Тема АЛГЕБРА

Задачи с параметром

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Задачи с параметром

Алгебра (+ логика). Связь между множествами решений

Алгебра. Теорема Виета

Алгебра. "Гвозди" для квадратичной функции

Алгебра. Исследование замены

Алгебра (+ логика). Несколько неизвестных или несколько параметров

Алгебра. Задачи без идеи, решающиеся аналитически

Алгебра в xOa (решение относительно параметра)

Графика. Прямые, пучки прямых, движение

Графика. Гипербола

Графика. Окружности: касание, пересечение, связь с другими объектами

Графика. Функции с модулем: галочка, корыто и другие

Графика. Отрезок, ромб, квадрат

Графика. Множество касательных, арктрига и прочее

Графика в xOa (параметр как вторая неизвестная)

Симметрия (и чётность) в параметрах

Монотонность и производная в параметрах, уравнения вида f(t) = f(z) или f(f(x)) = x

Метод главного модуля/слагаемого в параметрах

Непрерывность в параметрах

Исследование области значений функции (в том числе a = f(x))

Метод оценки (метод мажорант) в параметрах

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 201#64395Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при которых система

{ ax2+ 4ax − 8y+ 6a+ 28 ≤0 ay2− 6ay − 8x+ 11a − 12≤ 0

имеет ровно одно решение.

Источники: ДВИ - 2018, задача 6 (cpk.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами квадратичные функции. И первое что хочется сделать это как-то их собрать: давайте выделим всюду полные квадраты и посмотрим на получившиеся выражения. Кажется, напрашивается двойная замена!

Подсказка 2

Посмотрите на наши новые неравенства, не получится ли тут какая-нибудь интересная симметрия? Тогда в каком случае решение может быть единственным?

Подсказка 3

Остаётся исследовать квадратный трёхчлен: в каком случае неравенство вида f(x) ≤ 0 имеет единственное решение, если f(x) — квадратичная функция? Не забудьте сделать проверку полученных точек!

Показать ответ и решение

Выделим полные квадраты и перепишем систему в следующем виде

{ a(x+ 2)2− 8(y− 3)+2a +4≤ 0 a(y− 3)2− 8(x+ 2)+2a +4≤ 0

После замены $u =x +2,v = y− 3$ задача остаётся прежней — определить, при каких значениях параметра существует единственное решение $(u,v)$ . Если $a≤ 0$ , то при достаточно больших $(u,v)$ оба неравенства будут выполнены, то есть решений будет больше одного, поэтому $a> 0$ . Теперь остаётся увидеть симметрию $(u,v) ↔ (v,u)$ , поэтому для единственности решения необходимо, чтобы $u= v$ , откуда неравенство

2 au − 8u+ 2a+ 4≤0

имеет ровно одно решение. Этим решением должна быть вершина параболы, откуда $D = 16 − a(2a+4)= 0⇐ ⇒ a2 +2a− 8= 0$ . Решая, получаем $a∈ {− 4,2}$ , остаётся только $a= 2> 0$ . Поскольку мы использовали только необходимое условие единственности, то потребуется проверка

{ 2u2− 8v +8 ≤0 2 2 2v2− 8u +8 ≤0 =⇒ (u − 2) +(v− 2) ≤0

Получаем единственное решение $(2,2)$ , значит, $a= 2$ подходит.

Ответ: 2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 202#85349Максимум баллов за задание: 7

Найдите все такие $k$ и $b$ , при которых система уравнений

{ y+2|x|= 2; y = kx +b

имеет бесконечно много решений.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Построим график функции, соответствующей первому уравнению, он без параметра, никуда не двигается. А вторая функция может задавать любую прямую.

Подсказка 2

Прямая может пересекать галочку в бесконечном числе точек, только если прямая совпадает с одной из “половинок” этой галочки. Осталось всего лишь выписать уравнения прямых, соответствующих двум половинкам галочки и выразить оттуда k и а.

Показать ответ и решение

Посмотрим на график первого уравнения. Это галочка с вершиной в точке $(0;2)$ , пересекающая ось $OX$ в точках $(−1;0)$ и $(1;0).$

$PIC$

Уравнение $y = kx+ b$ задает прямую. Предположим, что $k$ отлично от $2$ и $− 2.$ Тогда прямая непараллельна ни одному из лучей графика первого уравнения, и поэтому пересекает его не более, чем в двух точках.

Если $k= 2,$ то прямая либо содержит левый луч графика модуля, либо параллельна ему, а также имеет не более одной общей точки с правым лучом. Бесконечное число решений получится, если прямая содержит левый луч графика. Это происходит при $b= 2,$ так как тогда точка $(0;2)$ принадлежит прямой.

Аналогично при $k =−2$ получаем $b =2.$

Ответ:

$k =2;b= 2$ или $k =− 2;b= 2.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 203#106820Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система уравнений

{ log (ax)=2log (x+ y), 3−|x x−1=|∘x2-−-6x-+|xy−1+|8-

имеет единственное решение, и найдите это решение при каждом $a$ .

Показать ответ и решение

Второе уравнение равносильно системе

{ x≤ 3, x2− 6x+y +8 =x2− 6x+ 9.

Следовательно, можем подставить $y = 1$ в исходную систему, учесть ограничения и получить равносильную систему:

(|{ x2+ (2− a)x+ 1= 0, y = 1, |( −1< x ≤3,x⁄= 0,x ⁄=1,x⁄= 2.

Выясним, при каких значениях параметра $a$ уравнение $x2+(2− a)x +1= 0(∗)$ имеет единственное решение, если $− 1< x ≤3,x⁄= 0,x ⁄=1,x⁄= 2$ .

1) $D= a(a− 4),D= a(a− 4),x= a−22$ . При $a =0$ корень $x =− 1$ не подходит; при $a =4$ корень $x =1$ не подходит.

2) Выясним, при каких $a$ точки $x= 0,x =1,x= 2$ являются решениями уравнения (*).

$x= 0$ не является решением ни при каком $a$ ;

$x= 1$ является единственным решением уравнения $(∗)$ при $a =4$ ;

∗ x= 2 является решением ( ) при a= 4,5,

поскольку при подстановке $x = 2$ в уравнение (*) имеем $22+(2− a)2 +1= 0,2a= 9$ . Однако, при $a= 4,5$ уравнение (*) имеет второе решение $x= 0,5$ , удовлетворяющее поставленным условиям.

Следовательно, при $a= 4,5$ система имеет единственное решение $x= 0,5,y = 1$ .

3) Если дискриминант уравнения (*) больше нуля, то уравнение имеет два различных решения, но при условии $f(− 1)f(3)< 0$ , где $f(x)= x2 +(2− a)x+ 1$ , один корень будет посторонним, а один будет удовлетворять неравенству $− 1< x< 3$ . Имеем $f(−1)= a,f(3)=16− 3a$ , приходим к неравенству $a(16− 3a)< 0$ , и $a∈ (− ∞;0)∪(16∕3;+∞ )$ .

Если $a∈ (−∞; 0)$ , то

√ ------ x= a−-2+--a2− 4a 2

Если $a∈ (16∕3;+∞ )$ , то $√----- x= a−2−-a2−4a- 2$ .

4) Проверим случаи, когда $f(−1)= 0$ и $f(3)= 0$ . Первое равенство выполняется при $a =0$ , уравнение (*) не имеет решений, удовлетворяющих поставленным условиям. Второе равенство справедливо при $a= 16∕3$ . В этом случае уравнение (*) имеет вид $x2+ 10x+ 1= 0 3$ , и имеет два решения $x= 1∕3$ и $x =3$ , которые оба подходят.

Ответ:

$(1;1) 2$ при $a= 9 2$

$a−2+√a2−4a ( 2 ;1)$ при $a∈ (−∞; 0)$

$a−2−√a2−4a ( 2 ;1)$ при $(16 ) a∈ 3 ;+∞$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 204#32287Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при которых система

{ 3|y|− 4|x|=6; x2+ y2− 14y+ 49− a2 = 0

(a) имеет ровно три решения;

(b) имеет ровно два решения.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала построим график первого уравнения: оно не зависит от параметра а. Заметим, что график этот симметричен относительно обеих координатных осей, это можно использовать при его построении!

Подсказка 2

Второе уравнение включает в себя х² и у² и не включает перекрёстных слагаемых, это наводит на мысль о том, что надо попытаться получить из него уравнение окружности!

Подсказка 3

Пункт (а). Нужно получить нечётное число решений, а построение симметрично относительно оси у. Как тогда должна располагаться окружность?

Подсказка 4

Пункт (б). Если предположить, что окружность пересекает нижний "уголок", то и верхний она тоже пересекает и решений уже больше двух. Поэтому подходящие значения а нужно искать в том диапазоне, когда окружность пересекается только с верхним "уголком"!

Показать ответ и решение

Заметим, что первое уравнение при замене $x$ на $− x$ или $y$ на $− y$ не меняется. Тогда график этого уравнения симметричен относительно обеих координатных осей. При $x ≥0$ и $y ≥ 0$ это уравнение имеет вид $4 y = 2+ 3x$ — луч с началом в точке $A(0;2)$ и угловым коэффициентом $4 3.$ Используем симметрию и строим график этого уравнения, получаем два угла: с вершиной в точке $A(0;2)$ и с вершиной в точке $C(0;− 2)$ и угловыми коэффициентами лучей $( 4) ± 3 .$

Во втором уравнении выделим полный квадрат $2 2 y − 14y+ 49=(y− 7).$ Тогда это уравнение можно записать так:

x2+ (y− 7)2 =a2

Оно задает окружность с центром в точке $Q(0;7)$ и радиусом $|a|$ (в случае $a= 0$ — это точка $(0;7)$ ).

$PIC$

(a) Окружность и график первого уравнения симметричны относительно оси $Oy.$ Тогда три решения возможны только в том случае, когда одна из их общих точек лежит на оси этой оси. Это происходит, если радиус окружности равен отрезку $QA$ или отрезку $QC.$ Так как $∘ -------------- QA = (0− 0)2+ (2 − 7)2 = 5$ и $QC = QA + AC = 5+ 4= 9,$ то получаем $|a|=5$ или $|a|= 9.$ Видно, что при этих $a$ есть еще две общие точки со сторонами угла с вершиной в точке $A(0;2),$ поэтому любое $a= ±5$ или $a= ±9$ подходит.

$PIC$

(b) Система дает два решения, если окружность касается угла с вершиной $A$ или имеет радиус, больший $QA,$ но меньший $QC.$ Мы уже знаем $QA$ и $QC,$ так что осталось найти этот радиус (обозначим его $R0$ ). Для этого опустим перпендикуляр $QH$ на сторону угла с вершиной в точке $A.$ Пусть $α$ — угол наклона прямой $AH$ ( $tgα= 4). 3$ Тогда $∠QAH = 90∘− α,$ $∠AQH = α.$ Так как $QH = R , 0$ то $AH =QH tgα= 4R . 3 0$ По теореме Пифагора для $△AQH$ получаем $R = 3. 0$ Тогда $|a|∈{3}∪(5;9).$

$PIC$

Ответ:

(a) ${±5;±9}$

(b) $(−9;− 5)∪ {±3}∪(5;9)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 205#41247Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

∘ -----2--- ( 6x− x − 4 +a− 2)((a− 2)x − 3a+ 4)=0

имеет два различных действительных корня.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раз произведение двух множителей равно нулю, то хотя бы один из них равен нулю. Но обязательно не забываем, что если один из них равен нулю, то другой должен иметь смысл!! Что получаем после равносильных преобразований?

Подсказка 2

Теперь эту задачу можно изобразить в плоскости xOa! Получатся полуокружность и гипербола. Но не забываем про ОДЗ, оно задаёт полосу, в которой мы будем искать решения! Когда же будет ровно два решения?

Подсказка 3

Когда прямая касается полуокружности, либо когда она проходит через одну из точек пересечения полуокружности с гиперболой, либо же когда она будет пересекать только полуокружность в двух точках, а точка пересечения с гиперболой будет вне полосы!

Показать ответ и решение

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а второй при этом не теряет смысла.

Первая скобка равна нулю, если

∘ --------- 2 2 2 2 6x− x2 − 4= 2− a ⇐⇒ 2− a≥ 0 и 6x − x − 4= (a − 2) ⇐⇒ (x − 3) +(a− 2)= 5 и a≤ 2

Вторая скобка равна нулю, если $a(x− 3)− 2(x − 2)= 0 ⇐⇒ a= -2-+ 2. x−3$ Переход с делением равносильный, так как $x= 3$ не обращает уравнение в тождество.

