Графики квадратных трёхчленов

Первое решение.

Посмотрим при каких условиях окружность касается параболы. Пусть есть окружность радиуса с центром в точке , — точка касания окружности и параболы. Проведем касательную . Тогда .

Проведем через точку прямую, параллельную оси ( — точка пересечения прямой и оси ). Тогда . Значит, , но , так как — касательная в точке .

Значит, . Тогда по теореме Пифагора получаем, что .

Теперь рассмотрим случай с двумя окружностями

Пусть и . Тогда

Также знаем, что

Из (1) и (2) получаем

Второе решение.

Пусть — координаты центра первой окружности. Тогда — координаты центра второй окружности, где — искомый радиус.

Запишем систему уравнений для первой (1) и второй (2) окружности. Первое уравнение – пересечение окружности и параболы. Второе – условие касания

Получаем, что и . Так как , то нам подходит только

Первое решение.

Площадь треугольника будет максимальной, когда высота из точки на основание будет максимальной длины. Это произойдет, когда касательная к параболе в точке будет параллельна

Координаты точек: . Тангенс наклона прямой, содержащей , равен Тангенс угла наклона касательной к графику в точке равен производной функции в этой точке, поэтому хотим найти такое, что

Итого, искомые координаты . Найдем длины сторон треугольника

Найдем площадь треугольника по формуле Герона:

Второе решение.

Разрежем треугольник вертикальным отрезком , тогда

Пусть уравнение прямой . Тогда . Этот трёхчлен достигает максимум посередине между корнями, которые, очевидно, равны и Значит, максимальная длина отрезка получится, если взять , и тогда

Квадратный трехчлен не имеет корней, следовательно, знакопостоянен. Кроме этого, Заключаем, что для любого действительно в частности,

Найдем длину отрезка, высекаемого параболой на прямой для заданного Абцисса точки пересечения графиков данных функций удовлетворяют уравнению то есть ордины данных точек равны, то есть расстояние между ними равно

Таким образом, парабола высекает на прямых три отрезка, длины которых равны соотвественно , Осталось заметить, что

следовательно, в силу обратной теоремы Пифагора, верно, что треугольник, длины сторон которого равны соотвественно является прямоугольным.

Пусть вершины квадрата и лежат на первой параболе, а вершины и — на второй. У этих парабол одинаковые коэффициенты при . Значит, вторую параболу можно получить из первой параллельным переносом на некоторый вектор. Заметим, что этим вектором является вектор . При этом переносе вершина первой параболы переходит в вершину второй. Значит, имеет координаты . То есть квадрат длины стороны квадрата равен

Это и есть площадь квадрата. Минимум достигается в вершине .

Вычтем из обоих трехчленов линейную функцию, график которой проходит через точки и Обозначим полученные трехчлены соответственно и (где у старший коэффициент равен а у он равен ). Пусть абсциссы точек и равны соответственно и Тогда и касательные в точках и к графику трехчлена пересекаются на графике В самом деле, вычитание линейной функции сохраняет условия касания прямой и параболы в точке с заданной абсциссой, а также пересечения двух прямых и параболы в одной точке.

Обозначим через Поскольку график трехчлена симметричен относительно прямой поэтому касательные к этому графику в точках и пересекаются на оси симметрии. Пусть также точка пересечения касательных имеет координаты а вершина параболы-графика имеет координаты

Поскольку старший коэффициент трехчлена равен имеет место равенство или поскольку график есть парабола , перенесенная параллельно так, чтобы вершина попала в По этой же причине угловые коэффициенты касательных в точках и есть значит, Таким образом, если перенести параболы-графики и так, чтобы их вершины попали в то ординаты точек с абсциссой на этих параболах будут соответственно и из чего следует, что старший коэффициент у в раза больше, чем у

Так как то корнями многочлена являются корни трехчленов и Ясно, что любое число может быть корнем только одного из них.

Пусть — искомая ордината вершины. Предположим, что Будем считать, что старший коэффициент в положителен (иначе заменим на при этом заменится на Предположим, что тогда и при всех значит, корни многочлена являются корнями а их не больше двух. Если же то трехчлены и имеют по два корня, значит, имеет хотя бы корня. Оба случая невозможны; значит,

Пусть квадраты «нанизаны» на ось координатной плоскости. Рассмотрим -ый по счету квадрат и обозначим через его правую вершину. Тогда несложно понять, что координаты этой вершины выражаются через число следующим образом:

Из первого равенства выражаем и, подставляя во второе, получаем, что что нам и требовалось.

Пусть параболы проходят через точку Тогда откуда Вершина каждой из данных парабол имеет координаты:

Значит, то есть вершины парабол лежат на параболе

Обозначим координаты точек: Корни первого трёхчлена равны и корни второго равны и Ордината точки равна свободному члену первого трёхчлена, то есть Аналогично, ордината точки равна Поэтому отношения катетов и прямоугольных треугольников и равны следовательно, они подобны.

Парабола пересекает оси координат в точках и и — корни соответствующего уравнения). Рассмотрим точки и Поскольку то точки лежат на одной окружности. Значит, все окружности, удовлетворяющие условию, проходят через точку

Предположим, что трёхчлен не имеет корней. Тогда не умаляя общности допустим, что Из условия понимаем, что либо либо Рассмотрим каждый из случаев. В первом мы тогда получаем, что откуда выходит, что у первого трёхчлена нет корней( Аналогично во втором случае — откуда второй трёхчлен не имеет корней. В обоих случаях получаем противоречие с условием задачи. Значит, имеет корни.

Параболы, являющиеся графиками этих функций, пересекаются в точке , потому что равенство верно для любых , удовлетворяющих условию

Достаточно расположить эти параболы на плоскости так, чтобы они пересекались в четырёх точках. Эти четыре точки взять в качестве и одновременно Одинаковые четырёхугольники являются равными.

Каждому из наших многочленов соответствует две целых точки и на оси Не умаляя общности будем считать, что Назовем шириной многочлена натуральное число а осью многочлена —

Пусть многочлен имеет ширину и ось тогда он записывается в виде

Покажем, что графики двух разных многочленов такого вида имеют ровно две общих точки, когда у них разные ширины и оси. Если же у них совпадает ширина или ось, то у них ровно одна общая точка.

Действительно, равносильно Если то каждое из двух линейных уравнений имеет корни, и они совпадают только если Если же то (трехчлены разные) и одно из двух линейных уравнений корней не имеет, а второе имеет.

Заметим, что ширина многочлена может принимать значение от 1 до 100, при этом найдется не более одного многочлена с шириной Обозначим количество многочленов с шириной Оценим количество пар многочленов с одинаковой шириной:

В последнем неравенстве мы воспользовались следующим соображением: так как сумма ста чисел равна 200 и то найдется еще хотя бы одно следовательно,

Осью многочлена может быть любое целое или полуцелое число от до таких чисел следовательно, найдется как минимум одна пара многочленов с общей осью. Это будет ранее не учтенная пара, так как трехчлены с общими шириной и осью совпадают. Чтобы найти количество точек пересечения графиков надо из удвоенного количества пар многочленов вычесть количество пар с одинаковой шириной или осью. Таким образом, точек пересечения не более, чем что меньше, чем

Пусть первая парабола вторично пересекает ось в точке , а вторая — в точке . Тогда по теореме Виета , , то есть . Но эти параболы пересекают ось в точках и , откуда и следует требуемое.

Первое решение.

Если парабола и прямая пересекаются в двух точках, то уравнение имеет два различных корня. Умножив обе его части на , получим уравнение , которое имеет те же корни и ещё Значит, график функции проходит через обе точки пересечения прямой и параболы.

Второе решение.

Найдём точки пересечения параболы и прямой, решив систему уравнений: Получим точки и Подставив эти значения в уравнение , получим верные равенства. Значит, график указанной функции проходит через эти точки.

Одно из пересечений с осью абсцисс обозначим за , пересечение с осью ординат обозначим за , — начало координат. Тогда , . По теореме Пифагора . , а значит , то есть , откуда . Если , то график бы не пересекал оси координат в вершинах треугольника, тогда сократим на и получим .

Пусть Тогда абсциссы точек пересечения графиков в первом случае определяются из уравнения а во втором случае — из уравнения

Рассмотрим первый случай подробнее. Уравнение имеет вид откуда , Так как точки пересечения графиков лежат на прямой с угловым коэффициентом расстояние между точками в раз больше, чем Значит, расстояние между точками равно Аналогично находим, что во втором случае расстояние между точками равно Из условия получаем систему уравнений

решая которую, находим, что

Найдём искомое расстояние. Абсциссы точек пересечения определяются уравнением поэтому а расстояние между самими точками пересечения есть

Обозначим график первого из квадратных трехчленов через , а график второго — . Для начала перенесём всю картинку таким образом, чтобы точка совпала с началом координат. Рассмотрим такое сжатие всей картинки к оси абсцисс, чтобы совпал с графиком функции . Пусть точка имеет координаты , точка  — координаты . Заметим, что разность квадратных трёхчленов, задающих графики и , есть квадратный трёхчлен, который обращается в ноль в точках и . Из этого следует, что график задаётся уравнением для некоторого действительного

Прямая задаётся уравнением , поэтому точка может быть найдена как решение системы , . Приравнивая правые части, получаем уравнение . Одно из решений этого уравнения , поэтому второе по теореме Виета равняется ; подставляя это выражение в первое уравнение, получаем . Заметим, что последнее выражение симметрично относительно и , поэтому если мы проделаем все те же действия для точек и , мы получим тот же самый . Но тогда ординаты точек и равны, откуда и следует, что прямая параллельна оси абсцисс.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание. Утверждение задачи является предельным случаем следующего более общего факта (который можно назвать параболическим аналогом леммы Фусса).

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть две параболы и (с параллельными осями) пересекаются в точках и . Пусть прямая, проходящая через , пересекает вторично в точке (), а прямая, проходящая через , пересекает вторично в точке . Тогда .