Тема Последовательности и прогрессии

Арифметическая прогрессия

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела последовательности и прогрессии

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#78957

Существует ли такая арифметическая прогрессия из трех натуральных чисел, что произведение всех ее членов есть точная $2008$ -я степень натурального числа?

Показать ответ и решение

Например $6669,2⋅6669,3⋅6669.$ Их произведение равно $6⋅63⋅669 = 62008.$

Ответ:

Да

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#78959

Бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия такова, что произведение каждых двух различных её членов также является членом этой прогрессии. Докажите, что все её члены — целые числа.

Показать доказательство

Пусть $a$ — один из членов прогрессии, а $d$ — её разность. По условию числа $a(a+ d)$ и $a(a+ 2d)$ также члены прогрессии; значит, их разность имеет вид $nd$ при некотором целом $n,$ т. е. $ad= nd.$ Поскольку $d >0,$ получаем $a= n,$ т. е. $a$ — целое число

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#78962

Множество $S$ состоит из чисел

2 2 3 1,1+ b,1+ b+b ,1+b +b + b,...

где $b$ — некоторое натуральное число. Докажите, что если два числа из $S$ являются членами возрастающей арифметической прогрессии, то найдётся ещё одно число из $S,$ также являющееся членом этой прогрессии.

Показать доказательство

Решение. Пусть $1+b+ ...+ bn = a+ kd,1+ b+...+bm =a +ld,$ где $a$ и $d$ — первый член и разность прогрессии, $k,l∈ ℕ.$ Пусть $k< l$ и, соответственно $n< m.$ Тогда

n+1 n+2 m b + b +...+b =(a+ ld)− (a+kd)= (l− k)d =pd, p ∈ℕ

Заметим, что

bm+1+ bm+2+ ...+ b2m−n = m−n (n+1 n+2 m) m−n =b b + b +...+b = b pd= qd, q ∈ ℕ

и, значит, число $1+ b+ ...+b2m−n =a +ld+qd= a+ (l+q)d$ также является членом прогрессии.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#80754

Углы выпуклого многоугольника образуют арифметическую прогрессию, имеющую разность $2∘$ и начинающуюся с угла $143∘.$ Какое наибольшее число вершин может быть у такого многоугольника?

Источники: Физтех - 2024, 11.1 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомним формулу для подсчета суммы углов у выпуклого многоугольника и формулу суммы арифметической прогрессии.

Подсказка 2

Приравняв эти суммы, сможем получить квадратное уравнение. Но точно ли все значения этого уравнения подойдут?

Показать ответ и решение

Пусть $n$ — искомое число вершин. Тогда сумма углов многоугольника равна $180∘⋅(n− 2).$ С другой стороны, эту же сумму можно выразить через сумму арифметической прогрессии, которая равна $∘ n(n−1) ∘ 143 ⋅n+ 2 ⋅2 .$ Приравняем эти суммы и получим следующее уравнение:

∘ ∘ n(n − 1) ∘ 180 ⋅(n − 2)= 143 ⋅n +--2---⋅2

n2− n+ 143n − 180n+ 360= 0

2 n − 38n+ 360= 0

Получаем, что $n= 18$ или $n= 20.$ Но $n =20$ не подходит, так как тогда наибольший угол многоугольника равен $143∘+2∘⋅19= 181∘,$ что больше $180∘.$

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#85034

Первый член арифметической прогрессии меньше 0, сотый не меньше 74, а двухсотый меньше 200. Количество членов прогрессии на интервале $(0,5;5)$ ровно на два меньше, чем на отрезке $[20;24,5]$ . Найдите первый член и разность прогрессии.

Показать ответ и решение

Пусть $a$ первый член арифметической прогрессии, а $d$ —- ее разность. Тогда ее $100$ -й член равен $a+99d$ , а $200$ -й равен $a+ 199d.$

Из условия получаем, что

a <0; a+ 99d≥ 74; a+ 199d< 200;

Если рассмотреть разность второго и первого уравнения, а также третьего и второго, то получим:

99d> 74; 100d< 126;

То есть $7949 < d< 1.26$ . Отсюда, в частности, следует, что последовательность возрастает.

