечно, привести всё к общему знаменателю, но делать этого не хочется, поскольку надо будет много считать. Давайте лучше оценим каждое слагаемое по отдельности:

23 23 1 93 < 92 = 4

41 41 1 165 < 164 = 4

71-< 71-= 1 143 142 2

Складывая эти три неравенства, получаем, что сумма дробей меньше $14 + 14 + 12 = 1.$ _______________________________

Второе решение.

Без каких-либо раздумий аккуратно считаем и забираем свои баллы за эту задачу:

23 41- 71- 93 + 165 + 143 =

23⋅165-⋅143+-93⋅41-⋅143+-93⋅165⋅71 = 93⋅165 ⋅143 =

542685+ 545259+1089495 = -------2194335-------=

[ ] = 2177439= 65983- <1 2194335 66495

Ответ:

$1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 69#51860Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения переменной $x$ , при каждом из которых оба выражения $f(x)= √21−-x2− 4x$ и $g(x) =|x+ 2|$ определены, причём $x+4- min(f(x);g(x))> 2$ .

Источники: Физтех-2019, 10.2, (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

ОДЗ: $− x2− 4x +21≥ 0 ⇐⇒ x∈ [−7;3]$ . Последнее условие эквивалентно тому, что каждая функция на ОДЗ больше $x+4 2$ . Поскольку обе функции неотрицательны, то неравенство автоматически выполнено при $cx+4 2 < 0 ⇐⇒ x< −4$ , откуда с учётом ОДЗ получаем решения $x ∈[−7,−4)$ , далее $x≥ 4$ , тогда можем возвести ограничения на функции в квадрат

{ 2 x2+8x+16 212− x − 4x≥x2+84x+16 x + 4x +4 ≥ 4

{ 5x2+ 24x − 68< 0 3x2+ 8x< 0

{ x ∈(− 34,2) x ∈(−∞5,− 8)∪(0,+ ∞) 3

( ) x∈ − 34,− 8 ∪ (0,2) 5 3

Поскольку изначально $x≥ −4$ , то остаются только $x ∈(−4;− 83)∪ (0;2)$ . Объединяя с первым промежутком, получаем ответ.

Ответ:

$[−7;− 8)∪(0;2) 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 70#79623Максимум баллов за задание: 7

Найдите какие-нибудь целые числа $A$ и $B$ , для которых выполняется неравенство:

√- 0,999< A+ B 2 <1

Источники: Межвед-2019, 11.4 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание, что для целых x и y выражение вида (x + y√2)ⁿ для всех n будет принимать тот же вид, то есть (x + y√2)ⁿ = x₁ + y₁√2, где x₁ и y₁ тоже целые числа.

Подсказка 2

Если найти такие целые x и y, что (x + y√2)ⁿ будет больше нуля, но меньше 0.001 при каком-то n, то 1 - (x + y√2)ⁿ будет в нужном нам по условию диапазоне. Какие x и y могут подойти для этого?

Подсказка 3

При x = -1 и y = 1 мы сможем получить число в промежутке от 0 до 0.001, так как √2 – 1 < 1/2. Тогда какой степени n точно будет достаточно, чтобы (√2 - 1)ⁿ было меньше 0,001?

Подсказка 4

√2 – 1 < 1/2, значит, (√2 - 1)¹⁰ < (1/2)¹⁰ < 1/1024 < 1/1000. Остается найти (√2 - 1)¹⁰ и вычесть данное число из единицы!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Мы знаем, что $√- 1.414213562< 2< 1.414213563$ . Давайте посчитаем приближения $√- x⋅ 2$ для маленьких $x$ и найдем какое-то число, которое будет близко к целому. Получим, что $√- 7.07106781< 5 2< 7.071067815$ . Теперь давайте посмотрим на $√- (5 2− 7)y$ и найдем такое $y$ , чтобы это число было близко к 1. Получим $√- 0.99494934< 14(5 2 − 7)< 0.99494941$ . Повторим эту операцию еще раз уже для $√- √ - 0.00505059< (1− 14(5 2− 7))t= (99− 70 2)t< 0.00505066t$ . Тогда при $t= 198$ мы получаем $√- 1 <198(99− 70 2)< 1.00003068$ . Значит, $√ - 0.999< 2− 198(99− 70 2)< 1$

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Заметим, что $√- 2B2−A2 A+ B ⋅ 2= B√2−A-$ . Давайте найдем такие положительные $x$ и $y$ , что $2 2 |x − 2y |=1$ и $√- x+ y 2> 1000$ . Их можно таким способом. Начнем с $x =y =1$ . Для этой пары выполняется первое условие, но не выполняется второе. Заменим ( $x$ , $y$ ) на ( $x+2y$ и $x+ y$ ). Тогда $|(x+ 2y)2− 2(x +y)2|=|− x2− 2y2|=1$ и первое условие остается выполненным, а $√- x+ y 2$ увеличивается хотя бы на 1. Значит, такими операциями мы когда-то дойдем до нужных $x,y$ .

(1,1)→ (3,2)→ (7,5)→ (17,12)→ (41,29)→ (99,70)→ (239,169)→ (577,408)

Значит, при $x= 577$ и $y = 408$ мы знаем, что $2 2 x − 2y =1$ (так как знак постоянно меняется) и $√- x+ y 2> 1000$ . Значит,

1 x2− 2y2 √- x2 − 2y2 1− 1000 < 1− x+-y√2-=1 − (x− 2y)=1 −-x+y√2-< 1

Ответ:

$A = −3362, B = 2378$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 71#110253Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

3∘ x2 6√--2 -------22-−--4x-------≥ 0. (x2 − 4|x|) − 8x2+ 32|x|− 48

Источники: Физтех 2019, 11.2 (olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Знаменатель выглядит страшно.. квадраты, модули, квадраты модулей, брр. Давайте попробуем как-нибудь его упросить. На что похож наш знаменатель?

Подсказка 2

На квадратное уравнение относительно x^2-4|x|. Попробуйте разложить его на множители исходя из этого.

Подсказка 3

Теперь нам надо разобраться с числителем. Вспомните, что у нас неравенство, а не уравнение, и замените числитель на выражение, которое совпадает с ним знаком.

Подсказка 4

Разность кубические корней двух чисел имеет тот же знак, что и обычная разность этих чисел! Теперь осталось только воспользоваться методом интервалов!

Показать ответ и решение

Рассмотрим знаменатель дроби. Его можно записать в виде

( 2 )2 (2 ) x − 4|x| − 8x − 4|x| − 48

А если обозначить $x2− 4|x|=t,$ то в виде

2 t − 8t− 48= (t− 12)(t+4)

Если вернуться обратно к переменной $x,$ выходит выражение

(x2− 4|x|− 12)(x2 − 4|x|+ 4)=(|x|− 6)(|x|+ 2)(|x|− 2)2

Итак, исходное неравенство равносильно следующему

3∘ x2− 3∘2|x| ------2----------2-≥ 0 (|x|− 6)(|x|+2)(|x|− 2)

В этом неравенстве необходимо сравнить дробь с нулём, или, что то же самое, определить знак этой дроби. Поэтому если мы заменим числитель или любой из множителей в знаменателе выражением того же знака, то получим неравенство, равносильное исходному.

Заметим, что знак выражения $3√a −√3b$ совпадает со знаком выражения $a− b$ при любых $a$ и $b;$ выражение $|a|− b$ при $b< 0$ положительно, а при $b>0$ его знак совпадает со знаком выражения $a2− b2 = (a− b)(a+ b).$ Следовательно, неравенство равносильно

x2 --2-2-−-2|x2|--2 ≥ 0 (x − 36)(x − 4)

---|x|(|x|− 4)-- (x2− 36)(x2− 4)2 ≥ 0

x2(x− 4)(x+4) (x−-6)(x+-6)(x−-2)2(x+-2)2 ≥ 0

Метод интервалов, применённый к последнему неравенству, даёт

x∈ (−∞;−6)∪ [−4;−2)∪(−2;2)∪(2;4]∪(6;+ ∞)

Ответ:

$(−∞;− 6)∪[− 4;−2)∪ (− 2;2)∪(2;4]∪ (6;+∞ )$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 72#32857Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

------1----- -------2------ √x2-− x-− 2− 2 ≤ √x2-+14x+-40− 4.

Источники: ПВГ-2018, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В первую очередь надо записать ограничения на икс, так как подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Теперь можно заметить, что в одной части в числителе 1, а в другой 2, для чего так сделано?

Подсказка 2

Перенесём всё налево и попробуем привести дроби к общему знаменателю. Тогда в числителе -4 сократится с (-2) * (-2). Так вот зачем взяли такие числители! Осталось дорешать неравенство обобщённым методом интервалов. То есть найти нули числителя и знаменателя, отметить их на числовой прямой, причём выколоть нули знаменателя, расставить знаки на каждом промежутке, взять нужные промежутки.

