Сложные логарифмические уравнения

Так то из последнего уравнения вида получаем , то есть следующую систему:

Поскольку то С учётом равенств запишем

Чтобы найти минимум, найдем координаты вершины параболы ветви которой направлены вверх, значит минимум достигается в вершине.

Так как парабола симметрична относительно вершины, то минимальное целое значение будет достигаться при Тогда искомое значение равняется

Запишем ОДЗ

Выделим квадраты:

Заметим, что — корень уравнения. Докажем, что других нет.

Получили, что левая часть не менее а правая часть не более Значит, чтобы было решение, должно достигаться равенство. Равенство же достигается при

Запишем ОДЗ: . Заметим, что на ОДЗ выполнено, что , .

Умножая правую и левую части исходного уравнения на и учитывая, что , получим равносильное уравнение

(1)

Далее, умножая правую и левую части исходного уравнения на , получим также равносильное уравнение (ниже поменяли местами левую и правую части)

(2)

Вычитая из уравнения (2) уравнение (1), получаем:

Запишем ОДЗ:

Разберем случаи.

ОДЗ в данном случае: . Далее поскольку , то:

В силу монотонности логарифма и с учётом (ОДЗ) это эквивалентно:

Откуда остаётся только .

ОДЗ: . С учётом ОДЗ преобразуем уравнение:

При не определён , а входит в ОДЗ изначального уравнения, так как и

ОДЗ: , , , , , .

Заметим, что если из первого условия, поэтому все ОДЗ можно сократить до и .

Заметим, что , поэтому

Подставим это в уравнение и получим

Итого, получаем квадратное уравнение . По ОДЗ и значит нам подходит только .

ОДЗ:

следует из этого.

На ОДЗ равенство равносильно:

Пусть , тогда получаем уравнение

Обратная замена: или . Первый корень не подходит под ОДЗ, а второй подходит.

ОДЗ: . Перепишем равенство

Воспользуемся монотонностью логарифма и заменим , тогда

Посмотрим ещё раз на равенство слева и заметим, что является корнем. По теореме Виета второй корень будет . Из ОДЗ , то есть второй корень не подойдёт. Возвращаясь к замене , получаем ответ.

ОДЗ:

Перепишем равенство

Пусть . Тогда

Под условие подходит только

Пусть . Получим

Под условие подходят оба корня.

Заметим, что допустимыми являются лишь .

Левая часть равенства с ростом возрастает, а правая - убывает. Значит, уравнение имеет не более одного корня, и этот корень можно угадать.

Для того, чтобы правая часть была определена, получаем, что Тогда на ОДЗ уравнение эквивалентно

Попробуем разложить на множители:

С учётом того, что и по основной теореме арифметики возможны только такие пары: Соответственно

Можно использовать неравенство о средних, а можно раскрыть скобки в полном квадрате, чтобы получить неравенство:

Аналогично

Получается, что в левой части у логарифма основание не больше аргумента, а в правой части основание не меньше аргумента. При этом на ОДЗ ( которое можно задать условием ) основания и аргументы логарифмов строго больше единицы. Поэтому логарифмы по такому основанию тем больше, чем больше аргумент. Так что

Уравнение верно тогда и только тогда, когда в двух местах неравенство обращается в равенство. Вспомним (из того, откуда эти неравенства взялись), что это равносильно обращению полных квадратов в ноль. В итоге получаем так что или . С учётом ОДЗ пишем ответ.

Преобразуем исходное равенство, учитывая, что числа больше и соответствующие логарифмы положительны:

Выполнив замену где получим

Таким образом, все тройки удовлетворяющие условию задачи, имеют вид

Ясно, что в противном случае из натуральности числа следует, что число лежит в интервале и не является натуральным. Случай противоречит условию задачи. Если то где и тогда тройку натуральных чисел можно записать в виде с натуральным Сумма для этой тройки будет больше такой же суммы для чисел, входящих в тройку Значит,

При целых тройка чисел с минимальной суммой получается при это числа и для них сумма равна Если рациональное, но не целое, то для того, чтобы число было целым, необходимо, чтобы было как минимум восьмой степенью целого числа, не меньшего и, конечно же, сумма будет больше, чем (т.к.

Можно переписать данное уравнение так:

Отсюда следует, что для любого от 1 до и так как , то верно для любого . Заметим, что если для некоторого , то , и т. д. и тогда для любого верно . Аналогично, если для некоторого , то тогда для любого верно . Далее будем считать, что .

Предположим, что для некоторого верно, что . Тогда из равенства следует, что и . Отсюда следует, что положительное и больше 3. Аналогично, из этого следует, что , положительное и больше 3 и т. д. Но тогда

Аналогично, в случае когда для некоторого верно, что , то для последующих будет последовательно устанавливаться, что , отрицательное и меньше -3.

ОДЗ:

На ОДЗ по свойствам логарифмов получаем уравнение

При замене после возведения в квадрат (не равносильный переход, а следствие, так что корни проверим) получаем

Обратная замена:

После подстановки в исходное уравнение получаем, что не подходит, а подходит.

Уравнение равносильно

Заметим, что функция монотонно возрастает, но тогда и монотонно возрастает, откуда наше уравнение имеет не более 1 решения. Но мы знаем, что 7 — решение, поэтому оно единственное.

Пусть , тогда

Заметим, что это выражение симметрично относительно , поэтому рассмотрим и найдём решения. Если , то левая часть меньше правой, потому , получим

Вторая скобка не имеет корней, потому остаётся только в силу симметрии, откуда

Выпишем условия для определения ОДЗ. Основания обоих логарифмов и оба подлогарифмирумые выражения должны быть больше нуля, а также основания отличны от единицы. что дает нам:

Решив эти неравенства, находим, что

После замены , получается уравнение

• . Если , то . Из ОДЗ остаётся только . Иначе , оба решения не подойдут из ОДЗ.
• . Будем действовать аналогично. Если , то или , в ОДЗ подойдёт только положительное решение. Если , то или . Здесь останется только .

Собирая все полученные ответы, получаем итоговый.

Запишем ОДЗ:

Преобразуем уравнение:

Возьмем от обеих частей

Сделаем замену Тогда

Следовательно,