Тема Логарифмы

Сложные логарифмические уравнения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела логарифмы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#127830

Решите уравнение

log3 log (45x) 15 5 x 5 = 1

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ

45x >0

x> 0

Теперь преобруем исходное уравнение

15log53xlog5(45x) =1

15log53x1+2log53+log5x = 1

1+2log53+log5x − log53 x =15

Заметим, что

( ) 15− log53 = 15log5 13 = 1 log515 = 3− log515 =3−1−log53 3

Тогда уравнение принимает вид:

1+2log3+log x −1− log3 x 5 5 = 3 5

Пусть $t=log5x,$ тогда $x= 5t.$

(5t)1+2log53+t =3−1−log53

5t2+t+2tlog53 = 3−1− log53

Прологарифмируем по основанию 5:

log55t2+t+2tlog53 = log53−1−log53

t2 +t+ 2tlog53= (−1 − log53)log53

t2+ t(1+ 2log53)+ log53+ log253= 0

2 ( 2 ) D = (1+ 2log53) − 4 log53 +log53 = 1

−1−-2log53±-1 t1,2 = 2 = −1− log53;− log53

Возвращаясь к исходной переменной, получаем ответ:

1 1 x= 15;3

Ответ:

$-1; 15$ $1 3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#80762

Целые числа $x,y,z$ удовлетворяют равенству $xln16+ yln8+ zln24= ln 6.$ Найдите наименьшее возможное значение выражения $2 2 2 x + y + z.$

Источники: Физтех - 2024, 11.2 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем. У нас есть сумма произведений каких-то констант на х, y, z. При этом, нам надо максимизировать x^2 + y^2 + z^2. Какое неравенство нам это напоминает? Что первым приходит в голову здесь?

Подсказка 2

Конечно же, неравенство КБШ! Тогда, по этому неравенству у нас выходит, что ((ln16)^2 + (ln8)^2 + (ln24)^2)(x^2 + y^2 + z^2) >= (ln6)^2. Тогда, выходит, что мы получили оценку на минимум нашей суммы. Достигается ли в КБШ равенство, если да, то когда?

Показать ответ и решение

xln16+y ln8+ zln24=ln6

4x ln2+ 3yln 2+z(3ln2 +ln3)= ln2+ ln 3

(4x+ 3y+3z− 1)ln2+ (z− 1)ln3= 0

ln(24x+3y+3z−1⋅3z−1)= 0

24x+3y+3z− 1⋅3z−1 = 1

Так $x, y, z ∈ℤ,$ то из последнего уравнения вида $a b 2 ⋅3 = 1; a, b∈ Z$ получаем $a =0,b= 0$ , то есть следующую систему:

{ 4x+ 3y +3z = 1 ⇔ 4x+3y =−2 ⇔ y = −x − x-+2 z = 1 3

Поскольку $x, y ∈ ℤ,$ то $x+2 =k ∈ℤ, =⇒ y =2− 3k− k= −4k+ 2. 3$ С учётом равенств $z = 1, x= 3k− 2, y = 2− 4k$ запишем $2 2 2 x + y + z :$

2 2 2 2 2 2 x + y +z = 1+ 9k +4 − 12k+ 4+16k − 16k =25k − 28k+ 9

2 2 2 2 x + y +z = 25k − 28k+ 9→ min

Чтобы найти минимум, найдем координаты вершины параболы $25k2− 28k+9,$ ветви которой направлены вверх, значит минимум достигается в вершине.

-28- 14 kверш. = 2⋅25 = 25

Так как парабола симметрична относительно вершины, то минимальное целое значение будет достигаться при $k= 1.$ Тогда искомое значение равняется

x2+ y2+ z2 =1 +4+ 1= 6

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#98584

Решите уравнение:

( 2 ) ( 2) ( 2 ) log3 2x + 4x+29 + log12 31− 2x− x = log15 3x + 6x+ 28 .

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ

( 2x2 +4x+ 29> 0 |{ 2 |( 312− 2x− x > 0 3x +6x+ 28> 0

√ - √- x∈ (−1− 4 2;− 1+4 2)

Выделим квадраты:

log (2(x+ 1)2+ 27)+log 1(32− (x − 1)2)=log1(3(x+ 1)2+ 25) 3 2 5

Заметим, что $x= −1$ — корень уравнения. Докажем, что других нет.

