Дополнительные построения в планике → .02 Проведение средней линии

Из условия треугольник равнобедренный, следовательно,

Проведём среднюю линию где — середина треугольника она будет параллельна

Следовательно, а т.к. то треугольник равнобедренный. Тогда

А т.к. — середина получаем

Отметим середину стороны

Тогда так как медиана в треугольнике и Также понимаем, что средняя линия треугольника, откуда Тогда если то Значит,

Проведем в треугольнике среднюю линию . Тогда

Кроме того, и . Следовательно, треугольники и равны по стороне и двум углам. Положим . Тогда

откуда и .

Замечание. Используя подобие, можно обойтись без средней линии, сразу получив уравнение (*) из подобия треугольников и по двум углам с коэффициентом .

Обозначим медиану из вершины через

Первое решение.

Опустим перпендикуляр на прямую Тогда в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы так как лежит напротив угла в градусов. А ещё по условию Тогда Получили, что в четырёхугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, а значит, это параллелограмм, так что В итоге

Второе решение.

Отметим ещё середину  — как а середину  — как Тогда а ещё по условию Так что треугольник — равносторонний () с углом при вершине в значит, он равносторонний.

Тогда как смежный с углом в Далее, поэтому треугольник  — прямоугольный, и Смежный с ним С другой стороны, этот же угол равен так как  — средняя линия треугольника — параллельна

Третье решение.

Не будем думать и просто посчитаем:

1) по теореме косинусов для треугольника

2) по формуле медианы (при удвоение медианы получается параллелограмм, у которого сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон)

3) по теореме косинусов для треугольника

Обозначим середину медианы точкой Из условия сразу следует, что является одной из медиан треугольника Логично доказать, что через её середину проходит высота этого треугольника.

Воспользуемся тем, что — середина . Проведём через точку прямую параллельно (провести среднюю линию это одно из стандартных доп. построений).

Тогда сразу же по теореме Фалеса следует, что проходит через середину , при этом является высотой так как

(a) Введём обозначения как показано на рисунке. Заметим, что — средняя линия в треугольнике а значит Также является средней линией в треугольнике то есть Следовательно, Аналогично получим Это даёт нам требуемое.

(b) Введём обозначения как показано на рисунке. Пусть образует равные углы с диагоналями. Отметим точку — середину Заметим, что — средняя линия в треугольнике то есть она параллельна и равна половине Аналогично параллельна и равна половине Тогда по условию треугольник равнобедренный, это даёт нам требуемое.

Отметим на продолжении отрезка за точку такую точку что Тогда — средняя линия в треугольнике следовательно, Теперь утверждение задачи следует из цепочки равносильностей:

Пусть в четырёхугольнике средняя линия равна половине каждой диагонали. Пусть также — середина

Тогда угол между средними линиями и треугольников и равен углу между диагоналями, а сами они равны поскольку в два раза меньше диагоналей, но отсюда — правильный, а значит, .

Удвоим отрезок до точки , тогда будет средней линией , откуда (так как параллельно по условию, а параллельно по доказанному).

Далее продлим и до пересечения, тогда — средняя линия в силу и , но тогда

Аналогично и , откуда — тоже средняя линия и

Из (1) и (2) — тоже средняя линия и

Первое решение. Пусть — это середина тогда проведём — среднюю линию треугольника

Так как как соответственные. По условию следовательно, Значит, треугольник равнобедренный и

В силу того, что — средняя линия а так как то

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Заметим, что это медиана, значит, её может быть полезно удвоить и получить параллелограмм , у которого и . Тогда по условию нам нужно найти

В силу равны соответственные углы а по условию Тогда — равнобедренный и

откуда

Продлим и до пересечения в — оно будет именно с этой стороны в силу острых углов и , тогда . Далее отметим — середину , тогда и — средние линии и , откуда , а значит, .

Продлим за точку на Из и по теореме Фалеса следует то есть Пусть — середина и Тогда как средняя линия, и как медиана из прямого угла, откуда и получаем требуемое.

Пусть и — середины сторон и соответственно. Отметим на основании такую точку что В равнобедренном треугольнике биссектриса угла является медианой. Следовательно, точка ее пересечения с отрезком лежит на средней линии трапеции Поэтому точка лежит на стороне трапеции откуда