Тема ПЛАНИМЕТРИЯ

Дополнительные построения в планике

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела планиметрия

Разделы подтемы Дополнительные построения в планике

Построения циркулем и линейкой

Проведение средней линии

Удвоение

Спрямление

Проведение параллельных прямых

Дополнение углов

Проецирование в планике

Обратный ход и построения от обратного

Угадай точку

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 161#64825Максимум баллов за задание: 7

Даны окружность, ее центр и две точки $A$ и $B,$ не лежащие на окружности. Пользуясь только циркулем, постройте точки пересечения окружности с прямой $AB,$ если известно, что эта прямая не проходит через центр окружности

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть О — центр исходной окружности. Построим окружности с центрами в точках A и B радиусов AO и BO соответственно. Пусть Q — точка пересечения этих окружностей, отличная от O. Какое построение напрашивается теперь (вспомните, что у вас есть только циркуль)?

Подсказка 2

Построим окружность с центром в Q и таким же радиусом, как у исходной окружности. Тогда точки пересечения этой окружности с исходной — искомые точки пересечения прямой AB с исходной окружностью. Видно ли, почему это так?

Подсказка 3

Дело в том, что точки пересечения окружностей с центрами O и Q и точки A и B лежат на серединном перпендикуляре к отрезку OQ. Таким образом, для решения задачи остаётся провести серединный перпендикуляр к OQ.

Показать доказательство

$PIC$

С центрами в данных точках $A$ и $B$ проведём окружности радиусов $AO$ и $BO$ соответственно. Пусть $Q$ — точка пересечения построенных окружностей, отличная от $O.$ С центром в точке $Q$ построим окружность радиусом, равным радиусу данной окружности. Точки пересечения окружностей с центрами $O$ и $Q$ — искомые точки пересечения прямой $AB$ с данной окружностью.

Действительно, точки пересечения окружностей с центрами $O$ и $Q,$ а также точки $A$ и $B$ лежат на одной прямой — серединном перпендикуляре к отрезку $OQ.$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 162#64826Максимум баллов за задание: 7

Дана прямая $ℓ$ и точки $A$ и $B$ по разные стороны от нее. Постройте на прямой $ℓ$ такую точку $C,$ чтобы прямая $ℓ$ делила угол $ACB$ пополам.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, а какая геометрическая фигура поможет нам зафиксировать угол ACB?

Подсказка 2

Да, это треугольник! Тогда, в каком треугольнике проще всего строить биссектрису?

Подсказка 3

Верно, в равнобедренном! Тогда, давайте от одной из точек (A или B) построим перпендикуляр на прямую l. Что тогда нужно сделать с этим перпендикуляром, чтобы точка пересечения перпендикуляра и прямой l точно лежала на биссектрисе?

Подсказка 4

Да, нужно удвоить перпендикуляр! Тогда, прямая l содержит отрезок, который является высотой и медианой в некотором треугольнике. Что тогда осталось сделать с чертежом, чтобы прямая l была биссектрисой угла ACB и есть ли случаи, когда это невозможно?

Показать доказательство

$PIC$

Проведём перпендикуляр из точки $B$ перпендикуляр $BD$ на $ℓ,$ продлим его за точку $D$ и отметим на нём такую точку $B1,$ что $B1D = BD.$ Если $B1 = A,$ точкой $C$ может стать любая точка на $ℓ,$ отличная от $D.$ Если $B1 ⁄=A$ и прямые $AB1$ и $ℓ$ не параллельны, то их точка пересечения является искомой точкой $C.$ В противном случае такой точки не существует.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 163#68861Максимум баллов за задание: 7

Разрежьте данный параллелограмм на две части, из которых можно составить треугольник. Не забудьте объяснить, как именно составить треугольник и почему образуется именно он.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Итак, нам нужны две фигуры, из которых можно составить треугольник. Получается, что эти фигуры нам придётся "склеивать" какой-то стороной, то есть какие-то две стороны у них будут равны между собой. На какое построение намекают эти размышления?

Подсказка 2

Имеет смысл отметить середину у одной из сторон параллелограмма! Осталось лишь придумать, как же провести нужный разрез через неё ;)

Показать ответ и решение

$PIC$

Из параллелограмма $ABDC$ получится треугольник $ABA ′$ .

Почему это работает? Давайте посмотрим на построение. Точка $E$ — середина стороны $CD$ . Удвоим $AE$ за точку $E$ , получим точку $A′$ . Треугольники $AEC$ и $A′ED$ равны по двум сторонам и углу между ними, так как $AE = EA′$ по построению, $CE = ED$ , потому что $E$ — середина отрезка $CD$ , $∠AEC = ∠DEA ′$ как вертикальные. Теперь поймем, почему точки $B$ , $D$ , $A′$ лежат на одной прямой. Для этого достаточно показать, что $∠BDA ′ = ∠BDE + ∠EDA ′ =180∘$ . Но это верно, ведь мы поняли, что треугольники $AEC$ и $A′ED$ равны, то есть углы $ACE$ и $EDA ′$ равны как соответственные, а так же нам дано, что $ABDC$ — параллелограмм, значит, $∠ACD +∠CDB = 180∘$ как односторонние при параллельных прямых $BD$ и $AC$ и секущей $CD$ .

