Уравнения в целых числах → .02 Разложение на целые скобки

Заметим, что

Понятно, что первая скобка меньше второй. Если то что невозможно. Если и то  — противоречие. Наконец, если то Для него подойдут

Преобразуем сначала правую часть тройного равенства к виду Теперь давайте воспользуемся тем, что правильным образом. Сделаем следующие преобразования:

При этом мы точно знаем, что слева скобки обе положительные, так как положительно, и вторая скобка больше первой. Тогда нам остаётся рассмотреть варианты следующие, когда и когда Заметим, что не подойдёт, так как скобки у нас одной чётности. В первом случае и тогда

Откуда натуральный корень только но тогда Такого быть не может. А во втором случае, аналогично подставляя, получаем, что Откуда

Предположим противное. Зафиксируем и представим в виде Тогда при некотором целом выполнено Посмотрим на это равенство по модулю Левая часть сравнима с первый множитель правой части — с значит, сравнимо с то есть представимо в виде

Тогда равенство переписывается как

Раскрывая скобки и сокращая на имеем

Значит, делится на при этом иначе Но тогда или не меньше и при достаточно большом равенство невозможно.

Разложим на множители:

Обозначим тогда Так как числа целые, то — делитель

Тогда ; , значит,

Подставим в формулы все делители числа 21: это Одновременно и являются целыми при и При этих получаем ответы

Поскольку то

Так как значит Тогда является натуральным делителем числа причем нечетным.

1. — не подходит, поскольку

2. — не подходит, поскольку

3. — не подходит, поскольку

4. — подходит.

Итого у нас только одно решение

Перепишем исходное равенство как

Откуда следует, что

Если и взаимно просты, то можно утверждать, что (как и ) является точным квадратом. Предположим, они имеют общий делитель Тогда и Но тогда не может делиться на хотя мы предположили, что и и на делятся. Противоречие. Значит эти числа не имеют общих делителей, а значит оба являются полными квадратами.

Перепишем равенство в следующем виде:

Таким образом, мы получаем два квадрата, отличающихся на Давайте заметим, что между и разница уже больше Значит, между большими квадратами разница будет также больше так как разность между соседними квадратами — возрастающая функция, а разница между несоседними квадратами включает в себя разницы между некоторыми соседними.

Значит, и могут принимать значения С помощью перебора понимаем, что откуда

Выделим полные квадраты:

Получаем, что сумма двух квадратов и натурального числа равна Значит, квадраты могут принимать лишь значения Возможны случаи, когда квадраты равны и и и и и и Осталось перебрать их и написать ответ.

Запишем равенство в виде

Заметим, что обе скобки меньше а значит, если они больше то их произведение меньше То есть обе скобки отрицательны. Заметим, что в качестве решения подойд̈eт любой вариант вида где — делитель Таких вариантов ровно

Так как правая часть делится на то одно из чисел равно С точностью до перестановки можно считать, что это Задача свелась к решению уравнения

которое можно записать в виде

Поскольку ни один из множителей не может равняться (тогда соответствующее простое число равнялось бы ), то

Пусть и — простые числа и — простое число. Тогда Следовательно, одно из наших чисел чётно, то есть

Пусть имеется некоторое решение уравнения, разделив и на их наибольший общий делитель получим пару, являющуюся решением. То есть наличие решений гарантирует наличие решения с взаимно простыми Тогда то есть а значит, делится на Тогда — делитель следовательно Получаем Тогда не является решением, а при правая часть больше.

Если то уравнение можно разделить на и числа останутся целыми. Тогда теперь можно полагать, что взаимно просты в совокупности. Утверждение о взаимной простоте в совокупности, очевидно, эквивалентно утверждению о взаимной простоте и (следует из равенства ). Итак, тогда числа взаимно просты. Ясно, что они оба не могут быть четными и не могут быть оба нечетными (тогда что невозможно). Можно считать, что нечетно, а четно. Тогда нечетно.

Уравнение можно записать так: Заметим, что числа и нечетны и взаимно просты (легко проверить с помощью свойства ). Так как взаимно просты, то являются полными квадратами, поскольку Тогда и где и — нечетные взаимно простые числа. Таким образом, и Ясно, что и можно переставить местами, а также умножить все эти числа на некоторый коэффициент.

(a) Преобразуем исходное уравнение к виду

Тогда либо разность, либо сумма и чётная, поэтому числа и имеют одинаковую чётность. Рассмотрим два случая:

1) и — чётные. Тогда и делятся на 4. Но тогда 26 тоже должно делится на 4, что не верно.

2) и — нечётные. Рассмотрим таблицу остатков при делении квадратов на 4:

Из нечётности и следует, что и дают остаток 1 при делении на 4. Но тогда левая часть уравнения даёт остаток 1 при делении на 4, а правая даёт остаток 3 при делении на 4, отсюда решений в целых числах нет.

Итак, в итоге уравнение не имеет решений в целых числах.

(b) Перенесём всё в левую часть и преобразуем выражение:

Заметим, что в обеих скобочках нечётные числа, а, значит, их произведение тоже нечётно, что неверно, так как оно равно Таким образом, уравнение не имеет решений в целых числах.

Рассмотрим уравнение

как квадратное относительно Тогда Ясно, что необходимо условие Тогда имеем

Можно считать, что Тогда возможны случаи

поскольку Заметим, что и имеют одинаковую четность. Остается случай и Тогда (но можно в силу симметрии) Следовательно, и, так как Подставляя и и выбирая целые значения получаем решения и

Сначала разделим все уравнение на и обозначим и Уравнение примет вид

Переставим и перегруппируем слагаемые:

Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно откуда

Тогда Чтобы были решения, необходимо и достаточно откуда и то есть По формуле корней

Итак, и Пусть (условие делимости на необходимо, иначе в отношениях не будет множителя тогда и при целом

Осталось проверить (ведь мы на него делили). Тогда уравнение имеет вид Предположим, что Тогда делим на и обозначаем Выходит,

Тогда решений уравнение при не имеет, и остается только случай Он, на самом деле, подходит в ответ поэтому отдельно его писать не будем.

Пусть и решения уравнения Рассмотрим теперь числа и Тогда

Следовательно, каждому решению первого уравнения сопоставили решение второго. Очевидно, что это сопоставление обратимо (из решений и второго уравнения получаем и решения первого), а значит, количество решений этих уравнений одинаково.

Уравнение равносильно

Если то запишем эту пару в ответ.

Теперь рассмотрим Тогда это натуральное число и на него делится левая часть уравнения

А значит, для некоторого натурального числа

После подстановки и сокращения на получим уравнение:

Если снова посмотреть по модулю то есть разделить в столбик левую часть на натуральное число , то окажется, что число

должно быть целым.

Более того, поскольку это равносильно неравенству которое верно при

Действительно, если то что невозможно при

Таким образом, а значит,

При уравнение принимает вид что невозможно для

Если то число будет целым только при однако пара не удовлетворяет уравнению

При уравнение переписывается в виде Отсюда находим, что и затем

Перенесём влево и попробуем собрать куб суммы: Теперь распишем разность кубов: Следовательно, каждая скобка равна степени семёрки. Притом ясно, что правая скобка больше левой, а значит правая скобка делится на левую. Таким образом, остаток от деления многочлена из правой скобки на многочлен из левой скобки должен равняться нулю, то есть их НОД равен левой скобке.

Теперь попробуем найти их НОД в явном виде. Остаток от деления правой скобки на левую равен то есть НОД делит Притом ясно, что на они не делятся, потому что это степени семёрки. Следовательно, НОД делит Остаток от деления левой скобки на равен Остаток от деления на равен а остаток от деления на равен То есть НОД равен Следовательно, а значит Осталось проверить найденные значения, найти соответствующие и написать ответ.

Заметим, что Первая скобка в силу натуральности хотя бы Вторая скобка всегда неотрицательна (), а значит, она может принимать значения либо либо либо большие Первый и последний случаи нам не подходят, т.к. произведение первой и второй скобки будет либо либо составное число. Значит, вторая скобка может принимать только значение Тогда Но когда сумма квадратов двух целых чисел равна Только когда один из квадратов равен а остальные равны Тогда тройка содержит числа в каком-то порядке для какого-то Значит, наше изначальное уравнение сводится к нахождению таких что Т.к. любое простое число, большее представляется в виде то наше уравнение всегда имеет решение, причем единственное.