Тема ПЛАНИМЕТРИЯ

Дополнительные построения в планике → .01 Построения циркулем и линейкой

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела планиметрия

Разделы подтемы Дополнительные построения в планике

Построения циркулем и линейкой

Проведение средней линии

Удвоение

Спрямление

Проведение параллельных прямых

Дополнение углов

Проецирование в планике

Обратный ход и построения от обратного

Угадай точку

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#35585Максимум баллов за задание: 7

Дмитрий Алексеевич нашел свою старую линейку. На ней все деления стерлись, случайно уцелели только отметки $0$ см, $9$ см и $16$ см. Как с помощью этой линейки отложить от данной точки $A$ на данной прямой $AB$ отрезок длины $4$ см?

Показать ответ и решение

Приложим линейку к прямой $AB$ так, чтобы точка $A$ совпала с отметкой $0$ см. Тогда мы можем отложить точку $C$ так, что $AC = 16$ см.

Далее, приложим линейку к точке $C$ отметкой $9$ см. Отметим точку $D$ , в которой сейчас находится отметка $0$ . Тогда $CD = 9$ см, и точка $D$ лежит на отрезке $AC$ . Значит, отрезок $AD =AC − CD =16− 9= 7$ см.

От точки $D$ еще раз отложим точку на расстоянии $9$ см. Мы получим точку $E$ такую, что $DE =9$ см, $AD =7$ см, и при этом $A$ лежит между $D$ и $E$ . Значит, $AE =DE − AD = 9− 7= 2$ см.

Итак, мы научились от точки $A$ откладывать отрезок в $2$ сантиметра. Давайте теперь повторим еще раз все рассуждения, но вместо точки $A$ отложим отрезок в $2$ сантиметра от точки $E$ . Мы получим точку $F$ такую, что $EF = 2$ см, при этом $E$ лежит между $F$ и $A$ . Тогда $F A= FE + EA =2+ 2= 4$ см. Таким образом, отрезок $AF$ — искомый.

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#64820Максимум баллов за задание: 7

Постройте треугольник, если дана одна его вершина и две прямые, на которых лежат биссектрисы, проведенные из двух других вершин.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В условии присутствуют биссектрисы, которые намекают на инцентр(точка пересечения биссектрис, т.е. данных прямых). Какой известный факт связан с ним?

Подсказка 2

Если угол A у треугольника равен α , то угол BIC равен 90+ α/2(I - инцентр). Этот угол есть у нас на картинке. Нам нужен угол α, значит нужно как-то "отрезать" от угла BIC 90. Как это сделать?

Подсказка 3

Восстановить в I перпендикуляр к одной из биссектрис! Теперь мы знаем α. Осталось понять, чем же является AI и с помощью α и этих знаний построить необходимый угол A искомого треугольника!

Показать доказательство

Вспомним известный факт, связанный с инцентром. Если угол $A$ у треугольника равен $α,$ то угол $BIC$ равен $90∘+ α 2$ ( $I$ — инцентр). Он доказывается через сумму углов в треугольнике.

Теперь к задаче. Пусть данная вершина треугольника — точка $A.$ Обозначим точку пересечения биссектрис через $I$ — инцентр. Ясно, что $AI$ — третья биссектриса. Заметим, что у нас есть тот самый угол $BIC.$

$PIC$

Восставим в точке $I$ перпендикуляр к одной из биссектрис, тогда остаток угла $BIC$ будет равен половине угла $A.$ Отложим эту половину угла от третьей биссектрисы в точке $A,$ отметим точки пересечения сторон углов с соответствующими биссектрисами и получим искомый треугольник.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#64824Максимум баллов за задание: 7

С помощью циркуля и линейки разделите данный отрезок на три равные части

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомните, что центр масс в треугольнике делит медиану в отношении 2:1. Этот факт по сути решает задачу. Постарайтесь понять, почему.

Подсказка 2

Если мы построим треугольник, в котором данный отрезок является медианой, то останется только найти центр масс, построив ещё одну медиану, и разделить пополам больший отрезок нужной медианы.

