Алгебраические текстовые задачи → .02 Составление уравнений

Обозначим количества пятерок, четверок, троек и двоек, полученных Колей, через и соответственно. Тогда средний балл Коли равен Те же самые переменные будут обозначать для Васи количество четверок, троек, двоек и пятерок соответственно. Значит, его средний балл будет равен Приравняем средние баллы:

Кроме того, по условию

Тогда получаем равенство

Обозначим количество всех мужчин в роду (в том числе основателей) через . Посчитаем двумя способами количество людей в этом роду. С одной стороны, их, очевидно, , ведь всех людей можно посчитать, сложив мужчин и женщин.

С другой стороны, каждый человек в этом роду, кроме основателей, является ребенком одного из мужчин этого рода. По условию, каждый мужчина, кроме семерых, имел трое детей. Отсюда следует, что детей в этом роду было . Непосчитанными остались лишь сами основатели, поэтому в итоге получается .

Итак, имеем равенство , откуда , а количество всех людей в роду равно .

Обозначим количество леденцов у Кати, Лизы, Маши и Насти соответственно за . Тогда Складывая эти неравенства, получаем

Причем

откуда или же в целых числах Пример на существует:

При разрезании одного листочка общее число листочков увеличивается на 2. Количество листочков увеличилось всего на . Значит, чтобы добиться такого увеличения, надо разрезать листочков.

За день работы без второй бригады первая бригада успела спилить 80 сосен. Значит, за оставшиеся дни вторая бригада успела догнать первую, спилив на 80 сосен больше. А так как за один день совместной работы вторая бригада спиливает на 10 сосен больше, чем первая, то для этого ей требуется дней. Всего за эти 8 дней вторая бригада спилит сосен, а первая по условию спилила столько же. Значит, вместе две бригады заготовили сосен.

Разница между количествами 7 и 10 мороженых составляет штуки, а разница в стоимости между 7 морожеными и 10 морожеными составляет ропиков, значит, 3 мороженых стоят 45 ропиков. Тогда одно мороженое стоит ропиков.

Далее, купив семь мороженых, у Ёжика останется 150 ропиков. Так как каждое мороженое, как мы выяснили выше, стоит 15 ропиков, то на эти деньги он может купить еще мороженых, а всего Ёжик купит мороженых.

Обозначим количество домашних заданий, выполненных Гарри, через . Так как Гарри сделал на два домашних задания больше Рона, то Рон выполнил задания. Гермиона сделала втрое больше Гарри, значит, Гермиона выполнила домашних заданий. При этом по условию в сумме ребята выполнили домашних заданий. Поэтому, сложив домашние задания, выполненные ребята, мы должны получить . Составим соответствующее уравнение и решим его.

Итак, мы нашли, что . Нас же спрашивают, сколько домашних заданий сделала Гермиона. Как мы уже считали выше, Гермиона выполнила домашних заданий. Подставим найденное значение переменной: . Значит, Гермиона выполнила домашних заданий.

Обозначим количество акромантулов через . Так как всего ребята насчитали голов, то они видели особей, поэтому суммарно акромантулов и соплохвостов . Тогда соплохвостов .

Теперь выразим через количество ног у изучаемых созданий. У акромантулов всего ног, а у соплохвостов ног. Также мы знаем, что всего ребята насчитали ног. Значит, мы можем составить уравнение, приравняв количество ног, посчитанное через , и количество ног, данное в задаче:

Итак, , значит, акромантулов , а соплохвостов .

Обозначим сумму чисел в первой строке через . Выразим через сумму в каждом столбце и каждой строке. После этого воспользуемся тем, что сумма чисел по строкам равна сумме чисел по столбцам (и равна сумме всех чисел в таблице).

Так как сумма чисел в каждой строке на больше, чем в предыдущей, то сумма чисел во второй строке равна , а в третьей — . Таким образом, сумма чисел во всех строках равна .

Теперь по столбцам. Сумма чисел во втором столбце равна . Сумма чисел в первом втрое меньше, то есть равна . Сумма чисел в третьем столбце втрое больше суммы во втором столбце, значит, она равна . Таким образом, сумма всех чисел по столбцам равна .

Приравняем полученные значения суммы чисел по строкам и по столбцам, так как и то, и другое равно сумме всех чисел в таблице. Другими словами, мы двумя способами посчитали сумму всех чисел в таблице, а значит можем записать равенство

Итак, , а через мы как раз и обозначили сумму чисел в первой строке, которую нам нужно найти. Значит, сумма чисел в первой строке равна .

Обозначим количество детей через Так как пожиратели насчитали 30 голов, то всего летит 30 существ, значит, фестралов Посчитаем, сколько у кого ног. У детей всего ног, а у фестралов ног. По условию, всего пожиратели насчитали 82 ноги, поэтому мы получаем равенство

Итак, значит, на битву с Волдемортом отправились 19 юных волшебников.

Обозначим количество человек в одном списке через Пусть в первый день учебы каждый студент сдаст по каждому выбранному им предмету тетрадку с домашним заданием. Посчитаем количество сданных тетрадок двумя способами.

С одной стороны, так как на предметы записались 60, 50 и 40 человек, то и сданных тетрадок по арифмантике будет 60, по УЗМС — 50, а по прорицаниям — 40. В сумме получается сданных тетрадок.

С другой стороны, студенты, записавшиеся на один курс, сдадут по одной тетрадке, и так как таких студентов то и сданных ими тетрадок будет Студенты, записавшиеся на два курса, сдадут по две тетрадки, и так как таких студентов тоже то они сдадут всего тетрадок. Наконец, студентов, записавшихся на все три предмета, сдадут тетрадок. Поэтому всего сданных тетрадок будет

Приравняем посчитанные двумя способами тетрадки.

Итак, значит, в одном списке 25 человек. Именно это число нам и нужно было посчитать в задаче.

Эту задачу можно решить и без уравнения. Действительно: разница в возрасте между Гарри и Хагридом постоянна и равна 54. Значит, если Хагрид вдвое старше Гарри, то Гарри должно быть 54 года, а это случится через 40 лет.

Теперь попробуем составить уравнение, которое поможет решить задачу другим способом. Первым делом необходимо ввести переменную: чаще всего обозначают через то, что спрашивается в задаче. В данном случае, пусть — количество лет, которое должно пройти, чтобы Хагрид стал ровно вдвое старше Гарри. Тогда Гарри исполнится лет, а Хагриду стукнет . По условию возраст Хагрида вдвое больше, так что можно составить уравнение:

Раскрывая скобки, получаем:

Конечно, и эту задачу можно решить без уравнения, но уже совсем не так быстро. А с уравнением — почти ничего не меняется! Пусть — возраст Гарри, тогда миссис Уизли сейчас лет. Через шесть лет Гарри будет , а возраст миссис Уизли составит . Так как второе выражение в три раза больше первого, можно составить уравнение:

Значит, Гарри сейчас 12 лет.

В этой задаче также следует выбрать того из мальчиков, чье количество орехов следует обозначить через . В данном случае, уместно выбрать Гарри, так как через него легко выразить количества орехов у Рона и у Гермионы.

Итак, пусть — количество орехов у Гарри. Тогда по условию у Рона орехов, а у Гермионы их . Составим уравнение:

Прежде чем писать ответ — прочитаем вопрос: требовалось найти количество орехов у каждого из ребят. В данном случае, у Рона будет 3 ореха, а у Гермионы — 2.

Пусть у Гермины лягушек. Тогда у Гарри лягушки, у Рона — А всего по условию у них 38 лягушек. Значит,

Следовательно, у Гермионы 13 лягушек.

Пусть номер первый страницы с рецептом равен Тогда рецепт записан на страницах и Тогда по условию

Таким образом, рецепт философского камня записан в книге на страницах 130, 131, 132, 133 и 134.

Пусть Рон задумал число Проведем операции с Тогда Получаем

Пусть — слагаемые. Тогда

Выразим и через

Заменив и получим:

Вычислим остальные слагаемые:

Пусть написаны числа: , а стерли число (.

Тогда

Значит, правая часть должна делиться на 9. Число 1976 дает остаток 5 при делении на 9, поэтому может быть только 4.

Тогда

Значит, вычеркнули число .

Пусть всего было детей и — число конфет, которое съел -ый ребенок, — число конфет, которое съел -ой ребенок, — число конфет, которое съел -ый ребенок. Пусть также — число конфет, которое съели все дети вместе. Тогда из условия задачи следует, что

Следовательно, все дети съели равное число конфет, а именно Но тогда число всех съеденных конфет равно

А из уравнения получаем, что Получаем систему:

Получили уравнение с двумя неизвестными, которые принимают только натуральные значения, причем Так как — простое число, то числа и равны и Так как то а Отсюда

Следовательно, всего съедено: конфета.