Тема Неравенства без логарифмов и тригонометрии

Неравенства с модулем

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела неравенства без логарифмов и тригонометрии

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31982

Решите неравенство

|x− 1|− |x|+ |2x+ 3|≥2x+ 4

Показать ответ и решение

Рассмотрим случаи:

$x <− 3∕2$ , все модули раскрываются с минусом
$1 − x+ x− 2x− 3≥ 2x +4 ⇔ x≤ −3∕2$
$x ∈[−3∕2;0)$ , третий модуль раскрывается с плюсом
$1− x+x +2x+ 3≥ 2x+ 4 ⇔ x ∈ℝ$
$x ∈[0;1)$ , второй тоже с плюсом
$1 − x − x+ 2x+ 3≥ 2x +4 ⇔ 2x≤ 0$
$x ≥1$ , все с плюсом
$x− 1− x+2x +3≥ 2x+ 4 ⇔ x ∈∅$

Ответ:

$(−∞;0]$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#88770

Решите неравенство

2|x − 4|+|3x+ 5|≥ 16.

Показать ответ и решение

Для начала отметим нули подмодульных выражений:

x− 4= 0 при x= 4,

5 3x+ 5=0 при x= − 3,

Теперь найдём решения неравенства на каждом из промежутков:

1) $5 x∈(−∞; −3].$ Тогда:

{ x− 4≤ 0; 3x+ 5≤ 0;

Неравенство с раскрытыми модулями будет выглядеть следующим образом:

− 2x+8 − 3x− 5≥ 16

−13≥ 5x

13 x ≤− 5-

x ≤− 2,6

Так как $− 53 ≥− 2,6$ , на рассматриваемом промежутке решениями неравенства являются $x∈ (− ∞;−2,6].$

2) $x∈(− 53;4].$ Тогда:

{ x− 4≤ 0; 3x+ 5≥ 0;

Неравенство с раскрытыми модулями будет выглядеть следующим образом:

− 2x+8 +3x+ 5≥ 16

x≥ 3

Значит, на рассматриваемом промежутке решениями неравенства являются $x∈ [3;4].$

3) $x∈(4;+∞).$ Тогда:

{ x− 4≥ 0; 3x+ 5≥ 0;

Неравенство с раскрытыми модулями будет выглядеть следующим образом:

2x− 8+ 3x +5 ≥16

5x≥ 19

x≥ 19 5

x≥ 3,8

Значит, на рассматриваемом промежутке решениями неравенства являются $x∈ (4;+∞ ).$

Таким образом, решениями неравенства являются

$x∈(−∞; −2,6]∪[3;+∞ ).$

Ответ:

$(−∞;− 2,6]∪[3;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#88771

Решите неравенство

|2 | | 2 | |x +2x|− |2− x|<|x − x|

Показать ответ и решение

Для начала отметим нули подмодульных выражений:

2 x + 2x= 0 при x = 0,x= −2,

2− x= 0 при x= 2,

x2− x= 0 при x= 0,x =1,

Теперь найдём решения неравенства на каждом из промежутков:

1) $x∈(−∞; −2].$ Тогда:

( |{ x2+2x ≥0; | 2− x ≥0; ( x2− x ≥0;

Неравенство с раскрытыми модулями будет выглядеть следующим образом:

x2 +2x− 2+ x< x2− x

4x< 2

1 x < 2

На рассматриваемом промежутке решениями неравенства являются $x∈ (−∞;−2].$

2) $x∈(−2;0].$ Тогда:

( 2 |{ x +2x ≤0; |( 2−2 x ≥0; x − x ≥0;

Неравенство с раскрытыми модулями будет выглядеть следующим образом:

−x2− 2x− 2+x <x2− x

−2 <2x2

Полученное неравенство верно всегда, так как квадрат — число неотрицательное.

Значит, на рассматриваемом промежутке решениями неравенства являются $x∈ (− 2;0].$

3) $x∈(0;1].$ Тогда:

( x2+2x ≥0; |{ |( 2−2 x ≥0; x − x ≤0;

Неравенство с раскрытыми модулями будет выглядеть следующим образом:

2 2 x + 2x − 2+ x< −x + x

2x2+ 2x− 2< 0

Делим обе части на 2:

x2+ x− 1< 0

Получаем $x ∈(−1−√5;−1+√5). 2 2$

Теперь нам нужно найти решения неравенства с учётом рассматриваемого промежутка:

$−1−√5 2$ - число отрицательное (<0), а значит, левой границей будет 0,

$√- 5< 3,$ а значит в числителе дроби $−1+√5 2$ будет число, меньшее 2. Тогда вся дробь будет <1, что означает, что правой границей решений будет число $−1+√5 2 .$

Значит, на рассматриваемом промежутке решениями неравенства являются $−1+√5 x∈ (0; 2 ).$

4) $x∈(1;2].$ Тогда:

( 2 |{ x +2x ≥0; |( 2−2 x ≥0; x − x ≥0;

Заметим, что тогда неравенство с раскрытыми модулями будет таким же, как и на промежутке (1):

2 2 x +2x− 2+ x< x − x

4x< 2

1 x < 2

Значит, на рассматриваемом промежутке нет решений (так как $x> 1$ ).

5) $x∈(2;+∞).$ Тогда:

( |{ x2+2x ≥0; |( 2− x ≤0; x2− x ≥0;

Неравенство с раскрытыми модулями будет выглядеть следующим образом:

x2 +2x+ 2− x< x2− x

2x <− 2

Значит, на рассматриваемом промежутке нет решений (так как $x> 2$ ).

Таким образом, решениями неравенства являются $−1+√5 x∈ (− ∞;--2--).$

Ответ:

$(−∞; −1+√5) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#88772

Решите неравенство

|2 | |x − 3x+ 1|<x − 2

Показать ответ и решение

Заметим, что если $x − 2 ≤0,x≤ 2,$ решений нет, так как модуль не может быть строго меньше неположительного числа.

Иначе $x≥ 2$ . Раскроем знак модуля, составим двойное неравенство:

2 2− x <x − 3x+ 1< x− 2

{ x2− 3x +1> 2− x; x2− 3x +1< x− 2;

{ x2− 2x− 1> 0; x2− 4x+ 3< 0;

{ √- √- x∈ (−∞; 1− 2)∪(1+ 2;+ ∞); x∈ (1;3);

Тогда, с учётом ограничения $x> 2$ получаем:

{ √- x ∈(1+ 2;+∞ ); x ∈(2;3);

Таким образом, решениями неравенства являются $√- x∈ (1+ 2;3).$

Ответ:

$(1+ √2;3)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#88773

Решите неравенство

|x-− 5|−-|x+-4| |x-− 2|+|x+-1| |x − 2|− |x+ 1| < |x+4|

Показать ответ и решение

Для начала рассмотрим дробь:

|x-− 2|+|x+-1| |x+ 4|

Так как знаменатель не может быть равен 0, $x⁄= −4$ . Тогда знаменатель положителен. Так как в числителе сумма различных модулей, числитель всегда положителен. Значит, вся дробь:

|x−-2|+-|x-+1|> 0 |x+ 4|

Тогда мы можем домножить обе части на $|x+ 4|$ и поделить на $(|x− 2|+ |x +1|):$

---(|x−-5|−-|x+4|)⋅|x+-4|---< 1 (|x− 2|− |x+ 1|)(|x− 2|+|x+ 1|)

Заметим, что $2 2 |a| = a.$ Тогда перемножим скобочки и получим следующее неравенство:

(|x − 5|⋅|x+ 4|)− (x+4)2 ---(x−-2)2−-(x+-1)2---< 1

Воспользуемся свойством $|a|⋅|b|= |ab|$ , а также разложим в знаменателе разность квадратов:

2 --(|x−-5||x+4|)− (x+-4)-< 1 (x− 2− x− 1)(x− 2+x +1)

Теперь раскроем скобочки $(x+4)2$ и вычтем 1 из обеих частей:

(|x−-5||x+-4|)− x2-− 8x−-16+6x-− 3 (−3)(2x− 1) <0

Домножим обе части на (-3):