Подсказка 3

Не забыли про ограничения? Их нужно пересечь с полученным множеством!

Показать ответ и решение

ОДЗ задаётся четырьмя условиями:

2 x − x− 2= (x +1)(x− 2)≥ 0,

(x +1)(x − 2)⁄= 4,

x2 +14x+ 40 =(x+ 4)(x+ 10)≥0,

x2+ 4x +40⁄= 16;

пересекая которые, получаем

x ∈(−∞; −12)∪ (− 12;−10]∪[−4;− 2)∪ (−2;− 1]∪ [2;3)∪ (3;+∞ )

Приведём дроби из условия к общему знаменателю

√-2-------- √-2------ -√-2x-+-14x-+40√−-22-x-−-x−-2-- ≤0 ( x − x− 2− 2)( x +14x+ 40− 4)

Знак разницы неотрицательных чисел (в данном случае корней из каких-то выражений) совпадает со знаком разницы их квадратов, потому что разность квадратов раскладывается в произведение разности этих чисел (знак которой нам и надо понять) и суммы этих чисел (которая и так неотрицательна, так что не влияет на знак). Поэтому неравенство равносильно:

x2+-14x-+40−-4(x2−-x−-2) ---3(x−-8)(x+-2)--- (x2− x− 6)(x2+ 14x +24) ≤0 ⇐ ⇒ (x − 3)(x+ 2)2(x+ 12) ≥0

Откуда по методу интервалов $x ∈(−∞; −12)∪ (−2;3]∪[8;+ ∞)$ .

Пересекаем с ОДЗ $(−∞;−12)∪(−12;−10]∪ [− 4;−2)∪ (−2;−1]∪[2;3)∪(3;+∞ )$ и получаем ответ.

Ответ:

$(−∞;− 12)∪ (− 2;−1]∪ [2;3)∪ [8;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 73#79858Максимум баллов за задание: 7

Пусть $a ,...,a 1 25$ — целые неотрицательные числа, а $k$ — наименьшее из них. Докажите, что

√-- √-- √ --- [∘ ---------------] [ a1]+ [ a2]+ ...+ [ a25]≥ a1+ ...+a25+ 200k

(Как обычно, через $[x]$ обозначается целая часть числа $x,$ то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x.$ )

Источники: Всеросс., 2018, ЗЭ, 9.3(см. olympiads.mccme.ru)

Показать доказательство

Положим $n = [√a-] i i$ . Тогда $a < (n +1)2, i i$ а поскольку числа $a i$ целые, имеем $a ≤ n2+ 2n. i i i$ Если мы теперь покажем, что

∘---------------- a1+ ...+ a25 +200k≤ n1+n2+ ...+ n25+1

то правая часть доказываемого неравенства не будет превосходить $n1+ n2+ ...+ n25,$ что и требовалось.

Пусть для определенности $k= a . 1$ Оценим подкоренное выражение в левой части доказываемого неравенства:

2 2 a1+ ...+ a25+ 200k ≤(n1+ 2n1)+ ...+ (n25+ 2n25)+ 200k =

= (n2+ ...+ n2)+ 2(n + ...+ n )+ 200(n2+ 2n) 1 25 1 25 1 1

Квадрат правой части доказываемого неравенства равен

(n21+ ...+ n225)+ 2(n1n2+ n1n3 +...+ n24n25)+ 2(n1+ ...+ n25)+ 1

Сравнивая эти выражения, видим, что достаточно показать, что

100(n21+2n1)≤ n1n2 +n1n3+ ...+ n24n25

Но при любых $i<j$ верно неравенство $ninj >n21 >n1.$ При этом в правой части стоит $25⋅224= 300$ слагаемых такого вида. Оценивая $100$ из них числом $n21,$ а остальные $200$ — числом $n1,$ получаем требуемое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 74#92338Максимум баллов за задание: 7

Какое из чисел больше: $┌││--∘--∘---∘-------- ∘13 19 13 19√13... ◟-------◝◜-------◞ 2017знаковкорня$ или $133∘19 13$ ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как-то очень много корней слева... Попробуйте возвести оба числа в квадрат.

Подсказка 2

Сократите одинаковые множители и возведите оба числа еще раз в квадрат.

Подсказка 3

А меняется ли после возведений в квадрат и сокращений правое число?