2 2 2(x+ 1)+ 27≥ 27 =⇒ log3(2(x+ 1) +27)≥ 3

32 − (x− 1)2 ≤ 32 =⇒ log1(32− (x − 1)2)≥− 5 2

3(x+ 1)2+25≥ 25 =⇒ log1(3(x+ 1)2+ 25) ≤−2 5

Получили, что левая часть не менее $− 2,$ а правая часть не более $− 2.$ Значит, чтобы было решение, должно достигаться равенство. Равенство же достигается при $x = −1.$

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#68077

Решить уравнение

( ∘ --2----)( ∘ --2--------) log2 x+ log2x+ 1 log2(x− 2)+ log2(x − 2)+ 1 = 1

Источники: Росатом-2023, 11.4, Москва (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте внимательно посмотрим на две наши скобки. Там похожие логарифмы под корнями и без них. На что тогда можно попробовать умножить обе части нашего уравнение? Конечно, учитывая ОДЗ.

Подсказка 2

Верно, давайте по очереди умножим обе части уравнения сначала на сопряжённое число одной скобки, а потом на другое. Получатся два новых уравнения. Что с ними можно сделать, чтобы совсем избавиться от корней?

Подсказка 3

Да, давайте просто вычтем одно из другого и получим уравнение только с основанием 2. Далее применяя свойства логарифмов, дорешать задачу несложно. Не забудьте про ОДЗ.

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ: $x> 2$ . Заметим, что на ОДЗ выполнено, что $∘--2---- log2x± log2x +1⁄= 0$ , $∘ --2-------- log2(x− 2)± log2(x − 2)+ 1⁄= 0$ .

Умножая правую и левую части исходного уравнения на $∘ ------- log22x+ 1− log2x$ и учитывая, что $( ∘ -------)(∘ ------- ) log2x + log22x+ 1 log22x+ 1− log2x =1$ , получим равносильное уравнение

∘ ----------- ∘ ------- log2(x− 2)+ log22(x− 2)+1 = log22x+ 1− log2x

(1)

Далее, умножая правую и левую части исходного уравнения на $∘log2(x-− 2)+-1− log(x− 2) 2 2$ , получим также равносильное уравнение (ниже поменяли местами левую и правую части)

∘ --2-------- ∘ --2---- log2(x − 2)+ 1− log2(x− 2)=log2x + log2x+ 1

(2)

Вычитая из уравнения (2) уравнение (1), получаем:

log2x +log2(x− 2)=− (log2x +log2(x− 2))

log2x+ log2(x− 2)= 0

( ( ( {log2(x(x− 2))= 0 {x2− 2x= 1 { x= 1± √2 √ - ( ⇔ ( ⇔ ( ⇔ x = 1+ 2 x > 2 x >2 x> 2

Ответ:

$1+ √2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#90688

Решите уравнение

| 2 2 | 2 2 |log3x− log2x2|=log3x+ log2x2 − 2.

Источники: ДВИ - 2023, вариант 238, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу запишем ОДЗ ;) Перед нами выражение, в котором есть модуль, быть может, тогда раскроем его? Какие случаи нужно разобрать?

Подсказка 2

Разберите случаи, когда подмодульное выражение не меньше нуля и когда оно меньше нуля!

Подсказка 3

Заметим, что многие слагаемые с двух сторон сокращаются, что делает решение простым ;) А какие значения могут принимать логарифмы?

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

(| 2x> 0 { 2x⁄= 1 =⇒ x ∈(0;1) ∪( 1;+ ∞) |( 2 2 x> 0

Разберем случаи.

$1)log2x − log2 2 ≥0: 3 2x$

2 2 2 2 log3x − log2x2= log3x +log2x2− 2

⌊ x =1 — не подходит log22x2= 1 =⇒ log22x= ±1 =⇒ |⌈ x = 1 4

$2)log23x − log22x2 <0:$

− log23x+ log22x2= log23x+ log22x2− 2

⌊ x= 3 — не подходит log23x= 1 =⇒ log3x= ±1 =⇒ |⌈ 1 x= 3

Ответ:

$1 , 1 4 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#31031

Решите уравнение

log2log2x= log4log42x.

Показать ответ и решение

ОДЗ в данном случае: $x > 0,log x >0 2$ . Далее поскольку $log(2x)= = log 2+ log x= 1(1+log x) 4 4 4 2 2$ , то:

∘-1-------- log2log2x =log4log4(2x)= log2 2(1 +log2x)

В силу монотонности логарифма и с учётом $log2x = t>0$ (ОДЗ) это эквивалентно:

∘------ t= 1(t+ 1)⇐⇒ 2t2 =t+ 1=⇒ t= 1±-3 >0 2 4

Откуда остаётся только $t= 1=⇒ x= 2$ .

Ответ:

$2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#31121

Решите уравнение

( 2 ) log492x + x− 5 +log17(1+ x)= 0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Во-первых, запишем ОДЗ, куда уж без него, если мы решаем уравнения с логарифмами. Во-вторых поймем, что нам здесь не нравится? Как это можно исправить?

Подсказка 2

Да, нам не нравится то, что логарифмы не по одному основанию. Если бы они были по одному основанию, жить было бы куда проще. А к какому основанию их надо привести? Кажется, к 49(1/7 уж слишком неприятно выглядит). Как можно привести второй логарифм к основанию 49?

Подсказка 3

Конечно, нужно воспользоваться свойством логарифма и получить, что log_(1/7)(x+1)=-log_49((x+1)^2). Остается перенести этот логарифм влево, приравнять выражения от которых берется логарифм(ровно для этого мы и приводили к одному основанию), решить получившееся квадратное уравнение и получить ответ, который после этого проверить, используя ОДЗ.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $2x2 +x − 5> 0,1+x >0$ . С учётом ОДЗ преобразуем уравнение:

( 2 ) ( 2 ) 0=log49 2x + x− 5 + log17(1+ x)=log49 2x +x − 5 − log7(1 +x)=

( ) 2x2 +x− 5 = log49 2x2+ x− 5− log49(1+ x)2 = log49-(1+x)2--

2 2x-+x-− 5-=1 (1+ x)2

2 2 2x + x− 5= 1+2x+ x

x2− x− 6= (x − 3)(x +2)= 0

При $x =−2$ не определён $log17(1+ x)$ , а $x= 3$ входит в ОДЗ изначального уравнения, так как $2⋅32+ 3− 5 =16> 0$ и $1+ 3> 0.$

Ответ:

$3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#31431

Решите уравнение

( 2 ) ( 3 ) ( 2 ) (3 ) log7x−6 7x +x − 6 ⋅logx+1 x +1 = log7x−6 7x +x− 6 + logx+1 x + 1

Показать ответ и решение

ОДЗ: $7x− 6 >0$ , $7x− 6⁄= 1$ , $7x2+x − 6= (7x− 6)(x+1)> 0$ , $x+ 1> 0$ , $x+ 1⁄= 1$ , $x3+ 1> 0$ .

Заметим, что если $6 x> 7$ из первого условия, поэтому все ОДЗ можно сократить до $6 x> 7$ и $x ⁄=1$ .

Заметим, что $2 7x +x − 6 =(7x− 6)(x+ 1)$ , поэтому

( 2 ) (3 ) ( 3 ) log7x−67x + x− 6 ⋅logx+1 x + 1 = (1 +log7x−6(x+1)))⋅logx+1 x + 1 =

( 3 ) 3 =logx+1 x + 1 +log7x−6(x + 1)

Подставим это в уравнение и получим

( 3 ) 3 ( 2 ) (3 ) logx+1 x + 1 +log7x−6(x + 1)− log7x−6 7x +x − 6 + logx+1 x +1

3 ( 2 ) log7x−6(x + 1)=log7x−6 7x +x − 6

x3+1 =(x+ 1)(x2− x+ 1)= 7x2+ x− 6=(x+ 1)(7x− 6)

x2 − x+ 1= 7x− 6

Итого, получаем квадратное уравнение $2 x − 8x+ 7= (x − 1)(x − 7)= 0$ . По ОДЗ $x ⁄=1$ и значит нам подходит только $x =7$ .

Ответ:

$7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#35965

Решите уравнение

( √- ) 2log2(log2x)+ log12 log2(2 2x) =1.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В первую очередь можно заметить много двоек и логарифмы по основаниям степеней двойки. Запишем ОДЗ и попробуем свести всё к единому виду.

Подсказка 2

Для этого приведём внешние логарифмы к одному основанию и используем формулу суммы логарифмов. Теперь слева логарифм, а справа 1, что же сделать дальше?

Подсказка 3

Можно записать 1 как логарифм и приравнять подлогарифмические выражения. Теперь получим уравнение с двоичным логарифмом от икса с некоторыми коэффициентами. Но число можно вынести по формуле логарифма произведения и теперь сделать замену!

Подсказка 4

Теперь осталось решить квадратное уравнение относительно замены, сделать обратную замену и не забыть учесть ОДЗ.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $log x >0 ⇐⇒ x >1 2$

$√- log2(2 2x)> 0$ следует из этого.

На ОДЗ равенство равносильно:

√- log2x 2log2log2x − log2 log2(2 2x)= 1 ⇐⇒ log2log-(22√2x)-=1 ⇐ ⇒ 2

log22x =2log2(2√2x) ⇐ ⇒ (log2x)2 = 2(log2232 + log2x)

Пусть $t=log2x$ , тогда получаем уравнение

( ) t2 = 2 3+ t ⇐⇒ t2− 2t− 3 =0 ⇐⇒ t= 3 или t=− 1 2

Обратная замена: $−1 1 x =2 = 2$ или $3 x =2 = 8$ . Первый корень не подходит под ОДЗ, а второй подходит.

Ответ:

$8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#35966

Решите уравнение

( x) x 1+ 2 log23− log2(3 − 13)= 2.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В уравнении уже есть два логарифма с основанием два, значит, нужно стараться собрать слева и справа от знака равенства логарифмы по этому основанию. Как можно сгруппировать?

Подсказка 2

У первого логарифма есть множитель 1 + x/2, который можно внести как степень. Теперь можно записать формулу разности логарифмов, опять же, не забывая изначально записать ОДЗ. Справа тоже приведём запишем двойку как логарифм, а что дальше?

Подсказка 3

Логарифмы с одним основанием равны, а значит, равны подлогарифмические выражения! Получим новое уравнение, в котором икс встречается только в степени тройки, поэтому хочется сделать замену.

Подсказка 4

Относительно замены получим квадратное уравнение, которое уже несложно решить. Аккуратно всё посчитать и учесть ОДЗ.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $3x− 13> 0$ . Перепишем равенство

x 2 x ( 16 x 2) log29+ xlog23= log2(3 − 13) +4 ⇐⇒ log23 = log2 9 (3 − 13)

Воспользуемся монотонностью логарифма и заменим $3x = t$ , тогда

( ) t= 16(t− 13)2 ⇐⇒ 16t2− 2⋅ 16⋅13+ 1 t+ 16-⋅169-=0 9 9 9 9

Посмотрим ещё раз на равенство слева и заметим, что $t=16$ является корнем. По теореме Виета второй корень будет $1699⋅196 = 16169$ . Из ОДЗ $t> 13$ , то есть второй корень не подойдёт. Возвращаясь к замене $x= log3t$ , получаем ответ.

Ответ:

$log 16 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#37806

Решите уравнение

2 1 √-x-+5 1− log9(x+ 1) = 2log 3x +3

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Можно ли сделать у обоих логарифмов основания одинаковыми? Не забудьте, что при вынесении четной степени из аргумента нужно поставить модуль!

Подсказка 2

Теперь можно отбросить логарифмы и приравнять только их аргументы, но модуль выглядит несколько неприятно. Так давайте просто отдельно рассмотрим два варианта раскрытия модуля, тогда уравнение получится без труда решить)

Показать ответ и решение

ОДЗ:

x+-5 x+ 1⁄= 0,x+ 3 > 0

x ∈(−∞;− 5)∪ (− 3;− 1)∪ (− 1;+∞ )

Перепишем равенство

3 x +5 log3|x-+1| = log3x-+3

--3--= x-+5 |x +1| x +3

Пусть $x> −1$ . Тогда

3x+ 9= x2+6x+ 5

x2+ 3x − 4 =0

x= 1 или x= −4

Под условие $x >− 1$ подходит только $x= 1.$

Пусть $x< −1$ . Получим

3x+ 9= −x2− 6x− 5

2 x +9x+ 14= 0

x = −2 или x =− 7

Под условие $x <− 1$ подходят оба корня.

Ответ:

${−7;−2;1}$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#94950

Решите уравнение:

log25(x − 500)− logx 25 =1.

Источники: Иннополис - 2021, 11.1 (см. dovuz.innopolis.university)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В одном логарифме х в основании, в другом - в аргументе... Такое классическим методом решать неприятно. Попробуйте перенести логарифмы по разным сторонам равенства и рассмотреть функции на монотонность!