Пусть $x1$ - наибольший член арифметической прогрессии, который находится левее интервала $(0.5;5)$ , т. е. $x1 ≤ 0.5$ . А $x2$ - наименьший элемент арифметической прогрессии, который находится правее интервала $(0.5;5)$ (то есть $x2$ - наименьший член, удовлетворяющий условию $x2 ≥ 5$ ).

Схожим образом определим $y1$ - наименьший член арифметической прогрессии, который находится внутри интервала $[20;24.5]$ , а $y2$ - наибольший элемент арифметической прогрессии, внутри $[20;24.5]$

Так как на отрезке $[20;24.5]$ ровно на $2$ члена прогрессии больше, чем на $(0.5;5)$ , то количество членов прогрессии между $x1$ и $x2$ в точности равно количеству элементов между $y 1$ и $y 2$ . Тогда $x − x = kd= y − y 2 1 2 1$ для некоторого натурального $k$ .

При этом $(x − x )≥ 5− 0.5= 4.5 2 1$ , а $y − y ≤24.5− 20= 4.5 2 1$ . (потому что отрезок $[x ;x] 1 2$ покрывает интервал $(0.5;5)$ , а $[20;24.5]$ покрывает $[y1;y2]$ ). Но тогда $kd= x2− x1 = 4.5= y2− y1$ , а также $x1 = 0.5;$ $x2 = 5;$ $y1 = 20;$ $y2 = 24.5$

Из двух условий:

(| 74 { 99 < d< 1.26 |( d= 4.5,(k ∈ℤ) k

Получаем $257-<k < 891418-$ , то есть $k∈ {4,5,6}$ . Откуда $d ∈{98, 910,34}$

При этом мы знаем, что в прогрессии есть члены $x2 = 5$ и $y1 = 20$ . Тогда $15= y1− x2 = md$ для некоторого целого $m$ . Подставляя найденные выше значения для $d$ , мы получим целое значение $m$ только в случае $d = 3 4$ .

Далее перейдем к поиску $a$ . Из условия на сотый член прогрессии $a+99d≥ 74$ следует, что $1 a≥ −4$ . А также мы знаем, что $a <0$ .

Будем теперь двигаться на $d= 0.75$ влево от $x1 = 0.5$ , из нашей прогрессии, пока не попадем в интервал $1 [− 4;0)$ . Тогда получаем, что в этом интервале находится только член прогрессии, равный $0.5− 0.75=− 0.25$ , тогда $a =− 0.25$ .

Непосредственной подстановкой значений можно убедиться, что $a =− 0.25,d =0.75$ удовлетворяют условиям задачи.

Ответ:

$a =− 0.25,d= 0.75$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#91953

Натуральные числа $a ,...,a 1 n$ образуют строго возрастающую арифметическую прогрессию. Найдите все возможные значения $n$ , если известно, что $n$ нечётно, $n> 1$ и сумма $a1+ ...+ an$ равна 2024.

Источники: ДВИ - 2024, вариант 241, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам дана арифметическая прогрессия и ее сумма, быть может, тогда сразу записать условие с помощью переменных? Какое уравнение получится?

Подсказка 2

n(2a + (n-1)d)/2 = 2024. Итак, условие на сумму записано. Какое условие мы еще не использовали? Что можно сделать с этим уравнением?

Подсказка 3

Домножим обе части уравнения на 2 и используем условие на нечётность n!

Подсказка 4

n(2a + (n-1)d) = 4048. Каким может быть n, если он нечётный? Что можно сказать про связь 4048 и n?

Подсказка 5

n должно быть нечётным и делить 4048! Осталось лишь разобрать случаи нечётных делителей 4048 ;)

Показать ответ и решение

Пусть $d$ — разность прогрессии. Переобозначим $a =a . 1$ Так как прогрессия состоит из натуральных чисел и строго возрастает, то $a$ и $d$ — натуральные числа. По формуле суммы арифметическое прогрессии имеем

n(2a +(n− 1)d) -----2------= 2024

Умножим это равенство на $2,$ тогда получится следующее уравнение в целых числах

n(2a +(n− 1)d)= 4048

Заметим, что $4048 =24⋅11⋅23.$ Из уравнения следует, что $. 4048.. n.$ Кроме того, по условию $n$ — нечетное число, поэтому $n$ может быть равно $11,$ $23$ или $11⋅23= 253.$

Рассмотрим эти три случая:

1.: $n =253.$ Тогда получится уравнение $253(2a+ 252d)= 4048,$ то есть $2a +252d= 16.$ Но $d≥ 1,$ поэтому $2a+ 252d >16,$ и такое равенство невозможно.
2.: $n =11.$ Тогда получится уравнение $11(2a +10d)=4048,$ то есть $2a+ 252d =368.$ Возьмем $d= 1$ и $a= 179.$ Получается верное равенство, поэтому существует подходящая арифметическая прогрессия.
3.: $n =23.$ Тогда получится уравнение $23(2a +22d)=4048,$ то есть $2a+ 22d= 176.$ Заметим, что $a= 11$ и $d =7$ подходят. То есть такая прогрессия подходит.

Таким образом, $n= 11$ или $n = 23.$

Ответ: 11; 23

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#92343

Числа $a ,a,...,a 1 2 20$ образуют арифметическую прогрессию. Найти её разность, если известно, что

2 2 2 a1+a3+ ⋅⋅⋅+ a19 =1330,

2 2 2 a2+ a4+⋅⋅⋅+a20 = 1540

и $a10+a11 = 21.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам дана арифметическая прогрессия, так что обозначим ее разность за d. Как можно записать уравнение на сумму из условия через d и один из членов прогрессии?

Показать ответ и решение

Обозначим разность прогрессии за $d.$ Тогда по условию

a10+ a11 = a1 +9d+ a1+10d= 2a1+ 19d= 21.

Выразим теперь разность сумм квадратов членов с чётными и нечётными индексами.

a2− a2= d2+ 2a d,...,a2 − a2 = d2+2a d. 2 1 1 20 19 19

Складывая все 10 этих выражений, получаем

a2+ a2+ ⋅⋅⋅+ a2 − (a2 +a2+ ⋅⋅⋅+ a2)= 10d2+ 2d(a1+ ⋅⋅⋅+ a19)= 2 4 20 1 3 19

= 10d2+10(2a1+ 18d) =10d(d +(21− d))= 210d= 1540 − 1330= 210.

Отсюда $d= 1.$

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#63595

Последовательности ${a } n$ и ${b},n =1,2,3,... n$ , являются арифметическими прогрессиями, $a = 32,b = 43 11 21$ . Последовательность ${cn}$ определяется равенствами $n n cn =(−1) an+ (−1) bn$ . Сумма первых сорока членов последовательности ${cn}$ равна 100 , а сумма первых ее двадцати трех членов равна -60 . Найдите $b40$ и сумму первых ста членов арифметической прогрессии ${an}.$

Показать ответ и решение

Пусть $a =a+ nd ,b =b+ nd n 1 n 2$ . Заметим, что

2∑k (−1)iai = −(a +d1)+ (a+ 2d1)− (a+ 3d1)+ ...= d1 +d1+ ...d1 = kd1 i=1

То есть каждая пара сокращается и даёт вклад $d 1$ в сумму. Отсюда

∑40 ci = 20d1+ 20d2 = 100 =⇒ d1+ d2 = 5 i=1

Тогда

2∑3 ci = 11(d1+d2)− a− 23d1− b− 23d2 = i=1

=− a− b− 12(d1+ d2)= −a− b− 60= −60 =⇒ a+ b=0

Добавим условия про $a11$ и $b21$

( |{ a+ 11d1 =32 | −a +21d2 = 43 =⇒ a =− b=− 1,d1 = 3,d2 =2 ( d1+ d2 = 5

Отсюда

b40 = b+40d2 = 1+80= 81

a 2a+ 101d S100 =---2--- ⋅100 =(−2+ 303)⋅50= 15050

Ответ:

$81,15050$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#63697

В арифметической прогрессии сумма ее $m$ первых членов равна сумме $n$ первых членов ( $m$ не равно $n).$ Докажите, что в этом случае сумма ее первых $m + n$ членов равна нулю.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В задаче идет речь о сумме арифметической прогрессии - вспоминаем формулу и используем!

