Тема ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

Уравнения в целых числах → .03 Оценки в уравнениях над Z

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела теория чисел

Разделы подтемы Уравнения в целых числах

Выбор модуля и перебор случаев в уравнениях над Z

Разложение на целые скобки

Оценки в уравнениях над Z

Уравнения на НОД и НОК

Линейные диофантовы уравнения

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#105492

Даны натуральные числа $x,y,z,t$ такие, что

xy− zt=x +y =z +t

Могут ли оба числа $xy$ и $zt$ быть точными квадратами?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попытки найти требуемые x, y, z, t не увенчались успехом. Давайте докажем, что таких чисел не существует. Какие существуют способы доказывать, что некоторое число не является квадратом натурального?

Подсказка 2

Можно зажать данное число между двумя квадратами. Правда, пока неясно для какого из чисел данное условие необходимо проверять. Давайте пока попробуем преобразовать исходное уравнение. Следить сразу за 4 переменными трудно, часто большое количество равенств позволяет сократить количество рассматриваемых чисел с помощью замены. Какую замену можно сделать здесь?

Подсказка 3

Для начала давайте снизим количество рассматриваемых переменных до 3. Известна замена s = (x+y)/2, p = (x-y)/2 (без ограничений общности можно считать, что x хотя бы y). Докажите, что s и p являются целыми, сделайте аналогичную замену для чисел z и t и выразите xy-zt через новые переменные.

Подсказка 4

Пусть q = (z-t)/2, тогда имеем 2s = xy-zt = q^2 - p^2. Придумайте новую замену, которая позволит выразить исходные числа x, y, z, t через 2 данных числа.

Подсказка 5

Пусть k = (q-p)/2, l = (q+p)/2. Как выразить числа x, y, z, t только через k и l?

Подсказка 6

Имеем x = 2kl-k+l и подобные. Кажется, теперь мы полностью воспользовались данным равенством. Теперь необходимо определится с числом, которое будем зажимать между квадратами.

Подсказка 7

Скорее всего, нет проблемы в том, чтобы по отдельности числа xy и zt были квадратами. Но если каждое из них является квадратом, то и их произведение является квадратом. Как оно выражается через числа k и l?

Подсказка 8

Получим xyzt = (4k²l² - k² - l²)² - 4k²l². Каким квадратом можно оценить данное число сверху?

Подсказка 9

Числом D² = (4k²l² - k² - l²)². Осталось показать, что xyzt > (D-1)².

Показать ответ и решение

Предположим, что число $x+y =z +t$ нечётное. Тогда $x$ и $y$ имеют разную чётность, как и $z$ и $t.$ Это означает, что оба числа $xy$ и $zt$ чётные, как и $xy− zt=x +y$ — противоречие. Таким образом, $x+ y$ чётное, и число $x+y z+t- s= 2 = 2$ является натуральным. Заметим, что тогда числа

x +y z+ t x− y z− t s =--2- = -2-, p= -2--, и q =-2--

являются целыми (без ограничений общности, будем считать, что $p,q ≥ 0).$ Имеем

2s=xy − zt= (s +p)(s− p)− (s+ q)(s− q)= q2− p2

так что $p$ и $q$ имеют одинаковую чётность, и $q >p.$

Положим теперь $q−p k= 2$ , $q+p- ℓ= 2 .$ Тогда $q2−p2- s = 2 = 2kℓ$ и, следовательно,

x= s+ p=2kℓ− k+ ℓ, y = s− p =2kℓ+ k− ℓ

z = s+ q = 2kℓ+ k+ ℓ, t= s− q = 2kℓ− k− ℓ

Тогда $ℓ ≥k >0$ и, более того, $(k,ℓ)⁄= (1,1),$ так как иначе $t=0.$

Предположим теперь, что оба числа $xy$ и $zt$ являются квадратами. Тогда $xyzt$ также является квадратом. С другой стороны, имеем

xyzt=(2kℓ− k +ℓ)(2kℓ+k − ℓ)(2kℓ+ k+ℓ)(2kℓ− k− ℓ) = (4k2ℓ2− (k− ℓ)2)(4k2ℓ2− (k+ ℓ)2)=(4k2ℓ2− k2− ℓ2)2− 4k2ℓ2.

Обозначим $D = 4k2ℓ2− k2− ℓ2 > 0,$ тогда $D2 > xyzt.$ С другой стороны,

(D − 1)2 = D2 − 2(4k2ℓ2− k2 − ℓ2)+1 =(D2− 4k2ℓ2)− (2k2− 1)(2ℓ2− 1)+2

=xyzt− (2k2− 1)(2ℓ2− 1)+2 <xyzt

поскольку $ℓ≥2$ и $k ≥1.$ Таким образом, $(D − 1)2 < xyzt< D2,$ и $xyzt$ не может быть полным квадратом — противоречие.

Ответ:

Не могут

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#122434

Найдите все тройки натуральных чисел $x,y,z,$ являющиеся решением уравнения $2xy⋅z = 2x+y(x+ y+ z).$

Источники: Изумруд-2025, 11.4(см. izumrud.urfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание, число 2^{xy} почти всегда значительно больше числа 2^{x + y}. Попробуйте формализовать эту идею.

Подсказка 2

Пусть x, y ≥ 6. Давайте зафиксируем y, выразим z через x и y. Осталось показать, что при больших х это выражение будет меньше 1, значит, решений не будет.

Подсказка 3

Доказывать стоит по индукции. Глобальная идея — показать, что знаменатель выражения увеличивается в большее количество раз, чем числитель при увеличении x.

Показать ответ и решение

Задача симметрична относительно $x$ и $y.$ Пусть $x = 1.$ Тогда $2yz = 2y+1(1+ y+ z)$ или $z = 2(1 +y+ z),$ чего не бывает. Значит, $x >1.$ Аналогично, $y > 1.$ Пусть $x= 2.$ Тогда $2y 2+y 2 z = 2 (2+ y+ z)$ или $-2+y-- z = 2y−2−1.$ Тогда получаем решения при $y = 3, z = 5,$ при $y =4, z =2,$ при $y =5, z =1.$ При $y > 5$ по индукции покажем, что $z < 1,$ то есть решений нет. База при $y = 6$ верна. Рассмотрим следующие оценки числителя и знаменателя в переходе $y−1 y−2 2 − 1> 2(2 − 1)$ и $2+ y+ 1< 2(2+ y),$ то есть числитель увеличился менее, чем вдвое, а знаменатель более, чем вдвое, значит, $z$ уменьшилось. Теперь можно считать, что $x, y ≥ 3.$ Тогда $xy− x− y = (x− 1)(y − 1)− 1≥ 3.$ Пусть $z >x +y.$ Тогда

2xyz ≥2x+y+3z > 2x+y2z > 2x+y(x +y+ z),

то есть равенства нет. Тогда $z ≤x +y$ и

x+y x+y+1 2 (x+y +z)≤ 2 (x+ y).

Покажем, что $2x+y−3 > x+ y$ при $x +y ≥6.$ Снова используем индукцию: пусть $x+ y = a.$ Тогда при $a= 6$ получаем $8> 6.$ Теперь переход индукции:

a−2 a−3 a− 3 2 =2⋅2 > 2 +1 ≥a+ 1,

что и требовалось. Оценим левую часть, используя полученное неравенство:

2x+y(x+ y+z)≤ 2x+y+1(x+ y)<2x+y+1+x+y−3 =22x+2y−2.

Далее $(x− 2)(y− 2)≥1,$ то есть $xy− 2x− 2y ≥− 3.$ Тогда в левой части $2xyz ≥22x+2y−3z.$ Пусть $z ≥ 2.$ Тогда

2xyz ≥22x+2y−3z ≥ 22x+2y−2 > 2x+y(x+ y+ z)

по прошлой оценке, то есть равенство возможно только при $z = 1.$ Теперь пусть $x$ или $y$ хотя бы $4.$ Тогда $(x− 2)(y− 2)≥2$ и

2xy ≥22x+2y−2,

что снова противоречит оценке правой части. Значит, $x =y =3.$ Подставляя тройку $(3,3,1)$ понимаем, что это не будет решением. Итого, мы получили ответ из шести троек (учитывая то, что есть симметричные для $x= 2):$ $(2,3,5),$ $(3,2,5),$ $(2,4,2),$ $(4,2,2),$ $(2,5,1)$ и $(5,2,1).$

Ответ:

$(2,3,5),$ $(3,2,5),$ $(2,4,2),$ $(4,2,2),$ $(2,5,1)$ и $(5,2,1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#126937

Докажите, что если $n$ — точный куб, то число $n2+ 3n +3$ не может быть точным кубом.

Показать доказательство

Пусть $n2+ 3n+ 3$ — точный куб, тогда так как $n$ — тоже точный куб, то

2 3 n(n +3n+ 3)= (n +1) − 1

— куб натурального числа.

Тогда мы имеем два куба отличающихся на единицу, значит, больший из двух кубов равен 1, а меньший равен 0, в этом случае $n =− 1,$ что противоречит условию, значит, предположение было неверным, то есть $n2+ 3n +3$ не может быть точным кубом.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#85449

Найдите все такие натуральные $n,$ что $2n3 +n +3$ делится на $2n2 + n.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем рассмотреть данное выражение по модулю числа, на которое нужно доказать делимость. Многоэтажная степень не очень приятна. Можно ли как-нибудь ее заменить?