Первое уравнение задает полуокружность с центром в точке $(3;2)$ , а второе - гиперболу с двумя асимптотами $x =3$ и $y = 2$ (см. рисунок ниже). К тому же не стоит забывать про ОДЗ: $2 √- √- 6x − x − 4≥ 0=⇒ x∈ [3 − 5;3+ 5]$ .

$PIC$

В итоге получаем, что исходное уравнение имеет ровно два решения тогда и только тогда, когда прямая $y = a$ пересекает полуокружность и гиперболу ровно в двух точках в полосе $- - 3− √5≤ x≤ 3+ √5$ . Из графика видно, что возможны три случая: прямая касается полуокружности (то есть проходит через точку $D )$ ; прямая проходит через одну из точек пересечения полуокружности с гиперболой (то есть через точку $A$ или $B)$ ; прямая лежит строго выше прямой проходящей через точку $C$ и не строго ниже прямой $y =2$ . Рассмотрим все эти три случая I) Найдем ординату точки $D$ :

y = 2− ∘6x-− x2−-4= 2− ∘6⋅3−-32−-4= 2− √5.

II) Найдем ординату точек $A$ и $B$ :

( |{ (x− 3)2+ (y− 2)2 = 5, { (y− 2)4− 5(y − 2)2+ 4=0, | (x− 3)(y− 2)= 2, =⇒ y ≤2 ( y ≤ 2

Раскладываем первое уравнение на множители или решаем как биквадратное

{ (y− 4)y(y− 3)(y − 1)= 0, =⇒ y = 0 или y = 1. y ≤ 2

III) Найдем ординату точки $C$ : $√- (x − 3)(y − 2)= 2=⇒ ((3 − 5)− 3)(y− 2)=2 =⇒$ $2 =⇒ y =2 −√5-$ . Итак, получаем такие значения параметра

√ - ( 2 ] a∈ {2 − 5} ∪{0}∪{1}∪ 2− √-;2 . 5

Ответ:

${2− √5}∪ {0}∪ {1} ∪(2− √2;2] 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 206#51341Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $b$ такие, что система

{ x cosa+ ysina− 2≤ 0 x2+ y2+ 6x − 2y− b2+4b+ 6= 0

имеет хотя бы одно решение при любом значении параметра $a$ .

Источники: Физтех-2017, 11.6 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Рассмотрим неравенство. Что, если взять прямую x⋅cos(a) + y⋅sin(a) - 2 = 0?

Подсказка 2

Чему равно расстояние от начала координат до нее?

Подсказка 3

Расстояние всегда равно двум, кроме того, точка (0;0) всегда удовлетворяет данному неравенству.

Подсказка 4

Неравенство задаст полуплоскость, содержащую точку (0;0), границей является прямая, касающаяся окружности x² + y² = 4.

Подсказка 5

Уравнение обратится в окружность с переменным радиусом, осталось понять, каким он должен быть.

Показать ответ и решение

Рассмотрим неравенство данной системы. При любом значении параметра $a$ расстояние от начала координат до прямой $xcosa+ ysina− 2= 0$ равно $2,$ а точка $(0;0)$ удовлетворяет этому неравенству. Значит, неравенство задаёт полуплоскость, содержащую точку $(0;0),$ границей которой является прямая, касающаяся окружности $2 2 x + y = 4.$

Уравнение данной системы можно преобразовать к виду $2 2 2 (x+ 3)+ (y− 1) = (b − 2).$ Оно задаёт окружность $Ω(b)$ с центром $(−3;1)$ радиуса $|b− 2|($ или точку $(−3;1)$ при $b= 2).$

$PIC$

Для того, чтобы система имела решение при любом значении параметра $a,$ требуется, чтобы окружность $Ω(b)$ пересекала любую из полуплоскостей, определяемых неравенством системы. Пусть $r0−$ радиус той окружности $Ω(b),$ которая касается окружности $x2+ y2 = 4$ внешним образом. Тогда сформулированному условию удовлетворяют все значения радиуса из промежутка $[r0;+∞ )$ .

Для окружностей, касающихся внешним образом, сумма радиусов равна расстоянию между центрами. Отсюда получаем, что $r0 = √10− 2,$ поэтому $|b− 2|≥ √10− 2$ а значит $b∈ (− ∞;4− √10]∪[√10;+∞ )$ .

Ответ:

$(−∞;4 − √10]∪[√10;+∞)$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 207#78773Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения $a$ , при которых система уравнений

({ y− 1= a(x − 1); --2x- √ - ( |y|+ y = x

имеет хотя бы одно решение, и решите ее при каждом $a$ .

Источники: ШВБ-2017, 11.5 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте с самого начала попробуем разобраться с модулем. Можем ли мы раскрыть его с отрицательным знаком?

Подсказка 2

Верно, если мы раскроем модуль со знаком минус, то второе уравнение будет нарушать ОДЗ, поэтому y>0. Теперь можно немного преобразовать второе уравнение и подумать, что с ним делать. Можем ли мы сходу сократить на √x?

Подсказка 3

Да, просто сократить мы не можем. Нужно отдельно рассмотреть x=0 и x>0. Для x=0 мы сразу получаем решение, главное не забыть, что y>0. Теперь же мы можем сократить на √x второе уравнение. Отлично. Давайте подставим y через √x в первое уравнение. Как можно тогда преобразовать x-1, чтобы ситуация стала аналогичной прошлой?

Подсказка 4

Верно, ведь x - 1 = (√x + 1)(√x - 1). Получается нужно снова рассмотреть вариант, когда √x-1=0. Когда же он не равен нулю, то можно сократить и выразить x и y через а. Теперь нам осталось аккуратно выписать решения при всех a. Но про что нужно не забыть при решении параметра?

Подсказка 5

Верно, нужно проверить совпадение корней. Это можно сделать, приравняв их и узнав, при каких a это будет. По итогу, у вас должно получится три разных решения при различных a. Победа!

Показать ответ и решение

Если $y ≤0,$ то $|y|+ y = 0,$ что нарушает ОДЗ второго уравнения системы. Значит, $y >0,$ и система принимает вид:

{ y− 1= a(x − 1), x= y√x

Рассмотрим случаи.

(a) Если $x= 0,$ то $y = 1− a,$ отсюда $a< 1.$

(b) Если $x> 0,$ тогда система принимает вид:

{ y = √x, √x− 1= a(√x-− 1)(√x+ 1)

Разберём варианты последнего уравнения системы:

$(b.1)$ Если $√x-− 1 =0$ тогда $x = 1, y = 1, a∈ ℝ.$

$(b.2)$ Если $√x-− 1 ⁄=0$ тогда сократим на $(√x− 1)$ и получим:

a(√x+ 1)= 1⇒ √x = 1− 1= 1−-a> 0⇒ 0 <a <1. a a

Найденное решение $(1−a)2 1−-a x= a , y = a$ совпадает с предыдущим, если $1−a 1 a = 1⇒ a= 2.$ Итак, при $( 1) (1 ) a ∈ 0;2 ∪ 2;1$ решения имеют вид $(1−a)2 1−a x= a , y = a .$

$PIC$

Ответ:

При $a∈ (− ∞;0]∪{1} (x;y)∈{(0;1− a),(1;1)} 2$

При $( ) ( ) (( ) ) a∈ 0;1 ∪ 1;1 (x;y)∈ {(0;1− a),(1;1), 1−-a 2;1−-a } 2 2 a a$

При $a∈ [1;+∞ ) (x;y)= (1;1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 208#90122Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых неравенство

alog3x+ log1∕2x >1

имеет решения, причем среди решений нет больших $1.$

Источники: ПВГ 2017

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Левая часть выглядит немного громоздко, поэтому давайте попробуем преобразовать её. Вспомним формулу перехода к новому основанию и вынесем общую часть.

Подсказка 2

Один из множителей содержит скобку a - log₂3. Давайте разберём три случая для значений a, когда эта скобка равна нулю, меньше или больше нуля, и решим задачу.

Показать ответ и решение

С использованием равенства $log x= − log 3⋅log x 1∕2 2 3$ из свойств логарифмов получаем, что

log3x ⋅(a− log23)> 1

Если $a= log 3 2$ , то решений нет.

Если $a> log 3 2$ , то решение

a−lo1g-3 x >3 2 > 1

Если $a< log23$ , то решение

0< x< 3a−1log23-<1

Ответ:

$(−∞;log 3) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 209#100459Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых ровно одно из следующих двух утверждений является истинным:

1) “Уравнение $cos(cosx)+ sin(sinx)= a$ имеет ровно два корня на отрезке $[0;π]$ ”;

2) “Уравнение $4 4 sin x+ cos x+ sin2x= a$ имеет корни.”

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрим на первое утверждение, как обычно решаются подобные задачи?

Подсказка 2

Например, можно изобразить графики, и если найдутся 2 точки пересечения, то будет как раз 2 корня. Попробуйте проанализировать поведение функции в левой части.

Подсказка 3

Заметим, что cos(cos(x)) + sin(sin(x)) возрастает на промежутке [0;π/2] и убывает на промежутке [π/2;π]. Следовательно, единственное решение функция будет иметь только в точке π/2.

Подсказка 4

Левая часть во втором условии отдаленно напоминает квадратное уравнение, попробуйте сделать замену.

Подсказка 5

Пусть t = sin(2x).

Показать ответ и решение

1) Функция $f(x)= cos(cosx)+sin(sinx)$ возрастает на промежутке от 0 до $π 2$ (каждое из слагаемых монотонно возрастающая функция) и убывает на промежутке от $π 2$ до $π$ (так как $f(π− x)= f(x)$ ). Поэтому

E (f)= [f(0);f(π∕2)]= [cos1;1+ sin1]

Данное уравнение имеет ровно два корня на отрезке $[0;π]$ при $a∈$ $[cos1;1+ sin1)$ .

2) Во втором уравнении используем замену $t=sin 2x$ :

( 2 2 )2 2 2 sin x+ cos x − 2 sin xcos x+ sin2x= a

t2 1 − 2 + t= a

2 t − 2t− 2= −2a

Область значений функции $g(t)=t2− 2t− 2= (t− 1)2− 3$ на отрезке $[−1;1]$ есть множество

E(g)= [g(1);g(−1)]=[−3;1]

Данное уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда

−2a∈ [−3;1]

[ 1 3] a∈ −2;2

3) Поскольку

1+ sin1 >1+ sin π= 3, 6 2

то ровно одно из данных утверждений 1 ), 2) является истинным при

[ 1 ) (3 ) a∈ − 2;cos1 ∪ 2;1+ sin1

Ответ:

$[− 1;cos1)∪ (3;1+ sin1) 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 210#38891Максимум баллов за задание: 7

Учительница Мария Ивановна готовит задания для урока математики. Она хочет в уравнении $-1-+ -1-= 1 x+a x+b c$ вместо $a$ , $b$ и $c$ поставить три различных натуральных числа, чтобы корни уравнения были целыми числами. Помогите ей: подберите такие числа и решите уравнение.

Источники: Школьный этап - 2016, Москва, 11.4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Во-первых, если мы еще «методом пристального взгляда» не подобрали такие коэффициенты, то стоит привести все к общему знаменателю, так как в таком виде непонятно как работать с уравнением и его корнями. Чтобы были целые корни, нужен как минимум, дискриминант равный квадрату целого числа, так как если он не равен квадрату целого, то корни будут иррациональными.

Подсказка 2

Ну вот мы нашли дискриминант. Он получился (a-b)^2 + (2c)^2. И это должно быть квадратом. Хмм… То есть, сумма квадратов - это квадрат. Интересно. Но ведь мы же знаем примеры таких чисел и это…

Подсказка 3

Верно, пифагоровы тройки. Тогда давайте начнем с первой такой тройки - (3,4,5). Значит, a - b = 3, c = 2. Тогда корни уравнения будут выражения (2с - a - b +-5)/2 = (4 - a - b +- 5)/2. Нам нужно, чтобы выражение делилось на 2, значит, нужно, чтобы а и b были разной четности. Пусть тогда это 3 и 6. Осталось проверить, что они подходят под ОДЗ и записать ответ!

Показать ответ и решение

Проверим, что числа $a =6$ , $b= 3$ и $c= 2$ подойдут. Уравнение будет иметь вид: $-1-+ -1-= 1 x+6 x+3 2$ . Его корнями будут числа $x =0$ и $x =− 5$ .

Первое решение.

Если привести всё к общему знаменателю и перемножить по правилу пропорции, то мы получим квадратное уравнение: $2 x + (a+b− 2c)x+ (ab− ac− bc)= 0$ . Это означает, что у уравнения должно быть два корня. Можно подобрать их исходя из того, что дискриминант $2 2 (a− b)+ (2c)$ должен быть точным квадратом (если мы хотим получить целые корни). В этом помогают пифагоровы тройки, например $2 2 2 3 + 4 =5$ и можно выбрать $c= 2$ , $a− b=3$ . В таком случае $2c−a−b±5 4−a−-b±5- x1,2 = 2 = 2$ . Если $a =6$ , $b= 3$ , то получаем те же решения $x1 = 0$ , $x2 = −5$ . Можно подставлять другие тройки, например, $2 2 2 5 + 12 =13$ и для них будут параметры $a =7$ , $b= 2$ и $c= 6$ , а корнями уравнения будут $x= 5$ и $x= −8$ .

Второе решение.

Также можно попробовать сделать один корень равным нулю и подобрать $a,b,c$ так, чтобы выполнялось равенство $1a + 1b = 1c$ . Довольно известным является равенство $12 + 13 + 16 = 1$ , поэтому стоит попробовать тройку $c= 2$ , $b= 3$ , $a= 6$ . Более того, в силу теоремы Виета, сумма корней равна $2c−a2−b$ , а поэтому если $a+ b$ чётно, то сумма корней будет целым числом, а значит, если один корень целый (например, $0$ ), то и второй корень тоже будет целым.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 211#39868Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система уравнений

{ (|y+ 9|+ |x +2|− 2)(x2+ y2− 3)= 0; (x +2)2+ (y+ 4)2 =a.

имеет ровно три решения.

Источники: Физтех-2016, 11.6 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

x² + y² = 3 - это окружность с центром в начале координат и радиусом корень из 3, выражение с модулями - график квадрата с центром в (-2, -9) и длиной диагонали 4, а график второго уравнения системы - окружность с центром в (-2, -4) и радиусом корень из a. А что же является решением системы?

Подсказка 2

Так как нам достаточно, чтобы решение обнуляло хотя бы одну из скобок первого уравнения (а оно будет обнулять ровно одну, так как графики этих скобочек не пересекаются (можно убедиться на чертеже)), значит, решениями будут все пересечения графика второго уравнения с графиками двух скобочек! Какие особенные точки пересечения нужно рассмотреть, чтобы решений было ровно 3?

Подсказка 3

Точки касаний окружности (второе уравнение) с окружностью с центром в начале координат (причём нужно рассмотреть и внешнее, и внутреннее!), а также случай, когда вершины квадрата лежат на окружности с радиусом корень из a(и только они!), именно тогда решений будет три) Осталось лишь вычислить эти точки!

Показать ответ и решение

При $a≤ 0$ второе уравнение имеет не больше одного решения, а значит, и вся система иметь трёх решений не может. При $a> 0$ второе уравнение задаёт окружность с центром $(− 2,−4)$ и радиусом $√ - a.$ График первого уравнения — объединение окружности с центром $(0,0)$ и радиуса $√- 3$ и квадрата с центром $(−2,−9)$ и длиной диагонали $4$ .

Расстояния от центра второй окружности до углов квадрата по прямой $x= −2$ равны $3$ и $7$ , а до центра другой окружности $√ 2---2- √- 4 +2 = 2 5$ . Мы хотим три точки пересечения с областью решений первого уравнения, поэтому либо окружность с параметром проходит через обозначенные углы квадрата (иначе пересечений с ним чётное число), либо касается окружности с центром в начале координат.

$PIC$

Замечание. Далее цвета окружностей названы в соответствием отображением в светлой, а не тёмной теме на сайте :)

Касание происходит внешним образом и $r= 2√5− √3 <3$ , то есть нет пересечений с квадратом (фиолетовая окружность) и пересечение всего одно.
$r =3,a= 9$ (проходит через вершину квадрата), как раз три точки пересечения, поскольку с красной ровно две точки пересечения (чёрная окружность).
$√- √ - √ - √-2 √-√- r =2 5 + 3<7,a= (2 5+ 3) =4 ⋅5 +2⋅2 5 3 +3$ . Здесь также три решения (синяя окружность).
$r =7$ , не пересекает красную окружность, потому решение всего одно.

Ответ:

${9;23 +4√15}$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 212#49603Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях параметра $a$ уравнение

3 2 x + ax +13x− 6= 0

имеет единственное решение?

Источники: ОММО-2016, номер 8, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если смотреть на левую часть как на функцию от x с параметром a, то становится как-то страшно. Но мы видим, что как функция относительно переменной a она линейна. Что тогда хочется сделать?

Подсказка 2

Можно выразить a через x и построить график этой функции в плоскости xa. Тогда точки пересечения горизонтальной прямой a=const - это в точности корни x нашего уравнения. Постройте график и найдите все такие прямые, которые пересекают график ровно в одной точке!

Показать ответ и решение

Заметим, что $x= 0$ не является решением исходного уравнения. Поэтому оно равносильно уравнению $a= f(x)= −x3−13x+6= −x − 13-+-6 (∗) x2 x x2$ .

Заметим, что $f(x)→ +∞$ при $x → −∞$ и $f(x)→ −∞$ при $x → +∞$ . Также $f(x)$ имеет вертикальную асимптоту $x =0$ .

Производная функции $f(x)$ равна $′ 13 12 x3−13x+12 f(x)= −1+ x2 − x3 = − x3$ . Находим нули числителя: $3 2 2 2 (x − x)+ (x − x)− (12x+ 12) =0 ⇐⇒ (x− 1)(x +x − 12)= 0 ⇐⇒ x∈ {− 4;1;3}$ .

Расставляя знаки для производной по методу интервалов, делаем вывод, что функция $f$

на промежутке $(−∞,− 4]$ убывает от $+∞$ до $61 f(−4)= 8$ .
на промежутке $[−4,0)$ — возрастает от $61- 8$ до $+∞$
на промежутке $(0,1]$ — убывает от $+∞$ до $f(1)= −8$ .
на промежутке $[1,3]$ — возрастает от $− 8$ до $f(3)= − 203$ .
на промежутке $[3,+∞ )$ — убывает от $− 203-$ до $− ∞$ .

$PIC$

Таким образом, функция $f(x)$ принимает каждое своё значение

из промежутка $(−∞;− 8)$ ровно один раз;
$− 8$ - два раза;
из промежутка $20 (−8;−3-)$ - три раза (один раз в точке $x= 1$ , а второй раз - на промежутке $(3,+∞ )$ );
$− 203-$ - два раза;
из промежутка $(− 203 ;681 )$ - один раз
$618-$ - два раза
из промежутка $(681;+ ∞)$ - три раза.

Итак, уравнение $∗ ()$ , а с ним и исходное уравнение, имеет единственное решение при $20-61 a∈ (− ∞;−8)∪(− 3 ; 8 )$ .

Ответ:

$(−∞;− 8)∪(− 20;61) 3 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 213#85350Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

x2−-x−-6 a|2− x|+ 3− x = 0

имеет ровно одно решение.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Имеется уравнение, зависящее от одной переменной х и параметра а. Конечно, первым делом надо записать ОДЗ и по возможности упросить уравнение :)

Подсказка 2

Можно построить график a(x) и из него понять, при каких а’ прямая а=a’ пересекает наш график лишь единожды (и не забыть про ОДЗ).

Показать ответ и решение

Разложим квадратный трёхчлен на множители и получим

(x−-3)(x+-2) a|2− x|= x − 3

Посмотрим на графики левой и правой части. Слева уголок с подвижными ветвями, зависящими от $a,$ справа прямая с выколотой точкой.

$PIC$

Рассмотрим предельные случаи:

1) Когда ветвь уголка проходит через выколотую точки. То есть точка $(3,5)$ принадлежит уголку, тогда

a|2− 3|= 5

a= 5

$PIC$

2) Когда $a> 0$ и ветвь уголка параллельна прямой, тогда $a =1.$

$PIC$

3) Когда $a< 0$ и ветвь уголка параллельна прямой, тогда $a =− 1.$

$PIC$

Тогда из графиков видно, что уравнение будет иметь единственное решение тогда и только тогда, когда $a∈(−1;1]∪ {5}.$

Ответ:

$(−1;1]∪ {5}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 214#90802Максимум баллов за задание: 7

Укажите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

{ x2+ 2y2+2y(x− a)+ a2 = 0 2−2−y⋅log x <1 2

имеет решения, и найдите эти решения.

Источники: ПВГ 2016

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Внимательно рассмотрите первое уравнения, можно ли его красиво преобразовать? Аккуратная работа с ФСУ позволит нам установить соотношения между х, у и а.

Подсказка 2

Итак, подставляя полученные соотношения, мы получаем интересное неравенство, но как его решить? Попробуйте показательную функцию отправить в правую часть, а логарифм — в левую. Что можно сказать о полученном неравенстве?

Подсказка 3

Оцените возрастание/убывание функций с каждой стороны, чтобы сделать вывод о количестве пересечений и примерном виде графиков этих функций. Так мы получим решения для х.

Подсказка 4

Осталось воспользоваться найденными в начале соотношениями между х и а, чтобы установить искомые значения параметра!

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x> 0.$

Из первого уравнения имеем $2 2 (x+ y) +(y− a)= 0⇒ x= −y, y = a.$ Подставим в неравенство:

−2+x 2 ⋅log2x< 1

x 2 log2x< 4

Поскольку функция в левой части монотонно возрастает, то меньше 4 она будет при всех $x$ до момента равенства. А равенство $2xlog2x =4$ достигается при $x = 2.$

В итоге с учётом ОДЗ $x∈ (0;2)$ , откуда $a∈ (− 2;0)$ , причём для каждого значения существует ровно одна пара $(x,y)= (−a,a).$

Ответ:

$a ∈(−2;0), (x,y)= (−a,a)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 215#94923Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях параметра $a$ уравнение

∘-------∘----- x + 1 + x+ 1 +x =a 2 4

имеет единственное решение?

Показать ответ и решение

Функция $∘---1--∘----1- a(x)= x +2 + x+ 4 + x$ — непрерывная на ОДЗ строго возрастающая функция (как композиция непрерывных возрастающих функций). Она принимает каждое значение от $a(− 14)= 14$ и все большие значения ровно по одному разу.

Ответ:

$[1;+ ∞) 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 216#106822Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

2 2 4x − 8|x|+(2a+ |x|+x) = 4

имеет ровно два различных корня. Укажите эти корни при каждом из найденных значений $a.$

Показать ответ и решение

1.

Пусть $x >0,$ тогда исходное уравнение после раскрытия скобок и сокращения на константу:

2x2+ x(2a− 2)+a2− 1= 0

1.1.

Обозначим здесь и далее $x0$ абсцису вершины пораболы. Пусть данное уравнение имеет два положительных корня. Это эквиваленто условиям:

( (|{ D > 0 ||{ −4a2− 8a+ 12> 0 (|{ a∈ (−3;1) x0 > 0 ⇔ −2a+-2> 0 ⇔ a< 1 ⇔ a ∈(−3;−1) |( f(0)>0 ||( a24− 1 >0 |( a∈ (−∞;−1)∪ (1;+∞ )

1.2.

Пусть данное уравнение имеет ровно один положительный корень.

Если уравнение имеет всего один корень:

{ D= 0 ({ −4a2− 8a +12= 0 ⇔ ( −2a+-2 >0 ⇔ a= −3 x0 >0 4

Если уравнение имеет два корня, но только один из них положительный, а второй отрицательный:

{ { { D > 0 −4a2− 8a +12> 0 a ∈(−3;1) f(0)< 0 ⇔ a2− 1< 0 ⇔ a ∈(−1;1) ⇔ a∈ (−1,1)

Если уравнение имеет два корня. Один из них положительный, а второй равен $0$ :

(| D > 0 (|| −4a2− 8a +12> 0 (| a ∈(−3;1) { f(0)=0 ⇔ { a= ±1 ⇔ { a = ±1 ⇔ a= −1 |( x > 0 ||( −2a+-2 >0 |( a ∈(−∞; 1) 0 4

Объединяя оба случая, получаем, что ровно один положительный корень при $a∈ {− 3} ∪[− 1;1).$

1.3.

Пусть данное уравнение не имеет положительных корней.

Уравнение не имеет корней вообще, т.е. $D <0$

2 −4a − 8a+ 12< 0

a∈ (− ∞;−3)∪(1;+∞)

Уравнение имеет единственный корень, который равен 0:

{ { D= 0 a∈ {− 3;1} f(0)= 0 ⇔ a= ±1 ⇔ a= 1

Объединяя оба случая, получаем, что уравнения не имеет положительных корней при $a∈ (−∞;−3)∪ [1;+∞).$

2.