Подсказка 2

Здесь нам нужно приравнять две суммы - первых n и первых m членов. Приравниваем, домножаем на 2, получаем:

Подсказка 3

Нам нужно что-то доказать про сумму n+m членов - попробуем записать то, что просят доказать, используя ту же самую формулу суммы арифметической прогрессии и подумать, как к этому можно прийти имея наше равенство (из предыдущей подсказки)

Показать доказательство

Введём обозначения для члена прогрессии $a =a +(k− 1)d k$ и сумм первых $n,m$ членов:

2a+d(n−-1) Sn = a1+ ...+ an = 2 n,

2a+ d(m − 1) Sm = a1+...+am = -----2----m

По условию эти суммы равны, поэтому

2an+ dn(n − 1)= 2am+ dm(m − 1)

2a(n − m )+d(n2− n− m2+ m)= 0

2a(n− m)+ d((n − m )(n+ m)− (n− m))=0

(n− m)(2a+ d(n +m − 1))= 0

По условию $n$ не равно $m,$ поэтому $2a+ d(n+ m− 1)= 0,$ а значит, и сумма $m + n$ членов равна нулю:

2a+ (m + n− 1)d Sm+n = ------2------(m+ n)= 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#63702

Найдите первый член целочисленной арифметической прогрессии, у которой сумма первых шести членов отличается от суммы следующих шести членов менее чем на $450,$ а сумма первых пяти членов превышает более чем на $5$ сумму любого другого набора различных членов этой прогрессии.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем использовать наши странные условия, чтобы сделать оценку на члены прогрессии, ведь интуитивно далеко не для всех чисел такое выполняется, они явно должны быть определенной величины. Попробуйте воспользоваться вторым условием и оценить какой-нибудь член прогрессии!

Подсказка 2

Например, скажем, что a1+a2+....+a5 - (a1+a2+a3 +a4) >5. Тогда a5 >5! Теперь аналогичным способом пробуем оценить a6 или a4, чтобы можно было получить оценку сверху на d из нашего условия.

Подсказка 3

Нам бы помогла еще и оценка снизу на d, мы бы тогда смогли его найти! Хм, а мы как раз совсем не использовали первое условие...

Показать ответ и решение

Из второго условия можем сделать вывод

a1+ ...+a5− (a1+...+a4)> 5 =⇒ a5 > 5 =⇒ a5 ≥6

аналогично

a1+ ...+ a5− (a1+ ...+ a6)> 5 ⇐⇒ −a6 > 5 ⇐⇒ a6 ≤ −6

Отсюда $d= a6− a5 ≤−12,$ при этом равенство достигается только при $a5 = 6,a6 =− 6.$ Далее будем пользоваться первым условием

(a +...a)− (a +...+ a )= −6 ⋅6d <450 ⇐⇒ d> − 450= −12.5 =⇒ d≥ −12 1 6 7 12 36

Из двух полученных неравенств $d= −12,$ а дополнительно $a = 6,a = −6. 5 6$ В итоге $a =a − 4d= 6+48 =54. 1 5$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#64110

В арифметической прогрессии первый член равен -405, а разность равна 18. Известно, что сумма абсолютных величин (модулей) первых $n$ членов этой прогрессии равна 5661. Найдите значение $n.$

Показать ответ и решение

Члены последовательности выглядят так

− 405,−387,...− 9,9,27,...

Где

−9 =− 405+ 18⋅22= a23

Посчитаем сначала сумму модулей отрицательных членов

2∑3 9+405- k=1|ak|= 2 ⋅23= 4761

Сумма оставшихся положительных равна $5661− 4761= 900.$ Здесь

a24 = 9,an = 9+kd= 9+ 18k

Нам требуется решить уравнение

9+-9+18k-⋅(k+ 1)=900 ⇐⇒ (k+1)2 = 100 ⇐ ⇒ k =9 2

В итоге

an =a24+ 9⋅18 =a33 ⇐⇒ n= 33

Ответ:

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#68023

В возрастающей арифметической прогрессии из $n$ натуральных чисел каждый член, кроме последнего, делится на свой номер в прогрессии, а последний – нет. Докажите, что $n$ является степенью некоторого простого числа.

Источники: Всесиб-2023, 11.4 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте посмотрим на наше условие о том, что все числа с номерами меньше n делятся на свой номер. Эти числа будут вида a+(k-1)d, и если посмотреть по модулю k, то это будет сравнимо с a-d = 0 (mod k). Какое противоречие можно найти, если n (кол-во чисел в прогрессии) - не степень простого?

Подсказка 2

По факту мы поняли что a-d делится на все k<n. А что можно найти у числа, которое не является степенью простого?

Подсказка 3

Делители, которые являются взаимно простыми! Поймите, как это применить, зная что a-d делится на все k<d.

Показать доказательство

Пусть первый член прогрессии равен $a,$ а разность равна $d.$ Тогда из условия $a∈ℕ,d ∈ℕ.$ По условию $k−$ ый член последовательности делится на $k$ (кроме последнего), тогда получим:

a+ (k− 1)d= a+kd− d≡k a− d≡k 0.

Значит, $a− d$ делится на все числа от $1$ до $n− 1.$ Пусть $n$ не является степенью простого числа, тогда $n= p⋅q,$ где $p$ и $q$ не имеют общих делителей. Тогда

a− d≡p 0

a− d≡ 0. q

Значит, так как $n= pq,$ то $a− d≡ 0. n$ То есть последний член делится на $n.$ Противоречие.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#69822

Последовательность ${a },n∈ℕ, n$ задана такими равенствами: $a = 2, 1$ $a = 1 2$ и

-2 -1-- -1-- an = an−1 + an+1,n ≥2

Найдите такие $n,$ при которых

|an|≤ 10−3

Источники: САММАТ-2023, 11.3 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала можно переписать условие в более приятном виде: рассмотрите последовательность обратных членов из первой последовательности) Как теперь выглядит наше условие?

Подсказка 2

Теперь мы понимаем, что член новой последовательности равен среднему арифметическому соседних членов. А у какой последовательности как раз есть такое свойство?

Подсказка 3

У арифметической прогрессии! Теперь решить задачу не составит труда,)

Показать ответ и решение

В условии задана последовательность, каждый член которой, начиная со второго, является средним гармоническим своих соседей. От такой “гармонической прогрессии” легко перейти к арифметической прогрессии, если рассмотреть последовательность обратных: $1- bn = an.$ Тогда условие переписывается в виде

bn−1+bn+1 bn =----2----

Так что по характеристическому свойству мы имеем арифметическую прогрессию. Из условия задачи находим её первый и второй члены:

b1 = 12,b2 = 1

Тогда разность равна $12$ и по формуле $n$ -го члена

bn = n 2

Теперь остаётся решить

|an|≤10−3 ⇐⇒ bn ≥ 103 ⇐⇒ n ≥2⋅103

Ответ:

$n ≥2⋅103$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#71021

Положительные числа $a,b,c,d$ таковы, что числа $a2,b2,c2,d2$ в указанном порядке составляют арифметическую прогрессию и числа $--1-- a+b+c$ , $--1-- a+b+d$ , $--1-- a+c+d$ , $-1--- b+c+d$ в указанном порядке составляют арифметическую прогрессию. Докажите, что $a =b= c= d$ .

Источники: Изумруд-2023, 11.3 (см. izumrud.urfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Воспользуемся характеристическим свойством арифметической прогрессии и получим четыре уравнения от четырех переменных. Попробуйте преобразовать их таким образом, чтобы получить зависимость b + d от c.

Подсказка 2

Приведем к общему знаменателю уравнение 1/(a+b+c)+1/(a+c+d)=2(a+b+d). Получаем, b²+d²+ab+ad=2c²+2ac. Так же мы знаем, что b²+d²=2c². Попробуйте, пользуясь ранее полученными уравнениями, сперва доказать, что b = d, потом, что c = b, а затем и равенство a = b.

Показать доказательство

Запишем характеристическое свойство для каждой арифметической прогрессии:

2 2 2 a +c = 2b

(1)

b2 +d2 = 2c2

(2)

---1---+ ---1---= ---2--- a +b+ c a+ c+ d a+ b+ d

(3)

Преобразуем уравнение $(3):$

(a+ b+d)(a+c+ d)+ (a+ b+ c)(a+b +d)= 2(a+ b+ c)(a+c +d)

2a2+ b2 +d2+ 3ab +2ac+3ad+ 2bc +2bd+2cd= 2a2+2c2+ 2ab+ 4ac+2ad+ 2bc+ 2bd+2cd

b2+d2+ ab+ ad =2c2+ 2ac

Воспользовавшись равенством $(2),$ получим

ab +ad= 2ac

при этом $a> 0,$ значит $b+ d= 2c.$ Подставим в равенство $(2)$ и получим

(b +d)2 b2 +d2 = 2--2-

2(b2 +d2)= b2 +2bd+d2

(b− d)2 = 0

То есть $b= d.$ Но $2c= b+d =2b,$ откуда $b=c =d.$

Подставим полученные равенства в уравнение $(1):$

a2+b2 = 2b2

Значит, $a= b= c=d.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#31383

Пусть $a ,...,a 1 20$ — арифметическая прогрессия, у которой $a +a + a +a = 10 3 7 14 18$ . Найдите $a + a + ...+a 1 2 20$ .

Показать ответ и решение

Пусть $d$ — разность прогрессии, тогда условие $a +a + a +a = 10 3 7 14 18$ равносильно $4a +38d= 10 1$ . Запишем сумму первых двадцати членов по формуле: $2a1+19d 2 ⋅20$ . Теперь понятно, что нужно подставить $5$ вместо $2a1 +19d$ , и получится ответ $50$ .

Ответ:

$50$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#31395

Среди первых двадцати пяти членов арифметической прогрессии сумма членов с нечётными номерами на $19$ больше, чем с чётными. Найти двенадцатый член прогрессии, если её двадцатый член равен утроенному девятому.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Все задачи на арифметическую прогрессию (сократим до АП) сводятся к обозначению двух переменных: а₁, первого члена АП, и d, разность АП. Здесь ситуация интереснее: мы из одной арифметической прогрессии достаем две: у одной изначальный элемент - первый член с нечетным индексом (сколько членов в данной прогрессии?), то есть а₁, а у второй - первый с четным индексом, то есть а₂, который выражается через а₁ и d.

Подсказка 2

Самое интересное, что у этих двух прогрессий одинаковая разность - 2d. Это значит, что мы знаем всё для того, чтобы посчитать суммы членов данных прогрессий по формуле.

Подсказка 3

Вспоминаем второе условие задачи: а₂0 = 3 * а9. Выразим а₂₀ и а9 через а₁ и d, и вот мы имеем два уравнения и две неизвестных. После решения полученной системы уравнений сможем найти и а₁₂ = а₁ + 11d.

Показать ответ и решение

Первые $12$ членов с чётными номерами представляют из себя арифметическую прогрессию с первым членом $a 2$ и разностью $2d,$ первые $13$ членов с нечётными индексами — прогрессию с первым членом $a1$ и разностью $2d,$ тогда по условию:

2a1 +2d(13− 1) 2(a1+ d)+2d(12− 1) -----2------⋅13= -------2--------⋅12+ 19

После упрощения получим $a1+ 12d =19,$ откуда $a13 = 19$ Из условия $a20 = 3a9$ следует, что $5d a1 =− 2 ,$ подставим это в $a1+ 12d=19$ и найдём $d= 2,$ тогда $a12 = a13− d =19− 2= 17.$

Ответ:

$17$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#31397

Найти восемнадцатый член арифметической прогрессии, если первый и одиннадцатый её члены — натуральные числа, а сумма первых четырнадцати членов равна $77.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как мы можем использовать условие о том, что какие-то члены — натуральные числа? Попробуем исходя из этого получить натуральность d или a. Как можно для этого действовать? Запишем условия о том, что сумма равна 77, и о натуральности первого и одиннадцатого члена.

Подсказка 2

Используем условие о натуральности первого и одиннадцатого члена так: их разность это целое число! А их разность это 10d, то есть d это какое-то k/10. (с целым k). А что можно сказать о d из условия про сумму?

Подсказка 3

Верно, из 13d = 11-2a следует, что d это m/13 (для целого m)! Но мы помним, что d это k/10 еще. Теперь пробуем из этого всего получить, что d — целое число. Зачем это может пригодиться - дальше мы пробуем сделать какую-то оценку на d, чтобы понять, каким именно целым числом оно может быть!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Пусть первый член прогрессии равен $a$ , разность арифметической прогрессии равна $d$ . Сумма первых $14$ членов равна $77$ , то есть $(a+ a+ 13d)⋅14∕2= 77$ , откуда

11− 2a d= --13--

C другой стороны

13a+110− 20a 110 − 7a a11 =a+ 10d= -----13-----= --13---∈ℕ

Значит, что $. 110− 7a..13$ . Также по условию $a1 = a∈ ℕ$ , поэтому достаточно перебрать натуральные $a$ от $1$ до $15$ (при $a =16,$ уже $110− 7a <0$ ). Делимость будет выполнена только при $a =12$ . Тогда $d= 11−12⋅312= −1$

В итоге, $18$ член прогрессии равен:

a18 =a +17d= 12− 17= −5

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Пусть первый член прогрессии равен $a,$ разность прогрессии равна $d.$ Сумма первых четырнадцати членов равна $77,$ то есть $(a+ a+ 13d)⋅7= 77,$ так что $13d= 11− 2a$ это целое число. То есть $d$ имеет вид $k∕13,$ где $k$ — целое число (само $d$ целое только в случае, если окажется, что $k$ кратно $13$ ).

К тому же из условия следует, что разность одиннадцатого и первого члена $a+ 10d − a =10k∕13$ это целое число. Тогда $k$ точно делится на $13$ (так как $10$ не делится на $13$ ). Мы доказали, что число $d$ — целое (по сути это следует только из принадлежности $10d$ и $13d$ множеству целых чисел и факта, что числа $10$ и $13$ взаимнопросты).

Из натуральности числа $a1+ 10d$ следует, что $a1 ≥1− 10d,$ откуда:

2− 20d+13d≤ 2a1+13d= 11

То есть $9 d≥ −7.$ Также заметим, что если $d ≥1$ , то $2a1+ 13d ≥15> 11,$ значит, возможные значения $d$ это только $0$ или $− 1.$ Если $d =0,$ то $11 a1 =-2$ — ненатуральное, противоречие. Если $d= −1,$ то $a1 = 12,$ откуда $a18 = −5.$

Ответ:

$− 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#39756

В арифметической прогрессии $a 1$ , $a 2$ , $a 3$ , $...$ с разностью $1$ выполнено равенство $56a = 9a ⋅a 8 3 13$ . Найдите $a 4$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Прежде чем что-либо сделать, давайте внимательно посмотрим на равенство из условия. Справа у нас индексы 3 и 13, а слева 8. Какую связь можно заметить между этими числами?

Показать ответ и решение

Первое решение.

Пусть $a8 =a$ , тогда равенство можно переписать в виде

2 25 56a= 9(a− 5)(a+ 5)= 9a − 225 ⇐ ⇒ a∈{9;−-9 }

откуда $61 a4 = a− 4∈ {5;−-9 }$

Второе решение.

С учётом заданного условия на прогрессию равенство можно записать как

56(a1+ 7)= 9(a1 +2)⋅(a1+ 12)

Если обозначить $a1 =x$ , то получаем

56x+392= 9(x2 +14x+ 24)

2 9x + 70x − 176= 0

√ --------- x = −-70±-4900+-6336 = −70±-106-∈{2;− 88} 18 18 9

Тогда $a4 =x +3∈ {5;− 61}. 9$

Ответ:

${− 61;5} 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#80495

Первый член бесконечной возрастающей арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, равен 100. Можно ли утверждать, что в ней обязательно найдётся ещё один квадрат натурального числа, кроме 100?

Показать ответ и решение

Пусть шаг арифметической последовательности равен $k > 0$ . Тогда число $k$ натуральное и $100 +k(20+k)= (10 +k)2$ точно присутствует в этой последовательности.

Ответ: да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#80583

Конечная арифметическая прогрессия состоит из целых чисел, и ее сумма — степень двойки. Докажите, что количество членов прогрессии также степень двойки.

Показать доказательство

Пусть первый член прогрессии $a$ и шаг прогрессии равен $d$ . Так как $a$ и $a+d$ целые, то и $d$ целое. Значит если у нас длина прогрессии $k$ , то сумма всей прогрессии равна $k(a+a+d(k−1)) 2$ и это степень двойки. Тогда и $k(2a+ d(k − 1))$ степень двойки. Так как оба множителя целые и положительные(очевидно, что $k> 0$ и поэтому и второй множитель больше 0), то и каждое из них степень 2.

Предыдущий раздел

Следующий раздел