Тема ПЛАНИМЕТРИЯ

Дополнительные построения в планике → .06 Дополнение углов

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела планиметрия

Разделы подтемы Дополнительные построения в планике

Построения циркулем и линейкой

Проведение средней линии

Удвоение

Спрямление

Проведение параллельных прямых

Дополнение углов

Проецирование в планике

Обратный ход и построения от обратного

Угадай точку

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#139568Максимум баллов за задание: 7

В треугольнике $ABC$ боковые стороны $AB$ и $BC$ равны $1,$ а угол $ABC$ равен $20∘.$ На стороне $AB$ выбирают произвольную точку $K,$ а на стороне $BC$ — произвольную точку $E.$ Найдите минимум суммы $AE +EK + KC.$

Показать ответ и решение

Отразим точку $C$ относительно прямой $AB,$ а точку $A$ — относительно прямой $CB.$ Получим точки $C 1$ и $A . 1$ В силу симметрии $C1K = CK,A1E = AE.$ Значит, нужно минимизировать длину ломаной $C1KEA1.$ Заметим, что её длина не меньше длины отрезка $C1A1.$ При этом нетрудно подобрать пример, когда будет равенство: нужно взять точки пересечения $C1A1$ с $AB$ и $CB$ в качестве точек $K$ и $E.$ Треугольник $C1BA1$ равносторонний, поскольку $∘ ∠C1BA1 = 60,C1B = A1B = 1,$ значит, $C1A1 =1.$

$PIC$

Ответ:

$1.$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#139569Максимум баллов за задание: 7

В равностороннем треугольнике $ABC$ взята точка $M$ так, что угол $AMC$ равен $150∘.$ Докажите, что из отрезков $AM,BM$ и $CM$ можно сложить прямоугольный треугольник.

Показать доказательство

Сделаем поворот в точке $A$ на $60∘$ по часовой стрелке. Точка $M$ перешла в $M , 1$ точка $B$ — в $C,$ отрезок $AM$ — в $AM , 1$ отрезок $BM$ — в $CM1.$

$PIC$

Треугольник $AMM1$ равносторонний, поскольку $AM = AM1$ и $∠M1AM = 60$ в силу поворота. Отсюда имеем $AM = MM1.$ Заметим, что

∠M1MC =∠AMC − ∠AMM1 =150∘− 60∘ = 90∘.

Таким образом, треугольник $M1MC$ искомый.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#31466Максимум баллов за задание: 7

Вершина $A$ параллелограмма $ABCD,$ а также середины сторон $BC$ и $CD,$ являются вершинами равностороннего треугольника. Найдите углы параллелограмма.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть X, Y - середины CD и BC соответственно. На рисунке у нас есть параллельность, приятные углы(по 60 в AXY) и отрезок XY. На какое дополнительное построение намекают эти объекты?)

Подсказка 2

Продлим XY до пересечения с AB в точке T! Что нового появилось на картинке? Попробуем рассматривать равные из параллельности углы, что заметим?

Подсказка 3

Замечаем равенство треугольников XYC и TYB! Тогда из этого следует равенство XY = YT. Остается подсчитать некоторые углы и прийти к нужному нам углу XAT. А что нужно сделать, чтобы найти оставшуюся часть угла DAB?

Подсказка 4

Проделать аналогичные действия, только уже продлевать XY до пересечения с AD!

Показать ответ и решение

Пусть $X$ и $Y$ — середины $CD$ и $BC$ соответственно. Пересечём $XY$ и $AB$ в точке $T.$

$PIC$

∠TBY = ∠YCX, ∠BY T = ∠CY X,BY =CY

а значит, $ΔYCX =ΔY BT,$ откуда $YX = YT.$

$ΔAYT$ — равнобедренный, причём

∠AY T =180∘− 60∘ =120∘

из чего следует, что $∘ ∠YAT = 30.$

Аналогично находим $∘ ∠DAX = 30,$ значит, тупой угол параллелограмма равен $∘ 120 ,$ а острый — $∘ 60 .$

Ответ:

$120∘$ и $60∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#31357Максимум баллов за задание: 7

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AD = BC$ и $∠ADB +∠ACB =∠CAB+$ $∠DBA =30∘$ . Докажите, что из отрезков $DB, CA$ и $DC$ можно составить прямоугольный треугольник.

Источники: Всесиб-2019, 8.4 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Чтобы такое доказать, здорово было бы на картинке действительно из этих отрезков отложенных где-то сложить прямоугольный треугольник. Давайте попробуем отметить его вершину и доказать, что это будет она!

Подсказка 2

Попробуем для начала посчитать имеющиеся углы - какие выводы можно сделать из условий на углы в задаче? Попробуйте посчитать сумму ADC и DCB, а затем и DAB и ABC.

Подсказка 3

Попробуйте пользуясь этими знаниями понять, где должна располагаться точка - вершина прямоугольного треугольника, который мы желаем построить. Для этого полезно пойти с конца - представим, что уже получилось отметить такую точку Х, что образовался прямоугольный треугольник DCX со сторонами равными DC, CA, DB. Нарисуйте такую картинку и попробуйте сделать выводы о точке Х - это поможет угадать, как ее построить!

Показать доказательство

Для начала заметим, что