Тема ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

Уравнения в целых числах → .03 Оценки в уравнениях над Z

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела теория чисел

Разделы подтемы Уравнения в целых числах

Выбор модуля и перебор случаев в уравнениях над Z

Разложение на целые скобки

Оценки в уравнениях над Z

Уравнения на НОД и НОК

Линейные диофантовы уравнения

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#75876Максимум баллов за задание: 7

Решите в целых числах уравнение $x2 +3x+ 7= y2.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте найти решения при фиксированном y².

Подсказка 2

Получается, что при фиксированной правой части у нас есть два решения, сумма которых равна -3. Также стоит учесть, что правая часть это y². Тогда мы можем вписать решения, которые следуют из нахождения одного решения (x, y).

Подсказка 3

Очень часто, когда мы хотим доказать, что что-то не является квадратом, то мы пробуем зажимать его между двумя. Быть может, такое можно сделать и тут? При каких x такое можно провернуть?

Подсказка 4

Из наших наблюдений о решениях достаточно рассматривать x > -3/2, y > 0. При каких из них можно зажать левую часть между квадратами?

Подсказка 5

Рассмотрите отдельно случаи x > 3, x = 2, ..., -1.

Показать ответ и решение

Заметим, что если $(x ,y ) 0 0$ — решение, то $(−3− x ,y ),(x ,− y),(− 3− x ,−y ) 0 0 0 0 0 0$ тоже решения. Тогда достаточно найти все решения вида $(x,y),x≥ −3∕2,y ≥ 0,$ остальные будут производными от этих.

1) Если $x> 3,$ то $2 2 2 (x +2) > x +3x+ 7> (x+ 1) .$ Значит, $2 x + 3x+7$ не может быть квадратом целого числа при таких ограничениях.

2) $x= 3;$

$2 2 x + 3x+ 7= 25= y;$

${(3,±5),(− 6,±5)}$ — решения

3) $x= 2;$ $2 x + 3x+ 7= 17$ — не квадрат, решений в целых числах нет;

4) $x= 1;$ $2 x + 3x+ 7= 11$ — не квадрат, решений в целых числах нет;

5) $x= 0;$ $x2+ 3x+ 7= 7$ — не квадрат, решений в целых числах нет;

6) $x= −1;$ $x2 +3x+ 7= 5$ — не квадрат, решений в целых числах нет;

Ответ:

${(3,±5),(− 6,±5)}$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#75877Максимум баллов за задание: 7

Существует ли натуральное число, являющееся точным квадратом, которое можно представить в виде суммы $4$ квадратов последовательных натуральных чисел?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Существует ряд модулей, по которым квадраты натуральных чисел дают "приятные остатки". К их числу относиться, например, модуль 5, квадрат натурального числа может давать только остатки 0, 1,-1. А по какому модулю можно рассмотреть данное уравнение?

Показать ответ и решение

Пусть такое число $A$ существует. И пусть оно представляется как $A =(x− 1)2+ x2+ (x +1)2+(x+ 2)2 =4x2+ 4x+ 6(x≥ 2).$ Но если $x$ — натуральное, то:

8x +4 >4x+ 6> 4x+ 1

4x2+8x+ 4> 4x2+4x +6> 4x2+ 4x +1

(2x+2)2 > A >(2x+ 1)2

Т.е. мы зажали наше $A$ между двумя последовательными квадратами натуральных чисел. Следовательно $A$ не может являться квадратом натурального числа.

Ответ:

Не существует

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#75879Максимум баллов за задание: 7

Решите в натуральных числах уравнение: $2n+ 15n = x2.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Степени данных чисел находятся все дальше от друга при увеличении чисел. Как можно воспользоваться этим в данном задании?

Подсказка 2

Было бы приятнее работать в случае, если n было бы четным, тогда мы могли бы рассматривать все слагаемые уравнения как квадраты. Докажите, что случай нечетного n невозможен по модулю 3.

