Тема АЛГЕБРА

Задачи с параметром → .03 Алгебра. "Гвозди" для квадратичной функции

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Задачи с параметром

Алгебра (+ логика). Связь между множествами решений

Алгебра. Теорема Виета

Алгебра. "Гвозди" для квадратичной функции

Алгебра. Исследование замены

Алгебра (+ логика). Несколько неизвестных или несколько параметров

Алгебра. Задачи без идеи, решающиеся аналитически

Алгебра в xOa (решение относительно параметра)

Графика. Прямые, пучки прямых, движение

Графика. Гипербола

Графика. Окружности: касание, пересечение, связь с другими объектами

Графика. Функции с модулем: галочка, корыто и другие

Графика. Отрезок, ромб, квадрат

Графика. Множество касательных, арктрига и прочее

Графика в xOa (параметр как вторая неизвестная)

Симметрия (и чётность) в параметрах

Монотонность и производная в параметрах, уравнения вида f(t) = f(z) или f(f(x)) = x

Метод главного модуля/слагаемого в параметрах

Непрерывность в параметрах

Исследование области значений функции (в том числе a = f(x))

Метод оценки (метод мажорант) в параметрах

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#85146Максимум баллов за задание: 7

При скольких значениях параметра $a$ уравнение

( 2) 2 1− a x + ax+1 =0

имеет единственное решение?

Показать ответ и решение

При $a= 1$ уравнение принимает вид $x+ 1= 0$ и имеет единственный корень $x= −1;$ аналогично, при $a= −1$ уравнение имеет единственный корень $x= 1$ .

Если же $a ⁄=±1$ , то наше уравнение - квадратное с дискриминантом

2 ( 2) 2 D =a − 4 1− a = 5a − 4

Корень будет единственным в том и только в том случае, если $D =0$ , то есть при $a= ±2∕√5$ . Всего, стало быть, получается четыре значения $a$ .

Ответ: 4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#39888Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых графики функций

2x2−4x+3 3 x2− 2x+3 f(x)= 3 + a и g(x)= a⋅3 − 5

имеют ровно три общие точки.

Источники: ПВГ-2012, 11.4 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если графики двух функций имеют три общие точки, то как можно по-другому переписать это условие?

Подсказка 2

Да, можно записать равенство двух функций, причем полученное уравнение должно иметь ровно три корня. Какой обычно самый распространенный шаг при решении показательных уравнений?

Подсказка 3

Стоит сделать замену t. И что еще можно сделать, чтобы не пришлось думать об обратной замене?

Подсказка 4

Стоит проанализировать замену — сколько будет соответствовать иксов каждому из ее значений при обратной замене. Тогда какие значения t нам подойдут?

Подсказка 5

Нужно, чтобы вышло нечётное количество х. На какое t замены стоит обратить внимание?

Подсказка 6

Поскольку только при одном значении t у нас будет ровно один х, то нам обязательно нужно, чтобы это t было корнем полученного после замены квадратного уравнения. И нужно ещё одно t, которое даст ещё два корня.

Подсказка 7

Для замены t=3^(x-1)^2 нам подойдут t1=1 и t2>1. Осталось проверить, при каких а t1=1 будет корнем и выбрать из них те, при которых второй корень будет >1.

Показать ответ и решение

Перепишем равенство функций в виде

2(x−1)2+1 3 (x− 1)2+2 3 +a =a ⋅3 − 5

Или при $t= 3(x−1)2 ≥ 1$

3t2− 9at+ a3+ 5= 0

Это квадратное уравнение относительно $t$ должно иметь решение $t= 1$ (потому что иначе для решения $t1 > 1$ $log3t1 =(x− 1)2 > 0$ и относительно $x$ будет два решения, то есть если $t= 1$ не корень, то решений чётное количество). Второе решение же должно быть строго больше одного (отсюда как раз и получатся ещё два решения). Итак, подставим $x =1 ⇐ ⇒ t= 1$ :

√-- 3− 9a +a3+ 5= 0 ⇐⇒ (a − 1)(a2+ a− 8) =0 ⇐ ⇒ a =1,a= −1±--33- 2

При таких $a$ решением будет $t = 1 1$ . Чтобы второй корень $t 2$ был больше единицы, необходимо и достаточно $9a =t + t >2 ⇐⇒ a> 2 3 1 2 3$ , поэтому остаются только $a= 1,a = −1+√33- 2$ .

Ответ:

$1;−1+√33 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#104257Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях $a$ строго между двумя корнями уравнения

2 2 ax + x+2a = 0

находится ровно один корень уравнения

2 2 ax +2x− 2a = 0

и строго между двумя корнями второго уравнения находится ровно один корень первого уравнения?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что, если a = 0?