Подсказка 3

Для построения такого треугольника проведём прямую через конец данного отрезка, а далее циркулем отметим на этой прямой равные отрезки произвольной длины по каждую сторону от конца отрезка. Треугольник построен!

Показать доказательство

Вспомним, что в треугольнике центр тяжести делит медиану в отношении $2$ к $1.$ То есть если получить треугольник, в котором данный отрезок является медианой, то задача будет решена. Останется только построить другую медиану, найти центр тяжести и разделить пополам больший отрезок нужной медианы.

$PIC$

Для получения такого треугольника проведём прямую через конец данного отрезка. Выберем циркулем произвольную длину и отметим на проведённой прямой равные отрезки. Нужный треугольник получен.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#64827Максимум баллов за задание: 7

На каждой стороне квадрата отметили по точке. Затем все, кроме этих точек, стерли. Восстановите квадрат с помощью циркуля и линейки

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть данные точки K, P, R, Q лежат на сторонах AB, BC, CD, AD искомого квадрата ABCD. Отрезок KP виден из точки B под прямым углом ⇒ точка B лежит на окружности, построенной на KP как на диаметре. Аналогично с точкой D. Какой хороший отрезок теперь можно провести?

Подсказка 2

Проведём диагональ BD. Пусть она повторно пересекает окружность, содержащую B, в точке M, а содержащую D — в точке N. BD делит углы KBP и RDQ пополам ⇒ точки M и N — середины полуокружностей KMP и RNQ. Как отсюда вытекает способ построения квадрата?

Подсказка 3

Пусть искомые точки — K, P, R, Q (в указанном порядке). Тогда построим на отрезках KP и RQ как на диаметрах окружности. Если M и N — середины полуокружностей, обращённых друг к другу, то диагональ квадрата лежит на прямой MN. Далее легко достраивается весь квадрат. Всегда ли задача имеет единственное решение?

Подсказка 4

На самом деле если M не совпадает с N, то задача имеет единственное решение, но в противном случае решений бесконечно много!

Показать доказательство

Предположим, что данные точки $K, P,R$ и $Q$ расположены на сторонах соответственно $AB,BC,CD$ и $AD$ искомого квадрата $ABCD.$ Поскольку отрезок $KP$ виден из точки B под прямым углом, то эта точка лежит на окружности с диаметром $KP.$ Аналогично точка $D$ лежит на окружности с диаметром $PQ.$ Пусть диагональ $BD$ квадрата вторично пересекает первую окружность в точке $M,$ а вторую — в точке $N.$ Поскольку диагональ квадрата делит его угол пополам, то точки $M$ и $N$ — середины соответствующих полуокружностей.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Пусть $K, P,R,Q$ — данные точки (в указанном порядке). Построим на отрезках $KP$ и $QR$ как на диаметрах окружности. Пусть $M$ и $N$ — середины полуокружностей, обращённых друг к другу. Диагональ квадрата лежит на прямой $MN.$ Дальнейшие действия очевидны.

$PIC$

Если точки $M$ и $N$ не совпадают, то задача имеет единственное решение. В противном случае задача имеет бесконечно много решений.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#72042Максимум баллов за задание: 7

В декартовой системе координат $($ с одинаковым масштабом по осям $x$ и $y)$ нарисовали график показательной функции $y = 3x.$ Затем ось $y$ и все отметки на оси $x$ стёрли. Остались лишь график функции и ось $x$ без масштаба и отметки 0. Каким образом с помощью циркуля и линейки можно восстановить ось $y?$

Источники: ММО-2022, 11.2 (см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Наверное, надо как-то воспользоваться тем, что основание степени это 3. Для начала подумайте, что мы можем сказать про абсциссы точек нашего графика, у которых ординаты отличаются в 3 раза...

Подсказка 2

Если у точек ординаты отличаются в 3 раза, то абсциссы отличаются на 1. Давайте отметим на графике точку A. Что хочется сделать, если мы держим в голове предыдущие рассуждения?

