Корни многочленов

Заметим, что, если все коэффициенты кроме и равны то утверждение задачи очевидно. Достаточно доказать, что можно произвести одно вычеркивание так, чтобы новый многочлен также имел действительный корень. Рассморим наибольшие такие, что , Если хотя бы одно из чисел и нечетно, то, вычеркнув одночлен при другой степени получим многочлен нечетной степени, то есть он будет иметь вещественный корень. Далее считаем, что и четные. Не умаляя общности . Если то вычеркнем произвольный одночлен, отличный от и Полученый многочлен при больших принимает положительные значения, а в — отрицательное. То есть будет иметь корень. Значит, Если то, вычеркнув по аналогичным соображениям получаем многочлен, имеющий корень. Наконец, если то вычеркнем Пусть — корень многочлена Тогда но при больших полученный многочлен принимает положительные значения. Значит, он снова будет иметь действительный корень.