Дополнительные построения в планике → .03 Удвоение

В силу симметрии Удвоим медиану, Треугольники и равны. Тогда

Таким образом, отрезки и равны и параллельны, т.е. — параллелограмм, и

Достроим треугольник до параллелограмма

Его диагональ проходит через точку а, значит, и через точку Так как и прямая будучи параллельной прямой не параллельна прямой — равнобедренная трапеция. Ее диагонали и образуют равные углы с основанием Следовательно, треугольник — равнобедренный с основанием что и требовалось доказать.

Продлим медиану на отрезок равный

Докажем, что треугольник равен потому что тогда Понятно, что и Так как параллелограмм, то Значит

При этом

Получаем, что треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.

Удвоим медиану за точку до точки тогда будет параллелограммом, так как точка пересечения диагоналей делит их пополам. Значит, как накрест лежащие.

Следовательно,

Получаем, что треугольник равнобедренный. Значит,

Удвоим получим точку

Рассмотрим треугольник В нем — высота и медиана одновременно, а значит, по признаку этот треугольник равнобедренный. Тогда по определению.

Треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними, так как по условию, по построению, как вертикальные. Тогда как соответственные.

как противоположные стороны параллелограмма.

Первое решение.

Пусть — точка, симметричная точке относительно Тогда и — параллелограмм (так как диагонали четырехугольника делят друг друга пополам).

В треугольнике стороны и равны, следовательно, Кроме того, как вертикальные, как накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей

Треугольники и равны по углу и прилежащим к нему сторонам следовательно, Итого, получили следующую цепочку равенств углов

Тогда в треугольнике углы при вершинах и равны и

 

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Задачу можно решить без удвоения медианы, если обратить внимание на треугольники и

В этих треугольниках углы и равны как дополняющие равные по условию углы и до развернутого угла. Кроме того, и по условию.

Тогда треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними.

Отсюда лежащие напротив равных сторон углы и равны и с привлечением равных вертикальных углов и получаем равные углы в треугольнике и требуемое равенство

Пусть пересекается с в точке .

Первое решение.

Прямая, проходящая через середину отрезка параллельно , это средняя линия треугольника , она равна половине . То есть

Прямая, проходящая через точку отрезка параллельно , это средняя линия треугольника , она равна половине . То есть

В итоге

__________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Мы видим медиану и хочется немедленно её удвоить.

Тогда мы получаем параллелограмм и за счёт равенства накрест лежащих углов при параллельных прямых с коэффициентом подобия

Из подобия мы выяснили, что

Прямая, проходящая через точку параллельно , это средняя линия треугольника , она равна половине . В итоге

__________________________________________________________________________________________________

Третье решение.

По теореме Менелая для треугольника и прямой

По теореме Менелая для треугольника и прямой

Прямая, проходящая через точку параллельно , это средняя линия треугольника , она равна половине . В итоге

Чтобы доказать это равенство, соберём все отрезки в один прямоугольный треугольник и применим теорему Пифагора.

Удвоим до точки за точку Заметим, что является параллелограммом, поскольку его диагонали пересекаются в своих серединах. Отсюда и

Остаётся доказать, что (и из треугольника мы получим требуемое). Но действительно, является медианой (по построению) и высотой (по условию) треугольника откуда он равнобедренный и

Продлим медиану за точку на свою длину, обозначив полученную точку через Тогда фигура  — параллелограмм, так как его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Поэтому как противоположные стороны параллелограмма, как накрест лежащие. В треугольнике сторона а напротив большей стороны в треугольнике лежит больший угол, значит,

Удвоим отрезок до точки , тогда будет средней линией , откуда (так как параллельно по условию, а параллельно по доказанному).

Далее продлим и до пересечения, тогда — средняя линия в силу и , но тогда

Аналогично и , откуда — тоже средняя линия и

Из (1) и (2) — тоже средняя линия и

Первое решение. Пусть — это середина тогда проведём — среднюю линию треугольника

Так как как соответственные. По условию следовательно, Значит, треугольник равнобедренный и

В силу того, что — средняя линия а так как то

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Заметим, что это медиана, значит, её может быть полезно удвоить и получить параллелограмм , у которого и . Тогда по условию нам нужно найти

В силу равны соответственные углы а по условию Тогда — равнобедренный и

откуда

Первое решение.

Удвоим отрезок за точку и получим отрезок длины как в левой части искомого неравенства. Нужно доказать, что его длина меньше периметра треугольника . Отразим также точку относительно точки и обозначим полученную точку за .

В силу осевой симметрии точек и относительно получаем . Из равенства треугольников и по двум сторонам (из построения) и углу между ними (как вертикальные) имеем . Наконец, из неравенства ломаной получаем требуемое.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Отразим точку относительно сторон угла , получим точки и .

По построению стороны угла являются серединными перпендикулярами к сторонам и , а в силу того, что угол между сторонами угла прямой, угол между перпендикулярами к ним тоже является прямым. Поэтому точка лежит на гипотенузе треугольника и является центром описанной около него окружности, а отрезок — её радиусом .

Выражение в правой части неравенства превращается в длину ломаной , которая больше длины отрезка

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Третье решение

Используем прямоугольный треугольник пусть — середина , тогда . В связи с этим нужно доказать

Запишем неравенство треугольника для : . Осталось доказать . Но это известное неравенство медианы, применённое для .

В итоге

Продлим до пересечения с в точке . Тогда , а значит, по стороне и двум прилежащим к ней углам, откуда , а ещё как противоположные стороны параллелограмма.

Первый способ.

В прямоугольном проведём медиану к гипотенузе, тогда . В силу параллельности . — равнобедренный, тогда , откуда как внешний угол . Заметим, что — равнобедренный с углом , а значит, равносторонний,

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второй способ.

В прямоугольном катет напротив угла в градусов равен половине гипотенузы , так что равен одной из сторон параллелограмма.

Четырёхугольник — вписанный, поэтому Аналогично четырёхугольник — вписанный, поэтому

Опустим высоты и на прямую Заметим, что прямоугольные треугольники и равны по гипотенузе и острому углу , откуда получаем

Заметим, что прямоугольные треугольники и равны по катету и острому углу откуда получаем Тогда

Получается, что Следовательно, в треугольнике высота совпадает с медианой, поэтому он является равнобедренным, и что и требовалось.

Пусть — точка пересечения медиан. Как известно, она делит медиану в отношении считая от вершины. Таким образом, раз равны медианы, то Но тогда — равнобедренный. Удвоим обе медианы, тогда и Заметим, что откуда а это равносильно что и требовалось.

Удвоим медиану тогда и Заметим, что а значит

Удвоим медиану и заметим, что а значит — равнобедренный, откуда что и требовалось.

Удвоим медиану. В силу параллельности а значит Заметим, что — равнобедренный, тогда следовательно — равнобедренный. Таким образом, имеем: откуда а значит

Удвоим до точки и до точки , тогда . Мы удвоили медиану, потому в силу параллельности и прямого угла . Но тогда , то есть , но тогда — ортоцентр и .

Удвоим медиану треугольника получим точку Четырёхугольник — параллелограмм.

Заметим, что также является параллелограммом, так как отрезки и равны по длине (оба по и параллельны. Это означает, что точка лежит на отрезке так как и

Теперь нетрудно найти искомый отрезок: