Дополнительные построения в планике

Пусть — заданный острый угол, — заданная точка внутри него. Проведем . Через т. проведем .

Bсе треугольники и равны, откуда .

Покажем, что отсекает треугольник наименьшей площади. Для этого проведем другую произвольную прямую (точки и лежат на сторонах заданного угла). Построим также .

Треугольники и равны по стороне и двум углам. Следовательно, площадь меньше, чем площадь , откуда получается, что площадь меньше, чем площадь , что и требовалось.

Таким образом, отсекает треугольник наименьшей площади, и, как показано выше, она делится точкой пополам.

Отметим на прямой такую точку что треугольник равносторонний. Докажем равенство треугольников и Действительно, поскольку треугольник — равнобедренный, и значит, Кроме того, отметим ещё одну пару равных углов Таким образом, треугольники и равны по стороне и двум углам, отсюда и

Если отметить на прямой такую точку что треугольник — равносторонний, то аналогичными рассуждениями получим Отсюда следует, что

Первое решение.

Пусть Тогда

Тогда в

Следовательно,

Теперь легко посчитать площадь параллелограмма:

Второе решение.

Опустим перпендикуляр на , отметим середину отрезка и обозначим — точку пересечения и . Тогда , так как и — середина . Тогда треугольник прямоугольный и . Значит и . Так же из параллельности и поэтому биссектриса угла Четырехугольник является параллелограммом и при этом биссектриса угла . Значит ромб и , но . Значит,

Тогда и . Значит, треугольник равносторонний со стороной . Тогда , и

Прежде всего, обозначим середину отрезка через а окружность, проходящую через и — через

Поскольку для решения задачи достаточно доказать неравенство (и, аналогично,

Это неравенство следует из удивительного факта: расстояние от точки до прямой равно в точности Докажем его двумя способами: в обоих мы обнаружим на окружности ещё одну точку.

Решение 1.

Пусть точка симметрична вершине относительно прямой Проверим,

что она лежит на окружности Для этого достаточно проверить, что В самом деле,

последнее равенство следует из вписанности четырехугольника

Таким образом, центр окружности должен лежать на серединном перпендикуляре к её хорде Значит, расстояние от до равно расстоянию между этим серединным перпендикуляром и прямой то есть между серединами отрезков и Оно в два раза меньпе, чем расстояние от до т. е. равно Решение 2.

Отметим такую точку что Пусть тогда

С другой стороны, медиана прямоугольного треугольника равна и 3начит, Итак, и Следовательно, четырехугольник — равнобедренная трапеция, так что лежит на окружности т. е. на

Поскольку центр лежит на серединном перпендикуляре к расстояние от него до равно что и требовалось.

Отметим на продолжении стороны за точку такую точку что Тогда треугольник равнобедренный, откуда

Следовательно, треугольник равнобедренный и — его высота, а значит и медиана. Таким образом,

Удвоим медиану треугольника получим точку Четырёхугольник — параллелограмм.

Заметим, что также является параллелограммом, так как отрезки и равны по длине (оба по и параллельны. Это означает, что точка лежит на отрезке так как и

Теперь нетрудно найти искомый отрезок:

Для начала заметим, что

так как треугольники и имеют по равному углу (вертикальные), то из суммы углов в треугольнике получаем

Значит,

Построим точку вовне четырёхугольника такую, что равносторонний.

Теперь заметим, что

и

Но тогда равны треугольники и , откуда и , откуда . Кроме того,

Значит, треугольник искомый.

Первое решение.

Продлим отрезок за точку на его длину, получим точку Пусть углы и равны по Тогда угол равен угол —

Теперь нетрудно вычислить, что углы и равны по то есть точки и симметричны относительно Следовательно, угол равен углу который, в свою очередь, равен углу поскольку треугольник равнобедренный. Углы и в сумме дают потому что четырёхугольник — вписанный. Отсюда получаем, что точки и коллинеарны.

Осталось заметить, что треугольник прямоугольный, потому что медиана равна половине стороны, к которой она проведена. То есть угол прямой, а значит смежный с ним угол также прямой.

Второе решение.

Из равнобедренности треугольника и параллельности и получаем

Пусть прямая пересекается с описанной окружностью треугольника в точке Тогда — вписанная, т.е. равнобедренная, трапеџия, откуда дуги и равны. Отсюда так как эти углы опираются на одну дугу. Значит, в равнобедренном треугольнике вьполняется равенство Кроме того,

Идея какого-либо дополнительного построения и ощутимые продвижения в подсчёте углов оцениваются половиной баллов. Только ответ - 0 баллов за задачу.

Заметим, что если доказать обратную теорему Чевы для треугольника (то есть равенство то мы получим требуемое. Обозначим параллельные прямые через и

Давайте проведём прямую перпендикулярную прямым и спроецируем ортогонально точки на неё. Нам это выгодно, потому что отношение, в которых делит точка отрезок при проектировании, как известно, сохраняется (это просто теорема Фалеса). Точки и перейдут в и

Введём декартову систему координат таким образом, что прямая — ось а прямая — ось Обозначим ординату через а ординату через Точка при проецировании переходит в точку точка — в точку точка — в точку

Как мы знаем, отношения при проектировании сохраняются, а значит, нам достаточно доказать, что

Нетрудно видеть, что длина любого отрезка из равенства равна модулю разности ординат его концов, поэтому его можно записать в таком виде:

Теперь видно, что всё сокращается, а значит, мы получили требуемое.

Отметим на отрезке такую точку что

Тогда треугольники и подобны и Кроме того, и поэтому треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, Далее, = = = = = и поэтому треугольники и подобны по двум углам, откуда = Значит, треугольники и подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (, поскольку ), но так как то

Отметим на продолжении за точку так, что .

Треугольник равнобедренный, поэтому

Кроме того,

Следовательно, треугольники , , подобны по двум угла. Пусть , , . Тогда из подобий

Проведем перпендикуляр к так, чтобы лежало на окружности и отметим середину как . Тогда (так как вписанный по построению) . — средняя линия треугольника и поэтому . Пусть пересекает в точке . Так как , то , и значит, точки и совпадают.

Итак, независимо от выбора точки на окружности описанная в условии прямая проходит через фиксированную точку - середину отрезка на восставленном из точки перпендикуляре, продолженном до пересечения с окружностью.

Так как Так как Пусть и — перпендикуляры, опущенные из и на и соответственно.

Тогда прямоугольные треугольники и равны по гипотенузе и острому углу, откуда Это значит, что расстояния между прямыми и и между прямыми и равны. Таким образом, прямые и пересекаясь, образуют ромб где — точка пересечения и По свойству ромба =

Пусть отрезок пересекает диагонали и в точках и соответственно. Тогда = = Значит, в треугольнике углы при основании равны, он равнобедренный, и поэтому внешняя биссектриса его угла параллельна что и требовалось. Если же полученное равенство углов сразу говорит, что — биссектриса угла

На продолжении отрезка за точку выберем точку так, что

Тогда

Следовательно, треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому и Заметим, что

Таким образом, треугольник равнобедренный и

Пусть а Тогда откуда по теореме о внешнем угле треугольника откуда Опустим из точки перпендикуляр на прямую а из точки — перпендикуляр на прямую Прямоугольные треугольники и равны по гипотенузе и острому углу откуда Осталось заметить, что и — это высоты треугольников и опущенные на равные стороны, отсюда из формулы площади треугольника следует требуемое равенство.

Пусть и — середины сторон и соответственно. Отметим на основании такую точку что В равнобедренном треугольнике биссектриса угла является медианой. Следовательно, точка ее пересечения с отрезком лежит на средней линии трапеции Поэтому точка лежит на стороне трапеции откуда

a)

По теореме о сумме углов в треугольнике Пусть — центр вписанной в треугольник окружности. Тогда угол между биссектрисами Получается, что из точек и отрезок виден под одинаковым углом, тогда они лежат на одной окружности вместе с . При этом из условия следует, что ещё они обе лежат на одной прямой (на биссектрисе угла ), поэтому либо совпадают, либо являются противоположными вершинами прямоугольника (вписанного параллелограмма) . Но так как то может быть только случай Следовательно, и .

Замечание. Для доказательства можно было также воспользоваться условием, что точка дана внутри треугольника, и упростить часть рассуждений.

б)

Радиус окружности, описанной вокруг треугольника , равен

Но

поэтому радиус окружности, описанной вокруг треугольника , также равен

Значит, их общая хорда пересекает отрезок между центрами в его середине, а длина этого отрезка равна .

Первое решение.

Пусть — центр описанной окружности треугольника . Так как , то . Следовательно, треугольник  — равносторонний. в этом треугольнике является биссектрисой, поэтому треугольники и равны. Далее, , откуда ; следовательно, треугольники и равны по трем сторонам. Заметим, что из следует, что . Наконец, и

Второе решение.

Обозначим точку пересечения и за Из условия сразу же находим внешний угол треугольника : . Нас просят доказать, что тогда угол тоже должен быть равен Давайте не будем думать и попробуем доказать счётом в синусах:

В итоге

Третье решение.

Обозначим Из условия находим Замечаем, что - равнобедренный, так как его углы при основании равны по поэтому Выразим и из теоремы синусов:

Перемножая каждую пропорцию крест-накрест, а затем равенства между собой, получаем:

Применим формулу синуса суммы:

Умножим на обе части, применим формулу приведения и перенесём второе слагаемое из правой части в левую часть:

Применим формулы синуса и косинуса двойного угла:

В итоге что и требовалось.

Отложим на продолжении отрезка за точку отрезок

Поскольку биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны, прямая является биссектрисой угла смежного с углом и, значит, серединным перпендикуляром к Поэтому откуда получаем, что прямые и параллельны. Заметим, что при этом прямые и не параллельны, так как иначе точка пересечения диагоналей параллелограмма была бы, вопреки условию, серединой отрезка Так как, кроме того, получается, что — равнобедренная трапеция, и равенство — ее известное (и легко доказываемое) свойство.

Проведём через точку прямую, параллельную Пусть она пересечёт в точке

Тогда и поэтому треугольники и равны по двум углам и стороне. Поэтому и — параллелограмм. Но тогда