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 164#68862Максимум баллов за задание: 7

В треугольнике $ABC$ медиана $AM$ продолжена за точку $M$ на расстояние, равное $AM$ . Найдите расстояние от полученной точки до вершин $B$ и $C$ , если $AB =4$ , $AC = 5$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте сделаем чертёж. И обратим внимание на то, что по сути мы удвоили медиану AM. Длину каких отрезков надо найти, чтобы найти расстояние от A' до B и C?

Подсказка 2

Отлично, нам нужно найти длины отрезков A'B и A'C! Давайте их проведём. На что похож четырёхугольник ABA'C?

Подсказка 3

Что-то намекает на то, что ABA'C — параллелограмм! Давайте попробуем доказать это строго, например, найдём какие-то равные треугольники.

Подсказка 4

Когда мы построили медиану, мы получили равенство BM = MC. А какие еще отрезки у нас равны?

Подсказка 5

AM = MA'! А в каких треугольниках присутствуют эти две пары равных отрезков?

Подсказка 6

Рассмотрите треугольники BMA' и CMA. Что можно сказать про их стороны и углы? ;)

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $A′$ — точка на продолжении медианы $AM$ за точку $M$ , причём $MA′ = AM$ . Треугольники $A′MB$ и $AMC$ равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому $A′B = AC =5$ . Аналогично, $A′C =AB = 4$ .

Ответ: 5 и 4.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 165#68864Максимум баллов за задание: 7

Точка $M$ — середина стороны $CD$ параллелограмма $ABCD$ . Точка $K$ делит его сторону $BC$ на отрезки с длинами $a$ и $b$ так, что угол $∘ AMK = 90$ . Найдите $AK$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

KM пока что отрезок лишь внутри параллелограмма, быть может, продлим его до пересечения с прямой AD в новой точке K'?

Подсказка 2

Что можно сказать про треугольник AKK'?

Подсказка 3

Чем является AM в треугольнике AKK'?

Подсказка 4

Именно, AM — высота и медиана в треугольнике AKK'. Что тогда можно про него сказать?

Подсказка 5

AK = AK'. А можно ли выразить AK' через a и b?

Подсказка 6

AD = a+b! А как найти DK'? Быть может, можно заметить ещё какие-то равенства?

Подсказка 7

Обратите внимание на треугольники KCM и K'DM :)

Показать ответ и решение

Пусть точка $K′$ симметрична точке $K$ относительно $M.$ В треугольнике $KAK ′$ отрезок $AM$ является высотой и медианой, а значит треугольник является равнобедренным, т.е. $′ AK = AK .$

Треугольники $MKC$ и $′ MK D$ равны по двум сторонам и углу между ними, поскольку $CM = MD,$ $′ KM = MK$ и углы $′ ∠KMC, ∠DMK$ равны как вертикальные. Таким образом, $′ KC = K D = b$ как соответственные элементы равных трегольников, следовательно, $BC = AD =a +b$ как противоположные стороны параллелограмма, а значит

AK = AK ′ =AD + DK ′ =(a+ b)+b= a+ 2b.

$PIC$

Ответ:

$a+ 2b.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 166#68865Максимум баллов за задание: 7

В треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина стороны $AC$ . На стороне $BC$ взяли точку $K$ так, что угол $BMK$ прямой. Оказалось, что $BK = AB$ . Найдите $∠BKM$ , если $∘ ∠A +∠C = 70$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как воспользоваться тем, что какой-то отрезок равен AB? Быть может, мы сможем построить ещё один отрезок, равный AB, и записать цепочку равенств?

Подсказка 2

Очень часто в подобных задачах помогает удвоить медиану, так как после этого появляется сторона, равная AB!

Подсказка 3

Итак, удвоим медиану BM до BD. Из теоретического материала мы знаем, что AB = CD (докажите самостоятельно!) А что можно интересного сказать про треугольник BKD? Как воспользоваться условием на прямой угол?

Подсказка 4

Чем является KM в треугольнике BKD?

Подсказка 5

KM и медиана, и высота, так что BKD равнобедренный! Интересно, у нас уже немало отрезков, равных BK ;) Запишем цепочку равенств!

Подсказка 6

CD = AB = BK = KD. О чем это говорит для треугольника KCD? Быть может, мы знаем его углы?

Подсказка 7

Треугольник KCD равнобедренный, а угол MCD равен углу BAM. Чему тогда равен угол KCD?

Подсказка 8

Угол KCD равен 70°! Тогда, так как KCD равнобедренный, мы можем посчитать все остальные его углы ;)

Подсказка 9

Получается, что угол DKC тоже равен 70°! Отлично, мы уже очень близки к нужному углу BKM! Осталось лишь понять, как именно его величина связана с величиной угла BKD и DKC ;)

Показать ответ и решение

Пусть $D$ — точка, симметричная точке $B$ относительно $M.$ Отрезок $KM$ является высотой, а так же медианой треугольника $BKM,$ следовательно, $BK = KD.$ Четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, т.е. $CD = AB$ и