Подсказка 2

Верно! На ОДЗ одна часть с возрастанием х убывает, другая — возрастает. В таком случае корень максимум один.

Подсказка 3

Обилие пятёрок в выражении как-то намекает нам на степени пятёрки...

Показать ответ и решение

Заметим, что допустимыми являются лишь $x >500$ .

log25(x − 500)= 1+logx 25.

Левая часть равенства с ростом $x$ возрастает, а правая - убывает. Значит, уравнение имеет не более одного корня, и этот корень можно угадать.

Ответ:

$625$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#44067

Найдите целые числа $x$ и $y$ , для которых

( x- y) -x y log2 17 + 5 = log217 +log2 5

Источники: Росатом-20, 11.1 (см. mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Учитывая ОДЗ, преобразуем логарифм суммы и напишем уравнение на x и y без логарифмов. Как решить получившееся уравнение и как оно выглядит?

Подсказка 2

5x + 17y = xy. Запишем как x(5-y) + 17y = 0 и попробуем разложить на множители для дальнейшего удобства)

Подсказка 3

(x-17)(y-5) = 17*5. Числа целые, поэтому можно делать выводы о значении скобок. У 85 маленькое количество делителей, поэтому остается лишь перебрать значения x-17 и y - 5!

Показать ответ и решение

Для того, чтобы правая часть была определена, получаем, что $x> 0,y >0.$ Тогда на ОДЗ уравнение эквивалентно

(-x y) xy log2 17 + 5 =log285 ⇐⇒ 5x+ 17y =xy

Попробуем разложить на множители: $x(5− y)+17y = 0 ⇐⇒ x(5− y)− 17(5− y)+ 17⋅5= 0 ⇐⇒ (x − 17)(y− 5)=17⋅5.$

С учётом того, что $y − 5> −5$ и $x − 17> −17,$ по основной теореме арифметики возможны только такие пары: $(y− 5,x − 17)∈{(1,85),(5,17),(17,5),(85,1)}.$ Соответственно $(x,y)∈ {(102,6),(34,10),(22,22),(18,90)}.$

Ответ:

$(102,6),(34,10),(22,22),(18,90)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#64394

Найдите все пары положительных чисел $(x,y)$ , удовлетворяющих уравнению

( 4 2 ) ( 2 ) log2x2y+1 x + y +1 = logy4+x2+1 2xy +1

Источники: ДВИ - 2020, вариант 202, задача 7 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас переменные стоят как в основаниях логарифмов, так и в аргументе — работать с этим не очень удобно, поэтому давайте облегчим себе задачу: применим формулу перехода к новому основанию, чтобы логарифмы стали натуральными и перемножим имеющуюся пропорцию крест-накрест.

Подсказка 2

Воспользуйтесь монотонностью логарифмов и попробуйте поработать с аргументами. Мы хотим доказать, что каждый множитель слева больше или равен одному из множителей в правой части. В каком случае тогда возможно равенство произведений?)

Подсказка 3

Итак, у нас либо есть парочка логарифмов равных нолю, либо два неравенства обращаются в равенства! Рассмотрите каждый из этих случаев и сделайте выводы.

Показать ответ и решение

Можно использовать неравенство о средних, а можно раскрыть скобки в полном квадрате, чтобы получить неравенство:

4 2 2 2 2 x − 2x y+y = (x − y) ≥ 0

4 2 2 x + y + 1≥ 2x y+ 1

Аналогично $x4+ y2 +1 ≥2xy2+1.$

Получается, что в левой части у логарифма основание не больше аргумента, а в правой части основание не меньше аргумента. При этом на ОДЗ ( которое можно задать условием $x⁄= 0,y ⁄= 0$ ) основания и аргументы логарифмов строго больше единицы. Поэтому логарифмы по такому основанию тем больше, чем больше аргумент. Так что

log (x4+ y2+ 1) ≥log (2x2y+1)= 1= 2x2y+1 2x2y+1

= 1= log (y4+ x2 +1)≥ log (2xy2 +1) y4+x2+1 y4+x2+1

Уравнение верно тогда и только тогда, когда в двух местах неравенство обращается в равенство. Вспомним (из того, откуда эти неравенства взялись), что это равносильно обращению полных квадратов $(x2− y)2,(y2− x)2$ в ноль. В итоге получаем $x =y2 = x4,y = x2 =y4,$ так что $x =y =0$ или $x= y = 1$ . С учётом ОДЗ пишем ответ.

