Тема ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

Уравнения в целых числах

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела теория чисел

Разделы подтемы Уравнения в целых числах

Выбор модуля и перебор случаев в уравнениях над Z

Разложение на целые скобки

Оценки в уравнениях над Z

Уравнения на НОД и НОК

Линейные диофантовы уравнения

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 161#101480Максимум баллов за задание: 7

Найдите все натуральные числа $n,$ для каждого из которых существуют такие натуральные числа $p$ и $q,$ что

( 2 )p q n + 2 =(2n− 1).

Показать ответ и решение

Очевидно, что $n ≤ 4$ условию задачи не удовлетворяют.

Непосредственно проверяем, что $n = 5$ удовлетворяет условию.

Далее считаем, что $n ≥ 6$ .

Если $r$ является простым делителем числа $2 n + 2$ , то $.. (2n − 1).r$ и наоборот: если $r$ — простой делитель числа $2n− 1$ , то $(2 ) .. n + 2 .r$ . Итак, возьмем общий простой делитель $r$ чисел $2 n + 2$ и $2n− 1$ . Имеем:

n2+2 =rk,2n− 1= rl,

где $k$ и $l$ — натуральные числа. Тогда

2 2 22 (2n) +8 =4rk, (rl+ 1)+ 8= 4rk, rl + 2rl+ 9= 4rk,

и поэтому $9 ...r$ . Поскольку число $r$ простое, то $r= 3$ . Мы установили, что

n2+ 2= 3m, 2n− 1= 3s,

где $m$ и $s$ — натуральные числа, причём $m > s≥ 3$ . Но из последних двух равенств следует, что

(3s+ 1)2+ 8= 4⋅3m,32s +2⋅3s+ 9= 4⋅3m.

Итак, $. 9..3s$ , что невозможно для $s≥ 3$ .

Ответ: 5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 162#41313Максимум баллов за задание: 7

Про натуральные числа $x$ и $y$ и целое нечётное число $z$ известно, что

x!+ y!= 24z+2017

Найдите все возможные такие тройки чисел $(x,y,z).$

Источники: ОММО-2017, номер 3 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам не просто так намекнули на четность, значит имеет смысл рассмотреть её. Какие тогда выводы можно сделать о четности левой части равенства и о x или y?

Подсказка 2

x! + y! нечетно, значит x или y единичка! Пусть y = 1. Используем условие на нечетность z и запишем z как 2k+1, подставим и подберем такой удобный модуль, чтобы дать какие-то ограничения на x.

Подсказка 3

x! = 24z + 2017 - y! = 48k + 2040. Чтобы дать какие-то ограничения на x, нужно выбрать такой модуль, чтобы вне зависимости от k был понятен остаток от деления 48k + 2040 на этот модуль. По какому модулю тогда всё рассмотреть?

Подсказка 4

По модулю 16! Действительно, желательно, чтобы 48 делилось на модуль, поэтому мы искали его среди делителей 48. Следовательно, 48k + 2040 = 8(mod 16). Тогда x = 4,5 (подумайте, почему). Осталось найти z!

Показать ответ и решение

Поскольку правая часть нечётна, то и левая тоже, тогда одна из переменных $x,y$ равна единице. Пусть $y = 1.$ Далее

z = 2k +1 =⇒ x!=24z+ 2017− y!=48k+ 2040 ≡168

То есть $x= 4,5,$ поскольку все остальные факториалы либо кратны $16,$ либо дают остатки, не кратные $8,$ получаем $2017−1−24 2017−1−120 z =− ---24---,−---24--- =− 83,−79.$ Остаётся учесть симметрию и написать ответ.

Ответ:

$(1,4,−83),(1,5,−79),(4,1− 83),(5,1,−79)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 163#79774Максимум баллов за задание: 7

Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение

4 4 4 x1 +x2+ ⋅⋅⋅+ x13 =2017?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Можно попробовать написать какие-то оценки, но, кажется, сразу это не сработает. Давайте применим арифметику остатков и вспомним, что по модулю 16 у числа x⁴ существует всего 2 вида остатков...

Подсказка 2

2017 дает остаток 1 при делении на 16, а x⁴ дает остаток 0 или 1. Поэтому ровно одно из чисел xₙ нечетно. Для определенности пока будем считать, что это именно x₁₃. Каким может быть x₁₃?

Подсказка 3

Верно, x₁₃<7. Поэтому нам остается проверить только x₁₃=1,3 и 5. Используя остатки по модулю 16 разберите эти случаи и не забудьте, что переменные можно менять местами.

Показать ответ и решение

Если $x$ — чётно, то $x4 ≡ 0, 16$ а если $x$ – нечётно, то $x4 ≡1. 16$ Так как $2017 =16⋅126+1,$ то $2017 ≡ 1. 16$ Значит, ровно одно из $x k$ нечётно $($ не умаляя общности, возьмём $x13),$ а остальные чётны, так как слагаемых всего $13.$

Будем перебирать это нечётное число до $5,$ так как $4 7 =2401> 2017.$

(a) Пусть $x13 =1,$ тогда

(2y1)4+(2y2)4+ ...+ (2y12)4+ 1= 126⋅16+ 1

4 4 4 y1 + y2 + ...+ y12 = 126

Слева сумма остатков при делении на $16$ не превышает $12,$ а справа $126 ≡ 14, 16$ следовательно, решений нет.

(b) Пусть $x =3, 13$ тогда придём к уравнению

4 4 4 y1 + y2 +...+y12 = 121 =7 ⋅16+ 9

Значит, ровно $9$ $yk$ нечетны, а $3$ — четны. Четные $yk$ не могут быть больше $2,$ так как $44 = 256.$ Значит, они равны по $2 :$

y4+ y4+ ...+ y4 +24+ 24+24 = 7⋅16+ 9 1 2 9

4 4 4 y1 + y2 +...+y9 = 73

Нечётные $yk$ не могут быть больше $1,$ так как $34 =81> 73,$ значит, все они равны $1.$ Но $9⋅1< 73,$ следовательно, решений нет.

4 4 4 y1 +y2 + ...+ y12 = 87= 16⋅5+ 7

Значит, ровно $7$ нечётных, $5$ — чётных, следовательно,

(y )= (1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 5) k

(xk) =(2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 4, 4, 5)

Количество решений это количество перестановок чисел в $(xk),$ то есть

13!- 5!⋅7!

Ответ:

$-13! 5!⋅7!$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 164#80455Максимум баллов за задание: 7

Для каждой пары целых положительных чисел $(m,n)$ , связанных соотношением

3m + 2n = 19,

найти решение $x$ уравнения

rnx x 2 + rm ⋅2 − 8 =0,

где $rk$ — остаток от деления $k$ на $3.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раз нас просят найти решение уравнения, где присутствуют сравнения по модулю 3, то давайте по исследуем первое уравнение тоже по модулю 3.

Подсказка 2

Ага, n ≡ 2 (mod 3), что можно сказать насчет m?

Подсказка 3

m может давать любой остаток по модулю 3, давайте просто разберём каждый из вариантов!

Показать ответ и решение

Заметим, что $2n≡ 19 ≡4 3 3$ . Отсюда следует, что $n ≡2 3$ и отсюда $r = 2 n$ . Тогда можно представить $n$ как $3t+ 2$ и тогда $m = 5− 2t≡3 t− 1$ и такое число может давать любой остаток при делении на 3. Значит, нам нужно решить уравнение

x x 4 + rm2 − 8 =0

Давайте заменим $2x$ на $y$ . Получим

y2+ r y− 8= 0 m

Если $t=0$ , то $rm = 2$ и у уравнения $y2+ 2y− 8$ есть 1 положительный корень $y = 2= 2x =⇒ x =1$ .

Если $t=1$ , то $rm = 0$ от уравнения $y2 =8$ получаем $x =1,5.$

Если $t=2$ , то $rm = 1$ и от уравнения $y2+ 2y − 8$ получаем $x =log2(√33− 1)− 1.$

Ответ:

$1$ при $m = 5,n= 2$

$1,5$ при $m = 3,n= 5$

$√ -- log2( 33 − 1)− 1$ при $m = 1,n = 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 165#92721Максимум баллов за задание: 7

Доминик потерял из полного комплекта домино все кости, на которых в одной из ячеек было пусто. И тут он понял, что каждая доминошка представляет из себя дробь, в которой числителем является верхнее число, а знаменателем — нижнее. Доминик и его сестра Ника решили сесть за стол друг на против друга. Они выложили перед собой $4$ доминошки, крайние из которых лежат точками вверх, а две другие — точками вниз. Доминик поставил между доминошками ними знаки и видит картинку справа. Когда они перевернули вторую и третью доминошки, оказалось, что равенство верное и со стороны Доминика, и со стороны Ники. Какие две доминошки могли быть на месте перевернутых?

$PIC$

Источники: Лига открытий - 2017

Показать ответ и решение

Пусть Доминик видит перед собой выражение, эквивалентное

2 a c 1 3 ⋅b ⋅d = 3

Тогда его сестра Ника видит

3 d b 3 1 = c ⋅a ⋅2

Получаем, что для чисел $a,b,c,d$ от $1$ до $6$ верны два равенства: $2bd= ac$ и $9bc= 2ad.$ Перемножив их, получим, что $9b2 = a2.$ Это означает, что либо $b= 1$ и $a= 3,$ либо $b= 2$ и $a= 6.$ Но доминошка $1 :3$ уже есть на столе, поэтому вариант $b= 1,a= 3$ не подходит. Поэтому $b=2,a= 6.$ Далее, подставляя соответствующие значения вместо $a$ и $b,$ получаем, что $3c= 2d.$ В таком случае либо $c= 2,d= 3,$ либо $c= 4,d =6.$ Но доминошка $2:3$ опять же уже присутствует на столе, поэтому единственный возможный вариант — $c=4,d= 6.$ Нетрудно убедиться, что $a= 6,b=2,c= 4,d =6$ подходит.

Ответ:

$2 :6$ и $4 :6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 166#102397Максимум баллов за задание: 7

Вычислите $√n +√n-+-524-$ , если известно, что это число рациональное и что $n$ — натуральное.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мда, так себе условие... Как бы нам из него что-то достать интересное. Возвести в квадрат, получить произведение двух корней — плохо. Надо как-то по отдельности их что-ли в квадрат возвести. Как бы это сделать? Может что-то обозначить...

Подсказка 2

Так и сделаем. Пусть √n + √(n+254) = a. Тогда √(n+254) = a - √n. Вот щас уже можно что-то сделать...

Подсказка 3:

Возведём в квадрат. Получим, что n + 254 = a² + n - 2a√n. Мы знаем, что a — рационально по условию, n — натурально. Какой вывод можно сделать из этого?

Подсказка 4:

Докажите, что √n — натурально. В каком виде тогда можно представить числа n и n+254?

Подсказка 5:

Верно! n = k², n + 254 = m², где n, m ∈ N. Осталось вспомнить формулу разности квадратов и понять, что 524 = 131 * 4 = 2*2*131 — разложили на простые. С помощью этого дорешайте задачу, опираясь на натуральность множителей)

Показать ответ и решение

Пусть искомое число равно $a$ . Имеем

√------ √ - 2 √- n+ 524= a− n, n+ 524= a − 2a n +n

По условию $a$ рационально, поэтому и $√n$ рационально. Значит, $n =k2,k∈ ℕ$ . Тогда число $√n-+-524-$ тоже рационально, поэтому $n +524= m2,m ∈ℕ$ . Значит,

2 2 m − k = 524, (m − k)(m+ k)= 4⋅131

Заметим, что числа $m− k$ и $m +k$ одинаковой чётности, а число 131 простое. Следовательно, $m − k= 2$ и $m+ k= 2⋅131$ . Оба равенства выполнены при $m = 132,k= 130$ . Итак, $a= m + k= 262$ .

Ответ: 262

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 167#102758Максимум баллов за задание: 7

Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение

2017 (2x+y)(2y +x)= 2017 ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

По какому модулю можно рассмотреть данное равенство?

Подсказка 2

Не совсем понятно, как связать 2x+y и 2y+x с модулем 5 и 7. По модулю 2 тоже вроде противоречий нет... а вот по модулю 3 давайте рассмотрим!

Подсказка 3

2017 дает остаток 1 по модулю 3. А что можно сказать об остатках скобок?

Подсказка 4

Обратите внимание на то, что сумма скобок делится на 3. Поэтому, если первая скобка дает остаток 1 при делении на 3, то вторая дает остаток 2 и наоборот ;) Осталось лишь разобрать случаи этих остатков.

Показать ответ и решение

Пусть $A = 2x +y$ — выражение в первой скобке, а $B = 2y +x$ — выражение во второй скобке. Заметим, что

A + B = 2x+ y+ 2y +x =3x+ 3y = 3(x +y),

то есть $A +B$ делится на 3. При этом ни $A,$ ни $B$ не могут делиться на 3, так как иначе $AB = 20172017$ делилось бы на 3, что неверно. Если $A$ имеет остаток 1 при делении на 3, то $B$ имеет остаток 2. Если $A$ имеет остаток 2, то $B$ имеет остаток 1. В обоих случая произведение $AB$ имеет остаток 2 при делении на 3. Но 2017 имеет остаток 1 при делении на 3, откуда $20172017$ тоже имеет остаток 1. Получается, левая и правая части уранений дают разные остатки при делении на 3, то есть решений нет.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 168#38866Максимум баллов за задание: 7

Найдите какую-нибудь пару натуральных чисел $a$ и $b,$ оба больших $1,$ удовлетворяющих уравнению $a13 ⋅b31 = 62015.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Заметим, что 2015 раскладывается на множители очень интересным образом. Это 31*13*5. То есть попробуем сказать, что а и b это 6 в некоторой степени, и как-то их выразить..

Показать ответ и решение

Заметим, что $2015= 5⋅13⋅31,$ пусть $a= 631x,b= 613y,$ где $x,y >0.$ Тогда $13⋅31x+31⋅13y = 5⋅13⋅31,$ положим $x= 2,y = 3,$ откуда $62 39 a =6 ,b= 6$ подходят.

Ответ:

$662,639$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 169#44069Максимум баллов за задание: 7

Сколько пар $(x;y)$ целых чисел, являющихся решениями уравнения $7x − 5y = 23,$ удовлетворяют неравенству $x2+ y2 ≤37?$ Найти пару $(x;y),$ для которой $x+ y$ наибольшее.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте сделать оценку на модули x и y, а так же запишем 7x - 5y = 23 как x = (23+5y) / 7. Что можно сказать об y?

Подсказка 2

y = -6 или y = 1! Проделайте аналогичные действия с x, тогда несложно будет найти наибольшее значение x+y.

Показать ответ и решение

Легко видеть, что $|x|≤ 6,|y|≤6.$ При $y ∈ [−6,6]$ выражение $23+ 5y$ кратно семи только при $y ∈ {− 6,1}.$ Для $x$ имеем соответственно ${−1,4}.$ Наибольшее значение $x+ y$ равно $5.$

Ответ:

$2$ пары, наибольшую сумму имеет пара $(4,1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 170#70325Максимум баллов за задание: 7

Найдите все пары натуральных чисел $(x,y)$ , для которых выполнено равенство

2 x +xy = y+ 92

Источники: ПВГ - 2016, 9 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте преобразовать выражение.

Подсказка 2

Вычтите из обеих частей y+1.

Подсказка 3

Вспомните формулы сокращённого умножения.

Подсказка 4

Разложите 91 на простые множители.

Показать ответ и решение

Вычтем из обеих частей $y+ 1$ и разложим левую часть на скобки

x2+ xy = y+ 92⇔ x2+ xy− y − 1 =91⇔ x2− 1+ y(x − 1)= 91⇔ ⇔ (x− 1)(y+ x+ 1) =91= 7⋅13

Так как $x,y ∈ ℕ, y+ x+ 1> x− 1,$ а также обе скобки неотрицательны. Значит возможны только следующие случаи:

[ x− 1= 1 и y+x +1 =91 x− 1= 7 и y+x +1 =13

Решив систему уравнений в натуральных числах в каждом из случаев, получаем ответ.

Ответ:

$(2,88),(8,4)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 171#70327Максимум баллов за задание: 7

Найдите все натуральные числа $x$ и $y$ , удовлетворяющие уравнению

3 2 x +2y = 2016

Источники: ПВГ-2016, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как вообще стоит решать данную задачу? Можно ли тут, например, разложить что-либо на скобки?

Подсказка 2

Можно было бы перебрать все пары (x;y), но их много. Есть ли способ сократить перебор?

Подсказка 3

2016 делится на 2, что можно тогда сказать про x?

Подсказка 4

x должно быть четным, представьте x как 2k, где k — целое число.

Подсказка 5

Аналогичным образом можно преобразовать и y.

Показать ответ и решение

Получить хорошее разложение на скобки тут не получится, а перебор всех пар $(x,y)$ большой. Сократим его, воспользовавшись четностью:

. x.. 2⇒ x =2k, k ∈ℕ ⇒ ⇒ 8k3+ 2y2 = 2016⇔ 4k3+y2 =1008; y ... 2⇒ y =2n, n ∈ℕ ⇒ ⇒ 4k3 +4n2 = 1008 ⇔ k3+n2 =252.

Так как $73 = 343 >252,$ разберем 6 возможных значений $k$ и выберем те, при которых $n∈ ℕ.$

⌊ k= 1 и n2 = 251 || k= 2 и n2 = 244 ||| k= 3 и n2 = 225⇒ x= 6, y = 30 || k= 4 и n2 = 188 ||⌈ k= 5 и n2 = 127 k= 6 и n2 = 36⇒ x =12, y = 12

Ответ:

$(6,30),(12,12)$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 172#74216Максимум баллов за задание: 7

Решите в целых числах уравнение

6 3 x =y + 217

Источники: ПВГ - 2016, 9 класс(см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Когда нужно решить уравнение в целых числах, какие у нас обычно есть варианты действий?

Подсказка 2

Выбрать нужно вариант, который максимально сократит количество переборов. Для этого нужно внимательно посмотреть на уравнение: можно ли его как-то удобно преобразовать?

Подсказка 3

Обратите внимание на степени х и у. Случайно, не возникает никаких ассоциаций?

Подсказка 4

Можно перенести y³ влево и воспользоваться разностью кубов. Тогда что можно сделать с числом справа?

Подсказка 5

Что нужно сделать с числом 217, чтобы понять, какие значения могут принимать множители слева?

Подсказка 6

Да, разложим его на множители — останется только перебрать варианты.

Подсказка 7

Число 1 тоже может быть множителем.

Подсказка 8

Вышло несколько вариантов систем уравнений, которые нужно решить? А что можно сделать, чтобы решить систему?

Подсказка 9

Выражаем у через х и подставляем во второе уравнение. Осталось только всё найти)

Показать ответ и решение

Запишем уравнение в виде $(x2− y)(x4+ x2y +y2)= 217.$ Осталось просто перебрать всевозможные варианты значений скобочек. Чтобы сократить перебор, заметим, что первая скобка меньше второй, а значит она меньше $√--- 217.$ Таким образом, возможны варианты $1,217$ и $7,31,$ так как вторая скобка всегда положительна, значит и первая должна быть положительна. Ясно, что в обоих случаях надо выразить $y$ через $x$ и подставить во второе уравнение, получится квадратное уравнение, которое нужно решить и выписать целочисленных ответы ответы.

Ответ:

$(±3,8),(±1,− 6)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 173#72110Максимум баллов за задание: 7

Найдите все натуральные числа $n$ , такие, что число $n2+ 77n$ является точным квадратом натурального числа.

Источники: Высшая проба - 2015, задача 9.6(см. olymp.hse.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В уравнениях с целыми числами полезно приводить выражение к виду (что-то)*(что-то)=число, попробуйте сделать что-то в этом духе

Подсказка 2

В условии фигурируют квадраты чисел. Какую ФСУ требуется применить к квадратам чтобы получить разложение на скобки?

Подсказка 3

Выделите полный квадрат с n и распишите разность квадратов.

Подсказка 4

Вы получили уравнение: (2n-2q+77)(2n+2q+77)=77². Осталось перебрать варианты. Как можно упростить перебор?

Подсказка 5

Заметим, что: 2n-2q+77 < 2n+2q+77. Осталось разобрать случаи!

Показать ответ и решение

Решим уравнение $n2+ 77n =q2$ в натуральных числах. Преобразуем левую часть следующим образом:

2 77 772 772- 2 n + 2⋅2 ⋅n+ 4 − 4 = q

Теперь запишем уравнение в виде

77 772 (n +-2 )2− q2 = 4-

Домножим равенство на $4$ и разложим левую часть на множители через разность квадратов:

(2n − 2q+ 77)(2n+ 2q +77)= 772

Осталось перебрать возможные варианты. Для упрощения перебора заметим, что

2n − 2q+ 77< 2n +2q+ 77

Следовательно, для скобочек возможны следующие варианты: $1$ и $2 77 ,$ $7$ и $2 7⋅11,$ $11$ и $2 7 ⋅11,$ $49$ и $121.$ Осталось разобрать каждый случай и написать ответ.

Ответ:

$1444,175,99,4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 174#116004Максимум баллов за задание: 7

Среди всех обыкновенных дробей, числитель и знаменатель которых являются двузначными числами, найдите наименьшую дробь, большую, чем $3 4.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем поискать дроби, которые отличаются от 3/4 на дробь, вид которой мы знаем. Причем нам хочется, чтобы это отличие было как можно меньше.

Подсказка 2

Найдите дробь, которая отличается от 3/4 на 1/k, где k — целое. Что можно сказать про k?

Подсказка 3

Итак, мы знаем, что числитель и знаменатель искомой дроби выражаются через k. Может ли такая дробь быть несократимой, если мы минимизируем k?

Подсказка 4

Хотелось бы сделать дробь сократимой! Тогда нужно аккуратно найти НОД числителя и знаменателя ;)

Показать ответ и решение

Требуется найти такую дробь $a, b$ при которой

a 3 4a−-3b b − 4 = 4b

достигает минимума. Поэтому хотим максимизировать двузначное число $b.$ Заметим, что если $b≥50,$ то минимум $4a−3b -4b-$ достигается при

4a− 3b= 1

Так как в ином случаи, если возьмём дробь с неединичным числителем, то мы можем сравнить её с дробью с единичным числителем, домножив числитель и знаменатель дроби с единичным числителем и сравнив только знаменатели получившихся дробей. Но знаменатель заведомо будет больше у дроби, получившейся из дроби с единичным числителем, засчёт большего числа разрядов в числе, ибо $b≥ 50.$

Решаем уравнение $4a− 3b= 1.$ Так как $4a−1- a−1 b= 3 =a+ 3$ — целое, то $a= 1+ 3k,$ где $k$ — произвольное целое число. Поэтому $b= 1+ 4k.$

Максимальным $k,$ при котором $a$ и $b$ двузначные, будет $k =24.$ Поэтому $b= 97$ и $a =73,$ то есть искомая дробь: $a 73 -b = 97.$

Ответ:

$73 97$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 175#32931Максимум баллов за задание: 7

Найдите все пары натуральных чисел $x,y$ , удовлетворяющие уравнению

3xy− y+3x =1008.

Источники: ПВГ-2014, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала попробуйте получить в левой части разложение на множители, а справа — число, чтобы дальше перебрать возможные случаи, пользуясь натуральностью чисел.

Подсказка 2

Вычтите 1 из обеих частей уравнения, тогда левая часть разложится на множители, а справа будет число 1007 = 19×53. Какие случаи надо теперь рассмотреть? Можно ли сократить их число?

Подсказка 3

Конечно же, есть всего два случая: первая скобка равна 19, вторая равна 53 и наоборот. Мы воспользовались тем, что каждая скобка больше 1 в силу натуральности переменных.

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно

3xy+ 3x− y− 1=1008− 1

3x(y +1)− (y+ 1)= 1007

(3x − 1)(y+ 1)= 19 ⋅53

При натуральных $x,y$ каждая из скобок в левой части уравнения являются натуральными числами больше $1$ , поэтому по основной теореме арифметике равенство может выполняться только лишь в случае, когда одна из скобок равна $19$ , а другая $53.$

Имеем два случая:

3x− 1= 19,y+ 1= 53

3x− 1= 53,y+ 1= 19,

откуда и получаем ответ, выбрав из решений только пару, в которой оба числа натуральные.

Ответ:

$(18;18)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 176#67139Максимум баллов за задание: 7

Найдите все пары натуральных чисел $x,y,$ удовлетворяющие уравнению

5xy+ y− 5x =1038

Источники: ПВГ-2014, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Замечаем, что 5х повторяется - вынесем его за скобку и посмотрим на то, что останется в скобках. Кажется, нам чего-то не хватает, чтобы сделать еще один множитель. Чего?

Подсказка 2

Ну конечно, нам не хватает слева вычесть единичку, тогда вынесется еще и у-1. Мы получили произведение двух натуральных чисел (так как правая часть натуральная), отсюда следует посмотреть на в целом возможные делители правой части. Только им и могут равняться скобки левой части.

Подсказка 3

1037 = 17 * 61 = 1 * 1037. Отсюда получим возможные варианты и просто выберем те, в которых х и у получаются натуральными.

Показать ответ и решение

Сразу левая часть на скобки не раскладывается, поэтому вычтем из обеих частей по единице, получим

5xy+ y− 5x − 1 =1037 ⇐⇒ (5x+ 1)(y− 1)= 1037= 17⋅61 =1 ⋅1037

Поскольку мы решаем уравнение в натуральных числах, то обе скобки неотрицательны и принимают натуральные значения. При этом $5x+ 1> 1,$ поэтому возможны только случаи

⌊ 5x+ 1= 17 и y− 1 =61 |⌈ 5x+ 1= 61 и y− 1 =17 5x+ 1= 1037 и y− 1= 1

В первом и третьем случае решений нет, поскольку $x$ получается нецелым. Получаем только решение $(12,18)$ из второго случая.

Ответ:

$(12,18)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 177#102318Максимум баллов за задание: 7

Найдите все упорядоченные тройки натуральных чисел $(a,b,c)$ такие, что все три числа $a2 +2b+ c,$ $b2+ 2c+a,$ $c2+ 2a+b$ — точные квадраты.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Иногда в задачах на проверку существования какой-либо степени числа полезно зажимать данное число между двумя соседними числам, которые являются теми же степенями. Для какого числа получится использовать данный метод?

Подсказка 2

Вид a²+2b+c похож на разложение числа (a+1)². Как это наблюдение можно использовать для оценки данного числа?

Подсказка 3

Давайте для удобства упорядочим числа. Выражения из условия цикличны, так что надо будет разобрать два случая. Пусть a ≥ b ≥ c. Тогда (a+2)² > a²+2b+ c > a². Что в этом случае можно сказать про a²+2b+ c?

Подсказка 4

Оно равно (a+1)². Можно ли получить на аналогичные условия на b или с?

Подсказка 5

Да, (b+1)² = b²+2c+a. Осталось наложить условие на c²+2c+a. Может ли число оно быть (c+5)²?

Подсказка 6

Нет, последнее больше. Осталось разобрать случаи равенства (с+1)², (c+2)², ..., (c+4)². А ещё не забудьте проверить аналогичным образом другое упорядочивание.

Показать ответ и решение

Будем считать, что $a ≥b≥ c.$ Тогда заметим, что $a2+ 2b+c> a2.$ Также хотим зажать $a2+ 2b+c$ сверху. Видно, что $2 2 (a+ 2)> a + 2b+c$ в силу того, что $4a$ явно больше $2b+c.$ Следовательно, $2 2 (a+ 1) = a + 2b+c.$ Также $2 2 (b+ 2)> b + 2c+ a$ из того, что $a =b +c∕2− 1.$ Поэтому

2 2 (b+ 1) =b + 2c+a

Откуда следует $2a+1 =2b+ c$ и $2c+ a= 2b+ 1.$ Поэтому $a =3c− 2$ и $b= 5c−3. 2$ Теперь посмотрим на $c2+ 2a+ b.$ Оно больше или равно, чем $(c+ 1)2$ при этом равенство достигается при $a =b= c= 1.$ Теперь сравним $(c+ 5)2$ и $c2+2a+ b.$ Первое из них сильно больше, поэтому остается проверить, что будет если

2 2 c +2a+ b= (c+ x)

где $x =2,3,4.$ После этого перебора и решения линейного уравнения мы получаем, что есть решение $a =127,b =106,c =43.$ Также подойдёт их циклическая перестановка.

Теперь рассмотрим, что произойдёт при другом порядке в цикле: $a ≥c≥ b.$ Аналогично получаем, что

2 2 a +2b+ c= (a+ 1)

Рассмотрим $c2+2a +b> c2.$ Также $4c+ 4>2a +b,$ поскольку

3c+ c≥ (2b+ c)+b≥ 2a+ 1+b> 2a+ b

Тогда получается, что $(c+ 2)2$ будет уже больше нашего выражения. Так что $c2+ 2a+ b= (c+ 1)2.$ Но тогда мы получаем, что $2c+ 1= 2a+b.$ Вспоминая наше упорядочивание, получаем, что равенство возможно только при $a= c, b= 1.$ Тогда $2b+ c= 2a +1, 2+ a= 2a+ 1, a= 1.$ Снова приходим к тройке $(1,1,1).$

Следовательно, ответом будет являться любая циклическая перестановка $(127,106,43)$ и $(1,1,1).$

Ответ:

Циклическая перестановка следующих наборов:

$a= 1,b= 1,c =1$

$a= 127,b= 106,c= 43$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 178#120844Максимум баллов за задание: 7

Решите в натуральных числах уравнение

abc+ ab+bc+ ac+a+ b+ c= 164.

Показать ответ и решение

Прибавив единицу, разложим левую часть на скобки:

(a+1)⋅(b+1)⋅(c+1)= abc +ab+ bc+ ac+ a+b+ c+ 1= 165 =3 ⋅5⋅11

Заметим, что каждая скобка больше единицы, так как числа натуральные, поэтому никакая скобка слева не может быть равна $1.$ Следовательно, $a =2,b= 4$ и $c=10.$ Заметим, что решение единственно с точностью до перестановки $a,b$ и $c,$ поскольку $3,5,11$ — простые числа.

Ответ:

$(2,4,10),(4,10,2),(10,2,4),(4,2,10),(2,10,4),(10,4,2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 179#67140Максимум баллов за задание: 7

Найдите все пары натуральных чисел $x,y,$ удовлетворяющие уравнению

2 2 6x y+ 2x +3xy+ x− 9y =2016

Источники: ПВГ-2013, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Слагаемых с 3у больше, тогда попробуем вынести его за скобку. Будет чего-то не хватать, как будто нужно еще одно слагаемое, чтобы разложить левую часть на множители.

Подсказка 2

Естественно, нам нужно вычесть тройку из левой и правой частей. Тогда слева получится произведение двух множителей, а справа - число, разложение которого на множители нам и стоит рассмотреть. (Кстати, 2 + 0 + 1 + 3 = 6 делится на 3) :)

Подсказка 3

Проще будет работать со скобкой 3у+1, так как мы четко понимаем, что она не меньше 4, а также имеет остаток 1 при делении на 3. Тогда отсекается очень много вариантов для 3у+1, так как возможные случаи либо просто делятся на 3, либо делятся с остатком 2. Почти все, кроме одного.

Показать ответ и решение

Сразу левая часть на скобки не раскладывается, поэтому вычтем из обеих частей по тройке и сгруппируем

2 2 2 2x + x− 3 +3y(2x + x− 3)=2013 ⇐⇒ (2x + x− 3)(3y+ 1)= 2013= 3⋅11⋅61

Поскольку $x,y$ натуральны, то $3y+ 1≥ 4.$ При этом для $x ≥1$ скобка $2x2+ x− 3$ принимает неотрицательные значения, поэтому достаточно рассмотреть случаи

⌊ 3y+ 1= 11 и 2x2 +x− 3= 3⋅61 || 3y+ 1= 61 и 2x2 +x− 3= 3⋅11 || 3y+ 1= 3⋅11 и 2x2 +x− 3= 61 ||| 3y+ 1= 3⋅61 и 2x2 +x− 3= 11 || 3y+ 1= 11⋅61 и 2x2+ x− 3= 3 ⌈ 3y+ 1= 3⋅11⋅61 и 2x2+ x− 3= 1

В каждом случае посмотрим сначала на первое уравнение. Натуральное решение есть только в случае $2,$ поскольку только там остаток правой части при делении на $3$ равен единице. Оттуда $y = 20,2x2+x − 36= 0 =⇒ y = 20,x= 4.$

Ответ:

$(4,20)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 180#79757Максимум баллов за задание: 7

Найдите все натуральные $k$ такие, что при каждом нечётном $n> 100$ число $20n +13n$ делится на $k.$

Источники: Всеросс., 2013, РЭ, 11.7(см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Числа $A = 20101+ 13101$ и $B = 20103+ 13103$ делятся на $k.$ Значит, числа $202A − B = (400− 169)⋅13101 = 231⋅13101$ и $2 101 B − 13 A =231⋅20$ также делятся на $101 101 k.(231⋅20 ,231⋅13 )=231= 7⋅33,$ так что $231$ делится на $k.$

С другой стороны, $n n n n n 20 + 13 =(20 − 13 )+ 2⋅13 .$ Первое слагаемое делится на $20− 13= 7,$ а второе — нет. Итак, $k$ является делителем числа $231$ и не делится на $7;$ значит, $k$ — делитель числа $33.$

Ответ:

$k =1,3,11,33$

Следующая подтема