Треугольники с фиксированными углами

Отметим на точку такую, что

Тогда прямоугольный треугольник. Значит, перпендикуляр из на падает в середину по теореме Фалеса, следовательно, лежит на серединном перпендикуляре А так как то лежит и на серединном перпендикуляре

Продлим за точку пересечем с прямой получим точку как накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей а значит, треугольник равнобедренный и Аналогично треугольник равнобедренный с углом при основании то есть Отсюда Рассмотрим треугольники и Они равны по стороне и двум прилежащим к ней углам как накрест лежащие углы при параллельных прямых). Значит, пусть тогда отсюда

Случай (стороны треугольника - тройки несмежных сторон):

В таком случае все углы треугольников легко находятся, как , где - два соседних угла шестиугольника.

Тогда получаем, что углы красного треугольника равны , а углы синего - .

Случай (один из углов шестиугольника совпадает с углом треугольника):

Заметим, что это единственное возможное положение в этом случае. Углы синего треугольника равны ; и .

Углы красного треугольника будут равны и .

Заметим, что

А значит, откуда Аналогично откуда следует, что это ортоцентр треугольника А значит

Заметим, что Тогда в прямоугольном треугольнике угол

В прямоугольном треугольнике катет напротив угла в равен половине гипотенузы. То есть для прямоугольных треугольников выполнено:

Откуда Тогда

Проведем . Заметим, что при этом тогда треугольник — правильный. Тогда Следовательно, треугольник — прямоугольный. Мы знаем, что Тогда треугольник — равнобедренный с основанием Получаем, что — высота в этом треугольнике, следовательно, треугольник — прямоугольный с углом равным и То есть треугольники и равны. Тогда что и требовалось.

Биссектриса — это ГМТ точек, равноудалённых от сторон угла. Заметим, что лежит на биссектрисе . Опустим перпендикуляры и на и соответственно. Тогда, так как лежит на биссектрисе .

Так как , а — биссектриса Тогда опустим перпендикуляр на

Так как — биссектриса угла а (доказано выше). Значит, Получается, — биссектрисса . Аналогично доказываем, что — биссектрисса Тогда:

Значит, в угол . — прямоугольный.

На стороне отложим отрезок Из равенства треугольников и (по двум сторонам и углу между ними) следует, что Углы при основании равнобедренного треугольника равны, поэтому равны и смежные им углы и и треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, то есть треугольник равносторонний. Следовательно,

Пусть делит сторону на отрезки длиной и

По свойству биссектрисы Тогда По теореме Пифагора Остается найти

По теореме Пифагора то есть

Решаем это уравнение и получаем Итак,

Обозначим медиану из вершины через

Первое решение.

Опустим перпендикуляр на прямую Тогда в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы так как лежит напротив угла в градусов. А ещё по условию Тогда Получили, что в четырёхугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, а значит, это параллелограмм, так что В итоге

Второе решение.

Отметим ещё середину  — как а середину  — как Тогда а ещё по условию Так что треугольник — равносторонний () с углом при вершине в значит, он равносторонний.

Тогда как смежный с углом в Далее, поэтому треугольник  — прямоугольный, и Смежный с ним С другой стороны, этот же угол равен так как  — средняя линия треугольника — параллельна

Третье решение.

Не будем думать и просто посчитаем:

1) по теореме косинусов для треугольника

2) по формуле медианы (при удвоение медианы получается параллелограмм, у которого сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон)

3) по теореме косинусов для треугольника

Чтобы доказать это равенство, соберём все отрезки в один прямоугольный треугольник и применим теорему Пифагора.

Удвоим до точки за точку Заметим, что является параллелограммом, поскольку его диагонали пересекаются в своих серединах. Отсюда и

Остаётся доказать, что (и из треугольника мы получим требуемое). Но действительно, является медианой (по построению) и высотой (по условию) треугольника откуда он равнобедренный и

По условию а значит, и — равнобедренные. Отсюда лежит на серединном перпендикуляре к а — на серединном перпендикуляре к Также на обоих перпендикулярах находится точка Но тогда откуда Аналогично откуда — параллелограмм, а значит делится пополам.

Проведем рассмотрим четырехугольники и .

Поэтому

Следовательно,

Так как то Аналогично Обозначим Пусть Обозначим через середину дуги окружности Тогда треугольник равносторонний(). Поэтому точка — центр описанной окружности треугольника Следовательно:

Аналогично откуда

Итак, точка лежит на прямой будем считать, что она совпадает с Пусть — середина меньшей дуги окружности Заметим, что

Значит, точка также лежит на прямой и треугольник совпадает с треугольником Этот треугольник равнобедренный, поскольку

Заметим, что треугольники и равны, так как и Следовательно, то есть треугольник равнобедренный. Пусть и тогда и но поэтому А из треугольника получаем

Значит, Треугольник равнобедренный, поэтому В итоге

Поскольку то сторона — средняя по величине: по условию значит Поскольку сумма углов в треугольнике равна угол наименьшим быть не может: иначе сумма углов треугольника выходит больше или меньше Таким образом, имеем Тогда, поскольку то точка обязательно лежит вне треугольника.

Обозначим

Из суммы углов треугольника имеем Запишем теорему синусов для

По теореме синусов для

Поскольку и получаем

Докажем, что

Треугольник равнобедренный Также имеем так как равнобедренный. Так как то Из суммы углов треугольника получаем Из суммы углов треугольника получаем

эквивалентно а это равенство мы уже проверили. Тогда поэтому

Так как

то по сумме углов в

откуда

Пусть — центр описанной окружности треугольника и

Тогда

Значит, четырёхугольник BOED вписанный. Так что углы и равны, как вписанные, опирающиеся на равные хорды .

Продлим до пересечения с в точке . Тогда , а значит, по стороне и двум прилежащим к ней углам, откуда , а ещё как противоположные стороны параллелограмма.

Первый способ.

В прямоугольном проведём медиану к гипотенузе, тогда . В силу параллельности . — равнобедренный, тогда , откуда как внешний угол . Заметим, что — равнобедренный с углом , а значит, равносторонний,

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второй способ.

В прямоугольном катет напротив угла в градусов равен половине гипотенузы , так что равен одной из сторон параллелограмма.

Пусть точка на отрезке делит его в отношении Проведём среднюю линию отсюда прямоугольный и — его медиана, то есть

Заметим, что обозначения и симметричны, потому можем считать, что лежит между и Пусть — середина но из она также будет серединой осталось заметить, что откуда и прямой.