(|x − 5||x+ 4|)− x2− 2x− 19 ---------2x− 1--------> 0

Знаменатель $⁄= 0$ , значит, $x ⁄= 12.$

Теперь рассмотрим, как раскрывается модуль в выражении $|x− 5||x+ 4|:$

При $x∈ (−∞;− 4)∪ [5;+∞ ):(x− 5)(x+ 4)≥ 0.$

При $x∈ [− 4;5]:(x − 5)(x +4)≤ 0.$

(Помним про ограничения $x⁄= −4$ и $x⁄= 12)$ )

1) При $x∈ (−∞;−4)∪ [5;+∞ )$ модуль раскрывается следющим образом:

x2−-x−-20− x2−-2x−-19> 0, 2x − 1

−-3x− 39 >0, 2x − 1

-x+13 < 0. x − 0,5

По методу интервалов решением неравенства являются $x∈(−13;0,5).$

С учётом рассматриваемого промежутка получим, что решением неравенства являются $x∈ (− 13;−4).$

2) При $x∈ (−4;5)$ модуль раскрывается следющим образом:

−x2+x +20− x2− 2x − 19 --------2x-− 1-------->0,

2 −2x-−-x+-1> 0, 2x − 1

(2x−-1)(x+-1)< 0. 2x − 1

Можем поделить на $2x− 1⁄= 0$ , получим, что $x+ 1$ <0, значит, $x <− 1.$

С учётом рассматриваемого промежутка получим, что решением неравенства являются $x∈ (− 4;−1).$

Таким образом, решениями неравенства являются $x∈ (− 15;−4)∪(−4;−1).$

Ответ:

$(−15;− 4)∪(−4;− 1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#88774

Решите неравенство

|x+ 1|+ |x +2|> 2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Модули не такие сложные — раскрываем их! Тогда нам нужно рассмотреть несколько промежутков. Какие?

Подсказка 2

x <= -2, -2 < x <= -1 и -1 < x. В каждом из промежутков решаем линейное уравнение и получаем ответ!

Показать ответ и решение

Рассмотрим 3 случая раскрытия модулей:

1) $x≤ −2,$ тогда

− (x +1)− (x +2)> 2

−2x> 5

x< − 5 2

Видно, что все эти значения подходят под условия этого случая.

2) $− 2 <x ≤− 1,$ тогда

− (x +1)+ (x +2)> 2

1> 2

Значит, данный случай не подходит.

3) $− 1 <x,$ тогда

(x+ 1)+ (x+ 2)> 2

2x >− 1

1 x> −2

Видно, что все эти значения подходят под условия этого случая.

В итоге ответ — $( 5) ( 1 ) −∞; −2 ∪ − 2;+∞$

Ответ:

$(−∞;− 5)∪ (− 1;+ ∞) 2 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#88775

Решите неравенство

|2 | 2 |x + x− 2|+|x+ 4|≤ x + 2x +6

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Модули не такие сложные — раскрываем их! Тогда нам нужно рассмотреть несколько промежутков. Какие?

Подсказка 2

Для разбора случаев найдем промежутки знакопостоянства x^2 + x - 2. Но не забываем про знак x + 4. В каждом из промежутков решаем уравнение и получаем ответ!

Показать ответ и решение

2 |(x+ 2)(x− 1)|+|x+ 4|≤ x + 2x+ 6

Рассмотрим 3 случая раскрытия модулей:

1) $x≤ −4,$ тогда

2 (x+2)(x − 1)− (x +4)≤ x + 2x +6

x2− 6≤ x2+2x+ 6

2x≥ −12

x≥ −6

Пересекая с условием данного случая, получаем $x ∈[−6;− 4].$

2) $x∈(−4;−2]∪(1;+ ∞),$ тогда

(x+2)(x − 1)+ (x +4)≤ x2+ 2x +6

x2+ 2x+ 2≤ x2 +2x+ 6

2≤ 6

Получили верное неравенство, значит, нам подходят все значения, удовлетворяющие условию данного случая.