Показать ответ и решение

┌│--∘--∘------------ --- │∘ ∘ --√---- 3∘19 ◟13--19--1◝3◜-19-13...◞ ? 13 13 2017знаковкорня

Возведём обе части в квадрат:

∘ --∘----------- ∘--- ∘--√---- 2 3 192 13 19 13 19 13... ? 13 132

∘ -∘------------ ∘--- ∘ --√---- 3192 19 13 19 13... ? 13 132

И ещё раз в квадрат:

∘ -∘-------- ∘ --- 19 13 19√13-... ? 132 3 194 134

∘----------- ∘ --- 19 13∘ 19√13... ? 13⋅19⋅ 3 19 13

┌│--∘--∘------------ │∘ ∘ --√---- 3∘19- ◟13--19--1◝3◜-19-13...◞ ? 13 13 2015знаковкорня

В левой части мы избавились от двух корней, а в правой части после преобразований получили то, что и было до них. Значит, выполнив те же действия много раз, дойдём до:

-- ∘ --- √ 13 ? 133 19 13

Возведём обе части в 6-ую степень:

133 ? 136⋅ 192 132

1 <13⋅192

Значит, и в исходном сравнении правая часть больше.

Ответ:

$3∘ 19- 13 13$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 75#95685Максимум баллов за задание: 7

Пусть $1< x <y <z$ — действительные числа. Какое из следующих выражений наибольшее, а какое — наименьшее: $x+ yz,y +zx,z+ xy?$

Источники: Лига открытий - 2018

Показать ответ и решение

Покажем, что $x+ yz > y+ zx.$ Перепишем это неравенство как $z(y − x)> y− x,$ что верно. Аналогично можно доказать и вторую часть неравенства.

Ответ:

$x +yz > y+ zx> z+xy$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 76#110248Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

√ - (− x2+81+ (x− 9)√x2+-6x−-27) ∘ x−-3- 1 x⋅ -9-− x2+-(x+3)√x2+-6x−-27 ⋅ x+-9 ≥ √x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какими формулами можно воспользоваться, чтобы преобразовать числитель?

Подсказка 2

Воспользуемся формулой разности квадратов! Отлично, тогда можно будет разложить и числитель, и знаменатель на множители :) А что делать с подкоренным выражением?

Подсказка 3

Можно найти корни у подкрошенного выражения и также разложить его на множители ;) И тогда будет видно, как же можно сократить числитель и знаменатель, чтобы максимально упростить выражение!

Подсказка 4

После всех сокращений получаем, что (9-x)/(x+3) ≥ 1/x.

Подсказка 5

Домножьте обе части неравенства на x(x+3).

Показать ответ и решение

Подкоренное выражение $x2+ 6x− 27$ имеет нули

∘ 2----- x= −3± 3+ 27= −3± 6,

поэтому раскладывается на множители как $(x +9)(x − 3).$

C учётом ограничения $x> 0$ для существования правой части исходного неравенства получаем, что корень $∘ (x-+9)(x-− 3)$ определён при $x ≥3$ и равен $√x-+9⋅√x-− 3.$

Тогда по формуле разности квадратов знаменатель дроби в скобке из левой части неравенства равен

√----√---- √----(√---- ) (3 − x)(3 +x)+ (3+ x) x+ 9 x− 3= (x+3) x− 3 x +9− 1 ,

а числитель —

√----√---- √ ----√---- (9− x)(9+ x)− (9− x) x +9 x − 3 =(9− x) x+9( x +9− 1).

В итоге неравенство

√ -(9− x)√x+-9(√x+-9−-1)-√x−-3 -1- x(x +3)√x−-3(√x+-9− 1)√x+-9 ≥ √x

на ОДЗ $x> 3$ принимает вид

9−-x≥ 1 x+ 3 x

Домножая на положительные знаменатели без смены знака неравенства, получаем

9x− x2 ≥x +3

x2− 8x +3 ≤0

Нули левой части это $√----- √-- x =4± 42− 3= 4± 13,$ поэтому по методу интервалов

√-- √-- 4− 13≤ x≤ 4+ 13

Так как $√-- 4− 13< 3$ (в силу $√ -- 1 < 13$ ) получаем учётом ОДЗ ответ $√-- x ∈(3;4+ 13].$

Ответ:

$(3;4+ √13]$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 77#113661Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

∘ --------- ∘ ----------- 2 x2− 4x+ 5+ 3x2− 12x+ 13 ≤4x− x − 2.

Источники: ПВГ 2018

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хмм, под корнями и в правой части мы видим квадратные трёхчлены, при этом слагаемые x² - 4x наталкивают на мысль о том, что можно выделить полный квадрат. Попробуйте это сделать.

Подсказка 2

О, получилось, что обе части неравенства — это какие-то уравнения относительно (x-2). Тогда сделаем замену t=x-2 и получим неравенство гораздо проще исходного!

Подсказка 3

Рассмотрим функцию от t, которая является разностью левой и правой частей уравнения. Как она расположена относительно оси абсцисс?

Показать ответ и решение

После выделения полных квадратов, неравенство принимает вид

∘ -----2--- ∘ ------2--- 2 (x− 2) +1+ 3(x− 2) +1 ≤−(x− 2) +2

Делаем замену $t= (x− 2),$ тогда получим

∘----- ∘ ----- 2 t2+ 1+ 3t2+ 1≤ −t + 2

Рассмотрим функцию

∘-2--- ∘ -2--- 2 f(t)= t + 1+ 3t +1+ t − 2

Заметим, что функция возрастает при $t≥0$ и убывает при $t< 0,$ при этом

f(0)= √1 +√1 − 2 =0

Значит, при $t⁄= 0$ $f(t)> 0,$ а $t= 0$ нам подходит. При обратной замене получаем, что $x= 2.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 78#67702Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

∘ √------- ∘ --------√----- x+ 1− 2+ x+ 82− 18 x +1 >5

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим какие-то не очень приятные корни... Так под корнем ещё один корень. Давайте попробуем облегчить себе жизнь хоть немного. Видим, что под обоими большими корнями есть общий корень. Какое тогда действие напрашивается сделать?

Подсказка 2

Верно, давайте сделаем замену t=√(x+1), где t — неотрицательный. Далее после преобразований получим выражение с модулем и корнем. С первого взгляда не совсем понятно, что с этим теперь делать... Но не можем ли мы снова сделать замену корня?

Подсказка 3

Конечно можем, ведь тогда t легко выражается через замену. Остаётся теперь только аккуратно решить это квадратное неравенство с модулем и совершить обратные замены. После чего мы и получим решение для x.

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t=√x-+-1≥ 0$ , получим

√---- ∘ -2-------- √ ---- t− 2+ t − 18t+ 81 >5 ⇐ ⇒ t− 2+ |t− 9|>5

Сделаем ещё одну замену $y =√t-− 2≥ 0$ , получим

2 y +|y − 7|> 5 ⇐⇒ y ∈(−∞, −4)∪(−1,2)∪ (3,+∞ )

Учитывая ограничения

√t−-2∈ [0,2)∪ (3,+∞ ) ⇐⇒ t∈[2,6)∪(11,+ ∞)

Остаётся вернуться к первоначальной переменной

√x-+-1∈[2,6)∪ (11,+∞ ) ⇐ ⇒ x ∈[3,35)∪(120,+∞ )

Ответ:

$[3;35)∪(120;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 79#70348Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

√ - √- 2 8|x− x+ 2|+ 2x x< x + x+ 28.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

С корнем можно разобраться потом, давайте сделаем замену t = √x.

Подсказка 2

Что можно сделать с модулем? Надо ли его раскрывать?

Подсказка 3

Заметим, что t² - t + 2 = (t - 1/2)² + 7/4.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x≥ 0.$ Сделаем замену $√x =t ≥0.$

Заметим, что $2 1 2 7 t − t+ 2= (t− 2) + 4 > 0.$ Следовательно $2 2 |t − t+ 2|= t − t+ 2.$

2 3 4 2 8(t − t+ 2)+ 2t < t +t + 28

4 3 2 t− 2t − 7t +8t+ 12>0

(t+ 2)(t+ 1)(t− 2)(t− 3)>0

Учитывая $t≥0$

(t− 2)(t− 3)> 0 ⇐⇒ t∈[0;2)∪ (3;+∞ ) =⇒ x∈ [0;4)∪(9;+ ∞).

Замечание. Также можно заметить, что $√- √- x2− 2x x+ x= (x− x)2$ и сделать замену $√- t= x− x.$

Ответ:

$[0;4)∪ (9;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 80#88260Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

-√x-− 2- √---- 1− √x-+-1 ≥ 1+ x+ 1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хотелось бы избавиться от знаменателя, но в нем есть переменная, поэтому не понятно, можно ли на него умножать. Какие значения принимает знаменатель на ОДЗ?

Подсказка 2

Отрицательные! Домножим обе части неравенства на знаменатель, не забыв поменять знак. Теперь остается просто аккуратно решить неравенство!

Показать ответ и решение

ОДЗ: