Тема АЛГЕБРА

Неравенства без логарифмов и тригонометрии

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Неравенства без логарифмов и тригонометрии

Сравнение чисел

Иррациональные неравенства (с радикалами)

Неравенства с модулем

Неравенства с модулями И корнями

Показательные неравенства

Использование монотонности в неравенствах без логарифмов и тригонометрии

Неравенства с целой и дробной частями

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 81#48743Максимум баллов за задание: 7

Сравните $∘|8√3−-16|− ∘8√3-+16$ и наименьший корень уравнения $4x2 +21x+ 17 =0.$

Источники: ПВГ-2015, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

А давайте найдём корни квадратного уравнения! Меньший из них равен -17/4. Попробуем найти, чему равно выражение слева!

Подсказка 2

Так, очень много корней… А давайте посмотрим на квадрат разности двух корней, что про него можно сказать?

Подсказка 3

Да, квадрат разности корней равен 16, тогда сама разность по модулю равна 4. А чему именно она равна?

Подсказка 4

Поскольку первый корень меньше второго, то само выражение отрицательно! Поэтому оно равно -4. Осталось только сравнить!

Показать ответ и решение

Квадратное уравнение имеет корни $− 1$ и $− 17 4$ (сумма этих двух чисел равна $− 21 4$ , а произведение $17 4$ , так что это корни по обратной теореме Виета).

Так как $8⋅8⋅3< 16⋅16(3< 2⋅2),$ то $√ - √- |8 3− 16|= 16 − 8 3.$ Это число меньше, чем $√- 16+ 8 3,$ поэтому $∘ -√------ ∘ -√----- √-- c= |8 3 − 16|− 8 3+ 16= − c2.$

Посчитаем квадрат разности корней

√- √- ∘ -----√-------√-- √ ------- c2 =16− 8 3+ 8 3+ 16− 2 (16 − 8 3)(16+ 8 3)= 32− 2 256− 192= 16

В итоге сама разность корней $c =−4$ и она больше, чем наименьший корень уравнения $17 − 4-$ .

Ответ:

$∘ |8√3-− 16|− ∘8-√3+-16$ больше, чем наименьший корень уравнения $4x2+ 21x +17= 0.$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 82#85028Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

∘ -2--- ∘ -2------- ∘ -------2- x − 1 + x − 4x +3+ 2x +3 − x ≥ 2

Источники: ПВГ 2015

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если вы видите страшное неравенство и не знаете, что делать, не спешите сразу что-то преобразовывать. Вероятно, стоит выполнить действие, самое стандартное при решении неравенств, которое точно лишним не будет.

Подсказка 2

Первое правило решение неравенств: видишь неравенство — выписываешь ОДЗ. Вдруг она как-то поможет?

Подсказка 3

Второе правило решения неравенств: смотришь на неравенство и думаешь, а можно ли его как-то упростить на ОДЗ?

Подсказка 4

Подходит ли точка, всегда можно проверить с помощью её подстановки в исходное неравенство :)

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

(| x2 − 1≥ 0 ||{ 2 || x − 4x+ 3≥ 0 |( 2x +3− x2 ≥ 0

( ||{ x∈ (−∞; −1]∪[1;+∞ ) | x∈ (−∞; 1]∪ [3;+∞ ) |( x∈ [−1;3]

x∈ {− 1;1;3}

Подставим получившиеся значения $x$

$x =− 1.$ Тогда
$√- 0+ 8+ 0≥ 2$
Значит, $x = −1$ подходит.
$x =1.$ Тогда
$0+ 0+2 ≥2$
Значит, $x = 1$ подходит.
$x =3.$ Тогда
$√ - 8+0+ 0≥ 2$
Значит, $x = 3$ подходит.

В итоге $x∈ {− 1;1;3}.$

Ответ:

${−1;1;3}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 83#88254Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

∘-2---- √----- 2 x − 16⋅ 2x− 1≤ x − 16

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, у нас есть x² - 16 и корень этого выражения... Можно ли упростить неравенство?

Подсказка 2

На ОДЗ корень всегда не меньше 0, значит, можно сначала рассмотреть равенство, а потом поделить!

Показать ответ и решение

ОДЗ данного неравенства - это множество $x∈ [4;+ ∞)$ .

Рассмотрим два случая.

a) При $x= 4$ неравенство выполнено (получаем $0= 0$ ).

б) При $x> 4$ делим обе части неравенства на положительное число $√-2---- x − 16$ и получаем

√----- ∘ ------ 2x− 1≤ x2− 16

2 2 2x− 1≤ x − 16,x − 2x − 15≥ 0

x∈ (−∞;−3]∪[5;+ ∞)

С учётом условия, получаем $x ∈[5;+∞ )$ .

Объединяя результаты, находим $x∈{4}∪ [5;+∞ )$ .

Ответ:

${4}∪[5;+ ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 84#90860Максимум баллов за задание: 7

Найдите наименьшее натуральное число $n$ такое, что $n> 2015$ и

√----- √----- [ 9n+ 2]⁄=[ 9n+ 4].

Здесь скобки [ ] обозначают целую часть числа. (Напомним, что целой частью числа $x$ называется наибольшее целое число, не превосходящее $x$ . Например, $[3,7]=3$ .)

Показать ответ и решение

Заметим, что из этого неравенства следует, что

√----- √ ----- √----- √ ----- [9n +2]≤ 9n+ 2< [9n +4]≤ 9n+ 4

Пусть $t=[√9n+-4]$ . Тогда $9n+ 2< t2 ≤9n+ 4$ . Мы знаем, что $t2$ не может давать остаток 3 при делении на 9, так как тогда $t2$ делится на 3, но не делится на 9. Значит, $t2$ может быть равно только $9n+ 4$ . Заметим, что $t2 = 9n +4 >9 ⋅2015+ 4$ и $t> 134$ . Число $t$ не равно 135 и 136 , так как $t2 ≡4 (mod 9)$ . Значит, $n= t2−4≥ 1372−4= 2085 9 9$ и $n =2085$ подходит.

Ответ: 2085

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 85#32856Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

√---- |2 | √ ---- |2 | 9− x⋅|x − 1|≤ 9− x⋅|x − 10x+13|.

Источники: ПВГ-2014, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу запишем ОДЗ. Теперь хотелось бы убрать корни и работать только с модулями. Для этого можно отдельно подставить x = 9, далее рассматривать x < 9. При таких условиях корень из (9 - x) больше нуля, а значит, на него можно поделить без изменения знака неравенства.

Подсказка 2

Работать с модулями неудобно, особенно когда внутри стоят не линейные функции: нужно сначала определить промежутки знакопостоянства, а затем раскрывать модули в зависимости от промежутка. Но в данном случае нам повезло, в обеих частях стоят по одному модулю, а значит, они неотрицательны. Тогда можно смело возвести в квадрат! Это равносильное преобразование, поэтому после переноса в одну часть по разности квадратов получим одно неравенство вместо системы, если бы раскрывали модули.

Подсказка 3

Решите полученное неравенство с помощью метода интервалов. Не забудьте учесть ограничение!

Показать ответ и решение

Обе части неравенства определены при $9− x≥ 0$ . При $x =9$ получим верное неравенство $0 ≤0$ , так что это значение $x$ является решением. При $x< 9$ можем сократить на положительный корень без смены знака неравенства и возвести обе части в квадрат (это будет равносильным переходом, потому что обе части неотрицательны как модули каких-то выражений), после чего воспользоваться формулой разности квадратов:

2 2 2 2 2 2 |x − 1|≤ |x − 10x +13|⇐⇒ (x − 1) ≤ (x − 10x+ 13)

2 (10x− 14)(2x − 10x+12)≤ 0

(5x− 7)(x− 2)(x− 3)≤ 0

x∈(−∞; 7]∪[2;3] 5

Осталось не забыть условие $x< 9$ , а также внести в ответ отдельно рассмотренное значение $x =9$ .

Ответ:

$(−∞; 7]∪ [2;3]∪ {9} 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 86#44152Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

√x − √4 ∘---1--x3--≥1. 1 +x − √x

Источники: ПВГ-2014, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Запишем сначала ОДЗ нашего неравенства, чтобы мы могли его преобразовывать. Так, теперь что хочется сделать в первую очередь, видя такое некрасивое неравенство? Попробуйте не испугаться и преобразовать его, приведя числитель и знаменатель к одной дроби.

Подсказка 2

Ага, видим, что у дробей числителя и знаменателя общий знаменатель, который после деления сократится. Далее, перенеся 1 влево и преобразовав, видим в знаменателе и числителе неприятный корень. Давайте упростим себе жизнь! Что с ним можно попробовать сделать?

Подсказка 3

Верно, давайте сделаем замену √(x+1)=t. Тогда х отсюда легко выражается и у нас получается обычное неравенство. Осталось только решить его методом интервалов и сделать обратную замену.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x> 0,∘1-+-1− √3 ⁄= 0 x x$ , откуда получаем $x∈(0;8)∪ (8;+∞ ).$

Для решения неравенство домножим числитель и знаменатель на $√ - x:$

x− 4 (x− 4)− (√x+-1− 3) √x+-1−-3 ≥ 1 ⇐⇒ ----√x-+1-− 3----≥ 0

После замены $√ ---- t= x+1$ имеем

2 t-− 2−-t≥ 0 ⇐⇒ (t+1)(t−-2)≥ 0 t− 3 t− 3

По методу интервалов $t∈[−1,2]∪ (3,+∞ )$ , то есть $√x-+1∈ (1;2]∪(3;+ ∞)$ , откуда $x +1 ∈(1;4]∪(9;+∞).$ Решение $(0;3]∪(8;+ ∞)$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ:

$(0;3]∪(8;+∞ )$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 87#70350Максимум баллов за задание: 7

Найдите сумму целых чисел, являющихся решениями неравенства

√------ ∘ --2-------- 2 5x− 11− 5x − 21x+ 21≥ 5x − 26x+ 32

Источники: ПВГ-2014 (см. pvg.mk.ru)

Показать ответ и решение

Выпишем условия ОДЗ:

{ ({ 11 √-- 5x−2 11 ≥0 ⇐⇒ x ≥(5 21−√21] [21+√21- ) ⇐⇒ x≥ 21+--21. 5x − 21x+ 21≥ 0 ( x ∈ −∞; 10 ∪ 10 ;+∞ 10

Заметим, что $2 2 5x − 26x+ 32= (5x − 21x +21)− (5x− 11)$ .

Пусть $2 5x − 21x+ 21 =B, 5x− 11 =A.$ Тогда исходное неравенство примет вид

√-- √-- A − B ≥ B − A

Домножим обе части на $(√ -- √-) A+ B ≥0.$ Этот переход действительно равносильный, так как $√-- √ -- A + B = 0 ⇐⇒ A =B = 0$ — решение. Получаем

(√ -- √-) A− B ≥(B− A) A+ B

(√-- √-- ) (A− B) A + B +1 ≥ 0

Поделив обе части на $(√A-+ √B-+ 1) > 0$ получим $A≥ B.$

2 5x − 11≥ 5x − 21x+ 21

x2 − 26x+ 32 ≤0 ⇐ ⇒ x ∈[2; 3,2]

Пересекая с ОДЗ получаем $[ √-- ] x∈ 21+1021; 3,2$ и единственное целое число, являющееся решением, это $3.$

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 88#32858Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

√---- 2 ∘ -2------- 4x +2 + 4 − x >x + x − 5x+ 2.

Источники: ПВГ-2013, 11.4 (см.pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Справа под корнем есть x² и другие слагаемые, а без корня только x². Хочется добавить недостающие слагаемые, чтобы можно было сделать замену и получить в обеих частях выражение вида t + √t. Для этого давайте вычтем из обеих частей 5x и добавим 2. Что хорошее тогда можно заметить?

Подсказка 2

Теперь мы получили слева и справа похожие выражение, по сути нам нужно решить неравенство f(g(x)) > f(h(x)). Из f(a) > f(b) в общем случае не следует сразу a > b, например, для f(t) = -t. или f(t) = sin t. Но что хорошего можно сказать про нашу рассматриваемую функцию f(t) = t + √t?

Подсказка 3

Она монотонно возрастает! То есть большему значению аргумента соответствует большее значение функции и наоборот.

Подсказка 4

Теперь нужно решить полученное неравенство на аргументы, причём учесть область определения исходного неравенства.

Показать ответ и решение

Первое решение.

После переноса корней налево получаем $√ ---- √ 2-------- 2 4− x − x − 5x+ 2> x − 4x − 2$ .

Обозначив $√---- 4 − x= a$ и $√-2------- x − 5x+ 2= b$ , получаем неравенство $2 2 a− b >b − a ⇐ ⇒ (a− b)(1+ a+b)> 0$ .

Так как $1+ a+ b≥1 >0$ , то остаётся решить $a− b> 0$ , то есть $√---- √-2------- 4− x> x − 5x+2$ . При возведении в квадрат учтём ОДЗ (неотрицательность подкоренных) и получим двойное неравенство:

4− x> x2− 5x +2 ≥0

Первое неравенство равносильно

2 √ - √- x − 4x − 2< 0 ⇐⇒ x∈ (2− 6;2+ 6),

а второе

5−-√17 5-+√17- x∈ (− ∞; 2 ]∪ ( 2 ;+∞ ).

Теперь нужно пересечь полученные промежутки.

Заметим, что $√- 5−√17 2− 6< 2 ,$ так как $√- √-- 4− 2 6< 5− 17$ , потому что $√-- √ - √ - 17< 5= 1+ 2 4< 1+ 2 6$ .

А вот $√- 5+√17 2+ 6 < -2---$ , так как $√- √-- 4 +2 6 <5+ 17$ , потому что $√- √-- √ -- √ -- √-- 2 6= 24 < 25 =1 + 16 <1+ 17$ .

В итоге при пересечении получаем $√ -5−√17 x∈ (2− 6;--2--]$ .

Второе решение.

Перепишем неравенство в виде

√ ---- 2 ∘-2------- 4− x+ 4− x> x − 5x+ 2+ x − 5x+ 2.

Заметим, что функция $f(t)= t2+t= t⋅(t+ 1)$ монотонно возрастает при $t≥ 0$ . Поэтому неравенство $f(√4-−-x) >f(√x2−-5x+-2)$ равносильно неравенству $√4−-x> √x2−-5x+2-$ . А оно в свою очередь эквивалентно системе (второе и третье условия задают ОДЗ изначального неравенства):

(|{ 4− x> x2− 5x +2, 4− x≥ 0 ⇐ ⇒ |( x2− 5x+ 2≥0

{ x2− 4x− 2< 0, x2− 5x+ 2≥0

Так же, как и в первом решении, получаем

√-- x∈(2− √6;5−--17] 2

Ответ:

$(2 − √6;5−√17] 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 89#67700Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

----1----- --1- ∘|x+-2|−-1 ≤5 +x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Возводить сразу в квадрат нехорошо, так как мы не знаем знак правой части. Слева же у нас всегда положительное число из-за корня. Давайте обратим внимание на знак неравенства. А возможно ли вообще такое, что правая часть отрицательная? В чём будет противоречие?

Подсказка 2

Верно, ведь тогда решений просто не будет. Действительно, правая часть меньше нуля, но тогда и левая тоже. Но такое невозможно! Значит, правая часть положительна, откуда получается ограничение на x. Теперь уже можно перемножить крест накрест выражения и возвести в квадрат. У нас получилось квадратное уравнение с простеньким модулем. Что же тогда остаётся сделать?

Подсказка 3

Да, давайте просто рассмотрим два случая раскрытия модуля. Нужно будет решить два раза квадратное неравенство и победа! Только не забудьте про ограничение.

Показать ответ и решение

Если $5 +x <0,$ то неравенство не выполняется, поэтому $x> −5.$ Отсюда обе дроби положительны и неравенство можно переписать в виде

∘-------- 2 5+ x≤ |x+ 2|− 1 ⇐⇒ 25+10x+ x ≤ |x+ 2|− 1

Рассмотрим случаи

$− 5 <x <− 2$ , здесь
$25+ 10x +x2 ≤−x − 3 ⇐ ⇒ x2+ 11x+28≤ 0 ⇐⇒ x∈ [− 7,−4]$
Пересекая с условием, имеем $x∈(−5,−4]$ .
$x ≥− 2$ , тогда
$25+ 10x +x2 ≤ x+ 1 ⇐⇒ x2+ 9x +24≤ 0$
Дискриминант квадратного трёхчлена отрицательный, решений нет.

Ответ:

$(−5,−4]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 90#127227Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

( 1−2x)− 12 1( 2x )12 1 x 9 1+ 5 − 2 5 +5 ≥62 ⋅5 2.

Показать ответ и решение

( 2x )− 12 ( )1 9 5-2+x5- − 1 52x+5 2 ≥612 ⋅5x2 5 2

(--52x--)12 1 (2x )1 1 x 9 52x+ 5 −2 5 + 5 2 ≥ 62 ⋅52

Сделаем замену $t= 5x > 0.$

∘----- 9 --t2--− 1∘t2+-5≥ √6⋅√t- t2+ 5 2

Поделим неравенство на положительное $√ 2---- t+ 5:$

∘ ---2--- - ∘ ----- 9 -2-t--2 − 1≥ √6⋅ -2t-- (t+ 5) 2 t +5

Сделаем замену $∘ ----- p= --t-->0. t2 +5$ И теперь получаем квадратное неравенство:

9p2− p√6− 1 ≥0 2

( -)( -) √-6 √-6 p+ 18 p − 6 ≥0

И с учетом $p >0$ выходит

√- p≥ -6- 6

Сделаем обратную замену:

- ∘ --t-- √6- t2 +5 ≥ 6

--t-- 1 t2+ 5 ≥6

t2− 6t+ 5 --t2+5--≤ 0

(t− 1)2(t− 5)≤ 0 t +5

Откуда выходит, что $1≤ t≤5.$ Сделаем обратную замену и получим:

1≤ 5x ≤5

0≤ x≤ 1

Ответ:

$0 ≤x ≤1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 91#85029Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

-----3x+3----- 3 − √x2-− 2x+-10 ≤ 1

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

({ x2− 2x+10≥ 0 √---------- ( 3− x2− 2x+ 10 ⁄=0

( { (x− 1)2+ 9≥ 0 ( (x− 1)2+ 9⁄= 9

x⁄= 1

Теперь преобразуем исходное неравенство

( √ ---------) 3x+-3−--3−--x2−-2x-+10- 3 − √x2-− 2x+-10 ≤ 0

√---------- 3x+√-x2−-2x+10-≤0 3 − x2− 2x+ 10

Докажем, что знаменатель всегда отрицательного знака

∘ -2-------- 3− x − 2x+ 10< 0

9 <x2 − 2x+ 10

0< (x− 1)2

Следовательно, исходное неравенство равносильно

∘-2-------- 3x+ x − 2x+ 10 ≥0

∘x2−-2x+-10-≥− 3x

Заметим, что если $− 3x < 0,$ т.е. $x >0,$ то неравенство верно, т.к. левая часть неотрицательна. Теперь рассмотрим случай $x ≤0,$ возведём неравенство в квадрат.

x2− 2x+ 10≥ 9x2

8x2+ 2x − 10≤ 0

(x − 1)(4x+ 5)≤0

[ ] x ∈ − 5;1 4

Но т.к. $x ≤0,$ то

x ∈[− 5;0] 4

Объединим все случаи и учтём ОДЗ, в итоге получим

[ 5 ) x ∈ −4 ;1 ∪(1;+∞ )

Ответ:

$[− 5;1) ∪(1;+∞) 4$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 92#33909Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

∘----2--- 2 x − x + 2+ x > 4− 5|x− 2|.

Источники: ПВГ-2011 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раз мы решаем неравенство, то что стоит записать первым шагом?

Подсказка 2

Да, решение чаще всего стоит начинать именно с ОДЗ. Кроме того, что можно сказать о модуле на ОДЗ?

Подсказка 3

С учетом ОДЗ модуль раскрывается однозначно. Все, что без корня также перенесем вправо. И теперь получилось обычное неравенство с корнем - какие случаи обычно стоит рассмотреть?

Подсказка 4

Разбиваем на случаи: правая часть ≥ 0 и правая часть <0. Может быть, можно как-то сразу упростить себе жизнь, если сразу что-то учесть?

Подсказка 5

Какой знак принимает правая часть на ОДЗ? И какое значение х стоит рассмотреть отдельно из-за этого?

Показать ответ и решение

ОДЗ: $− x2+x +2 ≥0 ⇐⇒ x∈ [− 1,2]$ , то есть мы знаем, что на ОДЗ $x− 2≤0$ .

Тогда раскроем модуль

∘------------ 2 − (x +1)(x − 2)=> 4+ 5x− 10− x = −(x− 2)(x− 3)

При $x< 2$ правая часть отрицательна, а левая неотрицательна, так что неравенство выполнено. Если же $x= 2$ , то обе части равны нулю, что не подходит в силу строгого знака.

Ответ:

$[−1;2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 93#67701Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

∘ ---2---- 2 x− x +2+ x > 4− 5|x− 2|

Источники: ПВГ-2011, 11.3 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Прежде чем раскрывать модуль, давайте попробуем сначала разложить квадратный трёхчлен на множители. Что можно сказать про модуль, когда мы запишем ограничение на корень?

Подсказка 2

Верно, после этого модуль однозначно раскрывается и справа, и слева у нас получаются квадратные трёхчлены, но слева под корнем. В квадрат мы возводить конечно не будем обе части, потому что появятся четвёртые степени. Давайте же снова разложим на множители квадратные трёхчлены. Что тогда можно сказать про знак второй части, учитывая ограничение?

Подсказка 3

Да, правая часть будет отрицательна там, а корень у нас всегда положительный, и, следовательно, больше нуля. Но при x=2 у нас получается равенство, а знак строгий. То есть x=2 не включаем в ответ.

Показать ответ и решение

Из ОДЗ получим $− x2+x +2 ≥0 ⇐⇒ x∈ [− 1,2]$ . Отсюда $|x− 2|= 2− x$ , подставим

∘ ----2--- 2 x− x +2 >− x +5x− 6

Нетрудно видеть, что $x =2$ является корнем для обеих частей неравенства, поэтому в этой точке достигается равенство. Также заметим, что при $x∈[−1,2)$ левая часть неотрицательна, при этом правая часть отрицательна, поскольку $− x2+ 5x − 6 =(2− x)(x− 3)$ — первая скобка будет положительна, а вторая отрицательна на этом промежутке. Значит, на $[−1,2)$ неравенство выполнено, а в $x= 2$ нет.

Ответ:

$[−1;2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 94#88258Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

∘ -2--- ∘ --2---------3 x − 1≤ 5x − 1− 4x− x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Можно было бы просто возвести обе части в квадрат, но не стоит забывать про ОДЗ. Не очень хочется долго считать возможные значения для каждого корня. Как можно покороче всё раскрыть?

Подсказка 2

Верно, мы можем просто записать условие, что меньшая из частей неравенства неотрицательна, получая цепочку неравенств. Решая её и пересекая значения, мы и найдём правильный ответ

Показать ответ и решение

Обе части неравенства неотрицательны, поэтому спокойно возводим в квадрат, не забыв про ОДЗ

2 2 3 0 ≤x − 1≤ 5x − 1 − 4x− x

Заметим, что все решения неравенства, удовлетворяющие $x2− 1≥ 0$ , будут удовлетворять и $5x2− 1− 4x − x3 ≥ 0$ , поэтому решать отдельно второе неравенство и находить в явном виде ОДЗ избыточно.

Получаем:

{ 0≤ x2− 1 −4x2+ 4x+x3 ≤0

{ x∈(−∞; −1]∪[1;+∞ ) x∈(−∞; 0]∪ {2}

x∈(−∞; −1]∪{2}

Ответ:

$(−∞;− 1]∪ {2}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 95#92992Максимум баллов за задание: 7

Что больше: $20112011+ 20092009$ или $20112009 +20092011?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Неравенства a > b и a - b > 0 эквивалентны. Попробуем вместо сравнения исходных чисел сравнить их разность с нулем. Как можно преобразовать разность, чтобы было удобно ее оценивать?

Подсказка 2

Конечно! Перегруппируем слагаемые так, чтобы получилась разность двух скобок, внутри каждой у степеней одинаковое основание, а затем вынесем общий множитель. Как теперь сравнить числа?

Подсказка 3

Верно! Используем, что 2011 > 2009 и докажем, что в разности какое-то из чисел больше.

Показать ответ и решение

Запишем разность двух чисел, которые хотим сравнить, и преобразуем её:

2011 2009 2011 2009 2011 + 2009 − (2009 + 2011 )=

2011 2009 2011 2009 = 2011 − 2011 − (2009 − 2009 )=

= 20112009(20112− 1)− 20092009(20092− 1)

Заметим, что $20112009 > 20092009 >0$ и $20112− 1 >20092− 1 >0.$ Следовательно, уменьшаемое больше вычитаемого, то есть разность положительна. Значит, первое число больше, будет знак $> .$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 96#113670Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

1 1 1 √-−x−-2 − √x-+4-≤1 +∘-(x+-4)(−x−-2).

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу запишем ОДЗ:) Какое преобразование сделаем, чтобы избавиться от дробей?

Подсказка 2

Домножим обе части неравенства на корень из произведения! Какие два случая хочется разобрать?

Подсказка 3

Если разность корней отрицательна, то всё хорошо. А как будем решать, если обе части неравенства получились положительными?

Подсказка 4

Возведем обе части в квадрат!

Подсказка 5

Отлично, получилось квадратное уравнение относительно корня из произведения. Осталось решить, сделать обратную замену и не забыть про ОДЗ ;)

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ: $x∈ (−4;− 2).$ Домножим обе части на положительное $∘ (x+-4)(−x−-2)$ и получим

√---- √----- ∘ ------------ x +4− − x− 2 ≤ (x+ 4)(−x− 2)+1

Левая часть не положительна при

x+ 4≤ −x− 2

x≤ −3

Значит, при $x∈ (− 4;−3]$ неравенство выполнено. Если же $x ∈(−3;−2),$ то обе части полученного неравенства положительны, то есть его можно возвести в квадрат:

( ) (√x-+4-− √ −x−-2)2 ≤ ∘ (x-+4)(−-x− 2)+ 1 2

------------ ------------ x+ 4− 2∘(x+ 4)(−x− 2)− x − 2 ≤(x+ 4)(−x− 2)+2∘ (x +4)(− x− 2)+ 1

Делаем замену $∘ ------------ t= (x+ 4)(−x − 2)> 0,$ и получаем

t2+ 4t− 1≥ 0

D = (− 4)2− 4⋅(− 1) =20

−4+ √20 −4− √20 t1 = ---2---, t2 =--2----

( −4− √20] [−4+ √20 ) t∈ −∞; ---2----∪ ---2---;+∞

t∈(− ∞;−2− √5]∪ [− 2+√5;+ ∞)

Заметим, что $t> 0,$ поэтому берем второй луч и делаем обратную замену:

∘ (x+-4)(−x−-2)≥− 2+√5-> 0

(x+ 4)(−x− 2)≥5 +4− 4√5> 0

x2+ 6x+17− 4√5≤ 0

D= 62− 4⋅(17− 4√5)= −32+ 16√5-

∘√---- ∘ ----- x1 = −6+-4---5− 2-=− 3+ 2 √5− 2, 2

−6−-4∘√5-−-2 ∘√---- x2 = 2 = −3− 2 5− 2

[ ∘ √---- ∘ √----] x ∈ −3 − 2 5− 2;− 3+2 5− 2

Пересекаем с нашим случаем $x∈ (− 3;−2):$

( ∘√----] x∈ −3;−3+ 2 5− 2

В итоге получаем, что $( ∘ √----] x∈ −4;− 3+2 5− 2 .$

Ответ:

$(− 4;− 3+2∘ √5−-2]$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 97#70346Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

√x+-8− |2x+ 1| √7−-x−-|2x+-1| ≥ 1

Источники: Ломоносов-2007, отборочный тур, 11

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Приведите неравенство в виду a/b ≥ 0.

Подсказка 2

Получили в числителе разность 2 корней, а можно ли сделать данное выражение более приятным?

Подсказка 3

Вспомните формулу разности квадратов.

Показать ответ и решение

Ограничения: $− 8≤ x≤ 7.$

√x+-8− |2x+ 1|− √7-− x+ |2x +1| -------√7−-x−-|2x+-1|-------≥ 0

√---- √---- √x-+8−--7-− x-≥ 0 7− x− |2x+ 1|

√x-+8− √7-− x √7-−-x− ∘-(2x+1)2 ≥ 0

Рассмотрим неравенство вида $√ -- √-- A− B ≥ 0$ . Домножим обе части на $(√-- √-) A + B ≥0.$ Этот переход действительно равносильный, так как $√A-+ √B-= 0 ⇐⇒ A= B =0$ — решение.

$( )( ) √A-− √B- √A-+ √B- ≥0 ⇐ ⇒ A ≥ B.$

Тогда на ОДЗ получившееся неравенство равносильно

-(x+-8)−-(7− x) (7− x)− (2x+ 1)2 ≥ 0

2x +1 [ 1 3) −4x2− 5x-+6-≥0 ⇐ ⇒ (−∞;− 2)∪ −2;4

Пересекая с $− 8≤ x≤ 7$ получаем ответ.

Ответ:

$[−8;−2)∪[− 1;3) 2 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 98#34673Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

√---- x +2 >x − 3

Источники: ПВГ-2006 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим корни — сразу считаем ОДЗ. При каких х из ОДЗ неравенство всегда выполняется, так как корень принимает только неотрицательные значения?

Подсказка 2

При х < 3. Тогда х ≥ 3 обе части неравенства неотрицательны и можно сделать равносильный переход — возвести их в квадрат, ведь как-то надо избавляться от корня.

Подсказка 3

После приведения подобных полученный квадратный трехчлен будет иметь не самые привлекательные корни, поэтому придётся оценить, где они лежат относительно 3, чтобы получить правильное пересечение с неравенством х ≥ 3.

Показать ответ и решение

Обе части неравенства определены при $x+ 2≥ 0$ .

При $x< 3$ получим верное неравенство, ведь правая часть отрицательна, а левая неотрицательна.

При $x≥ 3$ можем без смены знака неравенства возвести обе части в квадрат (это будет равносильным переходом, потому что обе части неотрицательны):

2 2 x +2> x − 6x+ 9 ⇐ ⇒ x − 7x+ 7< 0

( 7− √21 7+√21) x ∈ --2---;--2---

Поскольку $4< √21< 5$ , то левый конец интервала $√-- 7−221< 32 <3$ , а правый $√ -- 7+2-21-> 112->3$ , так что в пересечении с условием $x ≥3$ получаем $[ √ -) x ∈ 3,7+2-21-$ .

Осталось объединить рассмотренные случаи и записать ответ с учётом области определения неравенства (ОДЗ).

Ответ:

$[− 2,7+√21) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 99#70342Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

√ ---- x+ 1− 1 ≤−x|x− 2|− 4x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Во-первых, запишем ОДЗ: x ≥ -1. Видим модуль. Как мы обычно справляемся с модулями?

Подсказка 2

Верно! Рассматриваем случаи. Случай -1 ≤ x ≤ 2 достаточно интересный. Возводить в квадрат — так себе идея. Что же можно сделать ещё?

Подсказка 3

Запомните идею: если одна функция возрастает на промежутке, а другая убывает, то на этом промежутке у них не более одного пересечения. Как применить, поймите самостоятельно.

Подсказка 4

Теперь второй случай x ≥ 2. Ну здесь всё совсем просто, достаточно понять знаки выражений. Успехов!

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x≥ −1.$ Рассмотрим два случая раскрытия модуля:

В первом случае $− 1 ≤x <2 :$

√ ---- 2 2 x+ 1≤ x − 6x+ 1= (x− 3) − 8

На данном промежутке слева возрастающая функция, а справа — убывающая. Равенство достигается при $x= 0,$ поэтому неравенство выполняется при $− 1 ≤x ≤0.$

Во втором случае $x ≥2:$

√ ---- 2 x+1 ≤− x − 2x+ 1

При $x≥ 2$ выражение справа отрицательное, а слева положительное, поэтому решений у неравенства нет.

Ответ:

$[−1;0]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 100#70352Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

∘----√------- 10 3x− 72x− 144> 3x − 12

Источники: Вступительные в МГУ, 2006

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первым делом запишем ОДЗ! Без него никуда.

Подсказка 2

Давайте домножим на сопряжённое, тогда слева под корнем получится полный квадрат.

Подсказка 3

Рассмотрим случай, когда выражение под модулем меньше 0, равно 0 и больше 0.

Подсказка 4

В первом случае получаем -10 меньше корня, тогда все x подходят. Во втором случае корней нет. В третьем случае получаем обычное иррациональное неравенство.

Показать ответ и решение

Для удобства сделаем замену $3x= t$ и выпишем условия ОДЗ:

{ 24t− 144≥0 { t≥6 √ ------- ⇐ ⇒ 2 ⇐⇒ t≥ 6 t− 24t− 144 ≥0 t≥ 24t− 144

В переходе выше возведение в квадрат — равносильное преобразование, так как обе части неравенства $t≥√24t−-144-$ неотрицательны ввиду $t≥ 6.$

Итак, из условия получаем неравенство:

∘ --√-------- 10 t− 24t− 144 >t− 12

Домножив обе части неравенства на сопряжённое $∘t-+-√24t−-144> 0?$ получим

∘ ------2 ∘ --√-------- 10 (t− 12) >(t− 12) t+ 24t− 144

$t=12$ не является решением. Рассмотрим случаи для раскрытия $|t− 12|$ в левой части:

$6 ≤t< 12$ , получаем
$∘ --√-------- −10< t+ 24t− 144$
Что верно при всех $6 ≤t< 12.$ То есть $2≤ x< 4$ — решение.
$t> 12$ , тогда
$∘ ----------- 10 > t+√24t−-144$
Возведём в квадрат обе неотрицательные части неравенства:
$√------- 100− t> 24t− 144$
При $t> 100$ неравенство не выполняется. При $t< 100$ возведём в квадрат обе неотрицательные части:
$t2 − 200t+10000 >24t− 144$

$( √-) ( √- ) t∈ −∞; 112− 20 6 ∪ 112+ 20 6;+∞$
Учитывая все ограничения на $t,$ получим
$12< t<112− 20√6$ и соответственно $- 4 <x < 112−320√6-$ — решение.

Ответ:

$[2;4)∪ (4;112−20√6) 3$

Следующая подтема