Подсказка 3

Хочется найти точку, у которой ордината больше в три раза. Давайте для этого опустим на ось ох перпендикуляр AB. Тогда длина AB это ордината точки A. На луче BA за точку A можно отложить точку C такую, что AC=2AB, тогда C будет искомой. Как найти точку на графике с той же ординатой?

Подсказка 4

Можно провести в точке C прямую, параллельную оси абсцисс. Тогда точка пересечения этой прямой и графика будет искомой (пускай это точка D). Опустим перпендикуляр DN на ось ox ⇒ длина BN это 1. Как с помощью этого можно найти точку пересечения графика с оcью ординат?

Подсказка 5

Все очень просто! Давайте на луче BA от точки B отложим отрезок BQ, равный BN. Тогда прямая, проходящая через Q, параллельно оси ox будет прямой y=1 ⇒ её точка пересечения с графиком функции будет точка с координатами (0, 1). Докрутите размышление и восстановите ось Оy!

Показать доказательство

Будем использовать стандартные построения циркулем и линейкой, изучаемые в школе: построение перпендикуляра к данной прямой из данной точки, а также построение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой.

Отметим на графике произвольную точку $A$ и построим перпендикуляр $AB$ к оси $x$ . На продолжении отрезка $BA$ за точку $A$ отметим такую точку $C,$ что $AC = 2AB.$ Далее построим прямую, проходящую через точку $C$ параллельно оси $x,$ и обозначим через $D$ точку её пересечения с графиком. Тогда длина отрезка $CD$ равна 1.

$PIC$

Действительно, если $A$ имеет координаты $(x0,3x0),$ то ордината точки $D$ равна $3⋅3x0 = 3x0+1,$ поэтому её абсцисса равна $x0+ 1.$

Отметим теперь на луче $BA$ точку на расстоянии $CD = 1$ от точки $B$ и проведём через неё прямую, параллельную оси $x.$ Она пересечёт график в точке $(0,1),$ т. е. в той же точке, что и ось $y.$ Для завершения построения остаётся провести через эту точку прямую, перпендикулярную оси $x,$ — это и будет искомая ось $y.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#91922Максимум баллов за задание: 7

Постройте квадрат $ABCD$ , если вершина $A$ дана, а вершины $B$ и $D$ лежат на данных прямых $b$ и $d$ соответственно.

Сколько решений может иметь эта задача?

Показать ответ и решение

Рассмотрим поворот на $90∘$ в точке $A$ .

$PIC$

Он переведет точку $B$ в точку $D$ , а прямую $b$ в прямую $b′$ . Если прямые $b′$ и $d$ не пересекаются, то решений не может быть. Если они пересекаются в одной точке, то есть одно решение, так как если взять точку пересечения, назвать ее $D$ , взять ее прообраз при повороте и назвать его $B$ , то так как $AB = AD$ и $AB ⊥AD$ , то можно найти одну такую точку $C$ , что $ABCD$ квадрат. Если же они совпадают, то можно взять любую точку на $d$ , как $D$ .

Ответ:

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#92075Максимум баллов за задание: 7

Имеется линейка — “рейсшина”, с помощью которой можно выполнять следующие действия: проводить прямую через две точки и проводить прямые, параллельные уже имеющимся. На плоскости даны два треугольника,имеющие одинаковые длины двух сторон, расположенных на одной прямой:

$PIC$

С помощью данной линейки постройте новый треугольник, площадь которого равна сумме площадей изображенных треугольников. Опишите последовательность элементарных действий для построения фигуры.

Показать ответ и решение

Проведем прямую параллельную $BC$ через $E$ до пересечения с $DC$ в точке $E ′$ . Так как $BC∥EE ′$ , то $S = S BCE BCE′$ .

$PIC$

Дальше проведем параллельную $′ AE$ через $D$ до точки пересечения $′ D$ с $BC$ . Тогда из параллельности $CA- CE-′ CD′ = CD$ . Значит $-SACE′ -CA CE′ SACE′ SD′E′C = CD′ = CD = SADC$ . Значит $SADC = SD′E′C$ .

Итого: $SD′E′B = SD′E′C + SE′CB = SADC +SBCE$ .

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#137299Максимум баллов за задание: 7

На плоскости нарисованы графики функций $y =sinx$ и $y =tgx,$ а также оси координат. Как циркулем и линейкой построить какую-нибудь прямую, которая касается графика синуса как выше оси абсцисс $(Ox),$ так и ниже ( $u,$ возможно, имеет ещё несколько точек пересечения)?

Источники: ВСОШ, ЗЭ, 2022, 11.2 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Чтобы построить какую-то прямую, нужно две точки. Учитывая, что в вашем арсенале лишь циркуль и линейка, для вас на плоскости есть лишь одна удобная точка.

Подсказка 2:

Эта точка — начало координат. Попробуйте провести касательную, проходящую через начало координат. Кстати, если касательная проходит через начала координат, то она будет касаться как сверху, так и снизу оси абсцисс. Объясните, почему это так.

Подсказка 3:

Пусть есть какая-то касательная к синусу в точке (x₀, sin(x₀)). Как выглядит её уравнение? Не забывайте, она проходит через точку (0, 0).

Подсказка 4:

Если подставить точку (0, 0) в её уравнение, полученное равенство сводится к tg(x₀) = x₀. Кажется, теперь ясно, как найти вторую точку, через которую проходит касательная?

Подсказка 5:

В абсциссах всех таких точек графики тангенса и прямой y = x пересекаются.

Показать доказательство

Будем искать касательную, проходящую через начало координат. Касательная к графику синуса в точке ( $x,sinx 0 0$ ) имеет уравнение

y = (x− x0)⋅cosx0+sin x0.

Эта прямая проходит через начало координат тогда и только тогда, когда $0 =− x0⋅cosx0+ sinx0,$ что равносильно $tgx = x . 0 0$

Осталось построить точку $(x ,sinx ). 0 0$ Для этого ( $c$ помощью циркуля и линейки) построим биссектрису координатного угла, т.е. прямую $y = x.$ Выберем её точку пересечения с графиком тангенса: $(x ,tgx), 0 0$ $x ⁄= 0. 0$ Далее, опуская из этой точки перпендикуляр на ось абсцисс и пересекая этот перпендикуляр с графиком синуса, получаем точку $(x0,sinx0).$ Прямая, проходящая через начало координат и точку $(x0,sinx0)$ будет касаться графика синуса в точке $(x0,sin x0)$ по выбору точки $x0,$ а также в точке $(−x0,− sinx0)$ из симметрии относительно начала координат. Эти точки лежат по разные стороны от оси абсцисс, что и требовалось.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#68253Максимум баллов за задание: 7

Постройте треугольник по центру описанной окружности $O$ , центру вписанной окружности $I$ и вершине $A$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы знаем центр описанной окружности и вершину А. Что мы точно сможем нарисовать?

Подсказка 2

Описанную окружность! А что можно связать с инцентром и описанной окружностью, чтобы получить расположение вершин треугольника?

Подсказка 3

Лемма трезубце! Для этого проведите AI до пересечения с опис. окружностью, и дальше задача решится)

Показать ответ и решение

Заметим, что раз мы знаем центр описанной окружности и ее радиус $AO$ , то мы можем провести описанную окружность. Проведем прямую $AI$ до пересечения с описанной окружностью. Получим точку $D$ . По лемме о трезубце мы знаем, что $ID = BD = CD$ . Значит, если мы проведем окружность с центром в $D$ и радиусом $ID$ , то она пересечет описанную окружность в 2 точках: $B$ и $C$ , так как эти точки лежат и на описанной окружности, и на данной.

$PIC$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#106751Максимум баллов за задание: 7

На плоскости даны оси координат с одинаковым, но не обозначенным масштабом и график функции

y = sinx, x ∈(0;α)

Как с помощью циркуля и линейки построить касательную к этому графику в заданной его точке, если:

(a) $(π ) α ∈ 2;π ;$

(b) $( ) α ∈ 0;π2 ?$

Источники: ММО - 2009, первый день, 11.3(см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1, пункт (a)

На самом деле достаточно построить отрезок длины 1(иными словами, восстановить масштаб), ведь касательная имеет угловой коэффициент, равный cos(x) для заданной точки x. А как можно построить отрезок длины 1?