3) $− 2 <x ≤1,$ тогда

2 − (x+ 2)(x− 1)+(x+ 4)≤x +2x+ 6

− x2+6 ≤x2+ 2x+ 6

2x2+2x ≥0

x(x+ 1)≥ 0

x∈ (−∞;−1]∪[0;+ ∞)

Пересекая с условием данного случая, получаем $x ∈(−2;−1]∪ [0;1].$

Объединив все полученные значение, получим итоговый ответ — $x ∈[− 6;− 1]∪ [0;+∞).$

Ответ:

$[−6;− 1]∪ [0;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#88776

Решите неравенство

|3 − |x− 2||≤1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В каком случае модуль не больше некоторого числа A?

Подсказка 2

Модуль не больше некоторого числа A, когда подмодульное выражение лежит между числами -A и А. Запишем это! Что делать с x - 2?

Подсказка 3

Рассмотрим, когда 4 >= |x - 2| >= 2. Когда модуль числа не меньше некоторого числа В?

Подсказка 4

Модуль числа не меньше некоторого числа В, когда число или не больше -В, или не меньше В. Осталось лишь аккуратно записать и решить систему!

Показать ответ и решение

Преобразуем данное неравенство

{ 3− |x − 2|≤ 1 3− |x − 2|≥ −1

{ |x− 2|≥ 2 |x− 2|≤ 4

( [ ||| x− 2 ≥2 |||{ x− 2 ≤− 2 | ||||| x− 2≤4 ( x− 2≥− 4

(| [ x≥ 4 ||||| x≤ 0 { |||| x≤ 6 ||( x≥ −2

({ x ∈(−∞;0]∪[4;+ ∞) ( x ∈[−2;6]

x ∈[−2;0]∪[4;6]

Ответ:

$[−2;0]∪ [4;6]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#88777

Решите неравенство

-1--- --1-- |x− 1| > |x +1|

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумаем, а какими являются обе части неравенства. Что можно сделать, чтобы избавиться от модулей?

Подсказка 2

Раз и левая, и правая части данного неравенства неотрицательны, значит, возведение в квадрат будет равносильным преобразованием. Осталось лишь решить неравенства на знаменатели) Не забываем про ОДЗ!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Раз и левая, и правая части данного неравенства неотрицательны, значит, возведение в квадрат будет равносильным преобразованием.

1 1 (x−-1)2 > (x-+1)2

Т.к. знаменатели неотрицательны, то можем умножать на них без изменения знака с учётом, что они ненулевые.

( |{ (x+ 1)2 > (x− 1)2 | x +1⁄= 0 ( x − 1⁄= 0

( 2 2 |{ x +2x +1> x − 2x+ 1 |( x⁄= −1 x⁄= 1

(| 4x >0 { x⁄= −1 |( x⁄= 1

(|{ x> 0 x⁄= −1 |( x⁄= 1

x ∈(0;1)∪ (1;+∞ )

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Рассмотрим 3 случая раскрытия модулей:

1) $x< −1$ , тогда

---1---> --1---- −(x− 1) −(x+ 1) − x− 1> −x+ 1 − 1> 1

Получилось неверное неравенство, значит, в данном случае нет подходящих значений.

2) $− 1 <x < 1$ , тогда

---1---> -1-- −(x− 1) x+ 1 x+ 1> −x+ 1 2x> 0 x> 0

Учтя условия этого случая, получаем, что подходящие значения — $(0;1)$ .

3) $x> 1$ , тогда

--1- > -1-- x − 1 x+ 1 x+ 1> x− 1 1> −1

Получилось верное неравенство, значит, подходят все значения, удовлетворяющие условию случая. Объединив все случаи, получим итоговый ответ.

Ответ:

$(0;1)∪ (1;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#88778

Решите неравенство

| 2 2| ||x +3x− 8|− x |≥ 8− x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Модуль внутри другого модуля начинать раскрывать, кажется, не лучшая идея. А вот избавиться от модуля возведением в квадрат было бы удобно. Но чтобы переход был равносильным, обе части должны быть ≥ 0. Какие тогда два случая получаем?

Подсказка 2

Первый случай, если x > 8, то неравенство имеет вид «модуль не меньше отрицательного числа»: такое мы умеем решать.

Подсказка 3

Произведение ≥ 0, тогда либо оба множителя ≥ 0, либо оба ≤ 0. Тогда в обоих случаях получаем систему из двух неравенств, которые можно несложно решить обычным раскрытием модуля. Самое сложное — аккуратно выписать все системы и совокупности и ничего не перепутать!

Показать ответ и решение

Заметим, что левая часть неравенства всегда $≥ 0.$ Тогда, если правая часть $≤ 0,$ неравенство верно. Значит, при $8− x ≤0,$ то есть $x ≥8$ неравенство верно.

В ином случае, возведём обе части в квадрат (так как обе части неравенства $≥ 0)$ и распишем разность квадратов:

2 22 2 (|x + 3x− 8|− x )≥ (8− x)

Значит,

2 2 2 2 (|x + 3x− 8|− x − 8+x)(|x + 3x− 8|− x +8 − x)≥ 0

Тогда, либо обе скобочки $≥ 0,$ либо обе $≤ 0.$

Рассмотрим случай, когда обе скобочки $≥ 0.$

{ |x2+3x − 8|≥ x2 − x+ 8;(1) |x2+3x − 8|≥ x2 +x− 8;(2)

Решим неравенства (1) и (2) отдельно:

2 2 (1):|x + 3x− 8|≥ x − x+ 8

Снова возведём в квадрат (так как обе части неравенства $≥0)$ и распишем разность квадратов:

(x2+ 3x− 8)2 ≥ (x2 − x +8)2

(x2+ 3x − 8− x2+ x− 8)(x2+3x− 8+ x2− x+8)≥ 0

(4x − 16)(2x2+ 2x) ≥0

8x(x− 4)(x+1)≥ 0

8x(x− 4)(x+1)≥ 0

x ∈[− 1;0]∪[4;+ ∞)

Значит, так как в неравенстве нет ограничений на $2 2 x,|x + 3x − 8|≤ x − x +8$ при ”остальных” $x$ , не считая точек-нулей: $x ∈(−∞;− 1]∪ [0;4].$

(2):|x2+ 3x− 8|≥ x2+ x− 8

[ 2 2 2 x +23x − 8 ≥x + x2− 8,если x + 32x− 8 ≥0 −(x +3x − 8)≥ x +x − 8,если x +3x− 8< 0

[ 2x ≥0,если x2+3x − 8≥ 0 2x2 +4x− 16≥ 0,если x2+ 3x − 8< 0

√-- √-- [ x ≥0,если x∈ (− ∞,−3−2-41]∪[−3+2-41,+∞ ) 2(x+ 4)(x− 2)≥0,если x∈(−3−√241,−3+2√41)

[ √-- √-- x≥ 0,если x∈ (−∞,−-3−24√1]∪[−3√+2-41,+ ∞) 0≥ x≥ −4,если x ∈(−3−2-41,−3+2-41)

Значит, $x∈ [−4;+∞ ).$

Так как в неравенстве нет ограничений на $x,|x2+ 3x− 8|≥ x2+ x− 8$ при ”остальных” $x$ , не считая точек-нулей: $x ∈(−∞;− 4].$

Таким образом, нам надо найти совокупность двух сиcтем:

[ { { x∈ [−1;0]∪[4;+∞ ) x ∈(−∞;− 1]∪ [0;4] x∈ [−4;+∞ ) x ∈(−∞;− 4]

[ x ∈[−1;0]∪ [4;+∞ ) x ∈(−∞; −4]

Ответ:

$(−∞;− 4]∪ [− 1;0]∪[4;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#100245

Решите неравенство

|x+3|−-2 x+ 2 ≥ 2.

Показать ответ и решение

Перенесём двойку и приведём к общему знаменателю:

|x+-3|−-2x−-6 x+ 2 ≥ 0.

Давайте заметим, что при раскрытии модуля как с положительным, так и с отрицательным знаками неравенство тождественными преобразованиями сводится к одинаковому неравенству:

xx++-32 ≤ 0.

Значит, модуль можно смело убрать и решать полученное неравенство. Решаем методом интервалов и получаем ответ $x ∈[−3;− 2)$ .

Ответ:

$[−3;− 2)$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#100246

Решите неравенство

||x− 5|− 3|≥ 2.