Подсказка 2

Можно! Для этого заметим, что 2 в степени n³ можно заменить на (-n) в степени n по нашему модулю. Теперь у нас появился вопрос о том, как раскрыть (-1) в степени n. Для этого попробуем понять, какова четность n.

Подсказка 3

Конечно, n нечетно! Тогда (-1) в степени n равна -1. Тогда по условию получается, что (n в степени n) - n - 3 является нулем по нужному модулю. Кажется, что этот модуль при достаточно больших n сильно превосходит получившееся выражение. Попробуем это доказать!

Подсказка 4

Заметим, что 2 в степени n строго больше n. Из этого легко получается, что наш модуль всегда строго превосходит число, делимость которого мы исследуем. Кажется, что тогда ответ состоит в том, что подходящих n не существует, но это еще не так! Ведь мы должны доказать, что наш модуль превосходит исследуемое на делимость число по абсолютной величине! А при каких n это число отрицательно?

Показать ответ и решение

Чётным $n$ быть не может, иначе получается, что нечётное число делится на чётное.

По условию $n3 ( n2)n n 2 +n +3 = 2 + n+ 3≡ (− n) +n+ 3≡ 0$ по модулю $n2 2 + n.$

Значит, $nn− n− 3≡ 0$ по модулю $2 2n + n.$

При $n >1$ по индукции легко доказать, что $2n > n,$ откуда $2 2n > nn$ и

2 2n + n> nn+ n> |nn − n − 3|> 0,

поэтому делимость $. (nn− n− 3).. (2n2 + n)$ невозможна.

$n= 1$ же подходит.

Ответ:

$n =1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#86096

Найдите все пары $(a,b)$ натуральных чисел, для которых

3 27ab+(1− a+ b) = 0

Источники: Бельчонок - 2024, 11.5 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте перенесем куб вправо и изменим внутри знак. Тогда, что мы можем сказать про ab, если 3^3 = 27? А что мы можем сказать про то как связаны a и b?

Подсказка 2

Из того, что 27 - куб, следует, что ab - тоже куб, так как справа у нас расположен куб. А что насчет связи a и b? Если у них есть общий делитель, то получается, что по некоторому простому модулю p, для которого a = 0 и b = 0 (mod p), выходит, что 1 = 0, mod p. Значит, p = 1, а значит a и b взаимнопросты. Как мы тогда можем скомбинировать наши результаты?

Подсказка 3

Тогда, a, b - кубы, ведь они взаимнопросты и их произведение - куб(если вам непонятно почему это так, то попробуйте рассмотреть произвольное p^3a и понять почему факт верен). Но тогда, выходит, что 27xy = 1 - x^3 - y^3(x^3 = a, y^3 = b). Хмм, мы пришли к уравнению, которое все же лучше начального, но также непонятно как решать. Давайте попробуем как-то оценить x через y, и быть может из этой оценки будет явно следовать ограниченность количества вариантов(подсказка внутри подсказки - 27xy > 0).

Подсказка 4

Но если у нас 27xy > 0, то x^3 - y^3 - 1 > 0, а значит y <= x - 1. Подставив эту оценку(после переноса всех слагаемых в одну сторону) в уравнение, мы и получим ограниченность количества решений, откуда и будет следовать ответ.

Показать ответ и решение

Во-первых, покажем, что $a$ и $b$ взаимно просты. Пусть это не так, тогда они делятся на какое-то простое число $p$ , а значит и $a− b− 1$ делится на $p$ , но это не так.

Во-вторых, покажем, что $a$ и $b$ — точные кубы. Число $27ab$ — куб, $27$ — куб, значит и $ab$ — куб. Если некоторое простое число входит в $ab$ в степени $3α$ , то оно либо входит в этой же степени в $a$ , а в $b$ — в нулевой, либо наоборот, так как $(a,b)= 1$ . Таким образом, $a$ и $b$ — кубы, ведь все простые множители входят в них в $3$ степени.

Пусть $3 3 a= a1,b= b1$ , тогда извлечём из равенства кубический корень и получим:

3a1b1 = a31 − b31− 1

Зафиксируем $a1$ и сравним с ней $b1$ . Ясно, что $b1 ≤a1− 1$ , потому что иначе правая часть отрицательна, а левая — положительна. Перепишем равенство в виде:

3 3 b1+ 3a1b1 = a1− 1

Нетрудно видеть, что

3 3 3 b1+ 3a1b1 ≤ (a1− 1)+ 3a1(a1− 1)=a1− 1

То есть равенство возможно лишь когда $b1 = a1− 1$ , откуда $b= b31,a= (b1 +1)3$ . Притом эта пара является решением при любом натуральном $b1$ .

Ответ:

$a =(k+ 1)3,b= k3,k∈ ℕ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#89289

Найдите все пары целых чисел $(x,y),$ удовлетворяющие уравнению

(2 2) x + y (x +y− 3)= 2xy

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Слева у нас первая скобка достаточно большая. Давайте для начала сравним одну её с правой частью.

Подсказка 2

Отлично, только первая скобка слева по модулю хотя бы такая же, как правая часть. Вторая скобка у нас целая, тогда какие значения она может принимать?

Подсказка 3

Итак, x+y-3 может принимать значения -1, 0 и 1. Эти три варианта можно разобрать отдельно, в каждом из случаев получив простую систему.

Показать ответ и решение

Известно, что

( 2 2) x + y ≥|2xy|

Тогда $(x2 +y2)(x +y − 3)$ может равняться $2xy$ только в случае, если либо $|x+ y− 3|= 1$ и $(x2+y2)= |2xy|⇔ |x|= |y|,$ либо какая-то из скобок равна $0$

1. $x+y − 3 =0$

Тогда левая часть уравнения равняется $0.$ Но тогда и правая равна $0.$ Т.е. $2xy = 0.$ Тогда либо $x =0 =⇒ y = 3,$ либо $y =0 =⇒ x= 3.$ Оба решения нам подходят.

2. $x+y − 3 =1$

$x+y =4.$ С учетом того, что $|x|= |y|,$ то $x= y = 2.$ Проверкой убеждаемся, что это решение.

3. $x+y − 3 =−1$

$x+y =2.$ С учетом того, что $|x|= |y|,$ то $x= y = 1.$ Проверкой понимаем, что это не будет являться решением.

4. $2 2 x +y = 2xy = 0$

Получается, что $x =y =0.$ Подстановкой получим тождество, т.е. это будет решением.

Итого у нас $4$ решения.

Ответ:

$(2,2),(3,0),(0,3),(0,0)$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#91099

Найдите все простые числа $p,q$ и $r$ такие, что $pq+ 1$ делится на $r,qr+ 1$ делится на $p,pr+ 1$ делится на $q.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте из этих трёх чисел получить некоторое число, которое будет делиться сразу на p, q и r.

Подсказка 2

Попробуйте рассмотреть числа pq + qr и pr + 1. Они оба делятся на q, а значит и сумма делится. Как можно развить это рассуждение для других переменных?

Показать ответ и решение

Рассмотрим число $pq+ qr+ rp+ 1.$ Из условия следует, что оно делится на все простые $p,q$ и $r.$ Так как $pq+1$ кратно $r,$ то $r$ не равно $p$ и $q,$ то есть, применяя аналогичное соображение, получим, что все числа различны. И поэтому $.. pq+qr+ pr+ 1.pqr.$ Докажем, что числа большие $2,3$ и $7$ не подходят. Заметим, что число $pq+qr+rp+1- pqr$ — целое. Если среди чисел нет двойки, то это выражение равно

1 1 1 1 1 1 1 1 p + q + r + pqr ≤ 3 +5 + 7 + 105 < 1

Если одно из чисел $2,$ а все остальные не меньше $5,$ то

1+ 1 + 1 +-1-≤ 1+ 1+ 1 +-1 <1 p q r pqr 2 5 7 70

Если же два из простых это $2$ и $3,$ то

1+ 1+ 1+ -1 = 5+ 7-< 2 2 3 r 6r 6 6r

и целое, то есть равно $1,$ а тогда $r =7.$

Ответ:

$2,3,7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#91941

Решите уравнение в натуральных числах:

n n!−1 n! m + 4 = 2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В левой части 4 возводится в степень (n! - 1), а в правой — 2 в степень n!. Интуиция подсказывает, что левая часть чаще всего больше правой. Как можно это доказать?

Подсказка 2

Обозначим правую часть через t. Тогда в левой части можно выделить t²/4. Перенесем правую часть влево. Тогда наше выражение почти является квадратным трехчленом, мешает только одно слагаемое. Как от него избавиться?

Подсказка 3

Верно! Оно не меньше 1, поскольку m и n — натуральные числа. Выходит, наша новая левая часть не меньше квадратного трехчлена (t-2)², который равен нулю только при t = 2. Как теперь понять, когда получается равенство в исходном уравнении?

Показать ответ и решение

Положим $t= 2n!,$ тогда $4n!−1 = t2∕4.$ После этого уравнение примет вид

n t2 m + 4-=t t2− 4t+ 4mn = 0 2 n 2 2 t − 4t+4m ≥t − 4t+4= (t− 2) ≥ 0

Равенство достигается тогда и только тогда, когда $t= 2,$ а $m = n= 1.$ Найденные значения, очевидно, подходят.

Ответ:

$m = n= 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#97690

Существует ли натуральное число $n,$ которое можно представить как в виде $n= a2− b,$ так и в виде $n =b2− c,$ где $a,$ $b$ и $c$ — три различных натуральных делителя числа $n?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Делитель числа n точно не больше, чем n, поэтому a² и b² должны быть достаточно близки к n. Какую оценку на a позволяет сделать такое соображение?

Подсказка 2

Ага, а²>n, ведь n=а²-b, поэтому а>√n. Если а²>(√n+1)², то b>2√n. Найдётся ли в таком случае c, подходящее под условие?

Подсказка 3

Верно, не найдётся, потому что c будет больше n, но это противоречие с делимостью. Какой вывод тогда отсюда остаётся сделать? Разберите другой случай, противоречие будет уже с другим требованием задачи для a, b, c.

Показать ответ и решение

Предположим, что такие $n,$ $a,$ $b,$ $c$ существуют. Понятно, что $a≥ √n.$ Пусть $a≥ √n +1.$ Тогда $a2 > n+ 2√n.$ Значит, $√- b> 2 n.$ Тогда $2 b > 4n,c >3n.$ Противоречие, так как $c≤ n.$ Значит, $√- a= ⌈ n⌉.$ Тогда получаем, что $a$ — делитель $n,$ и отсюда

2 2 a ≥ n> (a− 1) > a(a − 2)

Значит, $n= a(a − 1),$ ведь $a$ — делитель $n.$ Тогда $b= a.$ Противоречие с тем, что $a$ и $b$ различны.

Ответ:

Не существуют

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#102333

При каких натуральных $a$ и $b$ числа $a2b+3$ и $b2a+ 3$ являются точными кубами?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Из выражений в условии выделить полный куб не получается. Что будет, если перемножить эти выражения?

Подсказка 2

Тогда получится что-то близкое к (ab+1)³, причём другие кубы точно не подойдут(почему?). Осталось разобрать только этот случай.

Показать ответ и решение

Давайте перемножим эти два числа. Тогда $(a2b+ 3)(ab2 +3)= n3$ для некоторого натурального $n.$ Левая часть прошлого равенства на самом деле точно больше $33 ab$ и точно меньше, чем $3 33 22 (ab+ 2) = a b+ 6a b+ 12ab+8$ в силу того, что

22 2 2 6a b≥ 3(ab+ ab)

12ab +8> 9

Следовательно,

a3b3+ 3(a2b+ ab2)+ 9=(ab+ 1)3 ⇐⇒ 3(a2b+ab2− ab− a2b2)= −8

Последнее равенство не может быть верно в силу того, что левая часть делится на $3,$ а правая нет. Следовательно, таких натуральных $a$ и $b$ не существует.

Ответ:

Ни при каких

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#124271

Существует ли такое натуральное число $n >2,$ что все $n$ натуральных чисел от 1 до $n$ можно расставить по кругу в каком-то порядке таким образом, что произведение любых двух соседних чисел, увеличенное на 1, будет кубом натурального числа?

Показать доказательство

Предположим, что расстановка существует. Пусть $k$ — такое число, что $2k ≤n <2k+1,$ $x$ — число, соседнее с $2k.$ Тогда существует натуральное число $m,$ при котором

k 3 2 x+ 1= m ,

то есть

k 2 2 x= (m− 1)(m +m + 1).

Заметим, что второй множитель правой части всегда нечётен, следовательно, $m − 1$ делится на $2k.$ При этом $x≤ n< 2k+1,$ а значит, $2kx+ 1≤ 22k+1.$ Но $m3 > (2k)3$ из полученной нами делимости. При $k≥ 1$ получаем $3k≥ 2k+ 1,$ так что равенства быть не может.

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#68094

Решите уравнение в целых числах

x+y x y 12 ⋅3 = 3 + 3

Источники: Межвед-2023, 11.2 (см. www.academy.fsb.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть y неотрицательный. Давайте тогда попробуем сначала перенести одно из слагаемых с правой части влево и вынести за скобку общий множитель. Что тогда хочется ещё сделать? Что мы можем оценить из нашего предположения для y?

Подсказка 2

Верно, давайте сократим на 3^x и посмотрим на левую часть. Она целая, если y неотрицателен, и причём не делится на 3. Тогда что можно сказать о правой части и с чем возникает противоречие?

Подсказка 3

Да, правая тоже будет целым числом, но тогда она будет степенью тройки. Но такого быть не может! Отлично, то есть y не больше чем -1, а в силу симметрии x тоже. Давайте теперь вернёмся к исходному уравнению. Что, возможно, вам хотелось сразу сделать, но потом вы ни к чему не пришли? Как можно избавиться от степени тройки с одной стороны уравнения?

Подсказка 4

Точно, давайте теперь сократим на 3^(x+y). Тогда справа у нас останется сумма степеней троек, а слева число. Причём степени у нас будут положительные из-за ранее сделанных выводов. Осталось только оценить степени и победа!

Показать ответ и решение

Предположим, что $y ≥ 0.$ Преобразуем уравнение:

x y y 3 (12⋅3 − 1)= 3

y y−x 12⋅3 − 1 =3

Тогда, так как $y ≥ 0,$ то $12⋅3y− 1 ≥11,$ число целое и не кратно трем. Значит, $3y−x$ тоже целое, но число $12⋅3y− 1≥ 11$ не может быть степенью тройки (нулевой быть не может, так как оно больше $1,$ а ненулевой - так как оно не кратно $3).$ Таким образом, $y ≤−1.$ В силу симметрии относительно перестановки $x,y$ получим, что $x ≤−1.$ Пусть $x = −m,y = −n,n,m∈ ℕ.$ Тогда:

12⋅3−m−n = 3−m + 3−n

Домножим на $3m+n :$

12 =3n +3m

Пусть $n ≥ m.$ Если $m ≥ 2,$ то $3n +3m ≥ 9+9 =18> 12.$ Значит, $m = 1,$ тогда $n= 2.$ Получим что, $n= 2,m = 1$ или $n= 1,m = 2.$ Откуда получим ответ.

Ответ:

$(−1,−2),(−2,−1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#68183

Решите в натуральных числах уравнение

b a a + a+b =b

Источники: ФЕ-2023, 11.5 (см. www.formulo.org)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте сначала переберем значения b. При 1 нет решений, при 2 можно найти одно решение. А дальше уже не хочется смотреть...и мы начинаем понимать тендецию, что справа будет стоять экспонента от a, а слева - многочлен...Как теперь строго описать этот феномен?

Подсказка 2

Вот давайте теперь предположим, что b хотя бы 3, а a хотя бы 2. Посмотрим на a^b + a + b. Вот пара оценок на помощь: a^b < a^b + a + b < a^b + ab < a^b +ba^(b-2). А как это еще можно оценить так, чтобы справа вышло тоже что-то в степени b?

Подсказка 3

Как (a+1/a)^b! Это проверяется с помощью бинома Ньютона. То есть, вышло что a^b < b^a < (a+1/a)^b. Те, кто рассматривал уравнение вида a^b = b^a знают, что нужно дальше делать) А кто нет, то вот что: приведите эти три функции к почти одинаковому виду, а после посмотрите на скорость роста функции.

Подсказка 4

Прологарифмируем и поделим на ab! выйдет: ln(a+1/a)/a > ln(b)/b > ln(a)/a. Рассмотрите производную функции ln(x)/x и поймете, как она себя ведет. А дальше надо подумать про самое больше число в этой цепочке неравенств...

Подсказка 5

С помощью производной ln(x)/x, можно понять, что нет решений при b ≥ a ≥ 3 и c a = 2, b ≥ 4. Теперь предлагается вот что: можно получить противоречие с тем, что самое наибольшее слагаемое в цепочке - не наибольшее. докажите, что ln(a+1/a)/a < ln(a-1)/(a-1) при a ≥ 4, также с помощью производных)

Показать ответ и решение

Если $a =1$ или $b= 1,$ то решений нет. Если $b= 2,$ то получим $2a = a2 +a+ 1.$ При $a< 5$ решений нет, $a= 5$ подходит, а при $a≥ 5$ левая часть увеличивается менее чем в два раза при увеличении $a$ на $1.$ Пусть $b≥ 3.$ Тогда

( 1)b ba = ab+ a+ b≤ ab+ab≤ ab+ bab−2 < a+ a

Последнее неравенство следует из разложения по биному Ньютона для $( ) a +a1b.$ Действительно:

( ) a + 1 b = ab +b⋅ab−1⋅ 1+ ... a a

Значит,

( 1)b a +a > ba >ab

логарифмируя и деля на $ab,$ получаем:

( ) ln-a+-1a--> lnb-> lna- a b a

Пусть $f(x)= lnx. x$ Заметим, что $f(a)$ убывает при $a ≥3$ и $f(2)=f(4)$ (у этой функции производная равна $f′(x) = 1−lnx, x2$ и она отрицательна при $x> e.$ Поэтому нет решений с $a= 2,b≥4$ и с $b ≥a ≥3.$

С другой стороны, можно проверить, что

( 1) ln-a+-a-< ln(a-− 1) a a− 1

при $a≥ 4.$ Действительно, при $a= 4$ это

( 1)3 3 1 4 4+ 4 = 64+ 12+ 4 + 64 < 81= 3

и производная выражения $g(a)= a⋅ln (a− 1)− (a− 1)⋅ln(a+ 1a)$ равна

2 ( ) − (a−-1)(2a-−-1)+ -a--+ln(a− 1)− ln a+ 1 = a(a + 1) a− 1 a

( ) = − a3−-a2−-a+1 +-a--+ln(a− 1)− ln a+ 1 = a(a2+ 1) a− 1 a

( −a2-− 2a+-1) ( --1-) (-a2+-1) =− 1+ a3+ a) + 1+ a− 1 − ln a(a− 1) =

a2+ 2a− 1 1 ( a2+ 1 ) = --a3+-a--+ a−-1 − ln a(a−-1)

Но (так как $ln(1 +x)< x$ при $x> 0)$

( ) ( ) ln -a2-+1- =ln 1+ a-+1- < -a+-1 a(a − 1) a2− a a2− a

так что

′ ---a3−-3a--- g (a)> a(a− 1)(a2+ 1) > 0

уже при $a ≥3.$ Таким образом, уравнение не имеет решений при $a≥ 4.$

Замечание. Вместо оценки $( ) a+ 1a b$ можно использовать $(a+1)b$ (верную при $b= 2),$ тогда упрощаются вычисления, но нужно перебирать больше исключений.

Ответ:

$a =5,b= 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#71022

Найдите количество троек натуральных чисел $m, n,k$ , являющихся решением уравнения

∘ ---√-- m+ n+ k= 2023

Источники: Изумруд-2023, 11.4 (см. izumrud.urfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для каждого значения √(n+√k) значение m будет определено однозначно. Подумайте, какие значения может принимать √(n+√k).

Подсказка 2

√(n+√k) не может быть меньше 2, так как n и k больше 1, и также не может быть больше 2022, так как 2023-m≤2022. Давайте обратим внимание на то, что в правой части уравнения стоит целое число, тогда и в левой части тоже должно быть целое. Какие должны для этого соблюдаться условия?

Подсказка 3

Для этого k и n+√k должны быть точными квадратами. Обозначим k = x² и n+√k = y². В таком случае, число n определяется однозначно, значит, для получения ответа на задачу нам нужно найти все возможные пары (x, y).

Показать ответ и решение

Чтобы левая часть была целым числом, числа $k$ и $n +√k$ должны быть точными квадратами, при этом $n+ √k ≥2,$ значит $∘ ---√-- n+ k ≥2$ и отсюда $m ≤2021.$ Так как $1≤ m ≤$ $2021,$ то $∘ ---√-- n+ k$ может принимать любое значение от $2$ до $2022$ — по этому значению число $m$ определяется однозначно.

Пусть $2 k= x$ и $√ - 2 n + k= y,$ где $2 1≤ x≤ y − 1$ и $2≤y ≤2022,$ тогда число $n$ определяется однозначно, а именно $2 n= y − x.$ Получается, необходимо посчитать число допустимых пар $(x,y).$ Всего их

( ) ( ) 22− 1+ ...+ 20222− 1 =12+ 22+ ...+20222− 2022

Формула суммы квадратов первых $n$ натуральных чисел известна:

2 2 2 n(n+ 1)(2n +1) 1 +2 + ...+ n = ------6-----

Применим эту формулу и получим

2022⋅2023 ⋅4045 12+22+ ...+ 20222− 2022 = -----6------− 2022= 27575680773

Ответ: 27575680773

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#74242

Решите в целых числах $x$ и $y$ уравнение

3 3 2 x = y + 2y + 1

Показать ответ и решение

Запишем равенство в виде $x3− y3 =2y2+ 1.$ Правая часть больше $0,$ значит левая тоже. Следовательно, $2 3 3 3 3 2 2y + 1= x − y ≥ (y+ 1) − y = 3y + 3y+ 1.$ Получаем неравенство $2 0≥ y +3y,$ которое имеет решения $y ∈ [− 3;0].$ Осталось перебрать полученные целые значения и выписать ответ.

Ответ:

$(1,0),(1,−2),(−2,−3)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#74243

Найдите все простые $p$ и $q$ такие, что верно

3 2 3 2 q − q = p +3p − 2

Показать ответ и решение

Ясно, что $q ≥ p,$ иначе правая часть больше левой. Если $p= q,$ равенство примет вид $2p2 = 1,$ то есть решений не будет. Если $q =p+ 1,$ то $q =3$ и $p= 2,$ эта пара подходит. Пусть теперь $q ≥ p+2.$ Следовательно, $3 2 3 2 p + 3p − 2 ≥(p+ 2) − (p +2)$ (выражение $3 2 q− q$ на натуральных числах возрастает). Это неравенство равносильно следующему: $2 0 ≥2p + 8p +6.$ Очевидно, оно решений в простых числах не имеет.

Ответ:

$q = 3,p= 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#74245

Найдите все пары натуральных чисел $x$ и $y$ таких, что

2 4 3 2 x + x= y + y +y + y

Показать ответ и решение

Попробуем собрать слева и справа полные квадраты. Домножим на $4$ и прибавим $1,$ чтобы было удобнее это делать. Получим равенство

2 2 2 2 (2x +1) = (2y + y)+ 3y +4y +1

Заметим, что при натуральных $y$ выражение $3y2 +4y+ 1$ положительно. Значит, $(2x+1)2 > (2y2+ y)2,$ откуда получаем неравенство

2 2 2 2 2 2 3y +4y+ 1≥ (2y + y+ 1) − (2y + y) =4y + 2y+1

Его решения: $y ∈ [0;2].$ Осталось сделать перебор и выписать ответ.

Ответ:

$(5,2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#74246

Решите уравнение в простых числах

2 3 p − pq− q = 1

Источники: Туймаада

Показать ответ и решение

Если записать равенство в виде $p(p− q)= q3+ 1,$ станет понятно, что $p> q.$ Теперь запишем равенство так: $(p− 1)(p+ 1)= q(q2+p).$ Возникает желание разобрать два случая.

Первый случай, $p− 1$ кратно $q,$ то есть $p =kq+ 1,k ≥1.$ Подставим это в уравнение и получим: $2 2 q + (k− k )q− 2k+ 1= 0.$ Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $q.$ Дискриминант равен $2 2 (k − k) + 8k − 4.$ Он должен быть точным квадратом. Следовательно, $2 2 2 (k − k) + 8k− 4= m .$ Ясно, что $8k − 4> 0,$ значит

8k− 4= m2− (k2− k)2 ≥ 2k2 − 2k+ 1

Получаем, что $k∈ [1,4].$ Делаем перебор, находим ответы.

Второй случай, $p +1$ кратно $q,$ то есть $p= kq− 1.$ Аналогичными рассуждениями получим уравнение $2 2 q + (k − k )q +2k− 1= 0.$ Далее требуем, чтобы дискриминант был квадратом: $2 2 2 (k − k)− 8k+ 4= m .$ Получаем ограничения на $k:$

2 2 2 2 2 2 2 2 8k− 4= (k − k) − m ≥ (k − k) − (k − k− 1) = 2k − 2k− 1

откуда $k∈ [1,4].$ Перебираем и выписываем ответ.

Ответ:

$p =7,q = 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#75876

Решите в целых числах уравнение $x2 +3x+ 7= y2.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте найти решения при фиксированном y².

Подсказка 2

Получается, что при фиксированной правой части у нас есть два решения, сумма которых равна -3. Также стоит учесть, что правая часть это y². Тогда мы можем вписать решения, которые следуют из нахождения одного решения (x, y).

Подсказка 3

Очень часто, когда мы хотим доказать, что что-то не является квадратом, то мы пробуем зажимать его между двумя. Быть может, такое можно сделать и тут? При каких x такое можно провернуть?

Подсказка 4

Из наших наблюдений о решениях достаточно рассматривать x > -3/2, y > 0. При каких из них можно зажать левую часть между квадратами?

Подсказка 5

Рассмотрите отдельно случаи x > 3, x = 2, ..., -1.

Показать ответ и решение

Заметим, что если $(x ,y ) 0 0$ — решение, то $(−3− x ,y ),(x ,− y),(− 3− x ,−y ) 0 0 0 0 0 0$ тоже решения. Тогда достаточно найти все решения вида $(x,y),x≥ −3∕2,y ≥ 0,$ остальные будут производными от этих.

1) Если $x> 3,$ то $2 2 2 (x +2) > x +3x+ 7> (x+ 1) .$ Значит, $2 x + 3x+7$ не может быть квадратом целого числа при таких ограничениях.

2) $x= 3;$

$2 2 x + 3x+ 7= 25= y;$

${(3,±5),(− 6,±5)}$ — решения

3) $x= 2;$ $2 x + 3x+ 7= 17$ — не квадрат, решений в целых числах нет;

4) $x= 1;$ $2 x + 3x+ 7= 11$ — не квадрат, решений в целых числах нет;

5) $x= 0;$ $x2+ 3x+ 7= 7$ — не квадрат, решений в целых числах нет;

6) $x= −1;$ $x2 +3x+ 7= 5$ — не квадрат, решений в целых числах нет;

Ответ:

${(3,±5),(− 6,±5)}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#75877

Существует ли натуральное число, являющееся точным квадратом, которое можно представить в виде суммы $4$ квадратов последовательных натуральных чисел?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Существует ряд модулей, по которым квадраты натуральных чисел дают "приятные остатки". К их числу относиться, например, модуль 5, квадрат натурального числа может давать только остатки 0, 1,-1. А по какому модулю можно рассмотреть данное уравнение?

Показать ответ и решение

Пусть такое число $A$ существует. И пусть оно представляется как $A =(x− 1)2+ x2+ (x +1)2+(x+ 2)2 =4x2+ 4x+ 6(x≥ 2).$ Но если $x$ — натуральное, то: