Тема АЛГЕБРА

Задачи с параметром

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Задачи с параметром

Алгебра (+ логика). Связь между множествами решений

Алгебра. Теорема Виета

Алгебра. "Гвозди" для квадратичной функции

Алгебра. Исследование замены

Алгебра (+ логика). Несколько неизвестных или несколько параметров

Алгебра. Задачи без идеи, решающиеся аналитически

Алгебра в xOa (решение относительно параметра)

Графика. Прямые, пучки прямых, движение

Графика. Гипербола

Графика. Окружности: касание, пересечение, связь с другими объектами

Графика. Функции с модулем: галочка, корыто и другие

Графика. Отрезок, ромб, квадрат

Графика. Множество касательных, арктрига и прочее

Графика в xOa (параметр как вторая неизвестная)

Симметрия (и чётность) в параметрах

Монотонность и производная в параметрах, уравнения вида f(t) = f(z) или f(f(x)) = x

Метод главного модуля/слагаемого в параметрах

Непрерывность в параметрах

Исследование области значений функции (в том числе a = f(x))

Метод оценки (метод мажорант) в параметрах

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 121#43120Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения $x$ , каждое из которых хотя бы при одном значении параметра $a$ удовлетворяет неравенству

x− (3+ 21−a2) ------------≥ 0. x2− 7x+ 6

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте лучше попробуем найти дополнение этих х. То есть такие точки, для которых при всех а это неравенство меньше 0.

Показать ответ и решение

Вместо этого будем искать такие $x$ , что при всех значениях $a$ неравенство не выполнено, то есть дробь отрицательна. Достаточно рассматривать значения выражение $1−a2 t=3 +2 ∈(3,5]$ , то есть при любом $t∈ (3,5]$ верно

x − t (x−-1)(x−-6) <0

Если знаменатель отрицателен, то есть $x ∈(1,6)$ , тогда числитель должен быть положителен (при любом $t$ ) и $x > 5$ . Если же знаменатель положителен, то из числителя $x≤ 3$ , то есть решения будут $x∈ (−∞,1)$ . Объединяя результаты, имеем $x∈ (− ∞,1)∪(5,6)$ , только при таких $x$ решений нет для любых значений параметра $a$ , то есть решения найдутся при $x ∈(1,5]∪(6,+∞ )$ (не забываем ОДЗ).

Ответ:

$(1,5]∪(6,+∞ )$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 122#43121Максимум баллов за задание: 7

Для каждого неотрицательного значения параметра $a$ найдите множество решений неравенства

3 4 2 2 a x + 6ax − x+ 9a+3 ≥0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Параметр а у нас в кубе, не получается применить обычный трюк с квадратным уравнением. Давайте для начала применим другой, попробуем сделать замену и получить квадратное уравнение!

Подсказка 2!

Итак, для начала пусть а = 0, тогда легко найти, какой х. Теперь рассмотрим когда а>0 и домножим на а наше неравенство! Какую бы сделать замену, чтобы получить квадратное уравнение относительно а....

Подсказка 3!

Ага! Например, с = ах. Попробуйте теперь переписать наше условие с такой заменой, получив квадратное уравнение на а. Найдем у него корни с помощью дискриминанта...

Подсказка 4!

А теперь запишем наше уравнение с использованием этих корней (разложим на множители). У нас все еще неравенство, но слева теперь не страшное уравнение, а две скобки. Осталось осторожно их рассмотреть и получить ответ!

Показать ответ и решение

При $a= 0$ имеем $x ≤3$ . Далее $a> 0$ , домножим обе части на положительное $a$ и сделаем замену $ax= p$

4 2 2 2 2 4 p + 6ap − p+ 9a +3a≥ 0 ⇐⇒ 9a +a ⋅3(2p +1)− p+p ≥ 0

Найдём дискриминант $D =9(4p4 +4p2+ 1)− 36(p4− p)= (6p+ 3)2$ , выражаем корни $a= p−p2,− p2+p+1 3 3$ , откуда неравенство принимает вид

( p−-p2)( p2-+p+-1) 9 a− 3 a+ 3 ≥0

В силу $a> 0$ вторая скобка всегда положительна, потому неравенство эквивалентно

p− p2 a − -3---≥0 ⇐⇒ p2− p+ 3a ≥0 ⇐ ⇒ x2a2− ax +3a≥ 0 ⇐⇒

⇐ ⇒ x2a− x+ 3≥ 0, D =1− 12a≥ 0

Решения при $a< 112$ будут $( 1−√1−12a] [1+ √1−-12a ) − ∞,---2a-- ∪ --2a---,+∞$ . Если же $a ≥112$ , то неравенство выполнено при всех значениях $x$ .

Ответ:

$(|| x≤ 3 a= 0 { (−∞, 1−-√1−12a]∪[1+√1−12a,+∞ ) a∈ (0,-1) ||( 2a 2a a ≥-112 x∈ ℝ 12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 123#43203Максимум баллов за задание: 7

Найдите все $x$ , при которых неравенство

3 2 2 (a+ 2)x − (1+ 2a)x − 6x+ a +4a− 5> 0

выполняется хотя бы для одного $a∈ [−2;1]$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Давайте запишем это страшное неравенство просто как квадратное относительно а. Формулировка "хотя бы для одного а имеет решение" неудобная, давайте сначала найдем, при каких а оно не имеет решений, то есть для любых а верно противоположное неравенство.

Подсказка 2!

Но искать дискриминант у такого неравенства нам всё равно, конечно, не хочется... Давайте воспользуемся методом гвоздей в параболе! Для этого нам надо зафиксировать знак параболы в интересующих нас точках -2 и 1.

Подсказка 3!

Да, мы хотим понять, при каких х в граничных точках отрезка (а = -2 и а = 1) наша парабола принимает неположительные значения. Осталось только аккуратно разобраться, какие х подходят нам в ответ к ИСХОДНОЙ задаче, а какие нет!

Показать ответ и решение

Найдём сначала такие $x$ , при которых неравенство не выполнено ни для какого $a∈ [−2;1]$ , то есть для любых $a∈ [−2;1]$ верно

2 3 2 3 2 a + (x − 2x + 4)a+ 2x − x − 6x− 5≤ 0

При любом фиксированным $x$ левую часть можно рассматривать как параболу ветвями вверх относительно $a$ . Она принимает только неположительные значения на отрезке тогда и только тогда, когда она имеет два корня и этот отрезок располагается между её корнями. Для этого необходимо и достаточно, чтобы значения параболы на концах данного отрезка были неположительны. То есть

{ 4 − 2x3+ 4x2 − 8+ 2x3− x2 − 6x− 5= 3(x +1)(x − 3)≤ 0 3 2 3 2 1 +x − 2x +4 +2x − x − 6x− 5= 3x(x +1)(x − 2)≤ 0

Откуда $x∈{− 1} ∪[0,2]$ .

Итак, при этих значениях $x$ неравенство не выполнено ни для кого $a ∈[− 2;1]$ , иначе же найдётся такое $a$ . Итого дополнение даёт $x ∈(−∞;− 1)∪ (− 1;0)∪ (2;+∞ )$ .

Ответ:

$(−∞;− 1)∪(−1;0)∪ (2;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 124#45000Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

log1− x(a− x+ 2)=2

имеет хотя бы один корень на $(−1;1).$

Показать ответ и решение

Обе части неравенства определены при $1− x> 0,1 − x ⁄=1,a− x+ 2> 0.$

По определению логарифма уравнение сводится к $2 a− x +2 =(1− x)$ , то есть $2 a= x − x− 1$ .

$PIC$

Если нарисовать условия в системе координат $xOa$ , можно заметить, что у нас есть хотя бы один корень на интервале $(−1;1)$ при $a ∈[a0;1)$ , где $a0$ - значение $a$ в вершине параболы, то есть $a0 = 14 − 12 − 1 =− 54$ .

Осталось не забыть, что по ограничениям $x ⁄= 0$ , то есть при $a =− 1$ решений всё-таки нет.

Ответ:

$[− 5;−1)∪(−1;1) 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 125#46606Максимум баллов за задание: 7

Найти все значения $b$ , при которых уравнение $sinx= 9(2b− 1)2$ имеет корни, а числа $1−-4b 27b4$ являются целыми.

Показать ответ и решение

Уравнение будет иметь корни тогда и только тогда, когда

2 1 1 2 9(2b− 1) ≤ 1 ⇐ ⇒ |2b− 1|≤ 3 ⇐⇒ 3 ≤ b≤ 3

Далее исследуем функцию $1−4b f(b)= 27b4-$ на отрезке $1 2 [3,3]$

4 3b− 1 f′(b)= 27 ⋅-b5--≥ 0

Получается, что функция возрастает на данном отрезке, её минимальное значение равно $f(13)= −1$ , а максимальное $f(23)< 0.$ Единственное целое значение равно $− 1$ и достигается при $b= 13.$

Ответ:

$1 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 126#47916Максимум баллов за задание: 7

Найдите все целые значения параметра $b$ , при каждом из которых все решения уравнения

5√-10 6√-6 (1+ 1∕b)⋅ x + (2 +1∕b)⋅ x + 1− 1∕b= 0

являются целыми числами.

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Заметим две вещи: х у нас встречается только в четной степени, а b всегда встречается в виде 1/b. Что это значит?

Подсказка 2!

Означает, что мы можем сделать замену. Получим квадратное уравнение, осталось рассмотреть его корни!

Показать ответ и решение

Первое решение. Запомним $b⁄= 0.$ Домножим на $b$ , раскроем скобки и вынесем $b$ :

( 2 ) 2 b⋅ x +2|x|+ 1 = 1− |x|− x

Можем разделить на положительную скобку, так как она равна $(|x|+1)2 ≥ 1$ :

x2+-2|x|− |x|+-1−-2 -|x|+-2- b=− (|x|+ 1)2 = −1+ (|x|+ 1)2 >− 1

С другой стороны, можно оценить и сверху

b= −1+ -|x|+-22 = −1 +-1-- +---1--2 ≤− 1+1 +1= 1 (|x|+1) |x|+1 (|x|+ 1)

Итак, при $b≤− 1$ или $b> 1$ решений у уравнения не может быть, тем более целых. А тогда про все решения уравнения можно утверждать что угодно, в частности что все решения являются целыми числами - утверждение верно (ведь мы не можем опровергнуть его, приведя такое решение, которое было бы нецелым).

Остаётся понять про $b =1$ . Проверкой убеждаемся, что тут решения есть, но все решения целые ( $2x2 +3|x|= 0 ⇐⇒ x= 0$ ), так что это значение тоже подходит.

То есть $b≤− 1,b≥ 1$ подходят. $b= 0$ не может быть. В итоге все целые значения $b$ , кроме $b= 0$ , подходят.

Второе решение.

После замены $t= |x|≥ 0$ и $a= 1 b$ , имеем квадратное уравнение относительно $t$ (кроме $a= −1$ , для которого условие выполнено)

2 2 2 2 (1+ a)t + (2 +a)t+1− a= 0, D = 4+ 4a +a + 4a − 4 =5a + 4a

Нам подойдёт случай $D < 0 ⇐⇒ a∈(− 4;0) 5$ , когда решений нет, потому что про элементы пустого множества решений любое утверждение верно, в частности, что любое решение является целым числом (это пример, что из ложной предпосылки следует что угодно, импликация из $0$ всегда истинна).

Отдельно рассмотрим $D = 0 ⇐⇒ a∈ {0,− 4} 5$ . Здесь получаем $t=− 1$ и $t= −3$ , что нас устраивает, поскольку решений относительно $x$ также нет.

Пусть теперь уравнение имеет два корня, тогда неотрицательные должны быть целыми, а отрицательные могут быть любыми. Рассмотрим случаи

Оба корня отрицательные, при $D > 0$ достаточно учесть условия на коэффициенты. То есть
${ t1⋅t2 = 1− a >0 ⇐ ⇒ a <1 t1+ t2 =− 2− a <0 ⇐ ⇒ a >− 2$
Имеем $a∈ (−2,− 45)∪ (0,1)$ .
Ровно один корень отрицательный. Тогда второй неотрицательный и целый, отсюда их произведение $1− a≤ 0 ⇐ ⇒ a≥1$ . Корни имеют вид $√----- t1,2 = −2−a±2+25aa2+4a$ . Знаменатель положителен и корень с минусом будет меньше. Заметим, что
$2 2 5a + 4a≤ 2(2+ 2a), −2− a≤0$
Отсюда $−2−a+√5a2+4a √- t2 = 2+2a ≤ 2$ , потому может принимать только значения $0,1$ . В первом случае $2 2 a +4a+ 4= 5a +4a ⇐⇒ a= ±1$ . Во втором $√ -2----- 2 5a + 4a= 4+ 3a ⇐ ⇒ 4a + 20a+16= 0 ⇐⇒ a= −1,a= −4$ — также не подходят.
Оба корня неотрицательны и целые. Отсюда $a ≤− 2,a∈ ℤ$ , знаменатель отрицателен. Тогда выполнено
$2 +a+ ∘5a2+-4a≤ 0 =⇒ 5a2+ 4a− 4 − 4a− a2 = 4a2 − 4≤ 0 ⇐⇒ a∈ {−1;0;1}$

В итоге (объединяя решения для трёх случаев со значениями $a,$ для которых $D≤ 0$ ) имеем $a∈ (−2;1]$ , отсюда $b ∈(−∞;− 12)∪[1;+∞ ).$ Вспомним, что в условии спрашивали про целые значения параметра, и запишем ответ.

Ответ:

$ℤ ∖{0}$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 127#47920Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения, которые может принимать сумма $x+ a$ при условии

|2x+ 4− 2a|+ |x− 2+ a|≤ 3.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раз нужно найти x+a давайте заменим x+a на y! И попробуем теперь заменить модуль |y-2|!

Подсказка 2

Попробуем получить, что этот модуль не больше 3. Для этого перенесите второй модуль!

Подсказка 3

А теперь попробуйте доказать, что все возможные значения достигаются!

Показать ответ и решение

Сделаем замену $y = x+ a,z = x− a.$

Нам нужно найти все возможные значения $y$ при условии

|2z+ 4|+|y− 2|≤ 3.

Если $|y− 2|>3$ , то условие не выполнено. Покажем, что все значения $y$ , при которых $|y− 2|≤3$ возможны.

Для любого числа $c= |y− 2|$ из отрезка $[0;3]$ мы можем взять $2z+4 =3 − c$ , тогда условие

|2z+ 4|+ |y − 2|≤ 3 ⇐⇒ 3≤3

выполнено.

Итак, все возможные значения $y$ задаются условием

|y− 2|≤ 3 ⇐⇒ −3≤ y− 2≤ 3 ⇐ ⇒ − 1≤ y ≤ 5,

причём по имеющимся значениям $y =2 ±c$ и $z = − 1+c 2$ мы можем взять соответствующие $x$ и $a$ из системы

{ x+ a= y x− a= z

как полусумму и полуразность $y$ и $z.$

Ответ:

$[−1;5]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 128#49604Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

2 2 √- √---- √- a x +2a( 2− 1)x+ x − 2 =2 2 − 3

имеет хотя бы один корень.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В нашем уравнение есть слагаемые a²x² и 2ax(√2-1). Не намекают ли нам на то, что нужно собрать полный квадрат?

Подсказка

Как все удачно получилось: наше уравнение преобразовывается к (ax+√2-1)²+√(x-2)=0. Каждое слагаемое слева неотрицательно, но при этом в сумме дают 0. Когда такое бывает?

Подсказка 3

Верно, когда оба слагаемых равны нулю! Значит, нужно решить систему из двух уравнений: ax+√2-1=0 и x-2=0. Решите ее и найдите параметр a!

Показать ответ и решение

Выделим полный квадрат, заметив, что $(√2 − 1)2 = 2− 2√2-+1 =3− 2√2$ :

√ - 2 √---- (ax+ 2− 1) + x− 2= 0

Оба слагаемых неотрицательны, потому необходимо и достаточно

{ ax+ √2− 1= 0 1− √2 x− 2= 0 =⇒ x= 2, a=--2--

Итак, только при этом значении параметра уравнение имеет корни.

Ответ:

$1−√2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 129#51662Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $p,$ при которых уравнение

x x+2 −x 1−x 4 + 2 + 7= p− 4 − 2⋅2

имеет хотя бы одно решение.

Показать ответ и решение

Перепишем уравнение в виде $(4x +4−x)+ 4⋅(2x +2−x)= p− 7$ и сделаем замену $2x+2−x =t.$ Возводя обе части этого равенства в квадрат, получаем, что $2 (x −x)2 x −x t = 2 +2 = 4 +2 +4 ,$ откуда $x −x 2 4 + 4 =t − 2.$ Уравнение принимает вид $2 2 t − 2+4t= p− 7⇔ (t+2) = p− 1$ .

Найдём множество значений левой части уравнения. Поскольку $t≥ 2,$ получаем, что левая часть уравнения принимает значения из промежутка $[16;+∞ )$ .

Уравнение имеет хотя бы одно решение, если правая часть принадлежит этому же промежутку, т. е. при $p− 1≥ 16,$ откуда $p ≥17.$

Ответ:

$[17;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 130#51663Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a,$ при которых уравнение $log (3x +log a)= 2x 3 3$ имеет ровно одно решение.

Показать ответ и решение

Данное уравнение на ОДЗ равносильно следующему $:$

x 2x 2x x 3 +log3a =3 ,3 − 3 − log3a= 0

Делаем замену $3x = t.$ Получаем уравнение

2 t − t− log3a =0 (∗)

Исходное уравнение имеет ровно одно решение тогда и только тогда, когда уравнение $(∗)$ имеет ровно одно положительное решение Это возможно в двух случаях.

1) Уравнение $(∗)$ имеет ровно одно решение и это решение положительно.

Это может быть, если $D = 1+ 4log a= 0 3$ , откуда $a= 3−1∕4.$ Тогда получаем, что $t= 1, 2$ т. е. $(∗)$ имеет один положительный корень.

2) Уравнение $(∗)$ имеет два корня, один из которых положителен, а другой - нет. В этом случае удобно разобрать два варианта.

a) Одним из корней уравнения является $t= 0.$ Подставляя это значение $t$ в $(∗)$ находим, что $log a= 0 3$ $(a= 1).$ Тогда $(∗)$ принимает вид $t2 − t= 0,$ т. е. действительно имеет ровно один положительный корень Значит, $a= 1$ подходит.

б) Один из корней положителен, а второй - отрицателен. Для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство $− log3a <0$ , откуда $a> 1.$

Объединяя полученные результаты, находим, что ${ 1-} a ∈ 4√3 ∪ [1;+∞ ).$

Ответ:

${√1} ∪[1;+∞ ) 43$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 131#51664Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых функция $f(x)= x2− ||x − a2||− 3x$ имеет хотя бы одну точку максимума.

Показать ответ и решение

Раскрывая модуль, получаем, что на каждом из двух промежутков графиком функции $y =f(x)$ является парабола с ветвями вверх. Поскольку параболы с ветвями вверх не могут иметь точек максимума, единственная возможность заключается том, что точкой максимума является граiчная точка этих промежутков — точка $2 x= a .$ В этой точке будет максимум, если вершина параболы $2 2 y = x − 4x+a$ попадёт на промежуток $2 x> a,$ а вершина параболы $2 2 y =x − 2x− a$ — на промежуток $2 x< a$ (см. рис). Это условие задаётся неравенствами $2 2> a$ и $2 1 <a ,$ решая которые, находим, что $√ - √- a∈(− 2;−1)∪ (1; 2).$

$PIC$

Ответ:

$(−√2;−1)∪ (1;√2)$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 132#51665Максимум баллов за задание: 7

При каждом значении $a$ найдите все значения $x$ , удовлетворяющие уравнению

((x+-1)2 ) (x+-1)2 log5 x − a = log5 x − log5a

Показать ответ и решение

( (x+1)2- ) (x+1)2- log5( x ( − a =2 log)5 x − log52a ⇔ ⇔ { log5 (x+1x)-− a = log5 (x+a1x)-,⇔ (( a> 0 { (x+1)2− a = (x+1)2, { (a− 1)(x+ 1)2 =a2x, ⇔ ( (x+x1)2,a >0 ax ⇔ x,a> 0 x

Рассмотрим два случая:

(|{ a =1 1) x >0, ⇔ x∈ ∅ |( 0= x (|| 0< a ⁄=1, { 2) { x >0, ⇔ a> 1, ||( (x+1)2 =-a2 x= a− 1,a−11 x a−1

Ответ:

${a− 1;-1} a− 1$ при $a> 1$ ;

решений нет при $a≤ 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 133#51666Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых система

{ 25x− 13 ⋅5x+ a< 0; 12sin4πx− cos4πx =11

имеет хотя бы одно решение.

Показать ответ и решение

Решим сначала уравнение системы:

12 sin4πx− cos4πx= 11⇔ ⇔ 3(1− c)2− (2c2− 1)− 11= 0, где c= cos2πx,⇔ 2 ⇔ c − 6c− 7= 0⇔ (c− 7)(c+ 1)= 0⇔ ⇔ cos2πx= −1 ⇔ 2πx = π+2πn, где n ∈ℤ,⇔ ⇔ x= 0,5 +n

Теперь для того чтобы хотя бы при одном из найденных значений $x$ выполнялось неравенство системы

25x− 13 ⋅5x <− a⇔ t2− 13t< −a, где t= 5x =5n√5,⇔ ⇔ (t− 6,5)2 <− a+6,52

необходимо и достаточно, чтобы оно выполнялось для такого $t= 5n√5,$ для которого левая часть последнего неравенства минимальна при $n∈ℤ.$ Такое число $t$ - ближайшее к точке $6,5,$ а именно $t=√5,$ поскольку: 1) точка 6,5 лежит между числами $t0 = 50√5$ и $t1 = 51√5$ (так как $√5< 3< 6,5 <5⋅2 <5√5)$ 2) точка $t0$ лежит ближе к $6,5,$ чем точка $t1$ (так как $6,5− √5<$ $<5√5 − 6,5⇔ 13< 6√5⇔ 169< 180,$ что верно $)$ Таким образом, система имеет решение тогда и только тогда, когда

2 √-2 √- √- t0− 13t0 < −a⇔ 5 − 13 5 <− a⇔ a< 13 5− 5

Ответ:

$a <13√5− 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 134#70492Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях параметра $a∈ ℝ$ наибольшее расстояние между корнями уравнения

3 ( 2) 2 ( 2 ) atg x+ 2 − a− a tg x + a − 2a − 2 tgx+ 2a =0,

принадлежащими интервалу $(− π;π), 2 2$ принимает наименьшее значение? Найдите это наименьшее значение.

Источники: Ломоносов-2022, 11.6 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так, ну у нас тут кубическое уравнение относительно тангенса. В общем виде мы очень плохо решаем уравнения 3 степени, поэтому обычно в таких ситуациях мы пытаемся найти какое-то решение, а потом уже решать квадратное, поделив кубическое на это решение. Если вы верите в светлое будущее, то вам, скорее всего, нужно найти этот корень, потому как иначе непонятно, что делать и как исследовать разность между корнями, да ещё арктангенс брать. В общем, попытайтесь найти решение!

Подсказка 2

Ищется оно недолго, так как первая мысль «tgx = 1» срабатывает. После чего мы получим некоторый квадратный трехчлен, который уже можно разложить, либо просто угадав корни, либо через дискриминант. Получим, итого, (t - 1)(t - a)(at + 2) = 0, где t = tgx. Посмотрим на корни t = а и t = -2/a(если a!=0). Что можно про них сказать?

Подсказка 3

В силу того, что tgх нечетная функция, выходит, что один из корней точно < 0(уже после взятия арктангенса). Но при этом у нас есть корень pi/4. Что тогда можно сказать про наибольшее расстояние? А если а = 0?

Подсказка 4

Верно, что оно больше pi/4. Но в этих случаях, мы рассмотрели ситуации, когда a!=0, так как иначе один из корней не определен. Если же а = 0 , то есть два корня - 0 и pi/4. И тут расстояние ровно pi/4. Значит, в других ситуациях расстояние больше pi/4, а в этом pi/4. Значит, есть и оценка, и пример!

Показать ответ и решение

Данное уравнение можно переписать в виде

(tgx− 1)(tgx − a)(a tgx +2)= 0

Откуда при $x∈ (− π;π) 2 2$ либо $tgx =1$ и $x = π, 4$ либо $tg x= a$ и $x= arctg a,$ либо (при $a⁄= 0)tgx =− 2 a$ и $x= − arctg 2. a$ Таким образом, данное уравнение имеет на интервале $(− π;π) 2 2$ два или три различных корня (второй корень не может совпадать с третьим, так как $arctg a$ и $− arctg 2 a$ имеют разные знаки при любом $a⁄= 0$ в силу нечётности арктангенса).

Случай 1: $a =0.$ Тогда остаётся два корня $x= π 4$ и $x = 0,$ которые отличаются на $π. 4$

Случай 2: $a >0.$ Тогда разность между корнями $x= π 4$ и $x= − arctg 2< 0 a$ больше, чем $π. 4$

Случай 3: $a <0.$ Тогда разность между корнями $π x= 4$ и $x= arctga< 0$ больше, чем $π 4.$

Ответ:

$π 4$ при $a =0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 135#70778Максимум баллов за задание: 7

Найдите все пары чисел $(a;b)$ такие, что неравенство

4x-− 3 2 2x − 2 ≥ax +b≥ 8x − 34x+ 30

выполнено для всех $x$ на промежутке $(1;3].$

Источники: Физтех-2023, 11.6 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрим на квадратный трехчлен справа! Какие значения многочлен принимает в точках 1 и 3?

Подсказка 2

Да, значения в точках 3 и 1 равны, соответственно 0 и 4. Из этого мы понимаем, что наша прямая(ax+b) пересекает эти точки или лежит выше прямой, которая проходит через эти точки! Остаётся проанализировать гиперболу в левой части неравенства! Что можно сказать про положение этой гиперболы, относительно прямой, которая проходит через две полученные нами точки из квадратного трёхчлена?

Подсказка 3

Да, гипербола касается точки, принадлежащей этой прямой! При этом угловой коэффициент прямой совпадает с производной гиперболы в этой самой точке! Тогда, что можно сказать про все прямые, которые находятся выше выбранной?

Подсказка 4

Верно, они не подходят под условие, так как пересекают гиперболу!

Показать ответ и решение

Рассмотрим второе неравенство. Обозначим

2 h(x)= 8x − 34x+ 30

График - парабола с ветвями вверх. На концах данного в условии промежутка имеем $h(1)= 4,h(3)= 0.$ Так как неравенство должно выполняться на всём промежутке, то точки $M (1;4)$ и $N(3;0)$ могут располагаться на прямой $y = ax +b$ или ниже неё. Отсюда самое "низкое"расположение этой прямой (на указанном промежутке) есть прямая $MN$ . Составляя её уравнение по двум точкам, имеем $y =− 2x +6$ (назовём эту прямую $ℓ).$

График левой части неравенства - гипербола

4x− 3 g(x)= 2x− 2

Заметим, что она касается прямой $ℓ$ в точке, принадлежащей промежутку $(1;3]$ . Действительно, уравнение

4x− 3 2x−-2 = −2x+ 6

имеет единственное решение $x = 32.$ При этом

( ) g′(x)= − --2---,g′ 3 =− 2 (2x− 2)2 2

Т.е. угловой коэффициент прямой $ℓ$ совпадает с производной функции $y = g(x)$ в их общей точке.

$PIC$

Несложно видеть, что на данном промежутке прямая $ℓ$ находится ниже гиперболы. Любая прямая, расположенная “выше” прямой $ℓ$ пересекается с гиперболой, и потому не удовлетворяет условию.

Итак, $ℓ$ — единственная возможная прямая, удовлетворяющая условию; следовательно, $a =− 2$ , $b=6.$

Ответ:

$a =− 2,b= 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 136#71527Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях параметра $a$ уравнение

2 log2x +(a− 6)log2 x+9 − 3a= 0

имеет ровно два корня, один из которых в четыре раза больше, чем другой?

Источники: ОММО-2022, номер 7 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Решать параметр с логарифмом совсем как-то не хочется. Какое первое действие можно сделать сразу?

Подсказка 2

Верно, можно просто сделать замену логарифма и решать для начала квадратное уравнение с параметром. В таких случаях очень полезно бывает проверить, не имеет ли наше уравнение очевидных корней? Угадать их помогает разложение свободного члена и теорема Виета.

Подсказка 3

Ага, корни нашего уравнения 3 и 3-a. Осталось только сделать обратную замену, выполнить условие задачи, и победа!

Показать ответ и решение

Пусть $t= log x, 2$ тогда уравнение принимает вид

2 t+ (a− 6)t+ (9− 3a)=0

Заметим, что

3⋅(3− a)= 9− 3a,3+ (3− a)= 6− a

Отсюда по теореме, обратной теореме Виета, корни этого уравнения $− 3$ и $3− a.$ Делаем обратную замену:

[ log2x= 3 [ x= 8 log2x= 3− a ⇒ x= 23−a

Получаем два случая:

[ [ 8 =4⋅23−a ⇒ a= 2 23−a = 4⋅8 a= −2

Ответ:

${−2;2}$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 137#74504Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a,$ при которых система

({ (ay− ax+2)(4y − 3|x − a|− x+ 5a)= 0 ( ) ( logax2+ logay2− 2log2 a2 =8

имеет шесть различных решений.

Источники: ШВБ-2022, (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Система только кажется страшной, а когда так кажется, то скорее всего за ней спрятано что-то простое. Давайте тогда попробуем разбить наши сложные уравнения на несколько простых, а ещё попутно не забудем собирать ограничения на ОДЗ!

Подсказка 2

Во втором уравнении как-то странно выбивается log₂(a²), ведь остальные логарифмы по основанию "a". Может, стоит его перевернуть? Не забывайте, что мы не всегда вправе так делать, вспомните, какими утверждениями мы пользуемся при таком переходе, чтобы он был равносильным.

Подсказка 3

Первое уравнение легко распадается на 2 независимых, а значит, нашу систему можно переписать как совокупность систем и работать с каждой из них по отдельности. Мы могли бы поверить в светлое будущее и понадеяться, что в сумме полученные системы имеют не более 6 решений, чтобы получить ещё побольше информации, но, порисовав графики, можно убедиться, что решений может быть больше. Поэтому придётся искать, сколько решений имеет каждая из систем по отдельности для всех "a".

Подсказка 4

Давайте начнём с системы ay-ax+2=0; |xy|=4a. Про I, II, III четверти мы всё понимаем, а вот с IV стоит поработать. Поэтому мы сразу можем сказать, что работаем при x > 0, y < 0. Интуитивно хочется сказать, что нас волнует только точка (1/a, -1/a) прямой ay-ax+2=0, которая сама бегает по прямой y = -x, а именно под или над веткой гиперболы она лежит. Ещё очень хочется сказать, что ближайший маршрут от точки (0,0) до ветки лежит на прямой y = -x. А если что-то хочется, то надо бы попробовать это доказать. Подумайте, как можно понять, сколько общих точек с веткой гиперболы из IV четверти имеет наша прямая для всех "a"?

Подсказка 5

Мы же можем перейти к расстояниям от интересующих нас точек до точки (0,0), ведь они обе лежат на прямой y=-x и на ней же лежит отрезок из начала координат до ближайших точек соответствующих графиков, а зная расстояние до каждой из них, мы с лёгкостью сможем сказать, сколько решений имеет данная система.

Подсказка 6

Чтобы найти длину достаточно знать координаты каждой из указанных точек и воспользоваться теоремой Пифагора. На самом деле для нахождения кратчайшего расстояния до прямой ay-ax+2=0 можно было воспользоваться фактами для прямоугольного треугольника, который образуется пересечением этой прямой с осями, такой приём может сильно сократить вычисления в более сложных задачах.

Подсказка 7

Наконец перейдём ко второй системе. Теперь у нас один из графиков не прямой, а "уголок" ("галочка", "клин"). Чтобы хорошо себе представить его поведение хорошо бы знать, как меняется его "вершина" и "ветки" при изменении "a".

Подсказка 7

Можно заметить, что коэффициент перед "x" от "a" не зависит, а значит его ветки постоянны, а если вместо "x" подставить "a" (момент смены знака модуля или наклона прямой), то можно заметить, что y = -a, а значит, его вершина лежит на прямой y=-x, и мы снова свели задачку к IV четверти, но у нас уже есть все инструменты для решения аналогичной задачи!

Подсказка 8

Не забудьте про то, что если первая система имеет A решений, вторая - B, то необязательно, что их совокупность будет иметь A+B решений, ведь некоторые могут совпасть...

Показать ответ и решение

Упростим второе уравнение системы:

( 2 2 ) 2 22 logax +logay − 2 log2a = 8⇔ a >0,a⁄= 1,logaxy =2+ 4loga2,|xy|=4a

⌊ { ay − ax+ 2= 0 ⌊ { y =x −-2 || |xy|=4a,a> 0,a ⁄=1 || |xy|= 4aa,a> 0,a⁄= 1 || { ⇔ || { |⌈ 4y − 3|x − a|− x+ 5a =0 |⌈ y = 34|x− a|+ x4 − 5a4 |xy|=4a,a> 0,a ⁄=1 |xy|= 4a,a> 0,a⁄= 1

{ y = x− 2∕a |xy|= 4a, a> 0,a⁄= 1.

1) Система имеет 2 различных решения, если

2 √- 1 a < 4 a,a> √34-,a ⁄=1

Найдем эти решения:

x −-2= 4a,x2− 2x− 4a =0, a x a

√------ √------ x = 1±--1+-4a3,y = −1±--1+-4a3 1∕2 a 1∕2 a

2) Система имеет 3 различных решения, если

2 √ - -1- a = 4 a, a= √34-

Найдем эти решения:

√-----3 √-----3 x1∕2 = 1±-1+-4a-,y1∕2 = −1±--1+-4a- a a

√ - √- x3 = 2 a,y3 = −2 a

3) Система имеет 4 различных решения, если

2> 4√a, 0 <a < 1√-- a 34

Найдем эти решения:

2 4a 2 2 x− a =-x ⇒ x − ax− 4a =0

√-----3 √-----3 x1∕2 = 1±-1+-4a-,y1∕2 = −1±--1+-4a- a a

x− 2 =− 4a⇒ x2− 2x +4a= 0 a x a

√------ √------ x3∕4 = 1±-1−-4a3,y3∕4 = −1±--1−-4a3 a a

$PIC$

II.

{ y = 3|x − a|∕4 +x∕4− 5a∕4 |xy|=4a, a >0,a⁄= 1

$y = 3|x− a|∕4+ x∕4− 5a∕4,$ при $x≥ a$ имеем $y =x − 2a,$ при $x≤$ $a$ имеем $x+a y = − 2 .$

1) Система имеет 2 различных решения, если

√- 2a <4 a,a< 4,a⁄= 1

Найдем эти решения:

4a 2 x − 2a= x ⇒ x − 2ax− 4a= 0

∘------ ∘ ------ x1 = a+ a2+ 4a,y1 = −a+ a2+4a

x+ a 4a −--2- =− x-⇒ x2+ ax− 8a =0

√ ------- √------- x2 = −-a−-a2+32a,y2 = −a+-a2+-32a 2 4

$PIC$

2) Система имеет 3 различных решения, если

√ - 2a= 4 a,a =4

Найдем эти решения:

∘------ ∘ ------ x1 = a+ a2+ 4a,y1 = −a+ a2+4a

√ -2----- √-2----- x2 = −-a−-a-+32a,y2 = −a+-a-+-32a 2 4

x3 = 2√a,y3 = −2√a

3) Найдем значение параметра $a> 0,$ при котором прямая $y = − x+2a$ будет касаться графика гиперболы $y = 4xa.$

− x+-a= 4a ⇒ x2 +ax+ 8a= 0 2 x

$D= a(a− 32)= 0,a =32.$ Тогда при $4< a <32$ система будет иметь 4 решения:

∘-2---- ∘ -2---- x1 = a+ a + 4a,y1 = −a+ a +4a

------- ------- −-a±√-a2+32a −-a∓√-a2+32a x2∕3 = 2 ,y2∕3 = 4

Найдем четвертое решение:

4a 2 x− 2a =− x-,x − 2ax+ 4a= 0

∘------ ∘ ------ x4 = a+ a2− 4a,y4 = −a+ a2− 4a

4) При $a= 32$ система будет иметь 5 различных решений:

∘------ ∘ ------ x1 = a+ a2+ 4a,y1 = −a+ a2+4a

√ ------- √ ------- x2∕3 = −-a±-a2+32a,y2∕3 = −-a∓-a2+32a 2 4

x = a+ ∘a2−-4a,y = −a+ ∘a2-− 4a 4 4

x5 =− a∕2,y5 = −a∕4

5) Система имеет 6 различных решений при $a> 32$ :

------ ------ x1 = a+ ∘a2+ 4a,y1 = −a+ ∘ a2+4a

− a±√a2-+32a- − a∓√a2-+32a- x2∕3 =------2-----,y2∕3 =------4-----

∘------ ∘ ------ x4 = a+ a2− 4a,y4 = −a+ a2− 4a

− a±√a2-− 32a − a∓√a2-− 32a x5∕6 =------2-----,y5∕6 =------4-----

$PIC$

Возможны следующие случаи совпадения решений в I и II случаях:

1) $x− 2a = x− 2a,a= 1,$ в этом случае нет решений;

2) прямые $y = x− 2a,y = − x+2a$ и гипербола $y = 4xa$ пересекаются в одной точке, но этот случай возможен при $a > 32,$ и в этом случае будет 7 решений.

Ответ:

$(0;√1-)∪(4;32) 34$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 138#74781Максимум баллов за задание: 7

Найдите все действительные числа $d,$ для которых существуют многочлены от одной переменной $P$ и $Q,$ такие что равенство

P(x) P(x+ d) 1 Q(x) − Q(x+-d) = x(x-+1)

выполняется при всех значениях $x$ , кроме конечного числа (есть лишь конечное множество значений $x$ , для которых равенство не выполняется).

Источники: Высшая проба - 2022, 11.4 (см. olymp.hse.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы знаем, что 1/x(x+ 1) = 1/x - 1/(x + 1) - так мы удобно для себя разложили правую дробь. Однако, мы знаем, что любую, так называемую иррациональную дробь (то есть, где сверху и снизу - многочлены) можно разложить на сумму вида P_i(x) / (x - alpha_i) ^ n_i, где P_i(x) - не нулевой многочлен, а alpha_i - корень, возможно комплексный(чтобы было линейно разложимо) многочлена Q(x). Поэтому основная идея задачи - разложить дроби в такой вид и смотреть на то, могут ли как-то сократиться подобные. То есть, если у вас есть к примеру, в левой часть какой-то не сократившийся член 1/(x + k), а справа его нет, то это значит, что равенство происходит только в конечном числе точек, что нам не подходит. В правой часть у нас только 1/x - 1/(x + 1), значит и в левой части должно быть также. Значит, по нашему предположению о решении задачи - хотелось бы доказать, что-то насчет 0,1 и их связи с корнями. Если мы хотим доказывать от противоречия и как-то использовать корни, то, с учетом вот этой «несократимости», которая была описана выше, как мы хотим его получить?

Подсказка 2

Удачным был бы шаг решения, когда мы получили какой-то корень отличный от 0 и 1, при этом, такой, чтобы он был корнем Q(x), но не корнем Q(x + d), потому что тогда бы мы получили бы в нашем разложении на сумму дробей что-то, что не сокращается с Q(x + d) и не сокращается с правой частью. И поскольку мы каждый раз прибавляем x + d (напомним - мы можем подставлять почти, с точностью до конечного числа, любые значения и будет выполнено равенство), то наверное правильным решением будет ввести понятие цепи - всевозможных чисел вида alpha + md, где m - целое и alpha - корень Q(x). А также нам надо что-то понимать про то, какие из чисел этой цепи являются корнем или нет. Попробуйте использовать принцип крайнего и получите хорошее утверждение, которое значит больше половины задачи.

Подсказка 3

Нам удобно ввести m_- и m_+ - наименьшее и наибольшее соотвественно число, при котором alpha + md является корнем Q(x) (корректно ли это определение?). Тогда в смысле цепи нам бы хотелось доказать, что если alpha - корень, то 0 и 1 лежат в цепи alpha. Предположим, что хотя бы одно не лежит в цепи. Тогда, корень Q(x) - alpha_i = alpha + m_+ * d не равно ни 0, ни 1. Может ли быть, что это также корень Q(x + d)? А о чем тогда это говорит в связи с предыдущими рассуждениями?

Подсказка 4

Конечно, это не может быть корнем Q(x + d), иначе тогда бы alpha + (m_+ + 1) * d был бы корнем Q(x), что противоречит максимальности. Тогда эта дробь, соответствующая корню, не сократится ни с Q(x + d), ни с правой частью. А потому пришли к противоречию. Значит, для некоторого целого m_1 верно, что alpha + m_1 * d = 0, и для некоторого целого m_2 верно, что m_2 * d + alpha = 1, а значит, (m_2 - m_1) * d = 0 = > для некоторого целого m выполнено, что md = 1 => d = 1/m, где m - целое. Осталось доказать, по хорошему, конструктивно, что все такие d подходят. Если строить пример, то надо строить его в виде уже разложенных в сумму дробей многочленов, потому что нам потом самим раскладывать. Какой тогда пример мы можем привести, если хотим, чтобы после разности очень похожих дробей (по сути - все сместится на 1/m в знаменателях и это будет что-то очень похожее), у нас осталось только 1/x - 1/(x + 1)? Может быть как то, условное «смещение» некоторой последовательности использовать? А как его добиться?

Подсказка 5

Если мы хотим добиться смещения по последовательности, то нам надо, чтобы при прибавлении 1/m для каждого члена у нас получался следующий, а также, чтобы последний член становился равным 1, чтобы получалось 1/(x + 1). На такую роль очень подходит дробь вида 1/x + 1/(x + 1/m) + 1/(x + 2/m) + … + 1/(x + (m - 1)/m). Тогда все работает. А правда ли, что этот пример работает для всех m? А если взять m = -1? К тому же, стоит, напоследок, перед тем как полностью решить задачу подумать, к чему тут именно конечное число точек, а не нулевое и везде ли мы делали корректные переходы не упуская случай d = 0. Пробегитесь по решению и проверьте на корректность все

Показать ответ и решение

Сразу заметим, что при $d= 0$ равенство из условия невозможно, так что далее мы везде считаем, что $d⁄= 0$ даже когда не напоминаем об этом явно.

Предположим, что такие многочлены $P$ и $Q$ нашлись. Тогда можно считать, что они взаимнопросты (иначе поделим оба на общий множитель — новая пара тоже удовлетворяет условию), и у $Q$ старший коэффициент равен 1 (домножим $P$ и $Q$ на константу , чтобы старший коэффициент стал равен 1). Введем обозначение для разложения $Q$ на линейные множители (естественно, воспользовавшись существованием такого разложения в комплексных числах):

Q(x)=(x− α1)n1(x− α2)n2⋅⋅⋅(x− αk)nk

Для комплексного числа $α$ множество чисел вида $α +md,$ где $m ∈ℤ$ , будем называть цепью числа $α.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ключевое утверждение:

Если $α$ — корень $Q,$ то числа 0 и 1 принадлежат цепи $α.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Доказательство.

Пусть $α$ — корень $Q,$ тогда обозначим через $m−$ и $m+$ такие минимальное и максимальное значения $m,$ при которых $α+ md$ является корнем $Q.$ Заметим, что $m−$ и $m+$ определены корректно: множество значений $m$ не пусто (поскольку 0 подходит) и конечно, поскольку у $Q$ конечное число корней (первое место, в котором важно, что $d⁄= 0$ ). Тогда пусть не оба числа 0 и 1 лежат в цепи $α.$ Тогда одно из двух чисел $α+ (m− − 1)d$ и $α+ m+d$ не является ни 0 ни 1 (второе место: нам важно, что $α +(m − − 1)d$ и $α +m+d$ — два разных числа). Рассмотрим эти два случая.

Пусть $α+ m+d= αi$ — не равно ни 0 ни 1. Посмотрим на равенство из условия

P-(x)− P(x+-d)= ---1-- = 1− -1-- Q (x) Q(x+ d) x(x+ 1) x x+ 1

и разложим левую часть на простейшие дроби:

P(x)= P (x)+ --P1(x)-- +--P2(x)- +⋅⋅⋅+--Pk(x)- , Q (x) 0 (x− α1)n1 (x− α2)n2 (x− αk)nk

где степень $Pi(x)$ меньше $ni$ при $1 ≤i≤ k,$ причем $Pi ⁄= 0.$

Поскольку $αi$ — корень $Q,$ в разложение $PQ((xx))$ входит член со знаменателем $(x − αi)ni$ и ненулевым числителем. Но $αi$ — не корень $Q (x+ d),$ иначе $α + d= α+ (m +1)d i +$ было бы корнем $Q(x),$ что противоречило бы максимальности $m +$ . Тогда член со знаменателем $ni (x− αi)$ не входит в разложение $P(x+d) Q(x+d),$ значит члену с таким знаменателем слева не с чем сократиться — но он не входит в правую часть — противоречие.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Итак, мы доказали, что если у многочлена $Q$ есть комплексные корни, то в цепь этого корня входят числа 0 и 1, то есть выполняется равенство $-1 d= m$ для какого-то целого $m$ . Если же у $Q$ нет комплексных корней, то он - ненулевая константа, то есть $P(x)- Q(x)$ и $P (x+d) Q-(x+d)$ — многочлены, тогда их разность не может равняться $x(x1+1).$

Осталось показать, что все значения вида $d= 1m,$ где $m ∈ ℤ,m ⁄= 0$ подходят. Для $m >0$ достаточно взять функцию

1+ --11-+ --12-+ ⋅⋅⋅+ ---1m−1- x x+ m x+ m x+ m

и привести сумму к общему знаменателю, числитель взять в качестве $P,$ а знаменатель — $Q.$ Для $m <0$ то же самое сделать с суммой

-−1- ---−1--- --−-1--- -−-1-- x+ 1 + x+ −m−−m1-+ x+ −m−−m2-+⋅⋅⋅+ x+ −1m

Ответ:

$d =-1, m$ где $m ∈ℤ,m ⁄= 0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 139#76643Максимум баллов за задание: 7

Найти все числа $C$ , для которых неравенство $|αsin x+β cos2x|≤C$ выполняется при всех $x$ и любых $(α;β)$ таких, что $2 2 α + β ≤ 4.$

Источники: Росатом-2022, московский вариант, 11.2 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Функции синус и косинус ограничены отрезком [-1;1]. Значит, можно оценить левую часть, избавившись от этих функций.

Подсказка 2

Найдите максимальное значение левой части при фиксированных коэффициентах и покажите, что оно достигается.

Подсказка 3

Используя второе условие, можно нарисовать получившиеся ограничения на C. Из рисунка будет понятно, какие значения подходят под ответ.

Показать ответ и решение

$f(x)= |αsin x+β cos2x|≤|α||sinx|+ |β||cos2x|≤ |α|+ |β|.$ Покажем, что значение $|α|+ |β|$ всегда достижимо для функции $f(x)$ при любых $(α;β):$

1. Если $α$ и $β$ одного знака, то $(3π) f 2 = |− α − β|= |α|+ |β|;$

2. Если $α$ и $β$ разных знаков, то $(π) f 2 =|α− β|=|α|+|β|$

Таким образом, при фиксированных $(α;β)$ максимальное значение $f(x)$ равно $|α|+|β|.$ В круге $2 2 α +β ≤4$ величина $|α|+ |β|$ принимает наибольшее значение $√- 2 2.$

$PIC$

Итак, при любых $(α;β)$ в круге $α2 +β2 ≤4$ и при любых $x$ справедливо неравенство $f(x)= |αsin x+β cos2x|≤2√2,$ так что любое $C < 2√2$ не удовлетворяет условию задачи, а $C ≥2√2$ искомое.

Ответ:

$C ≥ 2√2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 140#76647Максимум баллов за задание: 7

На плоскости отмечено множество точек $M,$ координаты $x$ и $y$ которых связаны соотношением

sin(2x +3y)= sin2x+ sin3y.

Круг радиуса $R,$ расположенный на той же плоскости, не пересекается с множеством $M.$ Какие значения может принимать радиус такого круга?

Источники: Росатом-2022, московский вариант, 11.5 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не очень удобно работать с синусами от разных аргументов. Может, попытаться расписать сумму синусов?

Подсказка 2

Что будет, если посмотреть на левую часть как синус двойного угла?

Подсказка 3

Получилось, что нужно разобрать 3 случая, и нарисовать их, для того чтобы понять, какие радиусы нам подходят

Показать ответ и решение

В левой части равенства применим формулу синуса двойного угла, а в правой части применим формулу суммы синусов:

2x+ 3y 2x+ 3y 2x+ 3y 2x − 3y 2sin---2--cos--2---= 2sin--2---cos--2---

2x+ 3y( 2x+ 3y 2x− 3y) 2sin---2-- cos--2---− cos---2-- =0

−4sin 2x-+3ysin3ysinx =0 2 2

Случай 1: $sin2x+3y-= 0⇒ 2x+ 3y =2πk,k∈ ℤ (1) 2$

Случай 2: $sin3y= 0⇒ y = 2πk,k∈ ℤ (2) 2 3$

Семейство горизонтальных прямых на плоскости с уравнениями $(2)$ принадлежат множеству $M.$

Случай 3:

$sinx= 0,y− любое ⇒ x= πk,k ∈ℤ.(3)$

Семейство вертикальных прямых на плоскости с уравнениями $(3)$ принадлежат множеству $M.$ Семейство прямых разбивает плоскость на равные прямоугольные треугольники с катетами $π$ и $2π: 3$

$PIC$

Радиус круга, вписанного $△ABC,$ равен $5−√613π.$ Если радиус круга, не имеющего с $M$ общих точек, имеет радиус $R ≥ 5−√613π,$ то его центр принадлежит одному из треугольников разбиения, а окружность его границы имеет общие точки со сторонами треугольника. Таким образом, радиус такой окружности меньше радиуса вписанной окружности.

Ответ:

$( 5− √13 ) 0;--6---π$

Следующая подтема