Показать ответ и решение

Давайте для упрощения заменим $|x− 5|$ на $t$ . Неравенство примет вид $|t− 3|≥ 2$ . Если возвести неравенство в квадрат и написать разность квадратов, становится ясно, что оно равносильно неравенству

(t− 5)(t− 1)≥ 0

t∈(−∞;1)∪ (5;+∞ )

Подставляя $|x − 5|$ вместо $t$ , получаем простые неравенства с модулями. Осталось их решить и записать ответ.

Ответ:

$(−∞;0]∪ [4;6]∪ [10;+ ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#100247

Решите неравенство

| 2 | |x − 2x − 8|< 3x− 3.

Показать ответ и решение

Давайте запишем неравенство в виде

| 2 | |(x− 1) − 9|<3(x− 1).

Теперь видно, что оно напрашивается на замену $t= x− 1$ . Теперь оно примет вид

2 |t − 9|< 3t.

Очевидно, что $t≥0$ , иначе решений быть не может. Теперь, чтобы не мучиться с разными случаями раскрытия модуля, давайте возведём неравенство в квадрат и получим стандартное квадратичное неравенство относительно $t2$ . Это преобразование равносильно, потому что обе части неравенства неотрицательны.

4 2 t − 27t +81< 0

Получаем решение

√ - √- 27− 9-5< t2 < 27-+9-5- 2 2

Учитывая, что $t≥ 0$ , получаем, что

( √ - √ - ) t∈ 3--5− 3;3-5+3 2 2

Чтобы получить решения по $x$ , достаточно прибавить к обеим границам интервала по $1$ .

Ответ:

$(3√5− 1 3√5+ 5) ---2--;--2---$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#47234

Решите неравенство

x2 ||36 − 1|− 2|≥3

Показать ответ и решение

Поскольку $x2 ≥ 0$ , то $36x2 ≥ 1$ , потому внутреннее подмодульное выражение всегда неотрицательно и модуль можно убрать. Получаем

x2 x2 x2 2 1 1 |36 − 3|≥ 3 ⇐⇒ 0≤ 36 ≥6 ⇐⇒ 36 ≥6 ⇐ ⇒ x ≥ 2 ⇐ ⇒ |x|≥ √2-

Ответ:

$(−∞,− √1]∪[√1,+∞ ) 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#100248

Решите неравенство

((x−-5)2-+4 ) |x− 5| − 4 (|x − 4|+ |x− 6|− 2)≤ 0.

Показать ответ и решение

Давайте поработаем с первой скобкой:

(x-− 5)2+4 (x-− 5)2− 4|x−-5|+-4 |x− 5| − 4 = |x− 5| =

2 2 = |x−-5|−-4|x−-5|+4-= (|x−-5|−-2)- |x − 5| |x− 5|

Во-первых, очевидно, что модуль в знаменателе никак на неравенство не влияет. Можно его убрать, но запомнить, что $x⁄= 5$ . Числитель является полным квадратом, а значит тоже не влияет. Разве что, нам будут интересны значения, которые этот квадрат зануляют, а это $x =3,x= 7$ , отправляем их в ответ и забываем про первую скобку.

Осталось неравенство $|x− 4|+ |x − 6|≤ 2$ . Его мы решим просто рассмотрением трёх случаев раскрытия модулей:

x∈(−∞; 4),x∈ [4;6] и x∈ (6;+∞ )

Откуда получаем $x∈ [4;6]$ . Учитывая ответы и ограничения из прошлых рассуждений, запишем окончательный ответ.

Ответ:

$[4;5)∪(5;6]∪ {3;7}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#100249

Решите неравенство

|3 2 | |x − 2x + 2|≥ 2− 3x.

Показать ответ и решение

Ясно, что рассматривать разные случаи раскрытия модуля — не вариант, потому что у многочлена нет красивых корней. Тогда попробуем возвести в квадрат и написать разность квадратов. Чтобы это преобразование стало равносильным, давайте поймём, что при $2 x > 3$ левая часть меньше $0$ и неравенство очевидно верно. При $2 x≤ 3$ она неотрицательна и мы можем возводить в квадрат:

3 2 3 2 (x − 2x + 3x)(x − 2x − 3x+ 4)≥0.

Посмотрим на первую скобку, она равна $x((x − 1)2+2)$ . Ясно, что $((x− 1)2+ 2)> 0$ , а значит это можно убрать из неравенства и от скобки остаётся только $x$ . Что касается второй скобки, внимательный читатель должен заметить, что $x =1$ — корень многочлена, а значит мы можем его разложить на множители так:

1− √17 1+√17- (x − 1)(x2− x− 4)= (x− 1)(x−---2--)(x − --2---)

Итак, неравенство примет вид

√-- √ -- x(x− 1)(x− 1−--17)(x − 1-+-17) ≥0. 2 2

Заметим, что скобки $x− 1$ и $√-- (x− 1+217)$ при $x≤ 23$ отрицательны, а их произведение положительно, то есть на него можно поделить:

1− √17 x(x− --2---)≥ 0.

Получаем, что

√-- x∈ (−∞; 1−--17]∪[0;2]. 2 3

Осталось совместить с предыдущими ответами и написать ответ.

Ответ:

$( 1− √17-] −∞; --2--- ∪[0;+ ∞)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#99169

Решить неравенство

|x-− 4|−-|x−-1| |x-− 3|+|x−-2| |x − 3|− |x− 2| < |x− 4|

Источники: Газпром - 2021, 11.5 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Слева какое-то страшное выражение и справа какое-то страшное… Не уж-то авторы задачи хотят, чтобы мы рассматривали пять вариантов, чему принадлежит наш х, а после этого пересекали каждый раз с нашим промежутком, а потом объединяли? Надо получше подумать. Знаменатели и числители попарно друг с другом удачно связаны. Это значит, что мы можем на что-то положительное домножить, чтобы у нас левая и правая части преобразовались. На что положительное здесь было бы удобно домножить, чтобы что-то могло свернуться по формулам и у чего-то убрался модуль?

Подсказка 2

Нам надо домножить на обратную к правой части дробь. Почему она положительна? Мы знаем, что x ≠ 4, при этом, и модуль и сумма модулей тогда строго больше 0. После домножения получили справа 1, а слева только один модуль во всей дроби! А если у нас остался только один модуль, то мы можем конкретно для него уже рассмотреть всего лишь два случая знака, и для каждого случая решить очевидное неравенство методом интервалов. Значит, идейно мы всё сделали, осталось только реализовать нашу идею!

Показать ответ и решение

При ограничениях $x⁄= 4$ и $x ⁄= 2,5$ умножим обе части неравенства на положительную величину $--|x−4|--. |x−3|+|x−2|$ Получим равносильное неравенство

(x− 4)2 − |(x − 1)(x − 4)| ---(x−-3)2−-(x-− 2)2- <1.

Выполним преобразования:

2 | 2 | x--− 8x+-16−|x-−-5x-+4|− 1< 0⇔ 2 | 2 |−2x+ 5 2 |2 | ⇔ x-−-8x+-16−|x-−-5x-+4|+-2x-− 5 <0 ⇔ x-−-6x+11−-|x-− 5x+-4|> 0. −2x+ 5 2x− 5

1) Пусть $x2 − 5x+ 4≥ 0$ , тогда $x ∈(−∞;1]∪(4;+∞).$ Неравенство примет вид

x2−-6x+-11− x2+-5x−-4 −x+-7 2x− 5 > 0⇔ 2x− 5 > 0⇔ 2,5 <x < 7.

То есть, $x∈ (2,5;7).$ Учитывая, что $x ∈(−∞; 1]∪ (4;+∞ ),$ получим $x ∈(4;7).$

2) Пусть $2 x − 5x+ 4< 0,$ тогда $x ∈(1;4).$ Неравенство примет вид

x2−-6x+-11+x2−-5x+-4 2x2−-11x+15 (x−-3)(2x-− 5) 2x− 5 > 0⇔ 2x − 5 >0 ⇔ 2x− 5 > 0⇔ x > 3.

то есть $x ∈(3;+ ∞).$ Учитывая, что $x ∈(1;4)$ , получим $x∈ (3;4).$ Таким образом, решением исходного неравенства является множество $x∈ (3;4)∪(4;7).$