Подсказка 3

Иногда в задачах на проверку существования какой-либо степени числа полезно зажимать данное число между двумя соседними числам, которые являются теми же степенями. Используйте, что 15^n больше 2^n, следовательно, квадрат их суммы должен быть не сильно больше, чем 15^n, которое само по себе является квадратом.

Подсказка 4

Докажите, что 2^n + 15^n < (15^(n/2)+1)^2.

Показать ответ и решение

Рассмотрим остатки по модулю 3: $2n ≡ (−1)n,15n ≡0,x2 ≡ 0,1$ $(mod 3).$ Из этого следует, что $n$ — четное (иначе $n n 2 + 15 ≡ −1 (mod 3)).$ Тогда $n 15$ — квадрат натурального числа. Рассмотрим квадрат следующего натурального числа:

n 2 n n (152 + 1) =15 + 2⋅152 + 1=

n √--n n n n n 2 n =15 + 2⋅ 15 + 1> 15 + 2⋅2 +1 >15 + 2 = x > 15

Получается, что мы $x2$ зажали между двумя квадратами последовательных натуральных чисел. Значит, что тогда $x$ не будет целым. Т.е. решений в натуральных числах нет.

Ответ:

Нет решений

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#75881Максимум баллов за задание: 7

Найдите все натуральные $m$ и $n$ такие, что числа $m2 +5n$ и $n2+ 4m$ являются точными квадратами.

Показать ответ и решение

Разберем два случая. Сначала предположим, что $m ≤n.$ Тогда $n2 < n2+ 4m≤ n2+ 4n< (n +2)2.$ Следовательно, $n2+4m = (n+1)2,$ откуда $4m =2n+ 1,$ что невозможно из соображений четности.

Теперь предположим, что $n < m.$ Тогда $2 2 2 2 m <m + 5n < m + 6m< (m +3),$ откуда либо $5n= 2m +1,$ либо $5n= 4m+ 4.$ Изучим каждый из этих подслучаев отдельно.

Если $5n = 2m + 1,$ то $4m =10n− 2$ и число $2 n + 10n− 2$ является квадратом. Это квадрат числа, большего $n$ и меньшего $n+ 5,$ той же четности, что и $n.$ Следовательно, либо $2 2 n + 10n − 2= n + 4n+ 4,$ либо $2 2 n +10n− 2= n +8n +16.$ В итоге или $n =1$ и $m = 2,$ или $n = 9$ и $m = 22.$

Если же $5n= 4m +4,$ то $4m = 5n− 4$ и число $2 n + 5n− 4$ является квадратом. Это квадрат числа, большего $n$ и меньшего $n+ 3.$ Значит, либо $2 2 n + 5n− 4= n + 2n +1,$ либо $2 2 n + 5n− 4= n +4n +4.$ Первое уравнение имеет нецелый корень, а второе дает $n= 8,$ откуда $m =9.$

Ответ:

$(m,n)= (2,1),(22,9),(9,8)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#75882Максимум баллов за задание: 7

Найдите все натуральные числа $x$ такие, что $4x5− 7$ и $4x13− 7$ — точные квадраты.

Показать ответ и решение

$1)$ Перемножим наши $2$ точных квадрата, получив тоже точный квадрат

5 13 18 13 5 2 (4x − 7)(4x − 7)= 16x − 28x − 28x +49= A

$2)$ Т.к. при нечетном $x$ $4x5− 7≡ 4− 7 ≡5$ (mod 8), а квадраты по модулю 8 сравнимы только с $± 1,$ делаем вывод, что $x$ четное.

$3)(4x9− 7x4)2 = 16x18− 28x13+ 49x8 >16x18 − 28x13 >16x18− 28x13− 28x5+ 49= A2 2 4$ при $x ≥2.$

$4)$ При $x ≥3$ верно, что $49+ 7-− 48+ 28< 5+ 1+1 +1= 8. 4x x5 x9 x4$ Домножив на $x9,$ получим

49 8 4 5 9 4 x +7x − 48+28x < 8x

49 4-x8− 8x9+ 7x4+1 <− 28x5+ 49

16x18 − 28x13 + 49x8− 8x9+7x4+ 1< 16x18− 28x13− 28x5 +49 4

(4x9− 7x4− 1)2 < A2 2

Получаем, что при $x≥ 3$ $A2$ лежит между квадратами двух последовательных натуральных чисел. Значит, единственное возможное значение $x$ — $2.$ При проверке получаем, что $4x5− 7 =112,4x13− 7= 1812.$

Ответ:

$x =2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#32939Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение в натуральных числах

6 3 4 x + 3x + 1= y .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

 Эх, ну вот почти полный квадрат перед нами – всё портит эта тройка! Стояли бы там 2 или 4 всё бы было получше, не правда ли? Кстати, заметьте, что теперь мы решаем уравнение не в целых, а в натуральных числах – как это может помочь?

Подсказка 2 

y^4 = (y^2)^2 – фактически нас просят доказать, что выражение слева является квадратом квадрата, но раз так, то оно и просто квадрат, не правда ли?

Подсказка 3 

Вспомните интересный способ доказательства того, что число не квадрат – можно зажать его между двумя соседними квадратами! Если вы всё ещё в недоумении, просто прочтите все 3 подсказки в связке и внимательно!

Показать ответ и решение

Поскольку $x> 0$ , то

3 2 6 3 6 3 6 3 3 2 (x +1) = x +2x + 1< x +3x + 1< x + 4x + 4= (x +2) .

Мы показали, что $x6+ 3x3+ 1$ находится между двумя соседними квадратами, откуда это выражение не может быть квадратом, то есть не может быть равно $y4$ .

Ответ:

таких $(x,y)$ нет

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#32940Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение в натуральных числах

2 2 2 2 x + xy+y = x y .

Подсказки к задаче

Подсказка 1 

Кажется, что перед нами совсем какая-то бяка: никаких намекающих коэффициентов и даже никаких ФСУ не поиспользуешь сходу. Но чисто интуитивно кажется, что выражение справа обычно довольно гигантское при больших x и y и не так уж и часто может равняться выражению слева

Подсказка 2 

Значит, нам могут помочь оценки! А для них можно ещё одну полезную вещь заметить: симметрию (x,y) <—> (y,x) – она нам позволит не умаляя общности упорядочить переменные: x>=y. Попробуйте 3 слагаемых слева оценить чем-то одинаковым, чтобы они схлопнулись в одно слагаемое!

Подсказка 3

 Теперь можно легко получить ограничение на одну из переменных, перебрать натуральные значения, и задача убита!

Показать ответ и решение

Уравнение не поменяется от перестановки $x$ и $y$ местами, поэтому без ограничения общности можем считать $x≥ y > 0$ . Тогда $2 2 2 2 2 x y = x +xy +y ≤ 3x$ , тогда $2 y ≤ 3$ и $y = 1$ . Подставляя в уравнение, имеем $2 2 x + x+ 1= x,x =−1$ , решений нет.

Ответ:

таких $(x,y)$ нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#33908Максимум баллов за задание: 7

Найдите все пары натуральных чисел $x$ и $y$ таких, что $x3+ 8x2− 6x+ 8= y3.$

Показать ответ и решение

Выражение из левой части должно равняться кубу натурального числа из правой части. Но оценим с обеих частей кубами натуральных чисел левую часть:

3 3 2 3 2 3 (x+ 3) = x + 9x + 27x+ 27 >x + 8x − 6x +8 >x

Последнее неравенство верно в силу $D{8x2− 6x+6} =6⋅6− 6⋅32< 0$ .

Итак, возможны два случая, когда левая часть равняется кубу:

$x3+ 8x2− 6x +8= (x+ 1)3 = x3+ 3x2 +3x+ 1 ⇐⇒ 5x2− 9x+ 7= 0$ . В этом случае натуральных корней нет.
$x3+ 8x2− 6x +8= (x+ 2)3 = x3+ 6x2 +12x+ 8 ⇐⇒ 2x2 − 18x= 0$ . Здесь единственным натуральным решением будет $x =9$ , откуда $y = 11$ .

Ответ:

$(9;11)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#39058Максимум баллов за задание: 7

Дана операция $⋆$ , действующая по следующему правилу: $a ⋆b= a2+ab− 3a b$ . Найдите сумму всех натуральных $x$ , которые удовлетворяют равенству $3⋆x =15$ .

Показать ответ и решение

Распишем равенство $3⋆x = 15$ :

9 9 3 9+ 3x− x =15⇔ 3x −x = 6⇔ x− x =2.

Перебирая значения $x$ от 1 до 4 получаем, что подходит только 3. При $x> 3$ равенство не достигается, ведь $3 3 x> 3,x < 1⇒ x− x >2.$

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#80494Максимум баллов за задание: 7

Существуют ли такие целые положительные $x$ и $y$ , что $x4− y4 = x3+y3$ ?

Показать ответ и решение

4 4 2 2 3 3 2 2 x − y =(x− y)(x+ y)(x + y)= x + y = (x +y)(x − xy+ y)

Так как числа положительные, то сократим на $x +y$ .

2 2 2 2 (x− y)(x + y)= (x − xy +y )

Правая часть меньше $x2+ y2$ , но больше 0. Значит $x− y > 0$ , то есть $x− y ≥ 1$ , так как числа целые. Отсюда левая часть хотя бы $x2+ y2$ .

Ответ: нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#42130Максимум баллов за задание: 7

Будет ли уравнение $x2019+2x2018+ 3x2017+ ⋅⋅⋅+2019x+ 2020= 0$ иметь целые корни?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте понять, что если и есть корень, то он отрицательный! А дальше сделайте замену y = -x и подставьте в уравнение.

Подсказка 2

После этого, перенесите все что с минусом в другую часть, и рассмотрите случаи y = 1 и y ≥ 2, может оценки какие-то выйдут)

Показать ответ и решение

Если есть целый корень $a$ , то $a< 0$ . Пусть $b= −a$ , тогда

− b2019+2b2018− 3b2017+ ⋅⋅⋅− 2019b+ 2020 =0 2018 2016 2019 2017 2b + 4b +⋅⋅⋅+ 2020 =b + 3b +⋅⋅⋅+2019b

Если $b= 1$ , то $2018 2019 2016 2017 2b > b ,4b > 3b ,...,2020 >2019b$ . Если $b ≥2$ , то $2019 2018 2017 2016 b ≥ 2b ,3b > 4b ,...,2019b> 2020$ . Следовательно, целых корней нет.

Ответ: нет

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#75305Максимум баллов за задание: 7

Найдите все натуральные $m,$ для которых найдётся такое натуральное $k,$ что числа $(m2 + 1)k$ и $(m+ 3)k2$ являются кубами натуральных чисел.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Предположим, оба выражения — кубы. Что можно сказать об их произведении? Вспомните свойство кубов: произведение кубов — тоже...

Подсказка 2

Перемножим выражения (m² + 1)k и (m + 3)k². Упростите это произведение. Какой множитель теперь явно является кубом?

Подсказка 3

Чтобы доказать, что число не является степенью k некоторого натурального, достаточно проверить, что оно лежит строго между k-ыми степенями двух последовательных натуральных чисел.

Подсказка 4

Стоит сравнить (m² + 1)(m + 3) с m³ и (m+1)³.

Показать ответ и решение

Для $m =1$ подойдет $k= 4.$ Пусть $m >1.$ Заметим, что $(m2 + 1)k⋅(m+ 3)k2$ — куб натурального числа, а тогда и $(m2+ 1)(m +3)$ — куб натурального числа. Но $3 2 m < (m + 1)(m +3),$ поэтому $2 3 (m +1)(m + 3)≥(m +1) ,$ то есть;

3 2 3 2 m + 3m + m +3≥ m +3m +3m + 1

2≥ 2m

Противоречие с $m >1.$

Ответ:

$m = 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#75309Максимум баллов за задание: 7

Дано натуральное $n >2$ и $b= 22n.$ Нечетное натуральное число $a$ таково, что $a≤ b≤ 2a.$ Докажите, что число $a2+ b2− ab$ не является точным квадратом.

Показать доказательство

Пусть $b= 4m$ и $a =b− z.$ Из условия следует, что $z ≤ 2m.$ Предположим, что $a2 +b2− ab=k2.$ Тогда $k2− (b− a)2 =ab =⇒ (k+ z)(k− z)=ab.$ В правую часть последнего равенства двойка входит в степени в точности $n 2 .$ Так как $z$ нечетно, то в левой части одна из скобок не делится на $4.$ Разберем два случая.

Случай 1: $k+z$ не делится на 4. Тогда $k− z =2m ℓ$ для некоторого натурального $ℓ.$ Равенство перепишется как $2 (2mℓ)(2mℓ+ 2z)=4ma =⇒ ℓ(m ℓ+z)= a≤ b= 4m =⇒ ℓ < 4 =⇒ ℓ= 1.$

Следовательно, $m+ z = a =⇒ 4m +4z =4a =⇒ b+ 4(b− a)= 4a =⇒ 8a= 5b,$ что невозможно, в силу $n v2(b)= 2 > 3.$

Случай 2: $k− z$ не делится $4.$ Тогда $k +z = 2mℓ,$ то есть $2mℓ(2m ℓ− 2z)= 4ma =⇒ ℓ(mℓ− z) =a.$ Следовательно, $2 2 m ℓ =a +ℓz ≤ 4m+ 2mℓ =⇒ ℓ ≤ 4+ 2ℓ,$ откуда $ℓ≤ 3.$

Проверим, что такие значения $ℓ$ тоже не подходят. Мы знаем, что $2 2 a =m ℓ − zℓ =⇒ 4a= bℓ − 4(b− a)ℓ =⇒ 4(ℓ− 1)a =bℓ(4 − ℓ).$ При $ℓ= 1$ слева $0,$ а справа не $0.$ При $ℓ= 2$ получаем $a= b.$ При $ℓ= 3$ получаем $8a= 3b,$ что опять невозможно, так как $b$ делится на большую степень двойки.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#91904Максимум баллов за задание: 7

Найдите все пары $n,p$ , где $n$ — натуральное, а $p$ — простое, для которых верно

2021 3 1+n +...+n =p .

Показать ответ и решение

По формуле геометрической прогрессии

2021 n2022− 1 (n1011− 1) ( 2011 ) 1+ n+ ...+ n = -n-− 1-= --n−-1- n +1 = =(1+ n+ ...+ n1010)(n+ 1)(n1010− n1009 +...+ 1)= p3.

Заметим, что слева стоит произведение трех скобок, каждая из которых больше 1 при всех $n >1$ . Тогда каждая из скобок должна быть равна $p$ , но первая скобка больше второй - противоречие. Если же $n= 1$ , то $2022= p3$ , но данное уравнение не имеет решений.

Ответ: таких пар нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#93346Максимум баллов за задание: 7

Найдите количество четвёрок положительных целых чисел $(a,b,c,d),$ таких, что $a≤ b≤ c≤ d$ и

a!⋅b!⋅c!⋅d!= 24!

Источники: Турнир Ломоносова - 2021, 11.2 (см. turlom.olimpiada.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу же оценим сверху d в силу нашего равенства. Раз мы имеем дело с факториалами, то сразу хочется посмотреть на делимость левой части на делители числа 24. Как за счёт этого мы можем ограничить наши переменные?

Подсказка 2

Верно! Левая часть делится на 23. Тогда d! точно делится на 23, а значит, и d делится на 23. Получаем, что 23 ≤ d ≤ 24. Теперь у d всего 2 возможных значения. Рассмотрите по отдельности оба случая и проделайте всё по аналогии с другими переменными.

Показать ответ и решение

Легко видеть, что $d≤ 24.$ Заметим, что правая часть равенства делится на $23$ , а значит, и левая часть должна делиться, откуда $d ≥23.$ Разберём два случая, чему может равняться $d:$

$− d= 24 :$ тогда $a!⋅b!⋅c!=1,$ откуда $a= b= c= 1;$

$− d= 23 :$ тогда $a!⋅b!⋅c!=24= 4!.$

Тогда, аналогично, или $c=4,$ или $c=3;$ разберём эти два случая:

$− c=4 :$ тогда $a!⋅b!= 1,$ откуда $a= b=1;$

$− c=3 :$ тогда $a!⋅b!= 4;$ небольшим перебором убеждаемся, что тогда $a =b =2;$

Итого, получаем три возможные четвёрки решений: $(1,1,1,24),$ $(1,1,4,23),$ $(2,2,3,23).$

Ответ:

$3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#76735Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение с тремя неизвестными

Y Z X + Y = XY Z

в натуральных числах.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Понятно, что таковое равенство может редко когда достигаться, так как слева что-то почти всегда большее чем справа(степень растет быстрее произведения). Значит, нужно сделать какую-то понятную оценку, а все случаи, которые под нее не подходят, перебрать. Мы хотим какими-то неравенствами получить XYZ, как оценку снизу. Что мы знаем из неравенств? Как это неравенство нам поможет в оценке XYZ(желательно несколько симметрично относительно X и Z, так как очень похожее структурно)?

Подсказка 2

Да, хочется применить неравенство о средних для двух чисел, но как? Нам нужно как-то X^Y перейти к произведению XY*(что-то, не обязательно константное). Аналогично, со вторым слагаемым. Если X >= 2, то X^k >= 2^k, k - натуральное. При этом, 2^k >= 2k(доказывается по индукции), или 2^(k - 1) >= k. Как с этим знанием найти эту оценку?

Подсказка 3

Верно, можно сделать оценку, что X^Y >= X^2 * X^(Y - 2) >= X^2 * 2^(Y - 2) >= X^2*Y/2. При этом, если бы X >= 3, то мы могли бы сказать, что X^(Y - 1) >= 3^(Y - 1) > 2 ^ (Y - 1) > Z^2/2(при Z > 4, остальные Z перебираются). Значит, можно это неравенство применить на второе слагаемое в левой части уравнения.

Подсказка 4

Тогда, Y^Z = Y^(Z - 1) * Y >= 3^(Z - 1) * Y >= Z^2*Y/2. Почему это хорошие оценки? Потому что у нас получается идеальные слагаемые для оценки их как неравенства о средних(Z^2*Y/2 и X^2*Y/2), так как степень каждой переменной будет равна 2/2 = 1, а коэффициент будет равен 1(из за 1/2 перед каждым слагаемым). Значит, при Х >= 2, Y >= 3 у нас есть строгая оценка, что левая часть больше правой. Отсюда, осталось грамотно перебрать меньшие, но это уже задача вполне рабочая.

Показать ответ и решение

1) Рассмотрим случаи. При $Y = 1$ получаем уравнение:

X +1 =XZ

откуда $X (Z − 1)= 1$ , то есть $X =1$ , $Z = 2$ .

2) При $Y = 2$ получаем уравнение:

2 Z X + 2 = 2XZ

(X − Z)2+2Z − Z2 =0

При $Z =1$ решений нет. При подстановке $Z = 2,3,4$ получаем решения $(2;2;2)$ , $(2;2;3)$ , $(4;2;3)$ , $(4;2;4)$ . При $Z > 4$ будет выполнено, что $2Z >Z2$ и тогда решений не будет.

Доказать, что $2Z > Z2$ легко по индукции. База индукции проверяется подстановкой $Z =5$ .

Шаг индукции доказывается тем, что если $2Z >Z2,$ то

2Z+1 =2Z +2Z >2Z2 >Z2 +2Z +1,

так как $Z2− 2Z− 1> 0$ при $Z > 4$ .

3) При $Y ≥3$ сначала рассмотрим случай $X = 1$ . Тогда имеем уравнение

Z 1+Y = YZ

которое не имеет решений, так как

YZ ≥ YZ− 1Y ≥ 2Z−1Y ≥ YZ

(неравенство $2Z− 1 ≥Z$ легко доказать по индукции)

Иначе $Y ≥ 3,X ≥ 2$ . Тогда

XY = XY −2X2 ≥ 2Y−2X2 ≥ 1X2Y 2

(в последнем переходе снова используем неравенство $2Y−1 ≥ Y$ )

Y Z = YZ− 1Y ≥ 3Z−1Y > 1Z2Y 2

При $Z <5$ неравенство

3Z−1 > 1Z2 2

можно проверить вручную, а при $Z ≥5$ сослаться на доказанное нами неравенство

3Z−1 > 2Z−1 > 1Z2 2

В итоге, воспользовавшись доказанным и неравенством между средними, получаем:

Y Z 1 2 1 2 √-2-2- X +Y > 2X Y + 2YZ ≥Y X Z =XY Z

То есть при $Y ≥3,X ≥2$ решений нет, так как

Y Z X + Y > XY Z

Ответ:

$(1;1;2)$ , $(2;2;2)$ , $(2;2;3)$ , $(4;2;3)$ , $(4;2;4).$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#44069Максимум баллов за задание: 7

Сколько пар $(x;y)$ целых чисел, являющихся решениями уравнения $7x − 5y = 23,$ удовлетворяют неравенству $x2+ y2 ≤37?$ Найти пару $(x;y),$ для которой $x+ y$ наибольшее.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте сделать оценку на модули x и y, а так же запишем 7x - 5y = 23 как x = (23+5y) / 7. Что можно сказать об y?

Подсказка 2

y = -6 или y = 1! Проделайте аналогичные действия с x, тогда несложно будет найти наибольшее значение x+y.

Показать ответ и решение

Легко видеть, что $|x|≤ 6,|y|≤6.$ При $y ∈ [−6,6]$ выражение $23+ 5y$ кратно семи только при $y ∈ {− 6,1}.$ Для $x$ имеем соответственно ${−1,4}.$ Наибольшее значение $x+ y$ равно $5.$

Ответ:

$2$ пары, наибольшую сумму имеет пара $(4,1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#102318Максимум баллов за задание: 7

Найдите все упорядоченные тройки натуральных чисел $(a,b,c)$ такие, что все три числа $a2 +2b+ c,$ $b2+ 2c+a,$ $c2+ 2a+b$ — точные квадраты.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Иногда в задачах на проверку существования какой-либо степени числа полезно зажимать данное число между двумя соседними числам, которые являются теми же степенями. Для какого числа получится использовать данный метод?

Подсказка 2

Вид a²+2b+c похож на разложение числа (a+1)². Как это наблюдение можно использовать для оценки данного числа?

Подсказка 3

Давайте для удобства упорядочим числа. Выражения из условия цикличны, так что надо будет разобрать два случая. Пусть a ≥ b ≥ c. Тогда (a+2)² > a²+2b+ c > a². Что в этом случае можно сказать про a²+2b+ c?

Подсказка 4

Оно равно (a+1)². Можно ли получить на аналогичные условия на b или с?

Подсказка 5

Да, (b+1)² = b²+2c+a. Осталось наложить условие на c²+2c+a. Может ли число оно быть (c+5)²?

Подсказка 6

Нет, последнее больше. Осталось разобрать случаи равенства (с+1)², (c+2)², ..., (c+4)². А ещё не забудьте проверить аналогичным образом другое упорядочивание.

Показать ответ и решение

Будем считать, что $a ≥b≥ c.$ Тогда заметим, что $a2+ 2b+c> a2.$ Также хотим зажать $a2+ 2b+c$ сверху. Видно, что $2 2 (a+ 2)> a + 2b+c$ в силу того, что $4a$ явно больше $2b+c.$ Следовательно, $2 2 (a+ 1) = a + 2b+c.$ Также $2 2 (b+ 2)> b + 2c+ a$ из того, что $a =b +c∕2− 1.$ Поэтому

2 2 (b+ 1) =b + 2c+a

Откуда следует $2a+1 =2b+ c$ и $2c+ a= 2b+ 1.$ Поэтому $a =3c− 2$ и $b= 5c−3. 2$ Теперь посмотрим на $c2+ 2a+ b.$ Оно больше или равно, чем $(c+ 1)2$ при этом равенство достигается при $a =b= c= 1.$ Теперь сравним $(c+ 5)2$ и $c2+2a+ b.$ Первое из них сильно больше, поэтому остается проверить, что будет если

2 2 c +2a+ b= (c+ x)

где $x =2,3,4.$ После этого перебора и решения линейного уравнения мы получаем, что есть решение $a =127,b =106,c =43.$ Также подойдёт их циклическая перестановка.

Теперь рассмотрим, что произойдёт при другом порядке в цикле: $a ≥c≥ b.$ Аналогично получаем, что

2 2 a +2b+ c= (a+ 1)

Рассмотрим $c2+2a +b> c2.$ Также $4c+ 4>2a +b,$ поскольку

3c+ c≥ (2b+ c)+b≥ 2a+ 1+b> 2a+ b

Тогда получается, что $(c+ 2)2$ будет уже больше нашего выражения. Так что $c2+ 2a+ b= (c+ 1)2.$ Но тогда мы получаем, что $2c+ 1= 2a+b.$ Вспоминая наше упорядочивание, получаем, что равенство возможно только при $a= c, b= 1.$ Тогда $2b+ c= 2a +1, 2+ a= 2a+ 1, a= 1.$ Снова приходим к тройке $(1,1,1).$

Следовательно, ответом будет являться любая циклическая перестановка $(127,106,43)$ и $(1,1,1).$

Ответ:

Циклическая перестановка следующих наборов:

$a= 1,b= 1,c =1$

$a= 127,b= 106,c= 43$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#70326Максимум баллов за задание: 7

Целые числа $m$ и $n$ таковы, что

4m+ 5n= mn − 9

Найдите, какое наибольшее значение может принимать $m$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Когда мы видим выражение вида a * mn + b * n + c * m + d, то первым делом нам нужно попробовать его разложить на скобки, добавив некоторую константу к обеим частям уравнения. Попробуйте это сделать, ведь с множителями удобнее работать чем с слагаемыми!

Подсказка 2

Получится (m-5)(n-4)=29. Много ли целых чисел могут давать в произведении 29?

Показать ответ и решение

Первое решение. Постараемся разложить на скобки:

mn − 4m− 5n− 9= 0

mn− 4m − 5n+ 20= 29

(m − 5)(n − 4)= 29

В правой части простое число, поэтому в левой части целые числа в скобках могут равняться только 1 и 29, либо -1 и -29. Наибольшее значение $m$ достигается при $m − 5 =29 ⇐⇒ m = 34.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Запишем равенство в виде

m = 9+-5n =5+ -29- ≤5+ 29= 34 n− 4 n − 4

Равенство реализуется при $n =5.$

Ответ: 34

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#104432Максимум баллов за задание: 7

Найдите все такие пары натуральных чисел $a$ и $b,$ что $a1000 +1$ делится на $b619$ и $b1000+ 1$ делится на $a619.$

Показать ответ и решение

Если $a =1,$ то, очевидно, $b=1;$ при этом пара $(1,1)$ подходит. Осталось разобрать случай $a,b>1.$ Заметим сразу, что $a$ и $b$ взаимно просты; пусть $a> b.$

Число

1000 1000 1000 ( 1000 ) A =a + b + 1=a + b + 1

делится на $a619;$ аналогично, $A$ делится на $b619,$ а из взаимной простоты и на их произведение. Итак, $a1000+b1000+ 1≥ a619b619,$ а значит, $1001 1000 619619 a ≥ 2a ≥ a b ,$ или $382 619 a ≥ b .$ С другой стороны, $1001 1000 619 b > b + 1≥ a .$ Итак,

1001⋅382 619⋅382 619⋅619 b > a ≥ b

Но $1001⋅382< 6192$ — противоречие.

Ответ:

$(1,1)$

Предыдущая подтема

Следующая подтема