Подсказка 2

Теперь поделим на a ≠ 0.

Подсказка 3

Что можно сказать о точках пересечения этих графиков?

Показать ответ и решение

Заметим, что $a= 0$ не является решением задачи, так как в этом случае каждое из уравнений имеет ровно один корень. Положим $a ⁄=0$ и, разделив каждое из уравнений почленно на $a$ , обозначим

2 x f(x)=x + a +2a g(x)= x2+ 2x− 2a. a

Пусть $x0$ — абсцисса общей точки графиков функций $y =f(x)$ и $y = g(x)$ .

$PIC$

Тогда, решив уравнение $f(x)=g(x)$ , найдем, что $x0 = 4a2$ .

Условие задачи будет выполнено в том и только в том случае, когда

f(x0) <0

( ) 2a 8a3+ 3 <0

( √- ) a∈ − 33;0 2

Ответ:

$(− 3√3;0) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#33523Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых неравенство

( 2 2 )√---- x − (a +8)x− 6a + 24a 3− x≤ 0

имеет единственное решение.

Источники: Вступительные на физический факультет МГУ, 2002, № 7

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Начнём, как всегда с ограничений! Заметим, что одно решение у нас будет всегда, при любом значении а. Значит нам надо, чтобы других решений у неравенства не было.

Подсказка 2

Корень неотрицателен всегда. Какой должна быть первая скобка, чтобы у нас не появилось новых решений? Запишите соответствующее ограничение, не забывая что у нас есть ОДЗ.

Подсказка 3

Итак, нам необходимо, чтобы квадратный трёхчлен был неотрицателен на всей области определения, при том в 0 он может обращаться в одной единственной точке (подумайте, в какой именно!).

Подсказка 4

Рассмотрите трёхчлен в первой скобке, в каких случаях он принимает отрицательные значения? Заметим, что красивый дискриминант позволяет нам в явном виде выразить корни. Сделайте это и поставьте соответствующие условия на их значения! Осталось решить неравенство с модулем и получить ответ!

Показать ответ и решение

Заметим, что значение $x= 3$ является решением неравенства при любых значениях параметра. Значит, других решений быть не должно: при $3 − x >0$ первая скобка должна быть положительной.

Рассмотрим уравнение $2 2 x − (a +8)x− 6a + 24a= 0$ . Его дискриминант равен $2 2 2 2 D = (a +8) − 4(−6a + 24a)= 25a − 80a+ 64 =(5a− 8) .$

Из неотрицательности дискриминанта следует, что соответствующая квадратичная функция (первая скобка) принимает неположительные значения на отрезке между корнями (или только в вершине, если корень один). Нам требуется, чтобы при $x < 3$ эта первая скобка принимала только положительные значения, то есть первая скобка может быть неположительной только при $x≥ 3$ , значит, меньший корень должен лежать не левее, чем $3$ :

a +8− |5a − 8| ------2---- ≥ 3 ⇐⇒ a+2 ≥|5a− 8|

− a− 2 ≤5a− 8≤ a+ 2⇐⇒ 1 ≤a ≤ 5 2

Ответ:

$[1;5] 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#78772Максимум баллов за задание: 7

Найти все значения $a$ , при которых система

{ log(3− x+ y)+ 3= log (25 − 6x+ 7y), y +22 =(x− 2a)2+ a+ 22x.

имеет ровно два решения.

Источники: Вступительные в МФТИ - 2002 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу после того, как мы преобразовали нашу систему к более приемлемому виду (а именно засунули тройку в логарифм и переписали вместе с ОДЗ систему) можно, к примеру, подставить значение y из первого уравнения во второе.

Подсказка 2

У нас получится система x > -4, (x - 2a)^2 = 3 - a. По условию нам нужно, чтобы было два решения. Как это можно переформулировать для полученной системы?

Подсказка 3

Это значит, что полученное квадратное уравнение должно иметь два различных корня, больших -4. Для этого нужен положительный дискриминант, вершина с абсциссой правее точки -4 и положительное значение функции в самой точке х=-4. Осталось решить эту систему и найти ответ!

Показать ответ и решение

Первое уравнение системы по свойствам логарифмов равносильно $24− 8x+8y =25− 6x+ 7y >0,$ поэтому после приведения подобных получаем

( |{ y = 1+2x |( x− y < 3 2 y+2 =(x− 2a)+ a+ 2x

{ x> −4 (x − 2a)2 = 3− a

Чтобы исходная система имела ровно $2$ решения, нужно, чтобы полученная система имела $2$ решения, потому что $y =1+ 2x$ каждому $x$ соответствует ровно одна пара решений.