Тема АЛГЕБРА

Задачи с параметром

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Задачи с параметром

Алгебра (+ логика). Связь между множествами решений

Алгебра. Теорема Виета

Алгебра. "Гвозди" для квадратичной функции

Алгебра. Исследование замены

Алгебра (+ логика). Несколько неизвестных или несколько параметров

Алгебра. Задачи без идеи, решающиеся аналитически

Алгебра в xOa (решение относительно параметра)

Графика. Прямые, пучки прямых, движение

Графика. Гипербола

Графика. Окружности: касание, пересечение, связь с другими объектами

Графика. Функции с модулем: галочка, корыто и другие

Графика. Отрезок, ромб, квадрат

Графика. Множество касательных, арктрига и прочее

Графика в xOa (параметр как вторая неизвестная)

Симметрия (и чётность) в параметрах

Монотонность и производная в параметрах, уравнения вида f(t) = f(z) или f(f(x)) = x

Метод главного модуля/слагаемого в параметрах

Непрерывность в параметрах

Исследование области значений функции (в том числе a = f(x))

Метод оценки (метод мажорант) в параметрах

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 261#51343Максимум баллов за задание: 7

Найти все значения параметра $p,$ при которых сумма всех корней уравнения

( 9 )4 ( 9 )2 x− 4p − 4p(p− 1) x− 4p − p3(2p− 3)=0

меньше $− 5p2+ 11p+7.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте внимательно посмотрим на выражение, поищем общие части в слагаемых. На что похоже это уравнение?

Подсказка 2

На квадратное уравнение относительно y = (x - (9p)/4)². При этом, если мы начнём прямо считать его корни, у нас получатся достаточно громоздкие выражения. Для начала подумаем, а что в целом должно выполняться, чтобы у этого уравнения были корни?

Подсказка 3

Верно, дискриминант должен быть неотрицателен! Запишем его и поймём, при каких р у квадратного уравнения есть корни.

Подсказка 4

Пусть y₁ ≤ y₂ — корни этого квадратного уравнения. Чтобы от них перейти к корням исходного уравнения, нужно решить два других уравнения: (x - (9p)/4)² = y₁ и (x - (9p)/4)² = y₂. Но как теперь перейти к сумме корней? Вспомните, какая теорема связывает сумму корней квадратного уравнения и его коэффициенты.

Подсказка 5

Теорема Виета! Получается, если у уравнения (x - (9p)/4)² = y₁ есть корни, то их сумма равна 9р/2. Заметим, что y₁ * y₂ — это свободный коэффициент исходного квадратного уравнения, пусть он равен С. Осталось понять, какая сумма получается в зависимости от знаков y₁ и y₂, для этого будет удобно рассмотреть случаи: когда С больше нуля, меньше нуля, равно ему, а также когда зануляется дискриминант.

Показать ответ и решение

Пусть $y ≤ y − 1 2$ корни квадратного уравнения $y2− 2By+ C =0,$ где $B = 2p(p− 1),C =− p3(2p− 3).$ Для того чтобы данное биквадратное уравнение имело решения, необходимо, чтобы дискриминант $( 2 ) D = 4 B − C$ был неотрицателен. Имеем:

D 2 4-=p (2p − 1)(3p− 4)≥0,

т. e. $1 4 p≤ 2,p≥ 3.$ Рассмотрим четыре случая. $B$ первых трех $D> 0.$

1.: $C < 0,$ тогда $y1 < 0< y2,$ т. е. уравнение $( ) x − 94p 2 = y1$ не имеет корней, а уравнение $( ) x− 94p 2 = y2$ имеет два различных корня, сумма $S$ которых, согласно теореме Виета, равна $92$ р. Из неравенства $S < T,$ где $T = −5p+ 11p+7,$ следует $− 710-<p <2$ и, с учетом условия $C < 0,$ получаем $− 710 < p< 0,32 < p< 2.$
2.: $C = 0,$ тогда $p= 0$ или $p= 32.$ При $p =0$ уравнение имеет один корень $x =0$ и неравенство $0=S < T = 7$ выполнено, а при $p= 32−$ три корня с суммой $S = 818 ,$ меньшей $T = 449$ .
3.: $C > 0,$ тогда $y1$ и $y2$ одного знака, причем $0< y1,y2 > 0,$ если $B > 0.$ При этом уравнение имеет четыре корня с суммой $S = 9p,$ поэтому из неравенства $S < T$ следует $− 1 <p < 75,$ и, с учетом условий $C >0,B >0,$ получаем $43 < p< 75$ .
4.: $D = 0,$ тогда если $p= 1, 2$ то $y1 = y2 = − 1 2$ и уравнение корней не имеет, а если $p= 4, 3$ то $y1 =y2 = 8, 9$ и $S = 6< T.$

Замечание. Формально, в случае отсутствия корней уравнения (если дискриминант исходного уравнения меньше нуля) про элементы пустого множества решений будет верно любое высказывание, в том числе любая оценка на их сумму. Но авторы вступительных не задумывали грузить этим абитуриентов, предполагая проверку наличия корней.

Ответ:

$(−-7;0]∪[4;7) ∪[3;2) 10 3 5 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 262#78775Максимум баллов за задание: 7

Найти все значения параметра $α,− π <α < π$ , при которых система уравнений

{ (4− x2− y2)(y2− 4x +28)= 0 x cosα+ ysinα = 2

имеет ровно три решения.

Источники: Вступительные в МФТИ - 1994 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раз у нас произведение скобок равно нулю, то хоть одна из них равна нулю. Так мы можем свести систему к совокупности из двух систем поменьше) Что можно сказать об уравнениях в каждой из новых систем?

Подсказка 2

Первое уравнение - уравнение окружности, а второе - парабола относительно y. Мы хотим получить три решения, но обычно существуют всякие случаи когда корни из двух случаев пересекаются...Можем ли мы сразу отмести такие варианты?

Подсказка 3

Да! Из второго уравнения мы видим, что x >= 7, что точно не может быть решением первой системы. Теперь давайте снова вернемся к первой системе: на что похоже второе уравнение и как меняется его график при изменении параметра?

Подсказка 4

Если очень внимательно посмотреть, то окажется, что для всех параметров мы получим семейство прямых, которые касаются как раз нашей окружности из первого уравнения! Это можно видеть просто подстановкой из второго уравнения в первое, или по формуле расстояния от точки до прямой. Значит, там всегда одно решение, и осталось понять, когда у нас два решения у второй совокупности)

Показать ответ и решение

Система равносительна совокупности

⌊ { 4 − x2− y2 = 0 || || { x2cosα+ ysinα = 2 ⌈ y − 4x+ 28= 0 x cosα+ ysinα = 2

Графиком уравнения $x2+ y2 =4$ является окружность с центром $O (0;0)$ , радиус которой равен $2$ .

Графиком уравнения $x= y2+ 7 4$ является парабола с вершиной $(7;0)$ , симметричная относительно оси абсцисс, причем $x ≥7$ .

Эти графики не имеют общих точек, следовательно, системы из совокупности общих решений не имеют.

Уравнение $xcosα+ ysinα= 2$ задаёт семейство прямых, причём при любом $− π < α< π$ расстояние от центра окружности $O (0;0)$ до прямой равно

|− 2| ∘cos2α+-sin2α-=2

радиусу. Поэтому это уравнение задает семейство касательных к окружности.

$PIC$

Тогда первая система совокупности имеет одно решение при всех $− π < α <π$ . А значит, вторая система должна иметь ровно два решения.

Если $cosα = 0$ , то $sinα =1$ или $sin α= −1.$

При $sin α= 1$ имеем одно решение $(x,y)= (8,2)$ ; при $sinα= −1$ получаем $(x,y)= (8,−2)$ — одно решение.

Следовательно, $cosα ⁄=0.$ Тогда вторую систему запишем в виде

(| 1 2 |{ x= 4y + 7 ||( 2−-ysinα- x= cosα

Откуда

1 2 2− ysinα 4y + 7= --cosα---

y2 cosα+ 4ysinα +28cosα− 8= 0

Это квадратное относительно $y$ уравнение будет иметь два решения при положительном дискриминанте.

D 4-= (2sinα)2− cosα(28cosα− 8)=− 32cos2α+ 8cosα +4 >0

Тогда $8 cos2α− 2cosα − 1 <0$ , откуда $( ) cosα∈ − 14;12$ . Но $cosα⁄= 0$ , следовательно, $( ) ( ) cosα ∈ − 14;0 ∪ 0;12$ .

Решая эти неравенства, получаем ответ.

Ответ:

$α ∈(− arccos(− 1) ;− π) ∪(− π;− π) ∪(π;π )∪( π;arccos( − 1)) 4 2 2 3 3 2 2 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 263#79188Максимум баллов за задание: 7

На координатной плоскости даны точки $A(2;−3)$ и $B(4;0).$ При каких значениях параметра $p,p> −5$ , ближайшая к графику функции $√ -3 y = x +p$ точка прямой $AB$ лежит на отрезке $AB?$

Источники: Вступительные в МФТИ - 1994 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала надо понять, а почему вообще наша прямая не имеет пересечения на отрезке с нашим графиком (то есть что прямая, которая касается графика не правее нашей), ведь иначе наименьшее расстояние было бы нулевым.

Подсказка 3

Найдите, на какой прямой лежит отрезок AB. При этом ближайшая к графику точка отрезка - это перпендикуляр из точки, в которой параллельная данной прямая касается нашего графика. Значит, надо записать условия касания и понять в какой точке оно происходит.

Подсказка 3

Выходит, что касание происходит в точке x = 1. Теперь, когда мы все нашли, остается понять, какие требования нам нужны, чтобы этот перпендикуляр падал не просто на прямую, а именно на отрезок AB? Что для этого требуется?

Подсказка 4

Чтобы p было таким, что, перпендикуляр падает между точек конца отрезка. Можно найти значения p, когда перпендикуляр попадает на концы отрезка. А все промежуточные p тоже будут подходить.

Показать ответ и решение

Для начала поймем, что прямая, проходящая через точки $A$ и $B$ , задаётся уравнением $y = 3x− 6, 2$ а на области определения функция $√ -3 y = x +p$ не пересекается с $AB$ при $p >− 5,$ потому что минимальное значение разности $√-3 3 t(x)= x + p− (2x − 6)$ достигается при $3√ - 3 2 x− 2 = 0 =⇒ x= 1$ и равно $3 1 1 1+ p− 2 + 6= 2 + (p+5)≥ 2 >0.$

Расстояние от точки на графике до прямой $AB$ это перпендикуляр на прямую $AB.$ Прямые, перпендикулярные $3 y = 2x− 6$ задаются уравнением $2 y =− 3x+ q, q ∈ℝ,$ они параллельны между собой, а наименьшее расстояние достигается при наименьшей длине отрезка такого перпендикуляра — в точке $x0$ касания графика $√ -3 y = x +p$ с прямой, параллельной $3 y = 2x − 6.$ Запишем условие касания функций:

( ∘-- { x30+ p= 32x0− 6+c,c∈ ℝ ( 32√x0 = 32

x0 = 1

Прямая, перпендикулярная $AB$ и проходящая через точку $(1;1+ p)$ , имеет вид $2 5 y = −3x+ 3 + p.$

Прямая, перпендикулярная $AB$ и проходящая через точку $(2;− 3)$ , задается уравнением $2 5 y = − 3x− 3,$

$PIC$

А проходящая через точку $(4;0)$ — уравнением $y = − 23x + 83.$

$PIC$

Отсюда находим подходящие граничные значения $10 p= −-3 , p =1.$ Все значения между ними из этого отрезка также подходят.

Ответ:

$[− 10;1] 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 264#90947Максимум баллов за задание: 7

Найдите все такие значения величины $x$ , при которых неравенство

2 (4− 2a)x + (13a− 27)x +(33− 13a)> 0

выполняется для всех $a$ , удовлетворяющих условию $1< a< 3.$

Источники: Вступительные на биологический факультет МГУ, 1994 год июль, номер 5

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Каким является данное неравенство относительно а?

Подсказка 2

Линейным! Тогда нам просто нужно записать его в виде k(x)a + b(x) > 0 и посмотреть, при каких значениях х в решения данного неравенства будут входить нужные нам ашки (не забудьте, что нам важно, какого знака выражение k(x)!)

Показать ответ и решение

Эта задача может запутать обозначением переменных. Тут параметр – $x,$ а независимая переменная – $a!$ Тогда перепишем исходное неравенство:

2 2 4x − 27x+ 33>(2x − 13x +13)a

То есть мы имеем линейное неравенство с переменной $a,$ параметром $x.$ Но коэффициент при $a$ может принимать разные знаки, поэтому разберем случаи:

1.

( √--) ( √-- ) 2x2− 13x+ 13> 0,x∈ − ∞;13−--65 ∪ 13+--65;+∞ 4 4

В таком случае можно поделить на это положительное число:

a < 4x2-− 27x+-33 2x2 − 13x+ 13

По условию $(1,3)$ должен быть решением этого неравенства, а значит:

4x2-− 27x+-33 2x2 − 13x+ 13 ≥ 3

С учетом положительности знаменателя:

4x2− 27x+ 33≥ 6x2− 39x+ 39

√ - √- x ∈[3− 6;3+ 6]

Пересекая все условия, получаем:

[ √- 13− √65) (13+ √65 √-] x ∈ 3− 6;---4--- ∪ ---4---;3+ 6

2.

{13− √65 13+ √65} 2x2− 13x+ 13= 0, x∈---4---;---4---

При таких значениях параметра неравенство обращается в истину, поэтому такие значения войдут в ответ.

3.

( √-- √--) 2x2− 13x+ 13< 0, x∈ 13−-65;13+--65 4 4

В таком случае неравенство имеем вид:

2 a > 4x2-− 27x+-33 2x − 13x+ 13

Тогда:

2 4x2-− 27x+-33≤ 1 2x − 13x+ 13

Решая оба неравенства, получим:

(13− √65 ] [ 13+ √65) x∈ ---4---; 2 ∪ 5;---4---

Объединяя эти случаи, получаем ответ.

Ответ:

$[3− √6;2]∪[5;3 +√6]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 265#78979Максимум баллов за задание: 7

Числа $x ≤0,y > 0$ — решения системы уравнений

({ 2 2 10p−-p2 3x2 − 8xy− 3y2 = 14p0−2p+9 ; ( x − 5xy+ 6y = 4p2+9,

$p$ — параметр. При каких $p$ выражение $2 2 x + y$ принимает:

(a) наибольшее значение;

(b) наименьшее значение?

Источники: Вступительные в МФТИ - 1993 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем преобразовать систему. Что есть схожего у уравнений? Как можно преобразовать левую часть каждого?

Подсказка 2

Левую часть каждого можно разложить на множители, а правые части отличаются домножением на p. Что интересного можно заметить при таком преобразовании? Что хочется с этим сделать?

Подсказка 3

Есть совпадающие скобки, поэтому попробуем поделить одно уравнение на другое. Тогда мы выразим р. А что можно сделать, чтобы благодаря первоначальной системе уравнений найти связь одной из переменных х и у с р? Пока что у нас в каждом уравнении есть все три переменные, как можно избавиться от одной из них?

Подсказка 4

Попробуем найти х/у! Тогда можно будет выразить одну переменную через другую и найти

Подсказка 5

x/y=(2p+1)/(p-3). Как можно оценить р, используя условия на х и у? Теперь, при помощи условия и найденной связи между х и у, мы можем найти квадраты!

Подсказка 6

Сумма квадратов равна (5p^2-2p+10)/(7*(4p^2+9)). Осталось лишь найти экстремумы такой функции на промежутке привычным способом)

Показать ответ и решение

Данная система имеет вид

$pict$

Разделив первое уравнение на второе (это можно сделать, т.к. $x≤ 0,y > 0,$ следовательно $x− 2y < 0$ и $x− 3y <0$ ), получим $3x+y x−2y =p.$ Отсюда

x 2p+1 y = p−-3 ,

(2)

где $− 12 ≤ p< 3,$ т.к. $xy ≤ 0.$ Подставив соотношение $(2)$ в уравнение $(1)$ получаем

x2 =-(2p+-1)2-, y2 =-(p-− 3)2, 7(4p2+ 9) 7(4p2+ 9)

откуда

2 2 5p2− 2p+-10 x + y = f(p)= 7(4p2+ 9)

Исследовав функцию $f(p)$ на максимум и минимум при $[ ) p∈ − 12,3$ получаем, что

fmax = 7-(p= − 1), fmin = 1 (p= 1) 40 2 7

Ответ:

(a) $1 − 2$

(b) $1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 266#104742Максимум баллов за задание: 7

Числа $x$ и $y$ являются решениями системы уравнений

{ −x +ay = 2a ax− y = 3a− 5,

где $a$ — параметр. Какое наименьшее значение принимает выражение $x2+ y2$ ? При каком $a$ это происходит?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В одном уравнении коэффициент а при x, в другом — при y. Это может намекать на некоторое преобразование системы, которое может связать x и y.

Подсказка 2

Сложите два уравнения и разложите части на множители. Что можно сказать о y и x?

Подсказка 3

Получилось, что y = 5 - x. Тогда мы можем найти x через a.

Подсказка 4

Итак, теперь у нас и y, и x выражены в виде дробей с a, и нам нужно минимизировать их сумму квадратов. А чему она равна?

Подсказка 5

Сумма квадратов есть (13a² + 20a + 25)/(a+1)². Как мы умеем искать минимумы у выражений?

Подсказка 6

Будем искать минимум через производную!

Показать ответ и решение

Сложим уравнения системы и вынесем общие множители, получим

(a− 1)(x+ y)= 5(a− 1)

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть $a⁄= 1,$ тогда $y = 5− x,$ подставим это во второе уравнение системы

ax− (5− x)= 3a − 5

(a +1)x= 3a

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть $a⁄= −1,$ тогда

x= -3a- a+ 1

Следовательно,

y = 5− x = 2a-+5 a+ 1

В итоге выражение, которое нужно минимизировать, примет вид

x2+ y2 =--9a2--+ 4a2+-20a+-25= 13a2+20a+-25 (a+1)2 (a+ 1)2 (a+1)2

Исследуем его с помощью производной

6(a− 5) (a+-1)3 =0

a= 5

Посмотрев на порядок смены знака производной с минуса на плюс при переходе через эту точку, можно сказать, что это точка минимума. В этой точке выражение равно $25 -2 .$

Проверим, что выражение не принимает значения меньше при $a∈ (− ∞;−1).$ Для этого выделим целую часть

13a2+-20a+-25- -12-− 6a (a +1)2 = 13 +(a+ 1)2

Так как $a∈ (−∞;−1),$ то $12− 6a > 0,$ тогда

12− 6a 13+ (a+-1)2-> 13

То есть выражение не принимает значения, которые не больше 13, на промежутке $(−∞;−1).$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть $a= −1,$ тогда исходная система примет вид

{ − x− y = −2 − x− y = −8

Видно, что система не имеет решений.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть $a= 1,$ тогда исходная система примет вид

{ −x +y = 2 x− y = −2

Видно, что система равносильна уравнению

y = x+ 2

Тогда выражение примет вид

x2+ y2 = x2+ (x +2)2 = 2x2+ 4x+ 4

Наименьшее значение парабола с ветвями вверх принимает в вершине, в данном случае наименьшее значение достигается при $x= −1$ и равно $2.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Так как $2< 252 ,$ то в итоге наименьшее значение выражения $x2+ y2$ для заданной в условии системы равно 2, достигается оно при $a =1.$

Ответ:

$2$ при $a= 1$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 267#104740Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых

√ ---- log5(x+ 2− a)+ log1∕5(a− 1− x) =log259

имеет решение.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами логарифмы с похожими основаниями, быть может, преобразуем выражения так, чтобы остался логарифм лишь с одним основанием?)

Подсказка 2

После преобразований мы придём к системе, одно из уравнений которой следует из ограничений на ОДЗ. Можем ли мы сделать такие преобразования, чтобы избавиться от x и решать систему для a?

Подсказка 3

4(a-1) > 4x, после чего можно заменить 4x в другом уравнении. Теперь нам нужно сравнить две величины c a.

Подсказка 4

Например, можно изобразить графики √(2-a) и 1-a, чтобы понять, как расположены решения этого неравенства!

Показать ответ и решение

По свойствам логарифмов уравнение равносильно системе

{ x+ √2−-a= 3(a− 1− x) a− 1>x

{ 4x= 3(a− 1)− √2-− a 4(a− 1)> 4x

из которой следует неравенство

4(a− 1)> 3(a− 1)− √2−-a

1− a< √2−-a

Из графиков функций $y = 1− a$ и $√---- y = 2− a$

$PIC$

видно, что множество решений неравенства — промежуток $(a1;2].$ , где $a1$ — это корень уравнения

1− a= √2−-a

такой, что $a1 < 0$ .

(1 − a)2 = 2− a

a2− a− 1= 0

√- a1 = 1−-5 2

Решение исходного уравнения выражается из уравнения $4x =3(a− 1)− √2-− a$ при каждом значении $a$ из промежутка.

Ответ:

$(1−-√5;2] 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 268#115892Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

( a2+ 4π2+4 ) ∘----------------------------- log1π 4x−-x2− 2(a−-2π)|x−-2|+-4πa − (x− 5a+ 10π − 34)(|π− x|− a+ π+ 2) =0

имеет по крайней мере одно целочисленное решение.

Показать ответ и решение

Пусть

2 A(a,x)=4x− x − 2(a− 2π)|x− 2|+ 4πa

Поскольку

2 A(a,x) =−(x− 2) − 2(a− 2π)|x − 2|+ 4πα +4 =

= a2+ 4π2+4 − (|x − 2|+a − 2π)2

Можем утверждать, что

A (a,x)≤a2 +4π2+ 4

для любого действительного $x$ . Пусть $a0$ — значение параметра $a,$ при котором исходное уравнение имеет хотя бы одно решение $x =x0.$ Тогда, так как $a2 +4π2+ 4> 0,$ то $0< A(a0,x0)$ для этих значений $a0$ и $x0.$ Учитывая, что $1π < 1$ и неравенство выше, получаем, что для этих значений $a0$ и $x0$ справедливы одновременно неравенства

2 2 log1a0+-4π-+-4≤ 0 π A (a0,x0)

∘ --------------------------------- (x0− 5a0+10π− 34)(|π− x0|− a0 +π +2)≥ 0.

Так как при этих значениях $a0$ и $x0$ исходное уравнение превращается в верное равенство, получаем, что $a0$ и $x0$ удовлетворяют двум равенствам

|x − 2|+ a − 2π = 0 0 0

(x0 − 5a0+ 10π − 34)(|π− x0|− a0+ π+ 2)= 0

Очевидно, что если значения $a0$ и $x0$ удовлетворяют этим равенствам, то они удовлетворяют и исходному уравнению. Следовательно, каждое значение $a,$ при котором исходное уравнение имеет решение, совпадает с тем значением $a,$ при котором имеет решение система уравнений

{ |x− 2|= 2π− a (x− 5a+10π− 34)(|π − x|− a+π +2)= 0

Итак, задача свелась к нахождению таких значений параметра $a,$ при каждом из которых эта система имеет хотя бы одно целочисленное решение.

Пусть $a0$ — то значение параметра $a,$ при котором система имеет целочисленное решение $x0,$ тогда

a = 2π− |x − 2| 0 0

Подставляя это значение $a0$ во второе ураннение системы, получим, что число $x0$ должно быть решением уравнения

(x− 34+ 5|x− 2|)(|π− x|− π+ 2+ |x − 2|) =0 (∗)

Уравнение равносильно совокупности уравнений

[ x− 34 +5|x− 2|= 0 |π − x|+ |x− 2|− π+ 2= 0

Для решения этих уравнений разобьем числовую ось на три промежутка: 1) $− ∞ < x≤ 2,$ 2) $2< x< π,$ 3) $π ≤ x< +∞.$

Пусть $− ∞ <x ≤2,$ тогда совокупность уравнений перепишется в виде

[ x− 34+ 5(2− x)=0 π− x+ (2− x)− π+ 2= 0

Первое уравнение этой совокупности имеет решение $x1 = −6,$ а второе имеет решение $x2 = 2.$ Так как $− 6 <2$ и $2≤ 2,$ то в этом случае уравнение $(∗)$ имеет два корня $x1 = −6$ и $x2 = 2,$ и они оба целочисленные.

Пусть $2<x < π,$ тогда совокупность уравнений перепишется в виде

[ x − 34+ 5(x − 2)= 0 (π− x)+ (x− 2)− π +2 =0

Первое из этих уравнений имеет решение $x3 = 713,$ а второе имеет решением любое действительное $x.$ Корень $x3$ не удовлетворяет условию $2< x< π.$ Следовательно, решением уравнения $(∗)$ является в этом случае любое число $x$ из промежутка $2 <x < π.$ В этом промежутке лежит только одно целое число $x= 3.$

Пусть $π ≤ x< +∞,$ тогда совокупность уравнений перепишется в виде

[ x − 34+ 5(x − 2)= 0 (x− π)+ (x− 2)− π +2 =0

Первое из этих уравнений имеет решение $x5 = 713,$ а второе имеет решение $x6 = π.$ Оба эти корня удовлетворяют условию $π ≤x <+ ∞.$ Следовательно, уравнение $(∗)$ имеет в этом случае два корня $x5 =713$ и $x6 = π,$ но ни один из этих корней не является целым числом.

Итак, уравнение $(∗)$ имеет три целых корня:

x1 = −6;x2 = 2;x3 = 3

Каждому из этих корней по формуле соответствует

a1 =2π − 8;a2 =2π;a3 = 2π− 1

Именно эти $a$ и дают ответ в задаче.

Ответ:

$2π− 8;2π;2π− 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 269#105473Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

{ 3⋅2|x|+ 5|x|+4= 3y+ 5x2+3a 2 2 x + y = 1

имеет единственное решение.

Источники: Вступительные в МГУ - 1987 (см. pk.cs.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Внимательно посмотрим на систему и подумаем, что мы можем сделать, когда нам нужно единственное решение? Правильно, ищем симметрии в задаче, чтобы добыть из одного известного решения ещё какие-нибудь!

Подсказка 2

Если x=t корень, то и x=-t тоже корень, ведь уравнения чётны относительно х. Каким тогда должен быть единственный х?

Подсказка 3

Отлично, х=0 — это единственное решение! Осталось записать систему на а и у!

Подсказка 4

После постановки x=0 можно найти лишь два значения a, и в каждом случае несложно проверить существование других решений!

Показать ответ и решение

Если $x =t$ является решением при каком-то $y$ , то решением при том же $y$ также является и $x= −t,$ так что решений чётное количество, если среди решений нет $x= 0.$

По условию требуется единственное решение, поэтому $x= 0:$

{ 32+4 =3y+ 3a y =1

[ y = 1,a= 4 y = −1,a 3= 10- 3

Только при двух значениях $a$ решений может быть нечётное число. Проверим, при каком из этих $a$ это нечётное число равно в точности единице.

Если $a= 4: 3$

{ 3y = 3⋅2|x|+ 5|x|− 5x2 y2 = 1− x2

Так как $3⋅2|x| ≥ 3⋅20 =3$ и $|x|≥x2,$ то из первого уравнения $3y ≥3.$

Но из второго уравнения $y ≤ 1.$ Значит, $y = 1 =⇒ x =0$ это единственная пара решений в этом случае.

Если $a= 130:$

{ 3⋅2|x|+5|x|= 3y+ 5x2+6 x2+ y2 =1

Решение не единственно, ведь подходят $(±1;0).$

Ответ:

$4 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 270#33955Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

5√---- 2 5√------- 1∘0-2-------- 3 x +4− 7a ⋅ 32x+ 96= x + 7x +12

имеет единственное решение.

Источники: Вступительные в МГУ - 1985 (см. pk.cs.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пугающая штука… Что может нам помочь?) Симметрии на первый взгляд не видно, идея напрямую выражать корни тоже как будто бы не вдохновляет, остаётся только упрощать то что видим.

Подсказка 2

Выведите слагаемое с параметром в одну сторону, а всё остальное – в другую. Удаётся ли разложить на скобки что-то из подкоренных выражений? А может быть где-то можно вообще вынести множитель из под корня?)

Подсказка 3

Удастся ли нам оставить в левой части только параметр (может быть с каким-то числовым множителем), а всё остальные вывести вправо? Если корень-множитель не равен нулю, то смело можем на него поделить!

Подсказка 4

Попробуйте ввести замену так, чтобы перед нами в итоге осталось квадратное уравнение с параметром! После хорошего исследования замены добить задачу будет не так уж трудно!

Подсказка 5

Если замену не удаётся увидеть, то покажем вам её: t = (¹⁰√((x + 4)(x + 3))/(⁵√(x + 3))

Подсказка 6

Аккуратненько разберём, чем является наше t? Не забывайте, его знаменатель не всегда положителен, поэтому ошибкой будет сразу же сокращать кажущиеся похожими множители! А в целом исследование удобно начать с рассмотрения случаев и работы с подкоренным выражением в итоге!

Подсказка 7

Итак, у нас есть два случая. Под корнем 10-й степени в обоих этих случаях одно и то же выражение. Давайте изобразим его график и сделаем выводы: сколько значений этого выражения соответствуют каждому х? Какие они могут быть?

Подсказка 8

Распространите выводы, сделанные выше, на саму t. Теперь мы знаем, при каких значениях t существуют соответствующие значения х. Осталось понять – когда квадратное уравнение, полученное выше, имеет ровно одно решение в полученном промежутке. Это удобно сделать графическим методом, предварительно заменив всю левую часть на какую-нибудь одну букву (14а² = b)

Показать ответ и решение

Пусть $14a2 = b$ , тогда уравнение имеет вид

5√---- 10∘-2-------- 5√ ---- 3 x+ 4− x + 7x+ 12 − b⋅ x+3 =0

Так как $x+ 3= 0$ не является решением уравнения, то можно разделить обе части равенства на $5√x+-3$ , получим

5∘ x+-4- -10∘-(x+-4)(x+-3) b= 3 x+ 3 − 5√x+-3

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Заметим, что $10√(x+4)(x+3) ∘ ---- ---5√x+3---⁄= 10 xx++43$ , так как $x+ 3$ может быть как положительным, так и отрицательным.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Сделаем замену $10√-------- t= --(x5√+x4)+(x3+3)$ , тогда $∘ x+-4- t2 = 5 x+-3$ , следовательно, уравнение примет вид

b= 3t2− t

Исследуем замену:

( 10∘---------- ∘ ----- ∘ ------- ||||{ --(x1+0√-4)(x+2-3)= 10x-+4 = 101+ -1--, x> −3 t= ∘(--x+-3)-- x∘-+3-- ∘-x+-3-- ||||( 10(x∘+-4)(x+-3)= − 10 x+4-= − 101 +-1-, x≤ −4 −(10− (x +3))2 x+3 x +3

Если обозначить $p(x)= 1+ x+13-$ — убывающая функция, то

({ 1∘0--- t= p∘(x), x >− 3 (убывает, как композиция возраст. и убы в.) ( − 10p(x), x ≤− 4 (возрастает, как композиция убы в. и убыв.)

Изобразим график функции $y =p(x)$ :

$PIC$

Заметим, что одному значению $x$ (из области значений) соответствует ровно одно значение $p.$

При $x∈ (−3;+ ∞)$ функция $y = p(x)$ принимает значения от $+ ∞$ до $1$ , значит, $y =t(p(x))$ принимает значения от $+ ∞$ до $1$ .

При $x∈ (−∞;− 4]$ функция $y = p(x)$ принимает значения от $1$ до $0$ , значит, $y = t(p(x))$ принимает значения от $− 1$ до $0$ .

Следовательно, график $y = t(x)$ выглядит следующим образом ( $y = −1$ и $y = 1$ — горизонтальные асимптоты):

$PIC$

Значит, область значений $t∈ (− 1;0]∪(1;+ ∞)$ , причем заметим, что одному значению $p$ (из области значений) соответствует ровно одно значение $t$ .

Изобразим график функции $b= b(t)= 3t2− t$ при $t∈ (−1;0]∪(1;+∞)$ в системе координат $tOb$ и найдем такие положения горизонтальной прямой $b =b0$ , при которых она с графиком функции $b= b(t)$ имеет ровно одну точку пересечения:

$PIC$

Следовательно,

⌊ ⌊ 2 1 ( ∘--] [ ∘--∘ -] [∘-- ) ⌈ b∈[0;2] ⇒ ||a ≤ 7 ⇔ a∈ −∞; − 2 ∪ − 1; 1 ∪ 2;+ ∞ b≥4 ⌈a2 ≥ 2 7 7 7 7 7

_____________________________________________________________________________________

Графики функций $y = t(x)$ и $y = p(x)$ рисовать было необязательно, они изображены лишь для наглядности области значений функций.

Ответ:

$( ∘-2] [ ∘ 1-∘ 1] [∘-2 ) −∞;− 7 ∪ − 7; 7 ∪ 7;+ ∞$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 271#63887Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения $a$ , при которых система уравнений

{ |x|+2|y|+ |2y− 3x|=12; x2+y2 = a.

имеет ровно два действительных решения.

Подсказки к задаче

Подсказка

Второе уравнение - уравнение окружности. Для него понятно, как будет выглядеть график при разных значениях а. Тогда нужно лишь построить график первого уравнения. Но что это за страшный зверь? Да это же ломаная!

Показать ответ и решение

Графиком первого уравнения системы является замкнутая ломаная $L$ (граница прямоугольника) с вершинами в точках, лежащих на прямых $3 x= 0,y = 0,y = 2x$ .

Найдем эти вершины. Если $x= 0$ , то $4|y|= 12$ ( $y = 3$ или $y = −3)$ . Если $y = 0$ , то $|x|= 3$ . Если $3 y = 2x$ , то $9 |x|=3⇐ ⇒ |y|= 2$ .

$PIC$

Ломаная $L$ изображена на рисунке, где $A1(−3;0),A2(3;0)$ , $B1(0;−3),B2(0;3),C1(−3;− 92),C2(3;92).$ Графиком второго уравнения при $a >0$ является окружность с радиусом $√a$ с центром $O(0;0)$ , при a=0 точка $O(0;0)$ , при a<0 действительных решений у уравнения нет.

Данная система имеет ровно два решения в следующих случаях:

1) окружность касается отрезков $A1B2$ и $A2B1$ , тогда радиус равен высоте прямоугольного треугольника $OA1B2$ с катетами 3 и 3 $√a-= 3√- 2$ , $a= 9. 2$

2) радиус окружности равен расстоянию от точки $O$ до точки $C 1$ (или $C 2$ ), тогда $a= 32+ (9)2 = 117- 2 4$ .

Ответ:

$9 , 2$ $117- 4$

Следующая подтема