Подсказка 2, пункт (а)

Если удастся отметить точку π/2 на оси oX, то задача будет решена, ведь перпендикуляр к этой оси, проходящий через эту точку, пересекает график синуса в точке (π/2,1), и отрезок между точками пересечения единичный. А как построить эту точку?

Подсказка 3, пункт (а)

Конечно! Используем свойство sin(a) = sin(π-a)! Тогда отрезок между точками (a, sin(a)) и (a, sin(π-a)) параллелен оси oX. А что хорошего можно сказать о перпендикуляре к этому отрезку?

Подсказка 1, пункт (b)

Попробуем построить отрезок, равный синусу какого-нибудь угла? и этот угол так, чтобы они оказались элементами одного прямоугольного треугольника. Как этого можно добиться?

Подсказка 2, пункт (b)

Точно! Выберем на оси oX некоторые a и b и построим отрезок длины sin(a) + sin(b). Легко построить и отрезок длины sin((a+b)/2). А можно ли построить отрезок длины, равной синусу полуразности?

Подсказка 3, пункт (b)

Его можно построить с помощью простых построений середин, но тогда не получится прийти к отрезку длины 1, поэтому нужно найти прямоугольный треугольник. Для этого его нужно построить! Пусть его прямой угол будет в одном конце отрезка длины sin(a) + sin(b) (и его первая вершина соответственно), а вторая — в другом конце этого отрезка. А как получить третью вершину?

Подсказка 4, пункт (b)

Верно! Надо использовать построенный ранее sin((a+b)/2)! Строим окружность радиуса 2sin((a+b)/2) с центром во второй вершине предполагаемого треугольника! Пересечение построенного ранее перпендикуляра к одному из концов отрезка длины sin(a) + sin(b) и этой окружности будет третьей точкой! Чему тогда равен угол этого треугольника при втором конце отрезка длины sin(a)+sin(b)?

Подсказка 5, пункт (b)

Точно! Он равен (a-b)/2! Как уже было отмечено, построить sin((a-b)/2) нетрудно! А как теперь его поместить в наш треугольник, чтобы в нем появился отрезок длины 1?

Показать доказательство

Касательная к графику функции $y = sinx,$ где $x∈ (0;α),$ проведённая в заданной его точке $(x ,sinx), 0 0$ имеет угловой коэффициент, т.е. тангенс угла наклона к оси $Ox,$ равный $cosx0,$ и для её построения при помощи циркуля и линейки достаточно построить отрезок длины $1.$ Действительно, имея отрезки $1$ и $sinx0,$ можно построить отрезок $|cosx0|$ (при помощи тригонометрического круга), а значит, и угол, тангенс которого равен $cosx0.$ Покажем, как построить отрезок длины $1$ (т.е. восстановить масштаб).

(a) Из точки $A =(a,sina),$ где $(π ) a ∈ 2,α ,$ лежащей на графике функции, опустим перпендикуляр на ось $Oy$ (рис. слева). Так как $sin(π− a)= sina,$ то этот перпендикуляр пересечёт график функции $y =sin x$ в точке $B =(π− a,sina).$ Через середину отрезка $AB$ проведём прямую, перпендикулярную оси $Ox.$ Она пересечёт график в точке $(π ) 2,1.$ Отрезок этой прямой от оси $Ox$ до графика функции $y =sinx$ имеет длину $1.$

$PIC$

(b) Здесь несколько труднее построить отрезок единичной длины. Остальные построения будут такими же.

Пусть $a$ и $b$ — произвольные точки на оси $Ox,$ удовлетворяющие условию $0< b< a< α.$ Построим отрезок $AB$ длины $sina+ sinb.$ Через точку $B$ проведём луч $l,$ перпендикулярный отрезку $AB.$ Окружность с центром в точке $A$ и радиусом $2sina+b 2$ пересекает луч $l$ в точке $C$ (рис. справа). Так как $sina+ sinb= 2sina+bcosa−b, 2 2$ то $∠CAB = a−b. 2$ На отрезке $BC$ отметим точку $D$ такую, что $BD = sin a−b. 2$ Через точку $D$ проведём прямую, параллельную отрезку $AB.$ Эта прямая пересечёт отрезок $AC$ в точке $E.$ Длина отрезка $AE$ равна $1,$ так как

a−-b BD- sin∠CAB =sin 2 = AE

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#64814Максимум баллов за задание: 7

Разделите окружность с данным центром на $6$ равных частей, пользуясь только циркулем.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Постройте окружность с тем же радиусом, что и у первой, и центром на первой окружности. Не образовался ли здесь какой-нибудь удобный треугольник?

Подсказка 2

Да, это центр первой окружности и две точки на ней, причем две стороны его (только ли две?) это равные радиусы.

Показать доказательство

$PIC$

Выберем на окружности точку $A.$ Проведём окружность с центром в точке $A$ и таким же радиусом, как у изначальной окружности. Обозначим одну из точек пересечения окружностей через $B.$ Заметим, что треугольник $AOB$ ( $O$ — центр изначальной окружности) равносторонний, так как все его стороны равны радиусу изначальной окружности. Следовательно, длина дуги $AB$ равна $1 6$ от длины окружности. Далее аналогичным образом от точке $B$ пристраиваем еще одну такую дугу и так далее.

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#64816Максимум баллов за задание: 7

Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, опущенной на одну из них.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Две стороны искомого треугольника уже есть, поэтому отложим одну из них, а вторую возьмем как радиус окружности с центром в конце первого отрезка (получился как будто сустав, неустойчивый, потому что мы не укрепили его третьим данным отрезком)

Подсказка 2

Нам нужно получить на окружности точку, расстояние от которой до первого отрезка равно данной высоте. Для этого нужно вообще вывести эту высоту на рисунок, поэтому и построим перпендикуляр из конца первого отрезка длиной в данную высоту.

Подсказка 3

Почти получилось! Остается построить линию, параллельную первому отрезку, из конца высоты, тогда "сустав" станет устойчивым, а нужный треугольник - найденным!

Показать доказательство

$PIC$

Пусть отрезок $AB$ — сторона, к которой проведена высота. Проведём окружность с центром в точке $A$ и радиусом, равным длине второй стороны. Теперь в точке $B$ проведём перпендикуляр к $AB$ и на нём отложим отрезок $CB,$ равный высоте. В точке $C$ проведём перпендикуляр к $CB.$ Обозначим точку пересечения этого перпендикуляра с окружностью через $D.$ Заметим, что $ADB$ — искомый треугольник.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#64817Максимум баллов за задание: 7

Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так так, в треугольнике дана медиана - а почему бы не вспомнить про ее удвоение? Там еще что-то про параллелограмм было... :)

Подсказка 2

Пусть а, b - данные стороны, а m - медиана к стороне с. Тогда, построив треугольник со сторонами (а, b, 2m), получим половину того самого пар-ма, который нам вспомнился (и который следует достроить). Почему бы в нем не найти нам искомый треугольник?

Показать доказательство

$PIC$

Построим треугольник $ABC$ со сторонами, две из которых равны двум данным сторонам исходного треугольника, а третья (сторона $BC$ ) в два раза длиннее медианы. Отметим точку $M$ — середину $BC.$ Проведём отрезок $AD,$ который в два раза длиннее $AM$ , как показано на рисунке. Заметим, что треугольник $ABD$ — искомый.

Догадаться до решения можно, если вспомнить про удвоение медианы в треугольнике.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#64818Максимум баллов за задание: 7

Постройте треугольник, если известны сторона, прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выведем на рисунок все то, что нам дано: сторону (назовём ее а), от которой мы отложим данный угол(скажем, альфа), а вторым отрезком этого угла будет сумма двух других сторон (назовём её b+c), получим треугольник. Нам нужно в какой-то точке "сломать" b+c на условные части b и c, длина которых неизвестна.

Подсказка 2

Тут поможет мысль о том, что b+c сломается в какой-то точке К, расстояния от которой до конца отрезка а (назовём его М) и конца отрезка b+c (назовём его Т) будут равными. Пусть мы нашли такую точку, тогда что можем сказать про треугольник КМТ?

Подсказка 3

Да, он будет равнобедренным, значит высота, падающая на основание, будет делить основание пополам! А с этой задачей отлично справляется серединный пер-р: и делит МТ пополам, и является высотой к основанию МТ, а значит мы смогли придумать, как получить точку К и получить искомый треугольник!

Показать доказательство

$PIC$

Пусть отрезок $AB$ — данная сторона. Отложим от неё прилежащий угол, который нам дан. Теперь на стороне угла, на которой нет точки $B,$ отложим отрезок $AC,$ равный сумме двух других сторон. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку $BC.$ Пусть он пересекает $AC$ в точке $D.$ Заметим, что $BD +AD = AC,$ откуда треугольник $ABD$ — искомый.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#64819Максимум баллов за задание: 7

Постройте треугольник по двум сторонам и разности противолежащих им углов.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какая фигура использует всё, что нам известно: два отрезка заданной длины, угол, который является разностью других углов на картинке?

Подсказка 2

Равнобедренная трапеция! Построим треугольник с двумя заданными сторонами и углом между ними(тот, что в условии). Что нужно сделать, чтобы прийти к трапеции?

Подсказка 3

Опишем около него окружность) Теперь через одну из точек проведем прямую, параллельную другой на картинке, построим трапецию, вписанную в имеющуюся окружность и найдем треугольник, нужный нам!

Показать доказательство

$PIC$

Пусть отрезок $AB$ — меньшая сторона из двух данных, отложим от неё угол $BAC,$ равный данной разности (точку $C$ отметим так, что отрезок $AC$ равен по длине большей стороне). Опишем окружность около треугольника $ABC$ (строим серединные перпендикуляры к двум сторонам, их точка пересечения — центр окружности). Теперь проведём через точку $A$ прямую, параллельную $BC.$ Пусть она пересекает окружность в точке $D.$

Заметим, что трапеция $ABCD$ равнобедренная, а значит $BD = AC$ , а угол $BAC$ равен разности углов $BAD$ и $BDA$ . Следовательно, треугольник $ABD$ — искомый.

Догадаться до решения можно, если вспомнить про равнобедренную трапецию и увидеть, что там присутствует угол, равный разности нужных нам углов.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#64822Максимум баллов за задание: 7

Внутри острого угла даны точки $M$ и $N$ . Как из точки $M$ направить луч света, чтобы он, отразившись последовательно от сторон угла, попал в точку $N?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть луч из точки M идёт в точку K на одной стороне, потом в точку L на другой. Симметрично отразим точки M и N относительно сторон, на которых лежат точки K и L соответственно, получив точки M₁ и N₁. Что можно сказать о ломаной M₁KLN₁?

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть луч отразился от одной стороны угла в точке $K$ , а затем от другой — в точке $L$ . Отразим точку $M$ симметрично относительно первой стороны угла, а точку $N$ — относительно второй. Получим точки $M1$ и $N1$ соответственно. Тогда точки $M1,K,L$ и $N1$ лежат на одной прямой. Отсюда вытекает способ построения точек $K$ и $L$ .

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#64823Максимум баллов за задание: 7

Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и высоте, проведенной к гипотенузе.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам дана только гипотенуза и высота к гипотенузе, хм… Если высота проведена к гипотенузе, то из какого угла она проведена?

Подсказка 2

Да, она проведена из прямого угла! А на какой геометрической фигуре мы точно умеем строить прямой угол (если знаем, на что он опирается)?

Подсказка 3

Верно, на окружности! Тогда если мы построим окружность с диаметром, равным гипотенузе, то любой угол, который опирается на диаметр – прямой! А что тогда делать с высотой?

Подсказка 4

А давайте просто отложим перпендикуляр от диаметра окружности, с длиной равной исходной высоте. Что осталось сделать, чтобы построить искомый треугольник?

Подсказка 5

Правильно, нужно построить прямую, параллельную гипотенузе через вершину высоты, не лежащий на гипотенузе. Какой треугольник тогда будет искомым?

Показать доказательство

$PIC$

Построим на гипотенузе $AB$ окружность как на диаметре. Теперь отложим от $AB$ перпендикуляр с длиной, равной высоте. Проведём перпендикуляр $CD$ к прямой, равный высоте, как показано на рисунке. Теперь через точку $D$ проведём прямую, параллельную $AB.$ Отметим любую из точек пересечения этой прямой с окружностью через $E.$ Треугольник $ABE$ — искомый.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#64825Максимум баллов за задание: 7

Даны окружность, ее центр и две точки $A$ и $B,$ не лежащие на окружности. Пользуясь только циркулем, постройте точки пересечения окружности с прямой $AB,$ если известно, что эта прямая не проходит через центр окружности

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть О — центр исходной окружности. Построим окружности с центрами в точках A и B радиусов AO и BO соответственно. Пусть Q — точка пересечения этих окружностей, отличная от O. Какое построение напрашивается теперь (вспомните, что у вас есть только циркуль)?

Подсказка 2

Построим окружность с центром в Q и таким же радиусом, как у исходной окружности. Тогда точки пересечения этой окружности с исходной — искомые точки пересечения прямой AB с исходной окружностью. Видно ли, почему это так?

Подсказка 3

Дело в том, что точки пересечения окружностей с центрами O и Q и точки A и B лежат на серединном перпендикуляре к отрезку OQ. Таким образом, для решения задачи остаётся провести серединный перпендикуляр к OQ.

Показать доказательство

$PIC$

С центрами в данных точках $A$ и $B$ проведём окружности радиусов $AO$ и $BO$ соответственно. Пусть $Q$ — точка пересечения построенных окружностей, отличная от $O.$ С центром в точке $Q$ построим окружность радиусом, равным радиусу данной окружности. Точки пересечения окружностей с центрами $O$ и $Q$ — искомые точки пересечения прямой $AB$ с данной окружностью.

Действительно, точки пересечения окружностей с центрами $O$ и $Q,$ а также точки $A$ и $B$ лежат на одной прямой — серединном перпендикуляре к отрезку $OQ.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#64826Максимум баллов за задание: 7

Дана прямая $ℓ$ и точки $A$ и $B$ по разные стороны от нее. Постройте на прямой $ℓ$ такую точку $C,$ чтобы прямая $ℓ$ делила угол $ACB$ пополам.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, а какая геометрическая фигура поможет нам зафиксировать угол ACB?

Подсказка 2

Да, это треугольник! Тогда, в каком треугольнике проще всего строить биссектрису?

Подсказка 3

Верно, в равнобедренном! Тогда, давайте от одной из точек (A или B) построим перпендикуляр на прямую l. Что тогда нужно сделать с этим перпендикуляром, чтобы точка пересечения перпендикуляра и прямой l точно лежала на биссектрисе?

Подсказка 4

Да, нужно удвоить перпендикуляр! Тогда, прямая l содержит отрезок, который является высотой и медианой в некотором треугольнике. Что тогда осталось сделать с чертежом, чтобы прямая l была биссектрисой угла ACB и есть ли случаи, когда это невозможно?

Показать доказательство

$PIC$

Проведём перпендикуляр из точки $B$ перпендикуляр $BD$ на $ℓ,$ продлим его за точку $D$ и отметим на нём такую точку $B1,$ что $B1D = BD.$ Если $B1 = A,$ точкой $C$ может стать любая точка на $ℓ,$ отличная от $D.$ Если $B1 ⁄=A$ и прямые $AB1$ и $ℓ$ не параллельны, то их точка пересечения является искомой точкой $C.$ В противном случае такой точки не существует.

Следующая подтема