Пусть теперь $x< 0,$ тогда исходное уравнение после раскрытия скобок и сокращения на константу:

x2+ 2x+a2− 1= 0

2.1.

Пусть данное уравнение имеет два отрицательных корня. Это эквиваленто условиям:

( ( |{ D >0 ||{ 8 − 4a2 > 0 { √- √- √- √- | x0 < 0 ⇔ | −2< 0 ⇔ a ∈(− 2; 2) ⇔ a ∈(− 2;−1)∪ (1; 2) ( f(0)> 0 |( a22 − 1> 0 a ∈(−∞;− 1)∪ (1;+∞ )

2.2.

Пусть данное уравнение имеет ровно один отрицательный корень.

Если уравнение имеет всего один корень:

( { D =0 { 8− 4a2 =0 √ - x0 < 0 ⇔ ( −-2< 0 ⇔ a= ± 2 2

Если уравнение имеет два корня, но только один из них отрицательный, а второй положительный:

{ { 2 { √- √- D > 0 ⇔ 82− 4a > 0 ⇔ a ∈(− 2; 2) f(0) <0 a − 1< 0 a ∈(−1;1)

Если уравнение имеет два корня, но только один из них отрицательный, а второй равен $0$ :

( ( 2 |{ D > 0 ||{ 8− 4a > 0 { a ∈(−√2;√2) | f(0) =0 ⇔ | a−22− 1 =0 ⇔ a =±1 ( x0 < 0 |( -2-<0

Объединяя оба случая, получаем, что ровно один отрицательный корень при $a∈ {±√2}∪ [− 1;1].$

2.3.

Пусть данное уравнение не имеет отрицательных корней.

Уравнение не имеет корней вообще, т.е. $D <0$

8 − 4a2 > 0

a∈(−∞; −√2)∪(√2;+∞ )

Уравнение имеет единственный корень, который равен 0

{ D =0 { a= ±√2- f(0)= 0 ⇔ a= ±1

Подходящих значений $a$ нет.

В итоге уравнение не имеет отрицательных корней при $a∈ (−∞; −√2)∪ (√2;+∞ ).$

3.

Пусть $x =0.$ Тогда $a= ±1.$

Теперь выберем случаи, когда уравнение имеет ровно два корня.

Вариант 1. Если в случае 1 ровно два корня, в случае 2 и в случае 3 нет корней:

( |{ a∈(−3;−1)√- √- √- |( a∈(−∞; − 2)∪( 2;+∞ ) ⇔ a ∈(−3;− 2) a⁄= ±1

Причем корни будут

−(2a − 2)± √−4a2−-8a+12 1 ∘ ---------- x1,2 =----------4-----------= 2(1− a± −a2− 2a+ 3)

Вариант 2. Если в случае 1 ровно один корень, в случае 2 ровно один, а в случае 3 нет корней:

( |{ a∈ {− 3}√-∪[−1;1) |( a∈ {± 2}∪[−1;1] ⇔ a∈ (− 1;1) a⁄= ±1

Причем корни будут:

−(2a− 2)+ √−-4a2-− 8a+-12 1 ∘ ---------- x1 =----------4-----------= 2(1− a + −a2− 2a+3)

√------ x2 = −2−-8-− 4a2= −1− ∘2-− a2 2

Вариант 3. Если в случае 1 ровно один корень, в случае 3 ровно один, а в случае 2 нет корней:

(| a∈ {−3}∪[−1;1) { a∈ (− ∞;−√2)∪ (√2;+ ∞) |( a= ±1

Подходящих значений $a$ нет.

Вариант 4. Если в случае 2 ровно один корень, в случае 3 ровно один, а в случае 1 нет корней:

(|{ a ∈(−∞;− 3)∪[1;+∞ ) a ∈{±√2} ∪[−1;1] ⇔ a= 1 |( a =±1

Причем корни будут:

√----------- x = −(2a−-2)+--−-4a2-− 8a+-12= 1(1− a +∘ −a2−-2a+3) 1 4 2

−2− √8-− 4a2 ∘ ----- x2 =-----2-----= −1− 2− a2

Вариант 5. Если в случае 2 ровно два корня, в случае 1 и в случае 3 нет корней:

(| a∈ (− ∞;−3)∪(1;+∞) { a∈ a∈ (−√2;− 1)∪ (1;√2) ⇔ a∈ (1;√2) |( a⁄= ±1

Причем корни будут:

x1,2 = −1± ∘2-− a2

Ответ:

$a ∈(−3;−√2), x = (1− a±√3-−-2a-− a2)∕2 1,2$

$( √--------) √ ----- a∈(−1;1], x1 = 1− a+ 3− 2a− a2 ∕2, x2 =− 1− 2− a2$

$√- √----- a∈(1; 2), x1,2 = −1± 2− a2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 217#114019Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях $a$ и $b$ неравенство

-22x−1-- b <164x−4x+5 ≤ a

выполняется для всех действительных $x?$

Источники: ПВГ 2016

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте разберёмся с дробью в степени и попробуем оценить её значение. Как связаны числитель и знаменатель?

Подсказка 2

Сделайте замену t = 2x - 1 и исследуйте дробь!

Подсказка 3

Оцените t² + 4 по неравенству о средних. В каком отрезке тогда лежит значение всей дроби?

Подсказка 4

Значение дроби по модулю не превышает 1/4! Тогда можно оценить и число, лежащее между a и b ;)

Показать ответ и решение

Пусть $t= 2x− 1.$ Рассмотрим функцию

--t-- f(t)= t2 +4

По неравенству о средних

√--- t2+4 ≥2 4t2 = 4|t|

Тогда

1 t 1 − 4 ≤ t2+4-≤ 4

Значения $± 14$ достигаются при $t= ±2.$ Следовательно, множество значений функции

2x−1 t g(t)= 164x2−4x+5-= 16t2+4

есть полуинтервал $[ ] 12;2.$

Ответ:

$a ≥2, b< 1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 218#45585Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях параметра $a$ уравнение

2 ln(x+ a)− 4(x+ a)+ a= 0

имеет единственный корень?

Источники: ОММО-2015, номер 8, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Понятно, что искать тут как-то решения сразу или выражать х или а, у нас не получится. У нас есть и логарифм, и квадрат. Но сразу видим у них общие части. Что тогда с ними нужно сделать?

Подсказка 2

Верно, мы можем заменить х+а новой переменной, например, t. Теперь мы можем выразить а через t. Хорошо бы было построить график этого уравнения в плоскости tOa, но у нас там логарифм+ квадрат... Но в 10-11 классе это же не проблема? Особенно, если вы смотрели вебинары и помните, что там делали!

Подсказка 3

Да, давайте просто проанализируем нашу функцию относительно t. Попробуйте найти минимум функции и подумать, какие а вам не подойдут сразу, другие же отсечь, исходя из уловия задачи.

Показать ответ и решение

После замены $t= x+ a$ получаем уравнение $a= 4t2 − lnt.$ Исследуем множество значений $f(t)= 4t2− ln t$ . Возьмём производную

′ 1 8t2− 1 f(t)= 8t− t =--t--

На области определения $t> 0$ получаем $′ f(t)<0$ при $1 t< √8$ , $′ 1 f (√8-)=0$ , $′ f (t)> 0$ при $1 t> √8.$ Тогда функция имеет единственный минимум в точке $1 t∗ = 2√2,$ а при $t→ 0$ и $t→ +∞$ она стремится к $+∞$ . Тогда ясно, что при $a< f(t∗)$ решений нет. В случае же $a >f(t∗)$ за счёт выбора $x =t− a$ можно подобрать соответствующие для $t$ два решения, при $a =f(t∗)$ ровно одно.

В итоге подходит только $a= f(t∗)= 1+3l2n2$ .

Ответ:

$1+3ln2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 219#80579Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $b$ , для каждого из которых найдется число $a$ такое, что система

{ x= |y − b|+ 3 x2+ y2 +32=ba(2y − a)+ 12x

имеет хотя бы одно решение $(x;y)$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выделите квадраты во втором уравнении.

Подсказка 2

Получим (x - 6)² + (y - a)² = 4. Что это за график?

Подсказка 3

Это окружность с центром в точке (6;a) и радиусом 2. А что за график в первом уравнении?

Подсказка 4

Это повернутый на 90° по часовой стрелке график модуля, смещенный вправо на 3/b. А когда он не будет иметь пересечений с окружностью?

Подсказка 5

Когда 3/b > 8, так как окружность по x не достигает точек, больших 8. Рассмотрите обратный случай.

Подсказка 6

Можно ли подобрать какой-нибудь конкретный y (возможно, выраженный через параметр), при котором точно найдется хотя бы одно решение?

Подсказка 7

Возьмите y = b + 8 - 3/b. Какие еще b осталось рассмотреть?

Подсказка 8

В случае с 3/b мы пока рассматривали только смещения направо, то есть, положительные b.

Показать ответ и решение

Перепишем второе уравнение системы следующим образом:

2 2 2 x − 12x+36+ y − 2ay +a = 4

2 2 2 (x − 6) + (y− a) =2

$PIC$

Это окружность с центром $(6;a)$ и радиусом 2. Первое уравнение системы представляет собой повернутый на $∘ 90$ по часовой стрелке график $y = |x|$ с вершиной по $y$ в точке $b,$ который cдвигается по оси $x$ на $3 b.$ Так как центр окружности находится в точке $(6,a),$ и ее радиус — 2, она не достигает по $x$ значений, больших 8, следовательно, если сдвинуть график модуля за прямую $x= 8,$ мы получим 0 решений. Учтите, что при смещении вправо $3 b > 0,$ следовательно, $b> 0.$

( 3 |{ b >8 |( b> 0

3 0< b< 8

Рассмотрим остальные случаи. Пусть $3 b ≤ 8$ и $b> 0,$ тогда $3 b≥ 8,$ график находится правее $x =0,$ а также имеет хотя бы одну точку на прямой $x =8.$ Следовательно, можно подобрать $a,$ при котором окружность также будет через нее проходить. Заметим, что для данной точки будет верно $3 y = b+ 8− b,$ поскольку, подставив это выражение в первое уравнение, мы получим

|| 3 || 3 x= ||b+8 −b − b||+ b

А так как $3b ≤ 8,$ то

x= 8

Пусть $3 b ≤ 8$ и $b< 0.$ Верно, что $3 b <0,$ тогда график модуля смещен левее $x =0$ и имеет 2 точки пересечения с $x= 8,$ следовательно, можем подобрать $a,$ при которых окружность пройдет по крайней мере через одну из этих точек. В последнем случае имеем $3b > 8$ и $b <0,$ неравенства не пересекаются.

[ ) b∈ (− ∞;0)∪ 38;+∞

Ответ:

$(−∞;0)∪ [3;+∞) 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 220#114023Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых

−|x−a| ( 2 ) −x2−2x 9 log3√5 x + 2x +3 + 3 log1∕5(2|x − a|+ 2) =0

имеет ровно три различных решения.

Источники: ПВГ 2015

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сделаем максимум преобразований по свойствам степеней и логарифмов, чтобы слагаемые приняли более похожий друг на друга вид.

Подсказка 2

После переноса вычитаемого в правую часть в обеих частях равенства будет степень тройки умножаться на логарифм по основанию 5.

Подсказка 3

Обратите внимание на то, как связаны между собой степень тройки и аргумент логарифма в каждой части.

Подсказка 4

Рассмотрите функцию f(t) = 3ᵗlog₅(t+2).

Подсказка 5

f(t) возрастает, поэтому в обеих частях можно перейти к равенству на t:)

Показать ответ и решение

По свойствам логарифмов и степеней уравнение переписывается в виде

−2|x−a| ( 2 ) −(x+1)2+1 3 ⋅3⋅log5 (x+ 1) +2 − 3 log5(2|x− a|+2)= 0

Перенесём вычитаемое направо, поделим обе части на 3 и на обе степени троек:

(x+1)2 ( 2 ) 2|x−a| 3 log5 (x+ 1) +2 = 3 log5(2|x− a|+2)

Пусть $f(t)=3tlog (t+2). 5$ Эта функция монотонно возрастает на всей области определения как произведение возрастающих функций, поэтому

( 2) f (x+ 1) = f(2|x− a|)

2 (x +1) = 2|x− a|

Три решения будут в случае касания для $a= −1∕2,a =− 3∕2$ и в случае когда $a= −1,$ поскольку совпадают вершины параболы $y =(x+ 1)2$ и "уголка" $y = |x+ 1|.$

Ответ:

$− 3;−1;− 1 2 2$

Следующая подтема