Ответ:

$(1,1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#103074

Известно, что $m,n,k$ — различные натуральные числа, большие $1,$ число $log n m$ рационально, и, кроме того,

√log-n- √log-k k m =m n

Найдите минимальное из возможных значений суммы $k+5m + n.$

Источники: Ломоносов - 2020, 11.8 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте преобразуем равенство из условия. Что можно сделать с обеими частями, чтобы перейти к равенству произведений?

Подсказка 2

Возьмите от обеих частей логарифм по основанию m! После некоторых преобразований перейдём к произведению логарифмов по одинаковому основанию, и это произведение равно единичке ;)

Подсказка 3

Так как логарифмы у нас по основанию m, имеет место выразить m и k через n в какой-то степени. Тогда можно будет записать равенство без логарифмов.

Подсказка 4

Отлично, теперь видно, что степени, в которые надо возвести n для равенства с k и m, выражаются красиво друг через друга! Теперь мы знаем, какому виду удовлетворяют подходящие тройки чисел.

Подсказка 5

Разберите случаи того, какой вид может принимать q, где n^q = m. В каком диапазоне оно может быть? Рациональное ли оно?

Показать ответ и решение

Преобразуем исходное равенство, учитывая, что числа $m,n,k$ больше $1$ и соответствующие логарифмы положительны:

√logmn- √lognk ∘----- ∘ ----- k =m ⇔ logm k⋅ lo∘gmn-=- lognk ⇔ ⇔ log k⋅∘log--n= logmk-⇔ m m logmn ⇔ ∘logmk-⋅logm n= 1⇔ logmk⋅log2m n= 1

Выполнив замену $k =np,m =nq,$ где $p⁄= 0,q ⁄= 0,$ получим

p ⋅ 1-= 1⇔ p= q3. q q2

Таким образом, все тройки $(k,m,n),$ удовлетворяющие условию задачи, имеют вид $(nq3,nq,n) .$

Ясно, что $q > 0:$ в противном случае из натуральности числа $n$ следует, что число $nq$ лежит в интервале $(0;1)$ и не является натуральным. Случай $q = 1$ противоречит условию задачи. Если $q ∈ (0;1),$ то $q = 1∕r,$ где $r> 1,$ и тогда тройку натуральных чисел $(q3 q ) n ,n,n$ можно записать в виде $( r2 r3) l,l ,l$ с натуральным $l.$ Сумма $k+ 5m+ n$ для этой тройки будет больше такой же суммы для чисел, входящих в тройку $( 3 ) lr ,lr,l .$ Значит, $q > 1.$

При целых $q$ тройка чисел с минимальной суммой $k +5m + n$ получается при $n =2,q = 2:$ это числа $k= 28,m = 22,n= 2,$ и для них сумма $k +5m +n$ равна $278.$ Если $q$ рациональное, но не целое, то для того, чтобы число $3 nq$ было целым, необходимо, чтобы $n$ было как минимум восьмой степенью целого числа, не меньшего $2,$ и, конечно же, сумма $3 nq + 5nq+n$ будет больше, чем $278$ (т.к. $n ≥256).$

Ответ: 278

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#80457

Найдите все такие наборы чисел $x ,x,...,x 1 2 n+1$ , что $x = x 1 n+1$ и при всех $k= 1,...,n$ выполнено равенство

2 2log2xk⋅log2xk+1 − log2xk =9.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, выражение слева от знака равенства очень напоминает квадрат разности. Действительно, так оно и есть! Давайте часть логарифмов перенесём в другую сторону, добавим к обоим частям уравнения кое-что и получим настоящий квадрат разности!

Подсказка 2

Теперь внимательно посмотрим на получившуюся формулу. Действительно, квадрат суммы всегда неотрицателен, значит все логарифмы в последовательности по модулю ≥ 3. Нетрудно доказать, что если хотя бы один из логарифмов равен 3, то все остальные тоже равны 3, аналогично если хотя бы 1 равен -3, то все другие тоже равны -3.

Подсказка 3

Но что же делать, если какой-то логарифм строго больше 3. Как-то сложно разбираться с таким случаем. Давайте попробуем доказать, что такого не бывает. Для этого представим, что какой-то логарифм строго больше 3 и выпишем цепочку неравенств, которая из этого следует.

Показать ответ и решение

Можно переписать данное уравнение так:

2 2 log2xk+1− 9 =(log2xk− log2xk+1)

Отсюда следует, что $|log x |≥3 2 k+1$ для любого $k$ от 1 до $n$ и так как $x = x n+1 1$ , то $|log x|≥ 3 2 k$ верно для любого $k$ . Заметим, что если $log2xt =3$ для некоторого $t$ , то $9+log22xt- log2xt+1 = 2log2xt = 3$ , $log2xt+2 = 3$ и т. д. и тогда для любого $k$ верно $xk = 8$ . Аналогично, если $log2t= −3$ для некоторого $t$ , то тогда для любого $k$ верно $1 xk =8$ . Далее будем считать, что $|log2xk+1|>3$ .

Предположим, что для некоторого $k$ верно, что $log2xk >3$ . Тогда из равенства $(2log2xk+1− xk)xk = 9$ следует, что $0 <2log2 xk+1− log2xk < 3< log2xk$ и $0< log2xk+1 < log2xk$ . Отсюда следует, что $log2xk+1$ положительное и больше 3. Аналогично, из этого следует, что $0< log2xk+2 < log2xk+1$ , $log2xk+2$ положительное и больше 3 и т. д. Но тогда

log2 xk <log2xk+1 <...<log2 xn+1 =log2x1 <log2 x2 <...log2xk−1 <log2xk?!

Аналогично, в случае когда для некоторого $k$ верно, что $log2xk < −3$ , то для последующих $xk+1,...$ будет последовательно устанавливаться, что $log2xt+1 > log2xt$ , $xt+1$ отрицательное и меньше -3.

Ответ:

$(8,8,...,8),(1,1,...,1) 8 8 8$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#38134

Решите уравнение

∘----√- (1− log2x)⋅ logx2 x = 1

Источники: ПВГ-2016, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала, конечно же, запишем ОДЗ! Теперь анализируем уравнение: метод рационализации здесь нам вряд-ли поможет, есть 2 логарифма, и по итогу хотелось бы их преобразовать к одинаковому виду и сделать замену.

Подсказка 2

Как их преобразовывать? Например, из первой скобки можно сделать один логарифм, а во втором логарифме избавиться от √х и разложить полученный логарифм на 2 хороших слагаемых!

Подсказка 3

Итак, по итогу мы можем из обоих логарифмов получить log_(x/2) 2, или подобный логарифм. Осталось лишь сделать замену этого логарифма на новую переменную, решить уравнение относительно неё, вернуться к логарифмам и учесть ОДЗ!

Показать ответ и решение

ОДЗ:

(| x >0 { x ⁄= 1 |( 2 √- logx∕2 x ≥0

На ОДЗ по свойствам логарифмов получаем уравнение

( 2) ∘ 1-----x--- log2x ⋅ 2 logx2(2 ⋅2)= 1

( ) ∘ -------- √ - − log2 x ⋅ 1+ logx2 2= 2 2

− ∘1+-logx-2= √2⋅logx 2 2 2

При замене $t=logx2 2$ после возведения в квадрат (не равносильный переход, а следствие, так что корни проверим) получаем

1+ t=2t2 ⇐⇒ t∈{1;− 1} 2

Обратная замена:

t=1 −→ x =2 ⇐ ⇒ x =4 2

1 ∘-2 1 t= −2 −→ x = 2 ⇐⇒ x= 2

После подстановки в исходное уравнение получаем, что $x= 4$ не подходит, а $1 x= 2$ подходит.

Ответ:

$1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#92010

Решите уравнение

(3 √-) x+ log2x− log3x+ log4x− 7= 4 − log3 2 ⋅log249

Источники: ПВГ 2016

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перенесите 7 вправо и попробуйте преобразовать выражение.

Подсказка 2

Можно ли получить 2 похожих выражения?

Подсказка 3

Что можно сказать о функции в левой части?

Подсказка 4

Исследуйте её монотонность.

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно

x +log2x − log3x +log4x = 7+log27 − log37 +log47.

Заметим, что функция $f(x)=logx − log x+log x= log x(1 − log 2+ 0.5) 2 3 4 2 3$ монотонно возрастает, но тогда и $f(x)+ x$ монотонно возрастает, откуда наше уравнение имеет не более 1 решения. Но мы знаем, что 7 — решение, поэтому оно единственное.

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#38133

Решите уравнение

|| x||3 3 |log22| +|log22x| =28

Источники: ПВГ-2015, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Приведём логарифмы сразу к удобному нам виду по свойству и сделаем естественную замену логарифма на t. А дальше у нас модули... Неприятно. Рассматривать случаи точно не очень хочется, потому что это ещё кубы раскрывать, а промежутка три штуки. Давайте думать, как избавиться от модуля. Не можем ли мы сразу отсечь половину числовой прямой? Давайте внимательно посмотрим на сумму модулей слева.

Подсказка 2

Верно, видим, что если вместо t подставить -t, то из-за модуля и суммы ничего не поменяется. У нас просто поменяются местами слагаемые. Значит, найдя решение положительное, найдём и отрицательное. Но от одного модуля мы ещё не избавились до конца. Остался небольшой промежуток от 0 до 1 для осуществления нашей "мечты". А будет ли вообще выполняться равенство на этом промежутке?

Подсказка 3

Точно, левая часть будет просто меньше, чем правая. Нам это никак не подходит. Теперь осталось только решить кубическое уравнение, однозначно раскрыв скобки, и не забыть про нашу симметрию.

Показать ответ и решение

Пусть $log x= t 2$ , тогда

3 3 |t− 1| + |t+ 1| = 28

Заметим, что это выражение симметрично относительно $t↔ − t$ , поэтому рассмотрим $t≥ 0$ и найдём решения. Если $t∈[0,1)$ , то левая часть меньше правой, потому $t≥1$ , получим

3 2 3 2 t − 3t +3t− 1+ t+ 3t+ 3t+1 =28

t3+ 3t= 14

(t− 2)(t2+ 2t+7)= 0

Вторая скобка не имеет корней, потому остаётся только $t= ±2$ в силу симметрии, откуда $x ∈{4;14}.$

Ответ:

$4,1 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#64036

Решите уравнение

| 2 | logx|2x − 3|= 4log|2x2−3|x

Источники: ДВИ - 2015, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Достаточно много ограничений бросается сразу в глаза. Выписываем и замечаем, что логарифмы очень даже похожи, но все же разные. А можем ли сделать их одинаковыми?

Подсказка 2

Конечно! Стоит “перевернуть” один из них по соответствующему свойству (аргумент так удачно не может быть равен 1). А чему тогда должно быть равно значение этого логарифма из уравнения?

Подсказка 3

Получаем 2 уравнения с логарифмом и числом. Можем сразу действовать по определению и избавиться от логарифмов! А далее остается решить два знакомых уравнения и задачка убита.

Подсказка 4

От модулей можем избавиться рассмотрев отдельно соответствующие промежутки, а после этого интерес может вызвать только уравнение 4ой степени. А какие вообще степени в нем присутствуют? Как можем действовать с ними?

Подсказка 5

Конечно ввести замену x² = t! Теперь и у него нет шансов, т.к. относительно новой переменной уравнение стало квадратным!

Показать ответ и решение

Выпишем условия для определения ОДЗ. Основания обоих логарифмов и оба подлогарифмирумые выражения должны быть больше нуля, а также основания отличны от единицы. что дает нам:

2 2 x> 0, x⁄= 1, |2x − 3|> 0, |2x − 3|⁄= 1

Решив эти неравенства, находим, что

√ - ∘ 3- x> 0, x ⁄=1, x ⁄= 2, x⁄= 2

После замены $t= logx|2x2− 3|$ , получается уравнение

4 t =-t

t= ±2

$t= 2⇐ ⇒ |2x2− 3|= x2$ . Если $2x2− 3 ≥0$ , то $√- 2x2− 3= x2 ⇐⇒ x = ± 3$ . Из ОДЗ остаётся только $√ - x = 3$ . Иначе $2x2− 3< 0⇐= 2x2− 3= −x2 ⇐⇒ x =±1$ , оба решения не подойдут из ОДЗ.
$t= −2 ⇐⇒ |2x2− 3|= 1x2-$ . Будем действовать аналогично. Если $2x2− 3≥0$ , то $2x4 − 3x2− 1= 0$ или $√--√-- x =± -3+2-17$ , в ОДЗ подойдёт только положительное решение. Если $2x2− 3< 0$ , то $2x4− 3x2+ 1= 0$ или $x = ±1,± 1√2$ . Здесь останется только $x= √12$ .

Собирая все полученные ответы, получаем итоговый.

Ответ:

$1 ∘3-+√17-√- √2-;---2---; 3$